高中數(shù)學-雙曲線及其標準方程教學設(shè)計學情分析教材分析課后反思

人教A版選擇性必修第一冊《雙曲線及其標準方程》

教學設(shè)計

一.教學目標

1.了解雙曲線的實際背景，感受雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問

題中的作用.

2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.

3.通過雙曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。

5.提高數(shù)學能力：通過類比橢圓，發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題，猜測合理的

數(shù)學結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作探究論

證數(shù)學結(jié)論。

6.發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

二、教學的重點和難點

重點：雙曲線的幾何特征，雙曲線的標準方程，坐標化的基本思想。

難點：雙曲線形成，標準方程的推導與化簡，坐標法的應(yīng)用。

三、教法、學法分析

根據(jù)這節(jié)課的特點和學生的認知水平，本節(jié)課的教法與學法定為:

引導發(fā)現(xiàn)，問題串教學，由淺入深、層層遞進，將教材還原成生動活

潑的思維創(chuàng)造活動，啟發(fā)學生積極思考，勇于探索，從而使學生產(chǎn)生

濃厚的學習興趣，體現(xiàn)學生的主體地位.在學法的選擇上，采用自主

探究法、實驗操作、觀察發(fā)現(xiàn)法、合作交流法、歸納總結(jié)法.

四、教學過程

結(jié)合教材知識內(nèi)容和教學目標，本課的教學環(huán)節(jié)及時間分配如下:

課堂教學內(nèi)容學生活動設(shè)計意圖

環(huán)節(jié)

情景1.3D動畫，平面截圓錐得截線1.了解圓錐曲線

的原始定義

引入2.學生研究性學習視頻，了解雙曲線在

2.激發(fā)學生學習

現(xiàn)實生活中的應(yīng)用興趣，引入課題

復(fù)習：.到兩個定點距離和為定值的點的

學生類比通過類比橢圓，

軌跡。

橢圓定義發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學

問題，猜測合理

問題1：平面內(nèi)與兩個定點Fl、F2的距

的數(shù)學結(jié)論，培

離之差等于常數(shù)的點軌跡是什么？

問養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題

題方法的能力。

導

入

如圖，、是兩個定點，在線段外

ABPAB通過觀察通過幾何畫

運動，在平面內(nèi)取定點R,F2,以FI為

幾何畫板板演示，為橢圓、

圓心、線段PA為半徑作圓，再以F?為

圓心、線段PB為半徑作圓，M為兩圓交演示，觀雙曲線之間的內(nèi)

點。1F.F1>|AB|

實2察：哪些在關(guān)系留下伏筆

問(1)若IFlF21VlAB|,當點P在

驗線段AB上運動時，那么兩圓相交，其交量不變？

探點M的軌跡是什么？動點在運

究ABP動過程中

滿足什么

幾何條

件？

判斷出動

點軌跡為

橢圓.

學生觀察：通過觀察引導學生類比橢

圓的生成過程思

(2)若IFlF2|>IAB|.幾何畫板

考雙曲線的生成

讓點P在線段AB外運動，演示，過程，進而找到

雙曲線滿足的幾

問：這時交點M滿足什么幾何條件？哪些量不

何條件，培養(yǎng)學

兩圓的交點M的軌跡是什么形狀？變？生的數(shù)學抽象能

動點在運力.

使用拉鏈驗證，

PAB動過程中

使學生從感官上

滿足什么

認同

幾何條

件？

生：MF1-MF2=PA-PB=AB為常數(shù).

并得出雙

師：（1）僅有一個條件嗎？

曲線一般

生：|FlF2|>|AB|.

結(jié)論

師：（2）僅有一條嗎？

生：兩條

MF「MF2=PA-PB=-AB為常數(shù).

師：||MFi|-1昵||=常數(shù)

師：||MF,|-|MF2I|=常數(shù)=0?

