2018屆河南省南陽市第學(xué)高三第十四次考試數(shù)學(xué)試題

2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三第十四次考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則=()A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，集合，，則，故選C.2．已知向量，，則下列向量中與垂直的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，向量，則，對于A中，，即與不垂直，A不符合題意；對于B中，，即與不垂直，B不符合題意；對于C中，，即與不垂直，B不符合題意；對于D中，，即與垂直，D符合題意，故選D.3．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，有，則，，，因為是等比數(shù)列，則有，解可得，故選A.4．如圖，曲線把邊長為4的正方形分成黑色部分和白色部分．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)曲線與線段的公共點分別為，設(shè)的中點為，則,因為曲線關(guān)于點對稱，所以圖中曲線與線段圍成的左（白），右（黑）兩部分面積相等，所以圖中黑色部分的面積等于矩形的面積，所以所求概率為，故選A.5．若是第二象限角，且，則()A.B.C.D.【答案】C【解析】因為位第二象限角，且，所以，所以，故選C.6．已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知，所以，故選A.7．程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作，它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對推動漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個，問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)為（）A.120B.84C.56D.28【答案】B【解析】運行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故選C.8．某校有，，，四件作品參加航模類作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎.在結(jié)果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四件參賽作品的獲獎情況預(yù)測如下：甲說：“、同時獲獎”；乙說：“、不可能同時獲獎”；丙說：“獲獎”；丁說：“、至少一件獲獎”.如果以上四位同學(xué)中有且只有二位同學(xué)的預(yù)測是正確的，則獲獎的作品是（）A.作品與作品B.作品與作品C.作品與作品D.作品與作品【答案】D【解析】根據(jù)題意，作品中進行評獎，由兩件獲獎，且有且只有二位同學(xué)的預(yù)測是正確的，若作品與作品獲獎，則甲、乙，丁是正確的，丙是錯誤的，不符合題意；若作品與作品獲獎，則乙、并、丁是正確的，甲是錯誤的，不符合題意；若作品與作品獲獎，則甲、乙，丙是正確的，丁是錯誤的，不符合題意；只有作品與作品獲獎，則乙，丁是正確的，甲、丙是錯誤的，符合題意，綜上所述，獲獎作品為作品與作品，故選D.9．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個正方形的邊長均為2，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)三視圖可得該幾何體是由棱長為的正方體挖去兩個底面半徑為，母線長為的圓錐所得如圖所示的組合體，則該組合體的側(cè)面積為兩個底面的面積為，兩個圓錐的側(cè)面積為，所以該組合體的表面積為，故選B.10．已知是定義在上的偶函數(shù)，且時，均有，，則滿足條件的可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，A中，函數(shù)，則，不滿足，所以不正確；B中，函數(shù)不滿足，所以不正確；C中，函數(shù)，則，且，同理時，，顯然成立，所以C是正確的；D中，，不滿足，即不滿足，所以是錯誤的，綜上所述，函數(shù)是正確的，故選C.11．已知，為雙曲線的左、右焦點，為上異于頂點的點，直線分別與以，為直徑的圓相切于，兩點，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由題意過點O2作AO1的垂線，結(jié)合勾股定理和圓的幾何性質(zhì)即可求得的值.詳解：如圖所示，為線段中點，為線段的中點，過點O2作AO1的垂線，垂足為O3，由圖可知：，，則.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12．已知數(shù)列的前項和為，，且，則所有滿足條件的數(shù)列中，的最大值為（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】當(dāng)時，，即，由于函數(shù)的圖象的對稱軸為，當(dāng)且僅當(dāng)最大時，取得最大值，當(dāng)時，，化為，所以或，所以數(shù)列從第三項開始，每一項是由前一項加1或乘以得到，又，所以且為偶數(shù)）即，可得，當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，取得最小值為，所以當(dāng)時，取得最大值，對應(yīng)取得最大值為，故選B.點睛：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及不等式及其應(yīng)用，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．解答中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，化簡得到數(shù)列從第三項開始，每一項是由前一項加1或乘以得到時解得關(guān)鍵.二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則__________．【答案】1【解析】由，得，則.14．若滿足約束條件，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，取得最小值，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點時，取得最大值；由，求得，的最小值為，由，求得，的最大值為，所以的取值范圍是.15．已知分別為橢圓的長軸端點和短軸端點，是的焦點．若為等腰三角形，則的離心率等于__________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可知：設(shè)分別為橢圓的左頂點及上頂點，則，則，則，由，整理得，由，則，解得或，又由，則.點睛：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關(guān)鍵．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．16．已知底面邊長為，側(cè)棱長為的正四棱錐內(nèi)接于球．若球在球內(nèi)且與平面相切，則球的直徑的最大值為__________．【答案】8【解析】如圖所示，正四棱錐內(nèi)接于球，與平面交于點，正方形中，，在直角三角形中，，設(shè)球的半徑為，則在直角三角形中，，解得，所以球的直徑為，當(dāng)求與平面相切且與球相切時，球的直徑最大，又因為球，所以球的直徑的最大值為.點睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，解答時要認(rèn)真審題，著重考查了學(xué)生的推理、運算能力和空間想象能力的因公，同時注意球的性質(zhì)的合理運用是解答此類問題的關(guān)鍵，對于求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點，再根據(jù)勾股定理求球的半徑.三、解答題17．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，為邊上一點，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理及，得，又由，所以，即可求解；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理，解得，再由正弦定理，進而求得的長.試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，由，得，因為，所以，所以，即，因為，所以，所以.又，解得.（2）在中，由余弦定理，又，，所以，整理得，因為，所以，在中，由正弦定理，得，解得.在中，由正弦定理，因為，所以，解得.18．如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）試在線段上找一個異于，的點，使得，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件下，求多面體的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）在直三棱柱中，得，又，利用線面垂直的判定定理，得，進而證得，即可得到.（2）利用多面體的體積為，即可求解多面體的體積.試題解析：（1）當(dāng)是滿足時，.證明如下：在直三棱柱中，，，所以.又因為，，所以.因為，所以.又因為，且，所以，因為，所以.（2）因為，，所以.在中，，，所以.因為，所以，所以.在中，，所以，所以.因為，且，所以.因為，且，，所以.所以多面體的體積為.19．某種常見疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型.為了解該疾病類型與地域、初次患該疾病的年齡（以下簡稱初次患病年齡）的關(guān)系，在甲、乙兩個地區(qū)隨機抽取100名患者調(diào)查其疾病類型及初次患病年齡，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從Ⅰ型疾病患者中隨機抽取1人，估計其初次患病年齡小于40歲的概率；（2）記“初次患病年齡在的患者為“低齡患者”，初次患病年齡在的患者為“高齡患者”，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，解決以下問題：將以下兩個列聯(lián)表補充完整，并判斷“地域”“初次患病年齡”這兩個變量中哪個變量與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）（ii）記（i）中與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大的變量為，問：是否有99.9%的把握認(rèn)為“該疾病的類型與有關(guān)？”附：【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）依題意，從Ⅰ型疾病患者中隨機抽取人，利用古典概型及概率的計算公式，即可求解其初次患病年齡小于歲的概率；（2）（i）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)，填寫表一、表二，即可作出相應(yīng)的判斷；（ii）根據(jù)表二的數(shù)據(jù)，利用的計算公式，求解的值，根據(jù)附表，即可判讀有的把握認(rèn)為該疾病類型與初次患病年齡有關(guān).試題解析：（1）依題意，從Ⅰ型疾病患者中隨機抽取1人，其初次患病年齡小于40歲的概率估計值為.（2）（i）填寫結(jié)果如下：表一：疾病類型患者所在地域Ⅰ型Ⅱ型合計甲地233760乙地172340合計4060100表二：疾病類型初次患病年齡Ⅰ型Ⅱ型合計低齡251540高齡154560合計4060100由表中數(shù)據(jù)可以判斷，“初次患病年齡”與該疾病類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.（ii）根據(jù)表二的數(shù)據(jù)可得：，，，，.則.由于，故有99.9%的把握認(rèn)為該疾病類型與初次患病年齡有關(guān)20．在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，以為直徑的圓與軸相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）設(shè)是上橫坐標(biāo)為2的點，的平行線交于于，兩點，交的處的切線于點.求證：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）設(shè)點，由為直徑的圓與軸相切，所以，化簡即可得到點的軌跡的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得在處的切線方程為，聯(lián)立方程組求解點坐標(biāo)，求得，再與聯(lián)立方程組，得，求得，即可作出證明.試題解析：（1）設(shè)點，因為，所以的中點坐標(biāo)為.因為以為直徑的圓與軸相切，所以，即，故，化簡得，所以的軌跡的方程為.（2）因為是上橫坐標(biāo)為2的點，由（1）得，所以直線的斜率為1，因為，所以可設(shè)直線的方程為，.由，得，則在處的切線斜率為，所以在處的切線方程為.由得，所以，所以.由，消去得，由，解得.設(shè)，，則，.因為在上，所以，，所以.所以.點睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)換與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時不一定要把結(jié)果及時求出來，可能需要整體代換到后面的計算中去，從而減少計算量.21．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：恰有三個零點.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：（1）的定義域為，求得，可分和兩種情況分類討論，即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）由，所以，由（1）知，得的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)零點的存在定理，即可得到函數(shù)零點的個數(shù).試題解析：（1）的定義域為，.①當(dāng)時，因為，所以，所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.②當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時，，由得，.因為，所以，所以，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因為，所以，由（1）知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，又，，所以在有唯一零點，且，，因為，，所以在有唯一零點.又，，所以在有唯一零點.綜上，當(dāng)時，恰有三個零點.點睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，不等式的證明等問題，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性