立體幾何中的截面問題-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學(xué)同步精講精練（人教B版2019必修第三冊）（解析版）

專題〃-3立體幾何中的截面問題

。?？碱}型目錄

題型1棱柱截面問題................................................................................5

?類型1截面形狀.............................................................................5

?類型2其他截面問題........................................................................11

?類型4延長線找交點法.....................................................................12

?類型5平行線法............................................................................17

?類型6截面周長............................................................................24

?類型7截面面積............................................................................30

題型2棱錐微面...................................................................................38

題型3圓柱截面...................................................................................43

題型4圓錐截面問題...............................................................................47

題型5球截面問題.................................................................................48

題型6截面分體積問題.............................................................................51

題型7取值范圍問題...............................................................................60

Q知識梳理

知識點一.截面定義：

1.定義：用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面，與幾何體表面的交集(交

線)叫做截線，與幾何體棱的交集(交點)叫做截點.用一個平面去截一個幾何體所得到的平面圖形稱之為

截面，

2.作截線與截點的主要根據(jù)有：

(1)確定平面的條件

(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線.

(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).

(4)如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行.

(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行。

3.模型分析：作正方體截面圖形的關(guān)鍵是找出截面與正方體表面的交線，而找交線的關(guān)鍵是確定截面與

正方體棱的交點.

(1)平行法模型：平面EFG與平面ABCD有公共點E,且直線FG/平面ABCD,則根據(jù)基本事實三和定理

1可知兩平面的交線I過公共點E且與直線FG平行，如圖1所示.

(2)相交法模型：平面EFG與平面ABCD有公共點E，但是兩個平面內(nèi)均不易找出現(xiàn)成的直線與另一個

平面平行，此時，可以延長FG與平面ABCD交于點H,連接FH,由基本事實三知其為兩平面的交線，如

圖2所示.

(3)平行四邊形法模型：在AiA的延長線上任取點E,在BBi,DDi上任取點F,H,連接EP交AB于點

G,連接EH交AD于點I,以EF、EH為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，可以得出截面與正方體其它棱的交點,如

這里的點，依次連接各交點，五邊形GFJH即為正方體截面圖形，如圖3所示.

此方法比較適用于截面圖形是五邊形、六邊形這種復(fù)雜一點的截面圖形.因為五邊形截面、六邊形截面中,

兩不相鄰邊的延長線的交點一定在正方體棱的延長線上.

知識點二.常見正方體的截面情況:

1.正方體截面的作圖方法

為了更好地詮釋過正方體棱、面、體上不共線三點的截面圖形作法，下面展示以下幾種常規(guī)作圖題型.

2.截面經(jīng)過的三個已知點分別在正方體的棱上

(1)已知的三點E、F、G中任意兩點的連線都在正方體的表面上，直接兩兩連接即得截面圖形，如圖4

所示.

圖4

(2)已知的三點E、FG中任意兩點的連線恰有兩條在正方體的表面上，由平行法或相交法可得截面圖形(如

圖5所示).

平行法思路：連接GF,在平面ABBA內(nèi)過點E作EH//GF,并交AAi于點H,則四邊形EFGH為所求的截

面圖形.

相交法思路：連接FE并延長交DA的延長線于點H,連接GH交AAi于點I,則四邊形EFGH為所求的截

面圖形.

（3）已知的三點E、F、G中任意兩點的連線恰有一條在正方體的表面上，由相交法（作圖思路略）或平行

四邊形法可得截面圖形（如圖6所示）.

平行四邊形法思路：連接FG并延長，交DDi的延長線于點P,連接PE交AiDi于點H,則點H為截面上

一點，以PE、PF為鄰邊做平行四邊形PEQF,則QF與BC的交點I也為截面上的點，則五邊形EIFGH即

為所求的截面圖形.