生：非零常數(shù)，構(gòu)成三角形

拉鏈驗證，確認

雙曲線定義：學生歸要想用探究結(jié)論

我們把平面內(nèi)與兩個定點幾B的距離納，抽象作為雙曲線的定

定的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于出雙曲線義，用呆證它足夠

義HBD的點的軌跡叫做雙曲線.定義，并嚴密、起懶。

生①兩個定點Fl、F2——雙曲線的焦點；對問題繼使學生養(yǎng)成思維

成②|FlF2|=2c——焦距.續(xù)深化問嚴謹、規(guī)范表達

問題：這個常數(shù)可以是任意正實數(shù)嗎？題。的科學態(tài)度。

有什么限制條件嗎？

若(1)常數(shù)=1F1F2|

(2)常數(shù)》IF1F2|，情況會發(fā)生什么

變化？

師：(1)類比橢圓的方程，如何求這優(yōu)類比橢圓1.讓學生進一

美的曲線的方程？學生進行步熟悉直接法求

(2)橢圓標準方程的推導過程的步驟？

化簡，兩方程的步驟及策

方生：1.建系個學生板略

程

如圖，以后,尸2所在直線為X演。2.化簡過程中

推軸，線段昆巳的垂直平分線、1彳

導運算量較大，提

為y軸，建立直角坐標系明,x

高運算技能可以

提升學生數(shù)學運

2.設(shè)點

算素養(yǎng)

設(shè)M(x,y)港雙曲線上任意一點，

3.學會引入?yún)?/p>

1F11=2c,則尸式―c,0),/(c,。)

數(shù)，使結(jié)構(gòu)簡潔

3.列式

優(yōu)美，體會簡潔

師：定義中的等量關(guān)系是什么？取什么

對稱的方程帶來

參數(shù)？

的便捷。

生：=2a

師：為什么取2a?

J(x+c)2+y2—V(x—c)24-y2=+2c

學生進行化簡

(c2-a2)x2--a2y2——Q2)

Z1

學生要理

22

xy--1

222

ac—a解化簡過

類比橢圓b的兒

令c2—a2=b2,其中b>0,

程中如何

何意義，形成方

/—廬=l(a>0,b>0)

引入?yún)?/p>

師：(1)為什么要兩邊除以di-a?)?法遷移，體會圓

數(shù)。

(2)令/-a?=反的機理是什么？在本節(jié)課的應(yīng)用

(3)為什么要令b>0?

類比橢圓回答

師：你能在y軸上找一點B,使得|0B|=b

嗎？

學生小組

\討論，尋

z找最優(yōu)方

A3/%法。

/i\c2=a2+h2

師：當雙曲線焦點在y軸上時

通過類比

類比橢圓

2/橢圓的兩

*-*=l(a>0,b>0)

種標準方

兩種標準方程的比較:程，得出

定義售

\\MF^-\MF2\\^2a(0<2a<LI)/、、工點在y

1

和1上的雙

圖形￡匕

71t由1線標準

x2y2y22

標準方程x程，進

^-p=l(a>0,b>0)^-^=l(a>0,b：

Grbfcc2=a24-b2,c2=a2+b2,—?步總結(jié)

關(guān)系c>a>Q,c>b>Qc>a>0,c>b>0

焦點坐標(一c,O),(c,0)(0,-c),(0,c)1雙曲線

標準方程

問：怎樣根據(jù)雙曲線的標準方程判斷焦

的特征.

點位置？

類比橢圓

橢圓要看分母，焦點跟著大的走

為蹴靛搬，讖藕孤犍知識與學生反思培養(yǎng)學生大局

歸技能？本節(jié)課學觀，不僅橫向研

納

習過程。究還要縱向把

總

結(jié)握，形成學術(shù)探

究的基本能力。

1、必做：課本P121練習1-3學生課后鞏固深化所學知

課2、選做課本P121練習4I------------1獨立完成識

橢圓標

后習題3.22題.準勺程

類

比

作

?------------1類I

橢圓的雙曲線定r雙曲線

正義1—]?標準方

形q

1引進參

數(shù)a與b

2.K拓展R本節(jié)課中三次用到圓來解決對學習過程中解

問題，它的原理是什么？決問題所用到的

工具圓作深刻反

思。

3.對圓、橢圓、雙曲線作橫向總結(jié)，并視頻觀賞數(shù)學不僅僅是運

賦詩一首，開啟幾何性質(zhì)的預(yù)演。算、思維，還有

詩和優(yōu)美。

業(yè)

