立體幾何中的截面問題-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第三冊(cè)）（解析版）

專題〃-3立體幾何中的截面問題

。常考題型目錄

題型1棱柱截面問題................................................................................5

?類型1截面形狀.............................................................................5

?類型2其他截面問題........................................................................11

?類型4延長線找交點(diǎn)法.....................................................................12

?類型5平行線法............................................................................17

?類型6截面周長............................................................................24

?類型7截面面積............................................................................30

題型2棱錐微面...................................................................................38

題型3圓柱截面...................................................................................43

題型4圓錐截面問題...............................................................................47

題型5球截面問題.................................................................................48

題型6截面分體積問題.............................................................................51

題型7取值范圍問題...............................................................................60

Q知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一.截面定義：

1.定義：用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個(gè)幾何體的截面，與幾何體表面的交集(交

線)叫做截線，與幾何體棱的交集(交點(diǎn))叫做截點(diǎn).用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體所得到的平面圖形稱之為

截面，

2.作截線與截點(diǎn)的主要根據(jù)有：

(1)確定平面的條件

(2)如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們相交于過此點(diǎn)的一條直線.

(3)如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).

(4)如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行.

(5)如果兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面和它們相交，那么兩條交線平行。

3.模型分析：作正方體截面圖形的關(guān)鍵是找出截面與正方體表面的交線，而找交線的關(guān)鍵是確定截面與

正方體棱的交點(diǎn).

(1)平行法模型：平面EFG與平面ABCD有公共點(diǎn)E,且直線FG/平面ABCD,則根據(jù)基本事實(shí)三和定理

1可知兩平面的交線I過公共點(diǎn)E且與直線FG平行，如圖1所示.

(2)相交法模型：平面EFG與平面ABCD有公共點(diǎn)E，但是兩個(gè)平面內(nèi)均不易找出現(xiàn)成的直線與另一個(gè)

平面平行，此時(shí)，可以延長FG與平面ABCD交于點(diǎn)H,連接FH,由基本事實(shí)三知其為兩平面的交線，如

圖2所示.

(3)平行四邊形法模型：在AiA的延長線上任取點(diǎn)E,在BBi,DDi上任取點(diǎn)F,H,連接EP交AB于點(diǎn)

G,連接EH交AD于點(diǎn)I,以EF、EH為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，可以得出截面與正方體其它棱的交點(diǎn),如

這里的點(diǎn)，依次連接各交點(diǎn)，五邊形GFJH即為正方體截面圖形，如圖3所示.

此方法比較適用于截面圖形是五邊形、六邊形這種復(fù)雜一點(diǎn)的截面圖形.因?yàn)槲暹呅谓孛?、六邊形截面?

兩不相鄰邊的延長線的交點(diǎn)一定在正方體棱的延長線上.

知識(shí)點(diǎn)二.常見正方體的截面情況:

1.正方體截面的作圖方法

為了更好地詮釋過正方體棱、面、體上不共線三點(diǎn)的截面圖形作法，下面展示以下幾種常規(guī)作圖題型.

2.截面經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)分別在正方體的棱上

(1)已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線都在正方體的表面上，直接兩兩連接即得截面圖形，如圖4

所示.

圖4

(2)已知的三點(diǎn)E、FG中任意兩點(diǎn)的連線恰有兩條在正方體的表面上，由平行法或相交法可得截面圖形(如

圖5所示).

平行法思路：連接GF,在平面ABBA內(nèi)過點(diǎn)E作EH//GF,并交AAi于點(diǎn)H,則四邊形EFGH為所求的截

面圖形.

相交法思路：連接FE并延長交DA的延長線于點(diǎn)H,連接GH交AAi于點(diǎn)I,則四邊形EFGH為所求的截

面圖形.

（3）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線恰有一條在正方體的表面上，由相交法（作圖思路略）或平行

四邊形法可得截面圖形（如圖6所示）.

平行四邊形法思路：連接FG并延長，交DDi的延長線于點(diǎn)P,連接PE交AiDi于點(diǎn)H,則點(diǎn)H為截面上

一點(diǎn)，以PE、PF為鄰邊做平行四邊形PEQF,則QF與BC的交點(diǎn)I也為截面上的點(diǎn)，則五邊形EIFGH即

為所求的截面圖形.