（4）已知的三點E、F、G中任意兩點的連線都不在正方體的表面上，可以通過做輔助平面的方法轉(zhuǎn)到相交法來

處理（如圖7.

u題型分類

題型1棱柱截面問題

?類型1截面形狀

【方法總結(jié)】

①若已知兩點在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。

②若面上只有一個已知點，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二確定的點。

③若兩個已知點分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個平面的交線與截面的交點。

④若兩平行平面中一個平面與截面有交線，另一個面上只有一個已知點，則按平行平面與第三平面相

交，那么它們的交線互相平行的性質(zhì),可得截面與平面的交線。

⑤若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平面轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題；若已知點在體內(nèi)，則可

通過輔助平面使它轉(zhuǎn)化為面上的點，再轉(zhuǎn)化為棱上的點的問題來解決。

【例題1-1】（2023?全國?高一專題練習(xí)）用平面截正方體，截面不可能是（）

A.菱形B.等腰梯形

C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【分析】舉例即可說明A、B、D正確；假設(shè)截面是正五邊形，經(jīng)分析得出必有兩條截線平行，這與正五邊

形的性質(zhì)相矛盾，即可判斷C項.

【詳解】對于A項，當截面與正方體表面平行，且與正方體相交時，截面為正方形，即截面可能是菱形，

故A項正確；

對于B項，如圖1,當&匚7=&。片&&時，有且□□豐口口,lit時截面。匚Z7R等

腰梯形，故B項正確；

對于C項，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個面內(nèi)，由于正方體有6個面，分成兩兩

平行的三對，故必然有一對平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，

但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形，故C項錯誤;

圖2

對于D項，如圖2,aaaa。儂別為各邊的中心，易證a□，口，□口磔面，且口口口口口小

正六邊形，故D項正確.

故選：c.

【變式1-1]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）用一個平面去截一個正方體，截面邊數(shù)最多有（）

A.5條B.6條C.7條D.8條

【答案】B

【分析】根據(jù)平面及其基本性質(zhì)，結(jié)合圖形進行分析判斷即可得到答案.

【詳解】正方體有六個面，用一個平面去截一個正方體，截面的形狀可能是：三角形、四邊形、五邊形、

六邊形，如圖所示，

因此截面邊數(shù)最多有6條.

故選：B.

【變式1-1]2.（2022?高一課時練習(xí)）如圖，切正方體形狀的土豆塊，思考可以得到哪些類型的多面體？

【答案】一個四面體和一個七面體（或一個三棱錐和一個七面體）

【分析】按截面切正方體即可得到結(jié)果.

【詳解】按照圖中截面切正方體，可得如下圖所示的一個七面體和一個四面體（或一個七面體和一個三棱

推）.

【點睛】本題主要考查了正方體簡單的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題。

【變式1-1]3.（2023?高一課時練習(xí)）一個透明密閉正方體容器恰好盛有該容器一半體積的水，任意轉(zhuǎn)

動這個正方體，則水面的形狀可能是_____.（①三角形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤正六邊形）

【答案】②③④⑤

【分析】因為正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心，結(jié)合正方體

截面圖形的特征判斷即可.

【詳解】因為正方體容器中盛有一半容積的水，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其水面總是過正方體的中心.

過正方體的一條棱和中心可作一截面，截面形狀為矩形，如圖（1）；

過正方體一面上一邊的中點和此邊外的頂點以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，如圖（2）;

過正方體一面上相鄰兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，如圖（3）；

過正方體一面上相對兩邊的中點以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，如圖（4）.

至于截面三角形，過正方體的中心不可能作出截面為三角形的圖形,

故答案為：②③④⑤.

【變式1-1]4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）用一個平面去截直三棱柱。￡7￡7-&。1口,交

□i口、口,口口,。儂別于點a口,口,□.若□【口＞5口】,則截面的形狀可以為.（把你認

為可能的結(jié)果的序號填在橫線上）

①一般的平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形

【答案】②④⑤

【分析】由面a&〃面。口?？傻媒孛娼痪€oo//oo,進一步對口口與a。平行與否進行討論即可.

【詳解】□□□-4&&為直三棱柱，則面&&a〃面?！?￡7,截面過面&a&、面□□□,則

當。冰與人0平行時，此時截得的EH不平行于FG,四邊形梯形；

當口□“口、謝，此時截得的m/S

當□□中□四,四邊形矩形?，當口□=OOB寸，四邊形ODD磔正方形；

故答案為：②④⑤

【變式l-i]5.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知過口4的平面與正方體-相交，

分別交棱,□□[手口,。.則下列關(guān)于截面5勺說法中，不正確的是（）

A.截面5r能懸既B.截面OO4西能是菱形

c.截面。口4口可能是梯形D.截面0044不可能是正方形

【答案】C

【分析】選過特殊點（中點、對角頂點）且含體對角線oa的平面截取正方體，根據(jù)正方體的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)特

征、勾股定理分析各選項的正誤即可.

