高等應用數(shù)學 課件 11.2 行列式的性質(zhì)與計算

第11章線性代數(shù)§11.1行列式的概念§11.2行列式的性質(zhì)與計算§11.3線性方程組（m=n）的解法§11.4矩陣的概念與性質(zhì)§11.5逆矩陣§11.6矩陣的初等變換§11.7矩陣的秩§11.8線性方程組（）的解法§11.2行列式的性質(zhì)與計算

一、行列式的性質(zhì)

二、行列式的計算內(nèi)容提要第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction一、行列式的性質(zhì)我們將引入行列式的6條性質(zhì)，這些性質(zhì)和它們的推論可以簡化行列式的計算.一、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例1若

，則??所以第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction性質(zhì)2交換行列式的兩行(列)，行列式的值僅改變符號.例2(1)(第二、三行互換）

(2)(第二、三列互換）

推論

若行列式中有兩行(列)的對應元素相同，則此行列式為零.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction推論

若行列式中有兩行(列)的對應元素相同，則此行列式為零.例3(1)(第一、二行相等）

(2)(第二、三列相等）

推論1

行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.推論2

行列式中若有兩行(列)對應元素成比例，則此行列式為零.第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction因為第一列與第二列成比例，即第二列是第一列的4倍.

例4(1)(2)第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例5若

求解

利用行列式性質(zhì)3，有第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction則性質(zhì)4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和,例如，第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction例7（1）

（2）第一節(jié)多元函數(shù)MultipleFunction左式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不變.左式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不變例8(1)(2)性質(zhì)6行列式等于它的任一行（列）的所有元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即（1）可按行列式的任一行（列）展開計算行列式的值。（2）計算行列式的值時，應選擇0足夠多的那一行（列）將行列式展開。推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素換成第2行的對應元素，則性質(zhì)6行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得例9計算行列式解例10計算行列式解

注：計算行列式時，選擇先按零元素多的行或列展開可大大簡化行列式的計算，這是計算行列式的常用技巧之一.

二、行列式的計算常用的計算行列式的方法：1.計算二階和三階行列式時可用對角線法則.2.階行列式常用的計算方法：

（1）定義法：按某行（列）展開（一般選擇零元素較多的行或列展開）（2）化三角形法：利用行列式的性質(zhì)，把它逐步化為上(或下)三角形行列式，這時行列式的值就是對角線上元素的乘積．這種方法一般稱為“化三角形法”．

（3）降階法：先利用行列式的性質(zhì)把某一行(或列)的元素化為僅有一個非零元素，然后再按這一行(或列)展開，轉(zhuǎn)化為低階行列式的計算．例11計算行列式解化三角形法例12計算行列式解化零降階法例13計算行列式解化零降階法例14計算該行列式的特點是每一行元素的和都等于同一個數(shù)6，故把第2，3，4行同時加到第1行，可提出公因子6，再由各行減去第一行化為上三角形行列式.解注：仿照上述方法可得到更一般的結(jié)果:例15計算行列式解

此行列式稱為四階范德蒙行列式，按照同樣的方法可求出

階范德蒙行列式的