高中數(shù)學(xué)-正、余弦定理的應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

《正、余弦定理的應(yīng)用舉例》是人民教育出版社A版必修五第一

章第二節(jié)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算

之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)

計(jì)的，具有承上啟下、理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中，

用方程的思想作支撐，以具體問題具體分析作指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問

題、分析問題并最終解決問題。

二、教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知水平，確定了本節(jié)課的教

學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能目標(biāo)：①能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決

一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問題，了解測(cè)量的方法和意義；

②會(huì)在各種應(yīng)用問題中，抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，

確定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解決的各類應(yīng)用問題和

基本圖形和基本等量關(guān)系。

過程與方法目標(biāo)：①采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題

中學(xué)會(huì)正確識(shí)圖、畫圖、想圖，幫助學(xué)生逐步構(gòu)建知識(shí)框架；

②通過解三角形的應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高解決實(shí)際問題的能力；通過解三

角形在實(shí)際中的應(yīng)用，要求學(xué)生體會(huì)具體問題可以轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)

問題，以及數(shù)學(xué)知識(shí)在生產(chǎn)、生活實(shí)際中所發(fā)揮的重要作用。

情感、態(tài)度、價(jià)值觀目標(biāo)：①激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)

的應(yīng)用價(jià)值；

②培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問

題的能力；

③進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類比、

概括的能力。

三、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)的學(xué)

生.

1.已有的能力：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，能夠運(yùn)用

解決一些三角形問題，具有了一定的基礎(chǔ)。

2.存在的問題：學(xué)生在運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形的時(shí)候

不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的問題，構(gòu)造模型的能力有待提高。

四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探索，證明余弦定理及其推論，并

能應(yīng)用它們解三角形。

難點(diǎn)：在解三角形中兩個(gè)定理的選擇。

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

教師通過嫦娥四號(hào)發(fā)射成功的圖片和視頻激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

和愛國主義情懷。嫦娥四號(hào)探測(cè)器著陸月球背面，在人類歷史上首次

實(shí)現(xiàn)航天器在月球背面軟著陸和巡視探測(cè)，首次實(shí)現(xiàn)地球與月球背面

的測(cè)控通信，這是令我們中國人非常驕傲的一件事情。本節(jié)課學(xué)習(xí)正

弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。

【學(xué)生活動(dòng)】感受生活中的數(shù)學(xué)，體會(huì)了生活中測(cè)量距離的現(xiàn)實(shí)需要.

【教師活動(dòng)】通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)生活中的數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)

對(duì)生活的影響無處不在.數(shù)學(xué)方法是解決實(shí)際問題的一大途徑。實(shí)際

問題推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展推動(dòng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展。

【設(shè)計(jì)意圖】通過引言，讓學(xué)生體會(huì)解三角形在科學(xué)實(shí)踐中的廣泛應(yīng)

用，激發(fā)學(xué)生對(duì)于本堂課內(nèi)容的濃厚興趣和愛國主義情懷。

（二）解決實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型

題型一求距離

例1、假設(shè)玉兔二號(hào)月球車位于織女坑位置A,請(qǐng)借助于天津坑，設(shè)

計(jì)一種測(cè)量織女坑、河鼓坑（不可到達(dá)）兩點(diǎn)間距離的方法。即在三

角形ABC中，AC=55m,ZBAC=51（1,NACB=75。。求：A、B兩點(diǎn)間

的距離（只要求化簡(jiǎn)，不計(jì)算）”

例2、假設(shè)玉兔二號(hào)月球車位于河鼓位置B,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種測(cè)量織女、

天津坑（均不可到達(dá)）兩點(diǎn)間距離的方法。即例2,若A,B都在河

的對(duì)岸，（均不可到達(dá)），應(yīng)如何設(shè)計(jì)測(cè)量方案計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離？

這兩個(gè)問題是對(duì)課本例1、例2的改編，二者都以玉兔二號(hào)月球

車為背景，既滿足本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，又貼合本節(jié)課嫦娥奔月主線。

由于學(xué)生程度較好，這兩道題難度較低，因此采取學(xué)生課下獨(dú)立思考，

課上學(xué)生講解的方式學(xué)習(xí)，增強(qiáng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。

【學(xué)生活動(dòng)】：小組討論并提出解決這個(gè)實(shí)際問題的方法。

【教師活動(dòng)】：讓學(xué)生充分展示自己的見解，并歸納總結(jié)學(xué)生的解題

方法。

【設(shè)計(jì)意圖】：引導(dǎo)學(xué)生尋求在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可

