2018屆河南省南陽市第學(xué)高三第十四次考試數(shù)學(xué)試題

2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三第十四次考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則=()A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，集合，，則，故選C.2．已知向量，，則下列向量中與垂直的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，向量，則，對(duì)于A中，，即與不垂直，A不符合題意；對(duì)于B中，，即與不垂直，B不符合題意；對(duì)于C中，，即與不垂直，B不符合題意；對(duì)于D中，，即與垂直，D符合題意，故選D.3．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，有，則，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，則有，解可得，故選A.4．如圖，曲線把邊長(zhǎng)為4的正方形分成黑色部分和白色部分．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】設(shè)曲線與線段的公共點(diǎn)分別為，設(shè)的中點(diǎn)為，則,因?yàn)榍€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以圖中曲線與線段圍成的左（白），右（黑）兩部分面積相等，所以圖中黑色部分的面積等于矩形的面積，所以所求概率為，故選A.5．若是第二象限角，且，則()A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)槲坏诙笙藿?，且，所以，所以，故選C.6．已知，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可知，所以，故選A.7．程大位是明代著名數(shù)學(xué)家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國(guó)歷史上一部影響巨大的著作，它問世后不久便風(fēng)行宇內(nèi)，成為明清之際研習(xí)數(shù)學(xué)者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對(duì)推動(dòng)漢字文化圈的數(shù)學(xué)發(fā)展起了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個(gè)，問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，求得該垛果子的總數(shù)為（）A.120B.84C.56D.28【答案】B【解析】運(yùn)行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故選C.8．某校有，，，四件作品參加航模類作品比賽.已知這四件作品中恰有兩件獲獎(jiǎng).在結(jié)果揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品的獲獎(jiǎng)情況預(yù)測(cè)如下：甲說：“、同時(shí)獲獎(jiǎng)”；乙說：“、不可能同時(shí)獲獎(jiǎng)”；丙說：“獲獎(jiǎng)”；丁說：“、至少一件獲獎(jiǎng)”.如果以上四位同學(xué)中有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的，則獲獎(jiǎng)的作品是（）A.作品與作品B.作品與作品C.作品與作品D.作品與作品【答案】D【解析】根據(jù)題意，作品中進(jìn)行評(píng)獎(jiǎng)，由兩件獲獎(jiǎng)，且有且只有二位同學(xué)的預(yù)測(cè)是正確的，若作品與作品獲獎(jiǎng)，則甲、乙，丁是正確的，丙是錯(cuò)誤的，不符合題意；若作品與作品獲獎(jiǎng)，則乙、并、丁是正確的，甲是錯(cuò)誤的，不符合題意；若作品與作品獲獎(jiǎng)，則甲、乙，丙是正確的，丁是錯(cuò)誤的，不符合題意；只有作品與作品獲獎(jiǎng)，則乙，丁是正確的，甲、丙是錯(cuò)誤的，符合題意，綜上所述，獲獎(jiǎng)作品為作品與作品，故選D.9．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)三視圖可得該幾何體是由棱長(zhǎng)為的正方體挖去兩個(gè)底面半徑為，母線長(zhǎng)為的圓錐所得如圖所示的組合體，則該組合體的側(cè)面積為兩個(gè)底面的面積為，兩個(gè)圓錐的側(cè)面積為，所以該組合體的表面積為，故選B.10．已知是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，均有，，則滿足條件的可以是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，A中，函數(shù)，則，不滿足，所以不正確；B中，函數(shù)不滿足，所以不正確；C中，函數(shù)，則，且，同理時(shí)，，顯然成立，所以C是正確的；D中，，不滿足，即不滿足，所以是錯(cuò)誤的，綜上所述，函數(shù)是正確的，故選C.11．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，直線分別與以，為直徑的圓相切于，兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由題意過點(diǎn)O2作AO1的垂線，結(jié)合勾股定理和圓的幾何性質(zhì)即可求得的值.詳解：如圖所示，為線段中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)O2作AO1的垂線，垂足為O3，由圖可知：，，則.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則所有滿足條件的數(shù)列中，的最大值為（）A.3B.6C.9D.12【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，即，由于函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)且僅當(dāng)最大時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，化為，所以或，所以數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是由前一項(xiàng)加1或乘以得到，又，所以且為偶數(shù)）即，可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，對(duì)應(yīng)取得最大值為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及不等式及其應(yīng)用，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．解答中利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是由前一項(xiàng)加1或乘以得到時(shí)解得關(guān)鍵.二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則__________．【答案】1【解析】由，得，則.14．若滿足約束條件，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值；由，求得，的最小值為，由，求得，的最大值為，所以的取值范圍是.15．已知分別為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)，是的焦點(diǎn)．若為等腰三角形，則的離心率等于__________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可知：設(shè)分別為橢圓的左頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)，則，則，則，由，整理得，由，則，解得或，又由，則.點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解，其中根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為圓錐曲線的離心率的方程是解答的關(guān)鍵．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．16．已知底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐內(nèi)接于球．若球在球內(nèi)且與平面相切，則球的直徑的最大值為__________．