（4）已知的三點(diǎn)E、F、G中任意兩點(diǎn)的連線都不在正方體的表面上，可以通過做輔助平面的方法轉(zhuǎn)到相交法來

處理（如圖7.

u題型分類

題型1棱柱截面問題

?類型1截面形狀

【方法總結(jié)】

①若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截線。

②若面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點(diǎn)。

③若兩個(gè)已知點(diǎn)分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個(gè)平面的交線與截面的交點(diǎn)。

④若兩平行平面中一個(gè)平面與截面有交線，另一個(gè)面上只有一個(gè)已知點(diǎn)，則按平行平面與第三平面相

交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì),可得截面與平面的交線。

⑤若有一點(diǎn)在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題；若已知點(diǎn)在體內(nèi)，則可

通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為棱上的點(diǎn)的問題來解決。

【例題1-1】（2023?全國?高一專題練習(xí)）用平面截正方體，截面不可能是（）

A.菱形B.等腰梯形

C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【分析】舉例即可說明A、B、D正確；假設(shè)截面是正五邊形，經(jīng)分析得出必有兩條截線平行，這與正五邊

形的性質(zhì)相矛盾，即可判斷C項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)截面與正方體表面平行，且與正方體相交時(shí)，截面為正方形，即截面可能是菱形，

故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，如圖1,當(dāng)&匚7=&。片&&時(shí)，有且□□豐口口,lit時(shí)截面。匚Z7R等

腰梯形，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個(gè)面內(nèi)，由于正方體有6個(gè)面，分成兩兩

平行的三對(duì)，故必然有一對(duì)平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，

但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形，故C項(xiàng)錯(cuò)誤;

圖2

對(duì)于D項(xiàng)，如圖2,aaaa。儂別為各邊的中心，易證a□，口，□口磔面，且口口口口口小

正六邊形，故D項(xiàng)正確.

故選：c.

【變式1-1]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截面邊數(shù)最多有（）

A.5條B.6條C.7條D.8條

【答案】B

【分析】根據(jù)平面及其基本性質(zhì)，結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷即可得到答案.

【詳解】正方體有六個(gè)面，用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、

六邊形，如圖所示，

因此截面邊數(shù)最多有6條.

故選：B.

【變式1-1]2.（2022?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，切正方體形狀的土豆塊，思考可以得到哪些類型的多面體？

【答案】一個(gè)四面體和一個(gè)七面體（或一個(gè)三棱錐和一個(gè)七面體）

【分析】按截面切正方體即可得到結(jié)果.

【詳解】按照?qǐng)D中截面切正方體，可得如下圖所示的一個(gè)七面體和一個(gè)四面體（或一個(gè)七面體和一個(gè)三棱

推）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體簡單的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題。

【變式1-1]3.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)透明密閉正方體容器恰好盛有該容器一半體積的水，任意轉(zhuǎn)

動(dòng)這個(gè)正方體，則水面的形狀可能是_____.（①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六邊形）

【答案】②③④⑤

【分析】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心，結(jié)合正方體

截面圖形的特征判斷即可.

【詳解】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其水面總是過正方體的中心.

過正方體的一條棱和中心可作一截面，截面形狀為矩形，如圖（1）；

過正方體一面上一邊的中點(diǎn)和此邊外的頂點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，如圖（2）;

過正方體一面上相鄰兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，如圖（3）；

過正方體一面上相對(duì)兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，如圖（4）.

至于截面三角形，過正方體的中心不可能作出截面為三角形的圖形,

故答案為：②③④⑤.

【變式1-1]4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）用一個(gè)平面去截直三棱柱?！?￡7-&。1口,交

□i口、口,口口,。儂別于點(diǎn)a口,口,□.若□【口＞5口】,則截面的形狀可以為.（把你認(rèn)

為可能的結(jié)果的序號(hào)填在橫線上）

①一般的平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形

【答案】②④⑤

【分析】由面a&〃面。口?？傻媒孛娼痪€oo//oo,進(jìn)一步對(duì)口口與a。平行與否進(jìn)行討論即可.

【詳解】□□□-4&&為直三棱柱，則面&&a〃面。￡7￡7,截面過面&a&、面□□□,則

當(dāng)。冰與人0平行時(shí)，此時(shí)截得的EH不平行于FG,四邊形梯形；

當(dāng)口□“口、謝，此時(shí)截得的m/S

當(dāng)□□中□四,四邊形矩形?，當(dāng)口□=OOB寸，四邊形ODD磔正方形；

故答案為：②④⑤

【變式l-i]5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知過口4的平面與正方體-相交，

分別交棱,□□[手口,。.則下列關(guān)于截面5勺說法中，不正確的是（）

A.截面5r能懸既B.截面OO4西能是菱形

c.截面。口4口可能是梯形D.截面0044不可能是正方形

【答案】C

【分析】選過特殊點(diǎn)（中點(diǎn)、對(duì)角頂點(diǎn)）且含體對(duì)角線oa的平面截取正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特

征、勾股定理分析各選項(xiàng)的正誤即可.