【詳解】如下圖，當aa分別與對角頂點重合時，顯然怎矩形；

如下圖，當。，。為口4,的中點時，顯然口口。1。是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定理易知：

00&冰可能為正方形；

A------------------B

根據(jù)對稱性，其它情況下班平行四邊形；

綜上,c不正確.

故選：C.

【變式1-1]6.（多選）（2022春?廣東?高一統(tǒng)考期中）在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下

幾種幾何圖形的4個頂點，這些幾何圖形可以是（）

A.旗

B.等腰梯形

C.每個面都是等邊三角形的四面體

D.每個面都是直角三角形的四面體

【答案】ACD

【分析】結(jié)合正方體圖形分析判斷.

【詳解】選擇同一個平面上的四個頂點，得矩形，故A符合題意，B不符合題意；

如圖（1）所示，四面體&。。口的每個面為等邊三角形，故c符合題意；

如圖（2）所示，四面體a口、，的每個面為直角三角形，故D符合題意.

故選：ACD

(1)

（2）

?類型2其他截面問題

【例題1-21（2022?全國?高一假期作業(yè)）用一個平面去截一個幾何體,截面的形狀是三角形，那么這個幾

何體不可能是（）

A.圓錐B.圓柱

C.三棱錐D.正方體

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐、圓柱、三棱錐和正方體的結(jié)構(gòu)特征判斷即可

【詳解】用一個平面去截一個圓錐時，軸截面的形狀是一個等腰三角形，所以A滿足條件;

用一個平面去截一個圓柱時，截面的形狀可能是矩形，可能是圓，可能是橢圓，不可能是一個三角形，所

以B不滿足條件；

用一個平面去截一個三棱錐時，截面的形狀是一個三角形，所以C滿足條件；

用一個平面去截一個正方體時，截面的形狀可以是一個三角形，所以D滿足條件.

故選：B.

?類型3直接法

【方法總結(jié)】

直接連接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交

線的過程.

【例題1-3](2022高一課時練習(xí))在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AC平行，且過正方體三個頂點

的截面是—.

【答案】平面A1C1D,平面A1C1B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，得出與AC平行，且過正方體三個頂點的截面是平面A1C1D，平面A1C1B.

【詳解】解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AC平行，且過正方體三個頂點的截面是平面A1C1D,

平面A1C1B.

1.AA1IICC1,AA1=CC1，，四邊形ACC1A1是平行四邊形;

.'.ACllA1C1,

又ACC平面A1C1D,AlClu平面A1C1D，,ACII平面A1C1D;

同理人。1平面人1口8.

故答案為：平面A1C1D,平面A1C1B.

?類型4延長線找交點法

.?-?-?「一?-，--?-?-?.;?一?一一?-?.:?.?「一?-?-?,?.;?-?-?-，?-?-?-?_--?-二?J

【方法總結(jié)】

作延長線找交點法：

(1)延長同一表面上的兩點所在的直線.

(2)若過這兩點的直線與棱的延長線交于一點，且該點與其他截點共表面，則連接這兩點可得到新

的截點.（3）將新得的截點與已知的截點首尾連線，若所有連線均在表面上，則終止找截點的過程；

否則，重復(fù)步驟（1）

和（2）找出所有的截點，連接截點成截線，從而可得截面.

【例題1-4］（2022?高一單元測試）在長方體口。。。一口［口1口［口］中，口口=4、口口=3,口、為

別為棱□口的中點，點。在對角線a&上，且a。=3,過點口口、a乍一個截面，該截面的

形狀為（）

A.三角形

B.四邊形

C.頊形

D.六邊形

【答案】C

【分析】找到截面與長方體的平面的交線，判斷為五邊形.

【詳解】如圖所示，延長口以口、口「使。。n□、口「□,連接￡74、口口,

0tG

；：\：A

\IXI

I???9、■/

f??、■/

；//N

i??/

jk-f--------------------------

II/“B

y□□=4、□□=3、□、□=3t

1.口、□I=5、□、￡7=2,

,.口儂別為棱。旦的中點，

:,□□—□、□=2I

:ZZ7=6,

...器=第=1,又.、口、.三點共線，

:口aa三點共線一?.打在截面上，

延長￡70、口1口,使□□△口、□=□,連接a0，標□、□□□□=口,

..?O在截面上，

連接￡70、□□,

■:□□“□、口］,且□□=；口］口［

:口□H口比口口=口口,

又％。。中點，口、口、a三點共線，

:口口、片點共線，

截面為五邊形&OSO,

故選：c.