新人教A版選修1《雙曲線及其標準方程》

學情分析

高二（1）班是一個物化地班級，學生數(shù)學基礎(chǔ)扎實，課堂接受

容量較高。學生已經(jīng)掌握了橢圓的定義及標準方程以及圓錐曲線的研

究方法，能夠通過引導自主歸納雙曲線定義、推導雙曲線的方程。本

節(jié)課中學生要經(jīng)歷直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等過程，整個過程

對學生數(shù)學核心素養(yǎng)要求較高，因此對于物化地學生來說，本節(jié)課從

雙圓錐截面所得曲線出發(fā)，從直觀地立體幾何體中得到平面曲線，進

而進行雙曲線圖象的探究活動，通過幾何畫板直觀地展示圖象的生成

過程。學生在過程中既動手操作，又能夠直觀地感知圖象的來源，符

合學生的認知水平。雙曲線標準方程的化簡過程，是在已經(jīng)推導出橢

圓標準方程的基礎(chǔ)上進行，學生通過類比便可以自主探究，但對于一

部分運算能力差的學生，絕對值和根號的化簡仍舊是個難點。

效果評價

袁老師的課堂聲音抑揚頓挫，整節(jié)課充分調(diào)動學生的興趣和注意.

學生通過探究，總結(jié)，討論，展示做題過程等形式讓學生積極參與課

堂，提高課堂效率.雖然隔著屏幕仍然能感受到老師和諧的師生關(guān)系

以及學生較好的數(shù)學素養(yǎng)，學生默契的配合老師的教學，從而產(chǎn)生思

維共振和感情共鳴.

課堂設(shè)計的問題，給與學生充分探索的空間，這種探索雙曲線定

義及其標準方程的方法和過程一方面是對橢圓知識的再認識，另一方

面也使學生在探索中增強了類比、觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、歸納的能力.

整節(jié)課教師都采用類比的方法，讓學生去推導，去探索，效果不錯，

對于后續(xù)拋物線的學習可以放手給學生了.3D動畫引入,讓學生直觀

的觀察到圓錐曲線的由來，激發(fā)了學生探究它的熱情，結(jié)尾富有詩情

畫意的小詩，即點名了雙曲線的本質(zhì)，有為后續(xù)的學習指明了方向，

數(shù)學課不應(yīng)只有計算和推理，也應(yīng)該有詩和遠方.

教材分析

《雙曲線及其標準方程》是新課程人教A版選擇性必修第一冊，

第三章第2節(jié)第一課時。這一節(jié)是在學習了橢圓的基礎(chǔ)上，運用類比的

方法進行研究，使學生體會聯(lián)系、發(fā)展攀諭正觀點。以多媒體課件為平臺，直

觀生動地對定義進行探究和對標準方程進行推導，使學生體驗到數(shù)學發(fā)現(xiàn)

和倉峭的即呈進而培養(yǎng)學生提出問題、解決問題等研究性學習的育助。如果

雙曲線研究的透徹清楚，那么拋物線的學習就會順理成章，所以說

本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙

曲線的簡單性質(zhì)的學習打下基礎(chǔ)。也為后面的拋物線及其標準方程

做鋪墊。雙曲線是圓錐曲線中一個重要的幾何模型，有許多幾何性

質(zhì)，這些性質(zhì)在日常生活，生產(chǎn)和科學技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。同