【詳解】如下圖，當(dāng)aa分別與對(duì)角頂點(diǎn)重合時(shí)，顯然怎矩形；

如下圖，當(dāng)。，。為口4,的中點(diǎn)時(shí)，顯然口口。1。是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定理易知：

00&冰可能為正方形；

A------------------B

根據(jù)對(duì)稱性，其它情況下班平行四邊形；

綜上,c不正確.

故選：C.

【變式1-1]6.（多選）（2022春?廣東?高一統(tǒng)考期中）在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下

幾種幾何圖形的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何圖形可以是（）

A.旗

B.等腰梯形

C.每個(gè)面都是等邊三角形的四面體

D.每個(gè)面都是直角三角形的四面體

【答案】ACD

【分析】結(jié)合正方體圖形分析判斷.

【詳解】選擇同一個(gè)平面上的四個(gè)頂點(diǎn)，得矩形，故A符合題意，B不符合題意；

如圖（1）所示，四面體&。?？诘拿總€(gè)面為等邊三角形，故c符合題意；

如圖（2）所示，四面體a口、，的每個(gè)面為直角三角形，故D符合題意.

故選：ACD

(1)

（2）

?類型2其他截面問題

【例題1-21（2022?全國?高一假期作業(yè)）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體,截面的形狀是三角形，那么這個(gè)幾

何體不可能是（）

A.圓錐B.圓柱

C.三棱錐D.正方體

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐、圓柱、三棱錐和正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可

【詳解】用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐時(shí)，軸截面的形狀是一個(gè)等腰三角形，所以A滿足條件;

用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱時(shí)，截面的形狀可能是矩形，可能是圓，可能是橢圓，不可能是一個(gè)三角形，所

以B不滿足條件；

用一個(gè)平面去截一個(gè)三棱錐時(shí)，截面的形狀是一個(gè)三角形，所以C滿足條件；

用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體時(shí)，截面的形狀可以是一個(gè)三角形，所以D滿足條件.

故選：B.

?類型3直接法

【方法總結(jié)】

直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交

線的過程.

【例題1-3](2022高一課時(shí)練習(xí))在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AC平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)

的截面是—.

【答案】平面A1C1D,平面A1C1B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，得出與AC平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是平面A1C1D，平面A1C1B.

【詳解】解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AC平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是平面A1C1D,

平面A1C1B.

1.AA1IICC1,AA1=CC1，，四邊形ACC1A1是平行四邊形;

.'.ACllA1C1,

又ACC平面A1C1D,AlClu平面A1C1D，,ACII平面A1C1D;

同理人。1平面人1口8.

故答案為：平面A1C1D,平面A1C1B.

?類型4延長線找交點(diǎn)法

.?-?-?「一?-，--?-?-?.;?一?一一?-?.:?.?「一?-?-?,?.;?-?-?-，?-?-?-?_--?-二?J

【方法總結(jié)】

作延長線找交點(diǎn)法：

(1)延長同一表面上的兩點(diǎn)所在的直線.

(2)若過這兩點(diǎn)的直線與棱的延長線交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)與其他截點(diǎn)共表面，則連接這兩點(diǎn)可得到新

的截點(diǎn).（3）將新得的截點(diǎn)與已知的截點(diǎn)首尾連線，若所有連線均在表面上，則終止找截點(diǎn)的過程；

否則，重復(fù)步驟（1）

和（2）找出所有的截點(diǎn)，連接截點(diǎn)成截線，從而可得截面.

【例題1-4］（2022?高一單元測(cè)試）在長方體口。。。一口［口1口［口］中，口口=4、口口=3,口、為

別為棱□口的中點(diǎn)，點(diǎn)。在對(duì)角線a&上，且a。=3,過點(diǎn)口口、a乍一個(gè)截面，該截面的

形狀為（）

A.三角形

B.四邊形

C.頊形

D.六邊形

【答案】C

【分析】找到截面與長方體的平面的交線，判斷為五邊形.

【詳解】如圖所示，延長口以口、口「使。。n□、口「□,連接￡74、口口,

0tG

；：\：A

\IXI

I???9、■/

f??、■/

；//N

i??/

jk-f--------------------------

II/“B

y□□=4、□□=3、□、□=3t

1.口、□I=5、□、￡7=2,

,.口儂別為棱。旦的中點(diǎn)，

:,□□—□、□=2I

:ZZ7=6,

...器=第=1,又.、口、.三點(diǎn)共線，

:口aa三點(diǎn)共線一?.打在截面上，

延長￡70、口1口,使□□△口、□=□,連接a0，標(biāo)□、□□□□=口,

..?O在截面上，

連接￡70、□□,

■:□□“□、口］,且□□=；口］口［

:口□H口比口口=口口,

又％。。中點(diǎn)，口、口、a三點(diǎn)共線，

:口口、片點(diǎn)共線，

截面為五邊形&OSO,

故選：c.

