2023-2024學年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年廣西南寧三中高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若復數(shù)z=(3?4i)i，則z的虛部為(

)A.3i B.3 C.4i D.42.某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200，400，300，100件，為檢驗產品的質量，現(xiàn)用按比例分層隨機抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從乙種型號的產品中抽取件數(shù)為(

)A.24 B.9 C.36 D.183.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)，根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是(

)A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2

C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.84.已知在平行四邊形ABCD中，E為AC上靠近點A的三等分點，設BA=a,BC=A.23a?+13b? 5.已知圓錐的底面半徑為2，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為(

)A.63π B.2636.已知向量m=(2,λ)，n=(2?λ,?4)，若m與n共線且反向，則實數(shù)λ的值為(

)A.4 B.2 C.?2 D.?2或47.在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑P?ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=2BC=2，AC=3，則此四面體的外接球表面積為(

)A.3π B.8π C.9π D.88.有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是5”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與乙互斥 B.丙發(fā)生的概率為16 C.甲與丁相互獨立 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列說法中正確的是(

)A.若bcosC+ccosB=b，則△ABC是等腰三角形

B.若B=30°,b=2,c=22，則C=45°

C.若a=2,b=4,cosC=14，則c=4

D.若△ABC10.某市2023年經過招商引資后，經濟收入較前一年增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解該市的經濟收入的變化情況，統(tǒng)計了該市招商引資前后的年經濟收入構成比例，得到如圖扇形圖，則下列結論中正確的是(

)

A.招商引資后，工資凈收入較前一年減少

B.招商引資后，轉移凈收入是前一年的2.5倍

C.招商引資后，轉移凈收入與財產凈收入的總和超過了該年經濟收入的13

D.11.如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面是AB=8，BC=4的矩形，直四棱柱的高為4，E，F(xiàn)A.直線A1B與CF相交B.異面直線DB1與CE所成角為90°

C.二面角D1?CE?D的平面角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知z1=2+3i，z2=?4+i，則|13.已知互不相等的4個正整數(shù)從小到大排序為a1，a2，a3，a4，若它們的和為12，且這4個數(shù)據(jù)的極差是中位數(shù)的2倍，則這4個數(shù)據(jù)的第14.已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點D是AB的中點.若2a+b=2ccosB，且AC=1,CD=32，則AB=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23．

(1)求16.(本小題15分)

某社區(qū)為了解志愿者每周志愿服務的時長，在全社區(qū)300名志愿者中隨機抽取20名志愿者在某個星期的志愿服務記錄，統(tǒng)計他們當周在社區(qū)的志愿服務時長，按時長分組，得到頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求a的值；社區(qū)對志愿服務時長大于或等于11小時的志愿者認定為優(yōu)秀志愿者，如果以當周志愿服務統(tǒng)計結果作為依據(jù)，請估計該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)；

(2)求出這20名志愿者當周志愿服務時長的樣本眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(結果保留一位小數(shù))．17.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，AC⊥平面PAB，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，且PA=AC=2,AB=1,EF=52．

(1)證明：AB⊥PC；

(2)求二面角F?AE?C18.(本小題17分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，AD=3，CD=1，∠ACD=60°，∠ABC=30°．

(1)證明：AD⊥CD；

(2)求△ABC面積的最大值；

(3)設E為線段AB的中點，求DE19.(本小題17分)

在某抽獎活動中，初始時的袋子中有3個除顏色外其余都相同的小球，顏色為2白1紅.每次隨機抽取一個小球后放回.抽獎規(guī)則如下：設定抽中紅球為中獎，抽中白球為未中獎；若抽到白球，放回后把袋中的一個白色小球替換為紅色；若抽到紅球，放回后把三個球的顏色重新變?yōu)?白1紅的初始狀態(tài).記第n次抽獎中獎的概率為Pn．

(1)求P2，P3；

(2)若存在實數(shù)a，b，c，對任意的不小于4的正整數(shù)n，都有Pn=aPn?1+bPn?2+cPn?3，試確定a，參考答案1.B

2.A

3.C

4.A

5.B

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.BD

11.AD

12.213.9214.715.解：因為a與b的夾角θ=5π6，且|a|=3,|b|=23，

所以a?16.解：(1)根據(jù)題意可得(a+0.075+0.175+0.15+a)×2=1，

∴a=0.05；

∵服務時長大于或等于11小時的頻率為0.05×2=0.1，

∴估計該社區(qū)每周獲得優(yōu)秀的志愿者的人數(shù)為300×0.1=30；

(2)這20名志愿者當周志愿服務時長的樣本眾數(shù)為8小時；

中位數(shù)為7+0.5?0.1?0.150.175=8.428≈8.4小時；

平均數(shù)為17.解：(1)證明：∵E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，

∴PB=2EF=5，

∵AB2+PA2=PB2，∴AB⊥PA，∵AC⊥平面PAB，

∴AB⊥AC，

∵AC∩PA=A，AC，PA?平面PAC，

∴AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，

∴AB⊥PC；

(2)根據(jù)題意，取AC的中點M，過M作MN⊥AE交AE于N，

連接FM，F(xiàn)N，ME，

因為F為PC中點，M為AC的中點，

則FM////PA，且FM=12PA=1，

又PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，

∴PA⊥平面ABC，

∴FM⊥平面ABC，而AE?平面ABC，

∴AE⊥FM，又MN⊥AE，F(xiàn)M∩MN=M，F(xiàn)M，MN?平面FMN，

∴AE⊥平面FMN，

∵FN?平面FMN，∴AE⊥FN，

即∠FNM為二面角F?AE?C的平面角，

在Rt△AME中，AM=1，ME=12，則AE=1+118.解：(1)由題知，在△ACD中，

由正弦定理得sin∠CADCD=sin∠ACDAD，∴sin∠ACD=12，

∵AD>CD，∴∠ACD>∠CAD，∴∠CAD=π6，

∴∠D=π?∠ACD?∠CAD=π2，∴AD⊥CD；

(2)在△ABC中，根據(jù)勾股定理可得AC=2，

由余弦定理知：cos∠ABC=AB2+BC2?AC22AB?BC=32

∴AB2+BC2=4+3AB?BC，∵AB2+BC2≥2AB?BC，∴2AB?BC≤4+3AB?BC

解得：19.解：(1)P2=13×13+23×23=59，

P3=P2×13+23×13×1+13×23×23=59；

(2)因為每次中獎后袋中的球會回到初始狀態(tài)，

從初始狀態(tài)