【答案】8【解析】如圖所示，正四棱錐內(nèi)接于球，與平面交于點(diǎn)，正方形中，，在直角三角形中，，設(shè)球的半徑為，則在直角三角形中，，解得，所以球的直徑為，當(dāng)求與平面相切且與球相切時(shí)，球的直徑最大，又因?yàn)榍?，所以球的直徑的最大值?點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，解答時(shí)要認(rèn)真審題，著重考查了學(xué)生的推理、運(yùn)算能力和空間想象能力的因公，同時(shí)注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用是解答此類問題的關(guān)鍵，對(duì)于求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑.三、解答題17．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，為邊上一點(diǎn)，且，求.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)正弦定理及，得，又由，所以，即可求解；（2）由余弦定理求得，再由正弦定理，解得，再由正弦定理，進(jìn)而求得的長(zhǎng).試題解析：（1）根據(jù)正弦定理，由，得，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，所?又，解得.（2）在中，由余弦定理，又，，所以，整理得，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理，得，解?在中，由正弦定理，因?yàn)?，所以，解?18．如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）試在線段上找一個(gè)異于，的點(diǎn)，使得，并證明你的結(jié)論；（2）在（1）的條件下，求多面體的體積.【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）在直三棱柱中，得，又，利用線面垂直的判定定理，得，進(jìn)而證得，即可得到.（2）利用多面體的體積為，即可求解多面體的體積.試題解析：（1）當(dāng)是滿足時(shí)，.證明如下：在直三棱柱中，，，所以.又因?yàn)?，，所?因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，所?在中，，，所以.因?yàn)?，所以，所?在中，，所以，所以.因?yàn)?，且，所?因?yàn)?，且，，所?所以多面體的體積為.19．某種常見疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型.為了解該疾病類型與地域、初次患該疾病的年齡（以下簡(jiǎn)稱初次患病年齡）的關(guān)系，在甲、乙兩個(gè)地區(qū)隨機(jī)抽取100名患者調(diào)查其疾病類型及初次患病年齡，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從Ⅰ型疾病患者中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其初次患病年齡小于40歲的概率；（2）記“初次患病年齡在的患者為“低齡患者”，初次患病年齡在的患者為“高齡患者”，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，解決以下問題：將以下兩個(gè)列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷“地域”“初次患病年齡”這兩個(gè)變量中哪個(gè)變量與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.（直接寫出結(jié)論，不必說明理由）（ii）記（i）中與該疾病的類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大的變量為，問：是否有99.9%的把握認(rèn)為“該疾病的類型與有關(guān)？”附：【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）依題意，從Ⅰ型疾病患者中隨機(jī)抽取人，利用古典概型及概率的計(jì)算公式，即可求解其初次患病年齡小于歲的概率；（2）（i）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)，填寫表一、表二，即可作出相應(yīng)的判斷；（ii）根據(jù)表二的數(shù)據(jù)，利用的計(jì)算公式，求解的值，根據(jù)附表，即可判讀有的把握認(rèn)為該疾病類型與初次患病年齡有關(guān).試題解析：（1）依題意，從Ⅰ型疾病患者中隨機(jī)抽取1人，其初次患病年齡小于40歲的概率估計(jì)值為.（2）（i）填寫結(jié)果如下：表一：疾病類型患者所在地域Ⅰ型Ⅱ型合計(jì)甲地233760乙地172340合計(jì)4060100表二：疾病類型初次患病年齡Ⅰ型Ⅱ型合計(jì)低齡251540高齡154560合計(jì)4060100由表中數(shù)據(jù)可以判斷，“初次患病年齡”與該疾病類型有關(guān)聯(lián)的可能性更大.（ii）根據(jù)表二的數(shù)據(jù)可得：，，，，.則.由于，故有99.9%的把握認(rèn)為該疾病類型與初次患病年齡有關(guān)20．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為直徑的圓與軸相切.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)是上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，的平行線交于于，兩點(diǎn)，交的處的切線于點(diǎn).求證：.【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）設(shè)點(diǎn)，由為直徑的圓與軸相切，所以，化簡(jiǎn)即可得到點(diǎn)的軌跡的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得在處的切線方程為，聯(lián)立方程組求解點(diǎn)坐標(biāo)，求得，再與聯(lián)立方程組，得，求得，即可作出證明.試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切，所以，即，故，化簡(jiǎn)得，所以的軌跡的方程為.（2）因?yàn)槭巧蠙M坐標(biāo)為2的點(diǎn)，由（1）得，所以直線的斜率為1，因?yàn)?，所以可設(shè)直線的方程為，.由，得，則在處的切線斜率為，所以在處的切線方程為.由得，所以，所以.由，消去得，由，解得.設(shè)，，則，.因?yàn)樵谏?，所以，，所?所以.點(diǎn)睛：本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)換與化歸能力，當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線時(shí)，不需要特殊技巧，只要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，借助根與系數(shù)關(guān)系，找準(zhǔn)題設(shè)條件中突顯的或隱含的等量關(guān)系，把這種關(guān)系“翻譯”出來，有時(shí)不一定要把結(jié)果及時(shí)求出來，可能需要整體代換到后面的計(jì)算中去，從而減少計(jì)算量.21．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：恰有三個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：（1）的定義域?yàn)?，求得，可分和兩種情況分類討論，即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）由，所以，由（1）知，得的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在定理，即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析：（1）的定義域?yàn)椋?①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，由得，.因?yàn)?，所以，所以，?dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，的單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，由?）知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，又，，所以在有唯一零點(diǎn)，且，，因?yàn)?，，所以在有唯一零點(diǎn).又，，所以在有唯一零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，不等式的證明等問題，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性