新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章末綜合提升教師用書（含答案）

第4章章末綜合提升類型1指數(shù)與對數(shù)的運算1．本章主要學(xué)習了指數(shù)冪的運算、對數(shù)的運算性質(zhì)及換底公式，其中指數(shù)與對數(shù)的互化、應(yīng)用相應(yīng)運算性質(zhì)化簡、求值是考查的重點．2．掌握指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．【例1】(1)(多選)(2022·云南師大附中期中)下列計算正確的是()A．9412－(6)0－B．12-log2C．log23×log34＝log67D．lg25＋23lg8－lg200＋lg2＝(2)(2022·江蘇礦大附中月考)若實數(shù)a，b，c滿足3a＝4，4b＝5，5c＝9，則abc＝________．(1)ABD(2)2[(1)對于A中，原式＝32－1－32＝－1，所以對于B中，原式＝12log127＋ln(lne)＝7＋0對于C中，原式＝lg3lg2×lg22lg3對于D中，原式＝lg52＋23lg2－lg200＋lg2＝2(lg5＋lg2)－lg2002＝2－2＝0，所以D正確．故選ABD(2)因為3a＝4，4b＝5，5c＝9，所以a＝log34，b＝log45，c＝log59，故abc＝log34×log45×log59，由換底公式可得：abc＝log34×log35log34×log39log類型2指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1．函數(shù)y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱，前者恒過(0，1)點，后者恒過(1，0)點，兩函數(shù)的單調(diào)性均由底數(shù)a決定．在解題中要注意由翻折、平移等變換得出的函數(shù)圖象．2．掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的作法以及簡單的圖象平移、翻折變換，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．【例2】(1)已知a>0且a≠1，則函數(shù)f(x)＝ax和g(x)＝loga-1x的圖象只可能是(ABCD(2)已知函數(shù)f(x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b為常數(shù))的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>0，b<－1 B．a(chǎn)>0，－1<b<0C．0<a<1，b<－1 D．0<a<1，－1<b<0(1)C(2)D[(1)函數(shù)g(x)的定義域是(－∞，0)，排除A，B；若0<a<1，則f(x)＝ax是減函數(shù)，此時g(x)＝loga-1x是減函數(shù)，C，D都不滿足；若a>1，則f(x)＝ax是增函數(shù)，此時g(x)＝loga-1(2)因為函數(shù)f(x)＝loga(x－b)為減函數(shù)，所以0<a<1，又因為函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸上，所以x＝1＋b>0，即b>－1，又因為函數(shù)圖象與y軸有交點，所以b<0，所以－1<b<0，故選D．]類型3指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用1．以函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算考查函數(shù)的圖象性質(zhì)，以及利用性質(zhì)進行大小比較、方程和不等式求解等．在解含對數(shù)式的方程或不等式時，不能忘記對數(shù)中真數(shù)大于0，以免出現(xiàn)增根或擴大范圍．2．掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng)．【例3】(1)若0<x<y<1，則()A．3y<3x B．logx3<logy3C．log4x<log4y D．1(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù)(3)已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函數(shù)f(x)＝logax在區(qū)間[a，3a]上的最大值與最小值之差為1．①求a的值；②若1≤x≤3，求函數(shù)y＝(logax)2－logax＋2的值域．(1)C(2)A[(1)因為0<x<y<1，則對于A，函數(shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，故3x<3y，A錯誤．對于B，根據(jù)底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)y＝logax的影響：當0<a<1時，在x∈(1，＋∞)上“底小圖高”．因為0<x<y<1，所以logx3>logy3，B錯誤．對于C，函數(shù)y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故log4x<log4y，C正確．對于D，函數(shù)y＝14x在R上單調(diào)遞減，故14x>(2)由題意可得，函數(shù)f(x)的定義域為(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．又f(x)＝ln1+x1-x＝ln21-x-1，易知y＝21-x－1在(0，(3)[解]①因為loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a，3a]上為增函數(shù)．又f(x)在[a，3a]上的最大值與最小值之差為1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3．②函數(shù)y＝(log3x)2－log3x＋2＝(log3x)2－12log3x＋2＝令t＝log3x，因為1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1．所以y＝t-142所以所求函數(shù)的值域為31類型4函數(shù)的零點與方程的根1．函數(shù)的零點就是相應(yīng)方程的根，是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標．因此，判斷函數(shù)零點的個數(shù)問題常轉(zhuǎn)化為方程根的求解或兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題．零點存在定理是判斷函數(shù)是否存在零點的一種方式，注意其使用條件：(1)連續(xù)性；(2)異號性．2．掌握函數(shù)零點存在定理及轉(zhuǎn)化思想，提升邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)．【例4】(1)方程x34＝12x的根A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(2)已知函數(shù)f(x)＝x，x≤m，x2-2mx+4m，x>m，其中m＞(1)B(2)(3，＋∞)[(1)令f(x)＝x34－12x，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，f(1)＝14－12<0，f(2)∴f(1)·f(2)<0，∴f(x)在(1，2)上有零點．故選B．(2)如圖，當x≤m時，f(x)＝|x|．當x＞m時，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數(shù)．若存在實數(shù)b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2m·m＋4m＜|m|．∵m＞0，∴m2－3m＞0，解得m＞3．故m的取值范圍為(3，＋∞)．]類型5函數(shù)的實際應(yīng)用1．本章主要學(xué)習了兩類函數(shù)模型：一類是指數(shù)型函數(shù)模型，通常可表示為y＝a(1＋p)x(其中a為原來的基數(shù)，p為增長率，x為時間)；另一類是對數(shù)型函數(shù)模型，通?？杀硎緸閥＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a>0，a≠1，m≠0)．解決的關(guān)鍵是依據(jù)實際情況所提供的數(shù)據(jù)求得相應(yīng)解析式，然后利用相應(yīng)解析式解決實際問題．2．掌握函數(shù)建模方法，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．【例5】某工廠生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的廢氣必須經(jīng)過過濾后才能排放，已知在過濾過程中，廢氣中的污染物含量p(單位：毫克/升)與過濾時間t(單位：時)之間的關(guān)系為p(t)＝p0e－kt(式中的e為自然對數(shù)的底數(shù)，p0為污染物的初始含量)．過濾1小時后，檢測發(fā)現(xiàn)污染物的含量減少了15(1)求函數(shù)關(guān)系式p(t)；(2)要使污