【變式1-4］1.（2022春?貴州黔東南?高一凱里一中?？计谥校┤鐖D，在長方體OZ7Z7O-方方中，

□口=□□=2,0方=3,點E,F分別是棱AB,BC的中點.

（1）求三棱錐O-勺體積；

⑵點E,F,方確定的平面為O,試作出平面。截長方體OZ7Z70-的截面圖，并計算該截面的

面積（不必寫出畫法和理由）

【答案】⑴;

⑵作圖見解析,苧

【分析】（1）由外皿小瑪3/黃么皿XD詢妾求解,

（2）延長DC交EF于點?！?，延長DA交EF于點方，仃仃交口仃與點、M,?！浇?。方于點N,則五邊

形88'%求的截面,%面=口-2x口:

【詳解】（'）口：□…小口2仃口

.?.三棱錐。一0口七是體積為:.

（2）延長DC交EF于點仃，延長DA交EF于點〃'，方交。與點M,方方交￡7。'于點N,

平面板正方體Z7/7/7O-add方的截面圖為五邊形。u（如圖所示）.

=”a,\uu\5□己.

同理=他。1,\nn\=^nd\,

易求得方方=dd=dd=VS2*4+32=3V2,

□白□□\DLJ\=□□=□口=|LJ[J\=V2,

2V3，27V3

-2x：x□□=---

42

該截面的面積為苧.

【變式1-4］2.（2023?全國高一專題練習(xí)）已知正方體。?？冢劭冢菘冢菘诘睦忾L為2,E,F分別

為棱BC,O&的中點，G是棱AB上一點，目□□=2□□過G,E,F三點的平面截該正方體所得截面

為____邊形（橫線上填多邊形的邊數(shù)），該截面多邊形的面積為.

【答案】五##5（舊#哼

OO

【分析】延長。a與a2勺延長線交于點。，連接&口延長口口與da的延長線交于點￡7，連接aa,

設(shè)線段口依線段4口1于點口,趣妾口口,即可得到過G,E,F三點的平面截該正方體所得截面為五邊

形□□□□、口,然后算出其面積即可.

【詳解】

延長oa與的延長線交于點￡7,連接a口，延長。。與aa的延長線交于點口，

因為E,F分別為棱BC,O4的中點，

所以△□□□.□□口,△□□□.□□、口,所以口□=口□=1,□]□=口□=1,

因為需=需=:,所以點a,口,a三點共線，

LJ\LJ\LJLJ\a

連接0D,設(shè)線段a次線段44于點O,連接DO,

則過G,E,F三點的平面截該正方體所得截面為五邊形￡7,

因為△4,所以霽=柴=；,所以&口=2a口,

LJyLJLJ\J

因為a。=□、口=同，口口=3五,所以△口口口中邊口口上的高為」13-（嶗2=亨，

所以口.口□=；x3代x亨=|V17,

因為口△□□□=口&□□口=三口皿□口,所以五邊形OOO4面積為:么gx|VT7=,

故答案為：五；

O

【變式1-4]3.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方陣□□□□—口[口口&中，點Q是棱?？谏?/p>

的動點，則過A,Q,&三點的截面圖形是()

A.等邊三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】由點口是棱上的動點，可考慮a分別在的端點以及中點，故可得過二口、a三點的

截面圖形的形狀.

【詳解】所以當點。與a重合時，過以口、4三點的截面是等邊三角形&；

當點o與看合時，過口、a三點的截面是矩形oa&o；

當點￡7與O4的中點重合時，取口、□、的中彘口，由于砥以又

口口=□□、皿口、口、a三點的截面是等腰梯形。a如圖所示：

所以過。，u,4三點的截面圖形是可能是等邊三角形、矩形或等腰梯形.

故選：D.

?類型5平行線法

【方法總結(jié)】平行線法

平行線法作多面體的截面的基本步驟：

(1)連接同一表面a上的兩點得直線.