以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的

方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來選擇最佳

的計(jì)算方式。并強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

題型二：求高度

1、利用仰角

例3已知泰山位于天河基地西北方向約46公里，玉兔二號(hào)沿著正

西方向行駛5公里處，仰角（視線在水平線上方的角）為「求泰

山的高度。

【學(xué)生活動(dòng)】：小組討論我們?nèi)绾吻蟾叨龋咳绾谓?shù)學(xué)模型解釋這

個(gè)問題。讓學(xué)生建模求解并鼓勵(lì)用不同方法去求解這個(gè)問題。

【教師活動(dòng)】：教師引導(dǎo)學(xué)生分析這是一個(gè)立體圖形，A、B、C在一

個(gè)平面內(nèi)，D不在此平面內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生將題目中的數(shù)據(jù)與圖形中的邊

角相對(duì)應(yīng)。

【設(shè)計(jì)意圖】：重在學(xué)生培養(yǎng)“翻譯”能力學(xué)會(huì)分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。

培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,~~從實(shí)際問題關(guān)系中找出最關(guān)

鍵的數(shù)量關(guān)系，將此關(guān)系用有關(guān)的量及數(shù)字、符號(hào)表示出來，體會(huì)耳

模的過程。

2、利用俯角

例4在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角a=54°40,，在塔

底C處測(cè)得A處的俯角（視線在水平線下下方的角叫俯角）b=50。J。

已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD.

【學(xué)生活動(dòng)】思考并寫出步驟，對(duì)同學(xué)的板演進(jìn)行評(píng)價(jià)。

【教師活動(dòng)】提倡學(xué)生獨(dú)立思考，請(qǐng)一位同學(xué)板演，講評(píng)時(shí)鼓勵(lì)多種

方法求解?？梢岳弥苯侨切危部梢岳谜嘞叶ɡ斫庑比切?，

可以直接求CD,也可以先求BD,再減去BCo

【設(shè)計(jì)意圖】弄清問題所述的事件和研究對(duì)象；抓住題目中的關(guān)鍵字

句，正確把握其含義；根據(jù)題意，弄清題中各有關(guān)量的數(shù)量關(guān)系；抓

住問題中的主要問題，正確識(shí)別其類型。

題型三：求角度

例5玉兔二號(hào)從織女坑出發(fā)，沿北偏耐的方向行進(jìn)60公里后到達(dá)

天津坑，然后從天津坑出發(fā)，沿南偏西哥時(shí)向行進(jìn)30公里后到達(dá)河

鼓坑。如果下次直接從織女坑出發(fā)到達(dá)河鼓坑，玉兔二號(hào)應(yīng)該沿怎樣

的方向前進(jìn)，需要行進(jìn)的距離是多少？

【學(xué)生活動(dòng)】小組討論本題已知什么條件，適合應(yīng)用什么定理。

【教師活動(dòng)】教師對(duì)學(xué)生的方法進(jìn)行總結(jié)，板書做題步驟。

【設(shè)計(jì)意圖】該問題有一定難度留為課下自主合作探究討論的問題,

讓課上到課下得到延伸，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)合作交流的能力。

（三）課堂反思，自我評(píng)價(jià)

教師給出自我評(píng)價(jià)的三個(gè)等級(jí)，依次是能理解已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模

型，能在提示下建立數(shù)學(xué)模型，能獨(dú)自建立數(shù)學(xué)模型.學(xué)生在符合自

己情況的括號(hào)里打勾。學(xué)生自我評(píng)價(jià)后根據(jù)自己的情況課下有選擇地

進(jìn)行彌補(bǔ)。

（四）課堂小節(jié)：（采用提問形式）

在教師的提示指引下，學(xué)生總結(jié)歸納出借助正、余弦定理解決實(shí)

際問題的一般步驟：

抽象概括』數(shù)學(xué)模型

還原說明

實(shí)際問題的解

（五）布置作業(yè)

A層（必做）：《課本》P19A組1、3、4

B層（選做）：《雙成新學(xué)案》廣7

C層（樂做）：做一個(gè)有關(guān)測(cè)量的實(shí)習(xí)作業(yè)，并寫出實(shí)習(xí)報(bào)告

六、板書設(shè)計(jì)

正、余弦定理的應(yīng)用舉例

一、測(cè)量距離1、一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)學(xué)生板演

2、兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)