【變式1-4］1.（2022春?貴州黔東南?高一凱里一中?？计谥校┤鐖D，在長方體OZ7Z7O-方方中，

□口=□□=2,0方=3,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BC的中點(diǎn).

（1）求三棱錐O-勺體積；

⑵點(diǎn)E,F,方確定的平面為O,試作出平面。截長方體OZ7Z70-的截面圖，并計(jì)算該截面的

面積（不必寫出畫法和理由）

【答案】⑴;

⑵作圖見解析,苧

【分析】（1）由外皿小瑪3/黃么皿XD詢妾求解,

（2）延長DC交EF于點(diǎn)?！?，延長DA交EF于點(diǎn)方，仃仃交口仃與點(diǎn)、M,?！浇?。方于點(diǎn)N,則五邊

形88'%求的截面,%面=口-2x口:

【詳解】（'）口：□…小口2仃口

.?.三棱錐。一0口七是體積為:.

（2）延長DC交EF于點(diǎn)仃，延長DA交EF于點(diǎn)〃'，方交。與點(diǎn)M,方方交￡7。'于點(diǎn)N,

平面板正方體Z7/7/7O-add方的截面圖為五邊形。u（如圖所示）.

=”a,\uu\5□己.

同理=他。1,\nn\=^nd\,

易求得方方=dd=dd=VS2*4+32=3V2,

□白□□\DLJ\=□□=□口=|LJ[J\=V2,

2V3，27V3

-2x：x□□=---

42

該截面的面積為苧.

【變式1-4］2.（2023?全國高一專題練習(xí)）已知正方體。。口［口］口］口的棱長為2,E,F分別

為棱BC,O&的中點(diǎn)，G是棱AB上一點(diǎn)，目□□=2□□過G,E,F三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面

為____邊形（橫線上填多邊形的邊數(shù)），該截面多邊形的面積為.

【答案】五##5（舊#哼

OO

【分析】延長。a與a2勺延長線交于點(diǎn)。，連接&口延長口口與da的延長線交于點(diǎn)￡7，連接aa,

設(shè)線段口依線段4口1于點(diǎn)口,趣妾口口,即可得到過G,E,F三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面為五邊

形□□□□、口,然后算出其面積即可.

【詳解】

延長oa與的延長線交于點(diǎn)￡7,連接a口，延長。。與aa的延長線交于點(diǎn)口，

因?yàn)镋,F分別為棱BC,O4的中點(diǎn)，

所以△□□□.□□口,△□□□.□□、口,所以口□=口□=1,□]□=口□=1,

因?yàn)樾?需=:,所以點(diǎn)a,口,a三點(diǎn)共線，

LJ\LJ\LJLJ\a

連接0D,設(shè)線段a次線段44于點(diǎn)O,連接DO,

則過G,E,F三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面為五邊形￡7,

因?yàn)椤?,所以霽=柴=；,所以&口=2a口,

LJyLJLJ\J

因?yàn)閍。=□、口=同，口口=3五,所以△口口口中邊口口上的高為」13-（嶗2=亨，

所以口.口□=；x3代x亨=|V17,

因?yàn)榭凇鳌酢酢?口&□□口=三口皿□口,所以五邊形OOO4面積為:么gx|VT7=,

故答案為：五；

O

【變式1-4]3.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方陣□□□□—口[口口&中，點(diǎn)Q是棱。口上

的動(dòng)點(diǎn)，則過A,Q,&三點(diǎn)的截面圖形是()

A.等邊三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】由點(diǎn)口是棱上的動(dòng)點(diǎn)，可考慮a分別在的端點(diǎn)以及中點(diǎn)，故可得過二口、a三點(diǎn)的

截面圖形的形狀.

【詳解】所以當(dāng)點(diǎn)。與a重合時(shí)，過以口、4三點(diǎn)的截面是等邊三角形&；

當(dāng)點(diǎn)o與看合時(shí)，過口、a三點(diǎn)的截面是矩形oa&o；

當(dāng)點(diǎn)￡7與O4的中點(diǎn)重合時(shí)，取口、□、的中彘口，由于砥以又

口口=□□、皿口、口、a三點(diǎn)的截面是等腰梯形。a如圖所示：

所以過。，u,4三點(diǎn)的截面圖形是可能是等邊三角形、矩形或等腰梯形.

故選：D.

?類型5平行線法

【方法總結(jié)】平行線法

平行線法作多面體的截面的基本步驟：

(1)連接同一表面a上的兩點(diǎn)得直線.