(2)過表面a的平行表面B上一截點作的平行線，若該平行線與棱交于一點可得到新的截點。

(3)將新得的截點與已知的截點首尾連線。若所有連線均在表面上，則終止找截點的過程；否則，

重復(fù)步驟（1）和（2）找出所有的截點，連接截點成截線，從而可得截面.

【例題1-5]在正方體Z7Z7OO-口1口1口1口卉,D,儂別為Z7Z7,OO/的中點,則平面。。中證

方體所得的截面多邊形的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】B

【分析】把截面002卜形可得利用四點共面可得.

【詳解】解：如圖，把截面口口塞卜形為四邊形00007,

連接00,,□口1,

因為￡7,。分別為?！?,口的中點,蛆口口11口口1,

又方體ZZ7ZZ7ZZ7ZZ7—ZZZ/Z^/ZZZ,ZZ??中，□□]]□□

所似,則a口力D,口四點共面.

則平面￡70。截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.

故選：B.

【變式1-5]1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如下圖所示,在正方體￡7?？凇ㄒ豢?口1口1口1中,如果點

E是的中點，那么過點&、B、E的截面圖形為（）

A.三角形B.矩形C.正方開?D.菱形

【答案】D

【分析】根據(jù)題意作出截面圖形，然后利用正方體的性質(zhì)求解即可.

【詳解】分別取?？?,的中點aa,連接功□,□口,d□,口□,

如圖aooogp為過點口、B、E截正方體所得的截面圖形,

由題意可知：□、口“□口□、□=DO,所以四邊形&OO%平行四邊形，

所以a,又因為oay口、目口口=□[口1且口、□、=口、i

所以旦&&=,所以四邊形&ooa為平行四邊形，所以d□“□]口'

砥以口、口“□□,同理。所以四邊形a平行四邊形，

又因為〃口=口□,所以平行四邊形a口。。為菱形，

【變式1-5】2.在長方體。Z7S一口1口1口1口1中,點P是棱的中點，畫出過點O',U',但點的

截面。

分析：連結(jié)AiP,因為平面ADDiAi〃平面BCGBi,所以只要過P作AiDi,的平行線就可以了.取CCi

的中點Q連結(jié)PQ則AiDi〃PQ.連結(jié)DiQ得到截面AiPODi（見圖2）.

小結(jié)：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過過點找直線的平行線

找到幾何體與截面的交線.

【變式1-5】3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知在正方體OOL7O-OQQQ?中，口，口,。分別

是口□,口口,。彳。7的中點，則過這三點的截面圖的形狀是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【分析】利用平行畫出截面，進而判斷出正確答案.

【詳解】分別取&&、□、□、的中點口、口、。，連接口□、,

?:在篁方悔口□□□一口、口1口1口、中，口，口,a分別是口口，口口,&&的中點，

???六邊形口口口口。。是過〃，口,。這三點的截面圖,

???過這三點的截面圖的形狀是六邊形.

故選：D

【變式1-5]4.（2023春?全國?高一專題練習(xí)）在正方體。OOZ7-口5口功中,棱長為4‘□、的

別為棱口口的中點，點。在對角線。上，且萬萬=少過，過點々□、Of乍一個截面，該截

面的形狀為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】延長口口，分別交a4與au的延長線于a。，可得截面過口口、。，再根據(jù)直線與面

面相交的性質(zhì)，分別確定截面與各棱的交點位置，進而確定截面的形狀即可.

【詳解】因為反4=西,故a為□□種中氤又□□□□一口、a□、a為正方體，故可延長,

分別交a4與&。的延長線于aa,設(shè)直線ou分別交a口”aa于a口,易得過點。、口、。的

面即平面?？赼

因為少）￡74中點，且/71￡7||□口，W乙□□□=乙口1口口，□□=□]口，4□□□=乙口1口口，所以

△口□口=△口1口口，故□—口口—-口口--□、ZZ7|,即匚71口--口]口0^口、口||□]□,故ZZ7i口—

3口口又外口14的中點，同理可得4口、□□三&d口□,故a□=□[□=3aa,所以&〃=

口1口=3,故殳&&內(nèi).

連接OU交OO于。，綜上可知點。、口、口^防體?□□□□-□1口1口、口[的番氤為五邊形□□□□□.