二、測(cè)量高度1、利用仰角

2、利用俯角

三、測(cè)量角度

步驟：建模一＞解模一＞還原

學(xué)情分析

本節(jié)課的教學(xué)對(duì)象是青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生。

L已有的能力：學(xué)生初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形、等腰三角形、

等邊三角形等特殊三角形，但對(duì)于一般斜三角形還不能求解。通過本

章上一節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以借助正弦定理、余弦定理解決一些三角形

問題，具有了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。

2.學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的情感態(tài)度：

①激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值

②培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)

學(xué)問題的能力

③進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)及觀察、歸納、類

比、概括的能力

3.學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、習(xí)慣以及風(fēng)格：相對(duì)于實(shí)際問題，學(xué)生更擅

長解決純數(shù)學(xué)問題。在運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形的時(shí)候不能

將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的問題，構(gòu)造模型的能力有待提高。

效果分析

課堂教學(xué)效果是教師進(jìn)行課堂教學(xué)的落腳點(diǎn)，一切教學(xué)手段的

運(yùn)用和教學(xué)方法的選擇最終的目的是課堂教學(xué)效果的最大化。教師對(duì)

每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)和方式、方法的選擇都要先問自己一聲：這樣

做的效果會(huì)怎樣？要緊緊圍繞有效和高效這一核心要求來組織和開

展教學(xué)活動(dòng)。當(dāng)然這里所說的效果是一個(gè)綜合性的教學(xué)效果，內(nèi)容

既包括基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，又包括基本技能的訓(xùn)練效果，同時(shí)也包

括學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和道德情感的教育等。

學(xué)生是課堂的主體，通過學(xué)生表情的變化、思維的速度，回答問

題、練習(xí)、測(cè)試、動(dòng)手操作的準(zhǔn)確性等信息反饋，可獲知教學(xué)信息

的傳輸是否暢通，亦可看出新知識(shí)新技能的掌握情況。教學(xué)任務(wù)是否

完成不能只看少數(shù)尖子學(xué)生，大多數(shù)中下學(xué)生同樣也是知識(shí)的接受體，

從他們身上更能體現(xiàn)教學(xué)任務(wù)是否完成，以及教師的教學(xué)水平、教

學(xué)質(zhì)量的高低。

總之，本節(jié)課在教師的引導(dǎo)幫助下，全體學(xué)生的潛力得到很大限

度的挖掘，智力好的學(xué)生吃得飽，中等水平的學(xué)生吸收得好，差的學(xué)

生消化得了，學(xué)生人人學(xué)有所得。課堂教學(xué)中充分體現(xiàn)師生平等、教

學(xué)民主的思想，師生信息交流暢通，情感交流融洽，合作和諧，配合

默契，教與學(xué)的氣氛達(dá)到最優(yōu)化，課堂教學(xué)效果達(dá)到最大化。教師教

得輕松，學(xué)生學(xué)得愉快。

教材分析

《正、余弦定理的應(yīng)用舉例》是人民教育出版社A版必修五第一

章第二節(jié)內(nèi)容，是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算

之后的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)

計(jì)的，具有承上啟下、理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。在本節(jié)課的教學(xué)中，

用方程的思想作支撐，以具體問題具體分析作指導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)問

題、分析問題并最終解決問題。

《正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案

一、知識(shí)回顧

1、本章量化邊角的定理有哪些?

2.解三角形的常見類型有哪些？

二、新課探究

（一）測(cè)量距離

探究——個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距離測(cè)量

例1.在三角形ABC中，AC=55m,ZBAC=5L,NACB=750

求：A、B兩點(diǎn)間的距離（只要求化簡(jiǎn)，不計(jì)算）

探究二兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距離測(cè)量

例2.A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量

兩點(diǎn)間的距離的方法。

（二）測(cè)量高度探究一：利用仰角

例3.已知泰山位于天河基地西北方向約46公里,玉兔二號(hào)沿著織女

坑方向行駛5公里處，仰角（視線在水平線上方的角）為S'求泰山的

高度.

探究二：利用俯角

例4.在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角^=54°

40',在塔底C處測(cè)得A處的俯角（視線在水平線下下方

的角叫俯角）B=50°1'。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,

求出山高CD（只需列式）.