(2)過表面a的平行表面B上一截點(diǎn)作的平行線，若該平行線與棱交于一點(diǎn)可得到新的截點(diǎn)。

(3)將新得的截點(diǎn)與已知的截點(diǎn)首尾連線。若所有連線均在表面上，則終止找截點(diǎn)的過程；否則，

重復(fù)步驟（1）和（2）找出所有的截點(diǎn)，連接截點(diǎn)成截線，從而可得截面.

【例題1-5]在正方體Z7Z7OO-口1口1口1口卉,D,儂別為Z7Z7,OO/的中點(diǎn),則平面。。中證

方體所得的截面多邊形的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】B

【分析】把截面002卜形可得利用四點(diǎn)共面可得.

【詳解】解：如圖，把截面口口塞卜形為四邊形00007,

連接00,,□口1,

因?yàn)椤?,。分別為。￡7,口的中點(diǎn),蛆口口11口口1,

又方體ZZ7ZZ7ZZ7ZZ7—ZZZ/Z^/ZZZ,ZZ??中，□□]]□□

所似,則a口力D,口四點(diǎn)共面.

則平面￡70。截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.

故選：B.

【變式1-5]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如下圖所示,在正方體￡7?？凇ㄒ豢?口1口1口1中,如果點(diǎn)

E是的中點(diǎn)，那么過點(diǎn)&、B、E的截面圖形為（）

A.三角形B.矩形C.正方開?D.菱形

【答案】D

【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.

【詳解】分別取?？?,的中點(diǎn)aa,連接功□,□口,d□,口□,

如圖aooogp為過點(diǎn)口、B、E截正方體所得的截面圖形,

由題意可知：□、口“□口□、□=DO,所以四邊形&OO%平行四邊形，

所以a,又因?yàn)閛ay口、目口口=□[口1且口、□、=口、i

所以旦&&=,所以四邊形&ooa為平行四邊形，所以d□“□]口'

砥以口、口“□□,同理。所以四邊形a平行四邊形，

又因?yàn)椤?口□,所以平行四邊形a口。。為菱形，

【變式1-5】2.在長方體。Z7S一口1口1口1口1中,點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，畫出過點(diǎn)O',U',但點(diǎn)的

截面。

分析：連結(jié)AiP,因?yàn)槠矫鍭DDiAi〃平面BCGBi,所以只要過P作AiDi,的平行線就可以了.取CCi

的中點(diǎn)Q連結(jié)PQ則AiDi〃PQ.連結(jié)DiQ得到截面AiPODi（見圖2）.

小結(jié)：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線

找到幾何體與截面的交線.

【變式1-5】3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知在正方體OOL7O-OQQQ?中，口，口,。分別

是口□,口口,。彳。7的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進(jìn)而判斷出正確答案.

【詳解】分別取&&、□、□、的中點(diǎn)口、口、。，連接口□、,

?:在篁方悔口□□□一口、口1口1口、中，口，口,a分別是口口，口口,&&的中點(diǎn)，

???六邊形口口口口。。是過〃，口,。這三點(diǎn)的截面圖,

???過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形.

故選：D

【變式1-5]4.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方體。OOZ7-口5口功中,棱長為4‘□、的

別為棱口口的中點(diǎn)，點(diǎn)。在對(duì)角線。上，且萬萬=少過，過點(diǎn)々□、Of乍一個(gè)截面，該截

面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】延長口口，分別交a4與au的延長線于a。，可得截面過口口、。，再根據(jù)直線與面

面相交的性質(zhì)，分別確定截面與各棱的交點(diǎn)位置，進(jìn)而確定截面的形狀即可.

【詳解】因?yàn)榉?=西,故a為□□種中氤又□□□□一口、a□、a為正方體，故可延長,

分別交a4與&。的延長線于aa,設(shè)直線ou分別交a口”aa于a口,易得過點(diǎn)。、口、。的

面即平面?？赼

因?yàn)樯伲?4中點(diǎn)，且/71￡7||□口，W乙□□□=乙口1口口，□□=□]口，4□□□=乙口1口口，所以

△口□口=△口1口口，故□—口口—-口口--□、ZZ7|,即匚71口--口]口0^口、口||□]□,故ZZ7i口—

3口口又外口14的中點(diǎn)，同理可得4口、□□三&d口□,故a□=□[□=3aa,所以&〃=

口1口=3,故殳&&內(nèi).

連接OU交OO于。，綜上可知點(diǎn)。、口、口^防體?□□□□-□1口1口、口[的番氤為五邊形□□□□□.