時它也是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要素材。雙曲線、橢圓、拋物線這

三種圓錐曲線方程，是平面解析幾何的核心內(nèi)容。雙曲線及其標準

方程的概念與橢圓及其標準方程相類似，教材處理也相仿。學好本

節(jié)課內(nèi)容是學好圓錐曲線關(guān)鍵之一，對后面能進一步理解掌握由曲

線求方程和由方程討論曲線性質(zhì)，從而借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，把

形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究，再把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論，這是解

析幾何的基本思想和基本方法，從而提高學生分析問題，解決問題

的能力。

通過本節(jié)課的學習，可以幫助學生在平面直角坐標系中認識雙曲

線的幾何特征，建立它的標準方程，運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲

線的性質(zhì)，以及它們的位置關(guān)系，運用平面解析幾何方法解決簡單的

數(shù)學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學思想。

在平面解析幾何的教學中，應(yīng)引導學生經(jīng)歷以下過程，首先通過

實例了解幾何圖形的背景；進而，結(jié)合情景清晰地描述圖形的兒何特

征與問題；再結(jié)合具體問題，合理地建立坐標系，用代數(shù)語言描述這

些特征與問題；最后，借助幾何圖形的特點，形成解決問題的思路,

通過直觀想象和代數(shù)運算得到結(jié)果，并給出幾何解釋，解決問題。

應(yīng)充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，通過計算機軟件向?qū)W生演示方程中

參數(shù)的變化對方程所表示的曲線的影響，使學生進一步理解曲線與方

程的關(guān)系

在教學中可以組織學生收集、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的

歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發(fā)展的過程、重要結(jié)果、

主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻。

評測練習

A層

1、寫出滿足條件的雙曲線的標準方程

(l)a=4,b=3,焦點在x軸上；

(2)經(jīng)過點力(1,空用)，且a=4；

(3)經(jīng)過點力(2,羋)，8(3,-272);

2222

2、若橢圓指X+=V=1和雙曲線XF—￡V=1有相同的焦點，則實數(shù)〃的

34nn16

值是.

B層

22

XV

3、已知方程三十^^=1的圖形是雙曲線，那么A的取值范圍是

4、已知A(-5,0),￡(-5,0),動點P滿足|P￡|-|P6|=2”,當a為

3和5時，點P的軌跡分別是____________________________________

22

5、已知E,￡是雙曲線±—21=1的左、右焦點，若P是雙曲線左支

916

上的點，且附卜歸鳥|=32,求明尸鳥的面積.

雙曲線及其標準方程教學反思

在本節(jié)課的教學中，重點放在定義的形成與標準方程的推導上，

符合新課標重視過程與方法的理念。本節(jié)課可以充分調(diào)動學生已有的

知識，引導學生把新舊知識有機融合，掌握知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。時時與

橢圓進行比較，強化學生已經(jīng)理解和掌握了的建系求曲線方程的步驟。

在引導分析時，先留出“空白”，讓學生去聯(lián)想、探索，同時鼓勵學

生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見。圍繞學生的最近發(fā)展區(qū)鋪設(shè)問題，

把思路方法和需要解決的問題弄清。然后運用多種教學方法，使學生

獲得自信和成功的體驗，于不知不覺中改善了他們的思維品質(zhì)，提高

了數(shù)學思維能力。

尤其值得一提的是信息技術(shù)在本課的應(yīng)用。運用多媒體課件輔助教學,

既節(jié)省了板演的時間，又充分顯示出信息技術(shù)與探究合作式教學理念

有機結(jié)合的教學優(yōu)勢。

1.從雙圓錐截面所得的曲線入手，播放提前錄制的微課視頻使學生觀

看，通過觀察學生發(fā)現(xiàn)可以截到三種不同的曲線，可以激發(fā)學生學習

興趣，并很自然地過渡到本節(jié)課的主題：雙曲線及其標準方程。

2.本節(jié)課在新教材中引入環(huán)節(jié)進行了較大的改動，考慮幾何畫板追蹤

點的軌跡可以更精確地得到雙曲線的圖象，因此本節(jié)課在幾何畫板上

下了功夫。讓學生先自主思考探究