【變式1-5]5.（2023?全國?高T題練習(xí)）如圖所示，在直四棱柱OOOZ7-a&□、&中，底面ABCD

是等腰梯形，UUW□□,□□=200,乙□□□=60°,四邊形0口。14是正方形.指出棱Z74與平

面口?？诘慕稽cE的位置（無需證明），并在圖中將平面OO&截該四棱柱所得的截面補充完整；

【答案】E為〃&的中點，答案見解析

【分析】E為O4的中點，取?？诘闹悬cE,連接DE,051得答案；

【詳解】E為的中點.作圖如下：如圖，取的中點E,連接DE,&平面即為該

四棱柱所得的截面（可通過證明來判斷）.

【變式1-5]6.（多選）（2022?全國?高一專題練習(xí)）過正方體棱上三點D,E,F（均為棱中點）確定的

截面過點P（點P為BB1中點）有（）

【答案】AD

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)對ABD作出截面后判斷，對C由四點不共面可判斷.

【詳解】A中過a口,a三點的截面如圖，可知截面過a點，

B中過a口,a三點的截面如圖，可知截面不過。點，

c中，aa。在正方體的一個側(cè)面上，而。不在這個側(cè)面上，因此a口,口,。四點不共面，過aaz

點的截面不過a點,

D中，過aaa三點的截面如圖，可知截面過a點.

故選：AD.

?類型6截面周長

【例題1-6]（2023?全國?高一專題練習(xí)）在長方體Z7Z7Z7Z7-口04&中若口口=2,□□==

4,口、儂別為、d口的中點，過點以口、口^團體□□□□-口1口&4的一截面，則該截面

的周長為（）

A.6V2B.6V5C.2V5+4V2D.4西+2夜

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，做出截面然后分別計算各邊長即可得到結(jié)果.

連接。o,過氤迎口□“□□^□i□三彘口,連接0a即可得到截面oom,

因為中點，所以□]口=；□、□=1,

因為口口=2,口□==4,則口O=V42+22=2>/5,目□口—g□□=V5,

□口=V22+22=2V2,□口=A/22+12=V5

所以截面OOZ75勺周長為2而+V5+2V2+V5=4V5+2V2

故選:D

【變式1-6]1（2023?全國高一專題練習(xí)舊知正四棱柱OOO0-口口1口1口1中?□口、=3口口=12,

點M是線段O&的中點，點N是線段?？谏峡拷麯的三等分點，若正四棱柱OOOO-口[dd口1被

過點4,M,N的平面所截，則所得截面的周長為（）

A.10+8&B.10+7夜C.9+8夜D.9+7夜

【答案】B

【分析】先證明截面四邊形為平行四邊形，再求出截面的邊長相加即得解.

【詳解】解：作出圖形如圖所示.

延長&醒Q,使得￡7。=1,連接MQ,NQ,則截面四邊形口為平行四邊形；

記MQ與BC交于點R,NQ與CD交于點P,

則□、口—4V2,口、￡7=5,

□□=4$+$=3近,0/7=舊+=*￡70=Jl2+g）2=|,

故所得截面的周長為□□+^0=5+372+1+y+472=10+7V2.

故選：B.

【變式1-6】2,（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正方體口。。。一aaaa的棱長為〃，口、a分

別是的中點，O在O4上且滿足2口口,過口、口、a三點作正方體的截面，并計算

該截面的周長.

【答案】（￥+騫+竿）0

【分析】延長MP交DC的延長線于E,連接NE交BC于G,連接PG,延長PM交口□]的延長線于F,

連接NF交4口，連接MH,則五邊形□□□□為過口、aa三點的平面截正方體所得的截面，

通過相似三角形及勾股定理計算依次求得各邊長即可求得結(jié)果.

【詳解】延長MP交DC的延長線于E,連接NE交BC于G,連接PG,延長PM交口□、的延長線于F,

連接NF交&,連接MH,則五邊形口口口口與過口、口、一點的平面截正方體所得的截面.

由已知可得，得□□=Jg+g=等,

口口=2口口〔=網(wǎng)口口=；口口=/得口口=呼+萼=甯,則￡70=g3=照+4爐=

V17Z7

口口1=小口口=合，皿□==,□□=

OOO

2叫原耳=等,

截面五邊形的周長為等+喑+等+宇+等=喑+亭+牛=（乎+蜉+唔a

6128486248\6248/

【變式1-6]3.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正方體Z7Z7Z7。-口、0&的棱長為6,E、F分別

是口1口1、O4的中點，則平面CEF截正方體所得的截面的周長為.