【變式1-5]5.（2023?全國?高T題練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱OOOZ7-a&□、&中，底面ABCD

是等腰梯形，UUW□□,□□=200,乙□□□=60°,四邊形0口。14是正方形.指出棱Z74與平

面口?？诘慕稽c(diǎn)E的位置（無需證明），并在圖中將平面OO&截該四棱柱所得的截面補(bǔ)充完整；

【答案】E為〃&的中點(diǎn)，答案見解析

【分析】E為O4的中點(diǎn)，取?？诘闹悬c(diǎn)E,連接DE,051得答案；

【詳解】E為的中點(diǎn).作圖如下：如圖，取的中點(diǎn)E,連接DE,&平面即為該

四棱柱所得的截面（可通過證明來判斷）.

【變式1-5]6.（多選）（2022?全國?高一專題練習(xí)）過正方體棱上三點(diǎn)D,E,F（均為棱中點(diǎn)）確定的

截面過點(diǎn)P（點(diǎn)P為BB1中點(diǎn)）有（）

【答案】AD

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)對(duì)ABD作出截面后判斷，對(duì)C由四點(diǎn)不共面可判斷.

【詳解】A中過a口,a三點(diǎn)的截面如圖，可知截面過a點(diǎn)，

B中過a口,a三點(diǎn)的截面如圖，可知截面不過。點(diǎn)，

c中，aa。在正方體的一個(gè)側(cè)面上，而。不在這個(gè)側(cè)面上，因此a口,口,。四點(diǎn)不共面，過aaz

點(diǎn)的截面不過a點(diǎn),

D中，過aaa三點(diǎn)的截面如圖，可知截面過a點(diǎn).

故選：AD.

?類型6截面周長

【例題1-6]（2023?全國?高一專題練習(xí)）在長方體Z7Z7Z7Z7-口04&中若口口=2,□□==

4,口、儂別為、d口的中點(diǎn)，過點(diǎn)以口、口^團(tuán)體□□□□-口1口&4的一截面，則該截面

的周長為（）

A.6V2B.6V5C.2V5+4V2D.4西+2夜

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，做出截面然后分別計(jì)算各邊長即可得到結(jié)果.

連接。o,過氤迎口□“□□^□i□三彘口,連接0a即可得到截面oom,

因?yàn)橹悬c(diǎn)，所以□]口=；□、□=1,

因?yàn)榭诳?2,口□==4,則口O=V42+22=2>/5,目□口—g□□=V5,

□口=V22+22=2V2,□口=A/22+12=V5

所以截面OOZ75勺周長為2而+V5+2V2+V5=4V5+2V2

故選:D

【變式1-6]1（2023?全國高一專題練習(xí)舊知正四棱柱OOO0-口口1口1口1中?□口、=3口口=12,

點(diǎn)M是線段O&的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段?？谏峡拷麯的三等分點(diǎn)，若正四棱柱OOOO-口[dd口1被

過點(diǎn)4,M,N的平面所截，則所得截面的周長為（）

A.10+8&B.10+7夜C.9+8夜D.9+7夜

【答案】B

【分析】先證明截面四邊形為平行四邊形，再求出截面的邊長相加即得解.

【詳解】解：作出圖形如圖所示.

延長&醒Q,使得￡7。=1,連接MQ,NQ,則截面四邊形口為平行四邊形；

記MQ與BC交于點(diǎn)R,NQ與CD交于點(diǎn)P,

則□、口—4V2,口、￡7=5,

□□=4$+$=3近,0/7=舊+=*￡70=Jl2+g）2=|,

故所得截面的周長為□□+^0=5+372+1+y+472=10+7V2.

故選：B.

【變式1-6】2,（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正方體口。。。一aaaa的棱長為〃，口、a分

別是的中點(diǎn)，O在O4上且滿足2口口,過口、口、a三點(diǎn)作正方體的截面，并計(jì)算

該截面的周長.

【答案】（￥+騫+竿）0

【分析】延長MP交DC的延長線于E,連接NE交BC于G,連接PG,延長PM交口□]的延長線于F,

連接NF交4口，連接MH,則五邊形□□□□為過口、aa三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面，

通過相似三角形及勾股定理計(jì)算依次求得各邊長即可求得結(jié)果.

【詳解】延長MP交DC的延長線于E,連接NE交BC于G,連接PG,延長PM交口□、的延長線于F,

連接NF交&,連接MH,則五邊形口口口口與過口、口、一點(diǎn)的平面截正方體所得的截面.

由已知可得，得□□=Jg+g=等,

口口=2口口〔=網(wǎng)口口=；口口=/得口口=呼+萼=甯,則￡70=g3=照+4爐=

V17Z7

口口1=小口口=合，皿□==,□□=

OOO

2叫原耳=等,

截面五邊形的周長為等+喑+等+宇+等=喑+亭+牛=（乎+蜉+唔a

6128486248\6248/

【變式1-6]3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正方體Z7Z7Z7。-口、0&的棱長為6,E、F分別

是口1口1、O4的中點(diǎn)，則平面CEF截正方體所得的截面的周長為.