（三）測(cè)量角度

例5：某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°相距9海里的C處有一艘走私

船，正沿南偏東75°的方向以10海里/小時(shí)的速度逃竄.巡邏艇立即

以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追擊，

問巡邏應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追上該走私

船？

三、當(dāng)堂檢測(cè)

如圖，為了計(jì)算渭河岸邊兩景點(diǎn)B和C的距離，由于地形

的限制，需要在岸邊選取A和D兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得

AD1CD，AD=100m,AB=140m,而隨=SO"ZECD=135a

求兩景點(diǎn)B與C的距離（假設(shè)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）

四、課堂小結(jié)

解三角形應(yīng)用題的一般步驟:

(1)分析

(2)建模

(3)求解

(4)檢驗(yàn)

課后反思

一.反思設(shè)計(jì)意圖

本節(jié)課是學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理及三角形中的幾何計(jì)算之后

的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課，可以說是為正弦定理、余弦定理的應(yīng)用而設(shè)計(jì)的，

因此本節(jié)課的學(xué)習(xí)具有理論聯(lián)系實(shí)際的重要作用。并根據(jù)本節(jié)課的教

學(xué)內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知水平，確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。本節(jié)課的教

學(xué)對(duì)象是青島西海岸新區(qū)第一高級(jí)中學(xué)的學(xué)生.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦

定理和余弦定理，能夠解決一些三角形問題，具有了一定的基礎(chǔ)。但

學(xué)生在運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形的時(shí)候不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)

化成數(shù)學(xué)問題的問題，構(gòu)造模型的能力有待提高。我認(rèn)為本堂課學(xué)生

難點(diǎn)在于：實(shí)際問題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角

形，得到實(shí)際問題的解并且能根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖。

二.反思設(shè)計(jì)思路

第一階段：情境引入

本節(jié)課我以嫦娥四號(hào)著陸作為課題的引入，讓學(xué)生體會(huì)生活中的

數(shù)學(xué)無處不在，數(shù)學(xué)對(duì)生活的影響無處不在.數(shù)學(xué)方法是解決實(shí)際問

題的一大途徑。實(shí)際問題推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)發(fā)展推動(dòng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展。

讓學(xué)生體會(huì)解三角形在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)于本堂課的濃

厚興趣。

第二階段：實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型

引入課題后，向?qū)W生介紹例1（一點(diǎn)可到達(dá)距離測(cè)量問題）引導(dǎo)

學(xué)生將實(shí)際問題抽象概括出示意圖，并建立數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)過數(shù)學(xué)模

型的解來解答實(shí)際問題。“數(shù)學(xué)源于生活，生活依靠數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)建

模問題貼近生活，充滿趣味性；使學(xué)生更深切地感受到數(shù)學(xué)與實(shí)際的

聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)問題的廣泛，使學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性理解得

更為深刻”。在討論問題時(shí)把重點(diǎn)放在解決此問題的可行性上，學(xué)生

在初中學(xué)習(xí)了解直角三角形，相似三角形等方法都可測(cè)量舉例但應(yīng)用

我們高中正余弦定理在于可行性很強(qiáng)。

第三階段：深化第二例

例2是在例題一基礎(chǔ)上建立的另一類測(cè)量距離的問題。在例題一

得到順利解決的前提下引入例題2這時(shí)學(xué)生躍躍欲試。在例題二教學(xué)

中依然不給學(xué)生做出圖形，培養(yǎng)學(xué)生敢于畫圖，愛作圖的能力。教學(xué)

中鼓勵(lì)學(xué)生積極開展討論和辯論，主動(dòng)探索解決之法。教學(xué)過程中努

力去創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力，增

強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力，是解決

問題的過程。

第四階段：經(jīng)歷了距離的探究后，引導(dǎo)學(xué)生解決生活中的高度和

角度問題。讓學(xué)生保持“好奇心”，開通自己的“問題源”，培養(yǎng)養(yǎng)

學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、提出和解決問題的能力，展示學(xué)生多

方面的數(shù)學(xué)思維能力，并體會(huì)數(shù)學(xué)在生產(chǎn)生活中的強(qiáng)大作用。培養(yǎng)其

創(chuàng)新意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的快樂。重在

學(xué)生培養(yǎng)“翻譯”能力學(xué)會(huì)分析關(guān)系、領(lǐng)悟?qū)嵸|(zhì)。弄清問題所述的事

件和研究對(duì)象；抓住題目中的關(guān)鍵字句，正確把握其含義；根據(jù)題意，

弄清題中各有關(guān)量的數(shù)