［答案］6V13+3V2

【分析】延長EF交DA的延長線于N,連接CN交AB于點G,連接FG；延長FE交O4的延長線于點

M,連接CM交口、&點H,連接EH;則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG則EF+FG+GC+CH

+HE為平面CEF截正方體所得的截面的周長，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解.

【詳解】延長EF交DA的延長線于N,連接CN交AB于點G,連接FG;延長FE交的延長線于點

M,連接CM交aa點H,連接EH;

則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.

BC

??EF分別是&&、7的中點，則易知AN=g。。，

:心=：口口，：.□□=；□□=2,

:.口□=3V2,□□=V13,□□=2V13;

同理，口、□=%□口=2,口口=Vl3,□□=2VT3;

二平面CEF截正方體所得截面的周長為：

EF+FG+GC+CH+HE=3V2+V13+2^13+2Vl3+Vl3=6713+3企.

故答案為：6V13+3V2.

【變式1-6]4.（多選）（2023春?全國?高一專題練習(xí)）已知正四棱柱口口口。一口1口1口1口內(nèi)?□口、=

3口□:12，點。是線段O4的中點，點a是線段上靠近。0勺三等分點，若正四棱柱OO0。-

口i口d4被過點口,口,j勺平面所截，則所得截面多邊形的周長不能為（）

A.10+8&B.10+775c.9+8夜D.9+7夜

【答案】ACD

【分析】先證明截面四邊形a為平行四邊形，再求出截面的邊長相加即得解.

延長4。至Q,使得。￡7=1,連接MQ,NQ,

記MQ與BC交于點R,NQ與CD交于點P,

取0a的中點。，連結(jié)口□,所以,郎口[□"□□.目□[□=口口,

所以四邊形a。。。是平行四邊形，得口、□“□□，且口1口=口口

又因為□□“口、口山口口、,且口口=口1口、=4,所以四邊形4s&是平行四邊形，

得a□，口3=口、口,

所以□、口,且□□=/jo,所以四邊形是平行四邊形，

則截面為五邊形為口□口口口,

則&ZZ7=4V2,□]口=5,

因為△口口□?4口□□,所以需=焉=；,所以?？?3,□□=1,

同理：□□=%,□□=[

口口=V32+32=3V2,□口=舊+,口口=5

3

故所得截面的周長為a￡7+□□+UD+￡71O=5+3V2+^+y+4V2=10+7夜.

故選：ACD

【變式1-6］5.（2023?高一課時練習(xí)）正方體口0。。一4&&&中作一截面與口&垂直，且和正

方體所有面相交，如圖所示.記截面多邊形面積為。,周長為。，則（）

A.a為定值，冰為定值B.K為定值，型定值

C.3口處為定值D.3口儂不為定值

【答案】B

【分析】先證明1平面。,□口、1平面口功a，進而得到截面與平面&和平面a。。

均平行且介于兩平行平面之間，如圖中的六邊形OO/7OZ7Z7,再設(shè)口、口，=口，口、口=□□］口人口€

［0,1］）,根據(jù)幾何關(guān)系討論周長與面積即可.

【詳解】解：如圖，由正方體的性質(zhì)得。01平面□□□□,

因為UUu平面□□□□,OZ7O53正方形，所以口口［1口口,Z7Z71口口

因為O&n=口,匚^^口口口「所以0Z71平面05%,

因為u平面,所以口￡71口□「

同理可證明0￡7_LUd,

因為&Hn□□=口口口,DDu平面&口口,所以1平面口□□,

同理可證明O41平面o&a,

所以，所求截面與平面。a4和平面打。磔平行，如圖中的六邊形〃

因洗平面/平面□□□□□□,平面口1口口門平面□□□、□、=□、□I平面□□□、□]n平面

□□□□□□=□口,

所以,I□、口,同理可得0/17〃口、口!I□口tI□]□,,LJLJ//□、□[1

設(shè)&□[=口,口1ZZ7=□□]E[0,1]),則&ZZ7=(1—ZZ7)￡7i

西為口口“,口口I□、口i

所以□□、□「□□=(1-口□、口,

因為a￡7=口、□、

所以O(shè)Z27+□□=(1—6□]□+□□[□、=口、□[=V2ZZ7,

同理,□□+□□=□、□],□□+□□=□、□],

所以，截面多邊形的周長為乃3&外正方體邊長)，故a為定值；

當□=0時，該截面多邊形由六邊形變?yōu)檎切?OO,此時面積為田仔；

當O=g時，該截面多邊形為正六邊形，此時面積為6X；4口口/=當d；

所以，該截面多邊形的面積在變換，故冰為定值.