［答案］6V13+3V2

【分析】延長EF交DA的延長線于N,連接CN交AB于點(diǎn)G,連接FG；延長FE交O4的延長線于點(diǎn)

M,連接CM交口、&點(diǎn)H,連接EH;則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG則EF+FG+GC+CH

+HE為平面CEF截正方體所得的截面的周長，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解.

【詳解】延長EF交DA的延長線于N,連接CN交AB于點(diǎn)G,連接FG;延長FE交的延長線于點(diǎn)

M,連接CM交aa點(diǎn)H,連接EH;

則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.

BC

??EF分別是&&、7的中點(diǎn)，則易知AN=g。。，

:心=：口口，：.□□=；□□=2,

:.口□=3V2,□□=V13,□□=2V13;

同理，口、□=%□口=2,口口=Vl3,□□=2VT3;

二平面CEF截正方體所得截面的周長為：

EF+FG+GC+CH+HE=3V2+V13+2^13+2Vl3+Vl3=6713+3企.

故答案為：6V13+3V2.

【變式1-6]4.（多選）（2023春?全國?高一專題練習(xí)）已知正四棱柱口口口。一口1口1口1口內(nèi)?□口、=

3口□:12，點(diǎn)。是線段O4的中點(diǎn)，點(diǎn)a是線段上靠近。0勺三等分點(diǎn)，若正四棱柱OO0。-

口i口d4被過點(diǎn)口,口,j勺平面所截，則所得截面多邊形的周長不能為（）

A.10+8&B.10+775c.9+8夜D.9+7夜

【答案】ACD

【分析】先證明截面四邊形a為平行四邊形，再求出截面的邊長相加即得解.

延長4。至Q,使得?！?=1,連接MQ,NQ,

記MQ與BC交于點(diǎn)R,NQ與CD交于點(diǎn)P,

取0a的中點(diǎn)。，連結(jié)口□,所以,郎口[□"□□.目□[□=口口,

所以四邊形a。。。是平行四邊形，得口、□“□□，且口1口=口口

又因?yàn)椤酢酢翱?、口山口口?且口口=口1口、=4,所以四邊形4s&是平行四邊形，

得a□，口3=口、口,

所以□、口,且□□=/jo,所以四邊形是平行四邊形，

則截面為五邊形為口□口口口,

則&ZZ7=4V2,□]口=5,

因?yàn)椤骺诳凇?4口□□,所以需=焉=；,所以?？?3,□□=1,

同理：□□=%,□□=[

口口=V32+32=3V2,□口=舊+,口口=5

3

故所得截面的周長為a￡7+□□+UD+￡71O=5+3V2+^+y+4V2=10+7夜.

故選：ACD

【變式1-6］5.（2023?高一課時(shí)練習(xí)）正方體口0。。一4&&&中作一截面與口&垂直，且和正

方體所有面相交，如圖所示.記截面多邊形面積為。,周長為。，則（）

A.a為定值，冰為定值B.K為定值，型定值

C.3口處為定值D.3口儂不為定值

【答案】B

【分析】先證明1平面。,□口、1平面口功a，進(jìn)而得到截面與平面&和平面a。。

均平行且介于兩平行平面之間，如圖中的六邊形OO/7OZ7Z7,再設(shè)口、口，=口，口、口=□□］口人口€

［0,1］）,根據(jù)幾何關(guān)系討論周長與面積即可.

【詳解】解：如圖，由正方體的性質(zhì)得。01平面□□□□,

因?yàn)閁Uu平面□□□□,OZ7O53正方形，所以口口［1口口,Z7Z71口口

因?yàn)镺&n=口,匚^^口口口「所以0Z71平面05%,

因?yàn)閡平面,所以口￡71口□「

同理可證明0￡7_LUd,

因?yàn)?Hn□□=口口口,DDu平面&口口,所以1平面口□□,

同理可證明O41平面o&a,

所以，所求截面與平面。a4和平面打。磔平行，如圖中的六邊形〃

因洗平面/平面□□□□□□,平面口1口口門平面□□□、□、=□、□I平面□□□、□]n平面

□□□□□□=□口,

所以,I□、口,同理可得0/17〃口、口!I□口tI□]□,,LJLJ//□、□[1

設(shè)&□[=口,口1ZZ7=□□]E[0,1]),則&ZZ7=(1—ZZ7)￡7i

西為口口“,口口I□、口i

所以□□、□「□□=(1-口□、口,

因?yàn)閍￡7=口、□、

所以O(shè)Z27+□□=(1—6□]□+□□[□、=口、□[=V2ZZ7,

同理,□□+□□=□、□],□□+□□=□、□],

所以，截面多邊形的周長為乃3&外正方體邊長)，故a為定值；

當(dāng)□=0時(shí)，該截面多邊形由六邊形變?yōu)檎切?OO,此時(shí)面積為田仔；

當(dāng)O=g時(shí)，該截面多邊形為正六邊形，此時(shí)面積為6X；4口口/=當(dāng)d；

所以，該截面多邊形的面積在變換，故冰為定值.