綜上，冰為定值，孕定值.

?類型7截面面積

【例題1-7](2023?全國?高一專題練習(xí))在棱長為中]正方體。。。。一口1口5口1中，口,去別是

筋形□□□□、正方形勺中心，則過點Z7,D,廳勺平面截正方體的截面面積為.

【答案】知

【分析】連接AC,□［口O4,找到過點A、口、廳勺平面截正方體的截面，確定其形狀，求得截面邊長，

即可求得答案.

【詳解】如圖連接AC,則AC過點M,連接0口則&。經(jīng)過點N,連接O4,

則過點A、口、5勺平面截正方體的截面為等邊4口口口,

因為正方體棱長為。，故4邊長為魚。,面積為亨?（夜守=”‘

故答案為：］4

【變式1-7］1.（2023?全國?高一專題練習(xí)）如圖，正方悻□□□□-40口、4的棱長為6,口］口=

gaa,點。是o/j的中點，則過a,口,z點的平面魂該正方體所得截面的面積為.

【答案】6V41

【分析】過碑口□II，連接4。，作出截面圖形，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得。為平行四

邊形，然后利用平行四邊形面積公式即可求解.

【詳解】如圖，過點、口乍口□II□口,連接4。,

由面面平行的性質(zhì)可得：四邊形匚匕%平行四邊形，

又因為正方體口1口、口1口1的棱長為6,口1口晨

點。是的中點，所以點￡70=1,所以S=V22+62=2ViO,

因為平行四邊形O&DO的高為籍，

所以□□[□□□=2VT0x=6V4J,

故答案為：6V41.

【變式i-7]2(2023?全國?高一專題練習(xí)期悻□□□□-4□[□]&中棱長為a□、儂別是a&、

aa的中點，o是底面口ooo的中心，過口、ag乍截面，則所得截面的面積為.

【答案】:爐##(

【分析】會口口，口口，□口，□口，口、口、,□□,可證明口口11口口,然后可得截面為梯形?！?00,然后

求出其面積即可.

連接oa□口,□□,□□甩為口、。分別是ad、口口的中點,

所以口口11口1口1,因為口、口川口口,所以

因為a是口。的中點，所以過以aa乍截面,所得截面為梯形口口口口，

因為正方體的棱長為。，所以口口=垃口,□□若□,□□=□□黨□,

22

所以梯形的高為JgO）-（^￡7）=苧￡7,其面積為gx（苧+夜Z7）x苧口￡爐,

故答案為：，萬

O

【變式1-7]3.（2022春?浙江寧波?高一效實中學(xué)校考期中）辿體□□□□—口】W的棱長為

2,點a口,儂別是棱a口、,口、i。。中點，則過點a口,。三點的截面面積是（）

A.yB.V3C.2V3D.3V3

【答案】D

【分析】作圖作出過點a口,。三點的截面，說明截面為正六邊形，求得邊長皆可求得截面面積.

【詳解】如圖,設(shè)AB的中點為H,連接HR并延長，交DA延長線于E,交DC延長線于F,連接PE交口口

于G,連接QF交&。于I,連接GH,RL則六邊形PQIRHG為過點口,D,。三點的截面，

由題意可知，△□□□*UUU，則Z7￡7=□□=1,

故^口口□任口、O，即G為口。的中點,

同理可證I為4。的中點，故可知六邊形PQIRHG為正六邊形，

且邊長為四,

故其面積為6x苧x（夜）2=3V3,即過點口口,。三點的截面面積是3V5,

故選：D

【變式1-7】4.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知正方體。。。。-口】口口&是棱長為1的正方體，

M是棱O4的中點，過C、□［、M三點作正方體的截面，作出這個截面圖并求出截面的面積.

【答案】作圖過程見解析，I

O

【分析】連接&D,并延長，交口。延