綜上，冰為定值，孕定值.

?類型7截面面積

【例題1-7](2023?全國?高一專題練習(xí))在棱長為中]正方體。。。。一口1口5口1中，口,去別是

筋形□□□□、正方形勺中心，則過點(diǎn)Z7,D,廳勺平面截正方體的截面面積為.

【答案】知

【分析】連接AC,□［口O4,找到過點(diǎn)A、口、廳勺平面截正方體的截面，確定其形狀，求得截面邊長，

即可求得答案.

【詳解】如圖連接AC,則AC過點(diǎn)M,連接0口則&。經(jīng)過點(diǎn)N,連接O4,

則過點(diǎn)A、口、5勺平面截正方體的截面為等邊4口口口,

因?yàn)檎襟w棱長為。，故4邊長為魚。,面積為亨?（夜守=”‘

故答案為：］4

【變式1-7］1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，正方悻□□□□-40口、4的棱長為6,口］口=

gaa,點(diǎn)。是o/j的中點(diǎn)，則過a,口,z點(diǎn)的平面魂該正方體所得截面的面積為.

【答案】6V41

【分析】過碑口□II，連接4。，作出截面圖形，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得。為平行四

邊形，然后利用平行四邊形面積公式即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)、口乍口□II□口,連接4。,

由面面平行的性質(zhì)可得：四邊形匚匕%平行四邊形，

又因?yàn)檎襟w口1口、口1口1的棱長為6,口1口晨

點(diǎn)。是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)￡70=1,所以S=V22+62=2ViO,

因?yàn)槠叫兴倪呅蜲&DO的高為籍，

所以□□[□□□=2VT0x=6V4J,

故答案為：6V41.

【變式i-7]2(2023?全國?高一專題練習(xí)期悻□□□□-4□[□]&中棱長為a□、儂別是a&、

aa的中點(diǎn)，o是底面口ooo的中心，過口、ag乍截面，則所得截面的面積為.

【答案】:爐##(

【分析】會(huì)口口，口口，□口，□口，口、口、,□□,可證明口口11口口,然后可得截面為梯形。￡700,然后

求出其面積即可.

連接oa□口,□□,□□甩為口、。分別是ad、口口的中點(diǎn),

所以口口11口1口1,因?yàn)榭凇⒖诖诳?所以

因?yàn)閍是口。的中點(diǎn)，所以過以aa乍截面,所得截面為梯形口口口口，

因?yàn)檎襟w的棱長為。，所以口口=垃口,□□若□,□□=□□黨□,

22

所以梯形的高為JgO）-（^￡7）=苧￡7,其面積為gx（苧+夜Z7）x苧口￡?duì)t,

故答案為：，萬

O

【變式1-7]3.（2022春?浙江寧波?高一效實(shí)中學(xué)?？计谥校┺{體□□□□—口】W的棱長為

2,點(diǎn)a口,儂別是棱a口、,口、i。。中點(diǎn)，則過點(diǎn)a口,。三點(diǎn)的截面面積是（）

A.yB.V3C.2V3D.3V3

【答案】D

【分析】作圖作出過點(diǎn)a口,。三點(diǎn)的截面，說明截面為正六邊形，求得邊長皆可求得截面面積.

【詳解】如圖,設(shè)AB的中點(diǎn)為H,連接HR并延長，交DA延長線于E,交DC延長線于F,連接PE交口口

于G,連接QF交&。于I,連接GH,RL則六邊形PQIRHG為過點(diǎn)口,D,。三點(diǎn)的截面，

由題意可知，△□□□*UUU，則Z7￡7=□□=1,

故^口口□任口、O，即G為口。的中點(diǎn),

同理可證I為4。的中點(diǎn)，故可知六邊形PQIRHG為正六邊形，

且邊長為四,

故其面積為6x苧x（夜）2=3V3,即過點(diǎn)口口,。三點(diǎn)的截面面積是3V5,

故選：D

【變式1-7】4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正方體。。。。-口】口口&是棱長為1的正方體，

M是棱O4的中點(diǎn)，過C、□［、M三點(diǎn)作正方體的截面，作出這個(gè)截面圖并求出截面的面積.

【答案】作圖過程見解析，I

O

【分析】連接&D,并延長，交口。延