專題12 球體的外接與內(nèi)切小題綜合（含解析）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通）

專題12球體的外接與內(nèi)切小題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1直接求球的表面積與體積及相關(guān)應(yīng)用（10年3考）2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2020·山東卷、2017·上海卷理解、掌握球體的表面積公式和體積公式，熟練掌握不同模型的球體的外接球和內(nèi)切球的相關(guān)計(jì)算，會(huì)利用（二級(jí)）結(jié)論快速解題本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般有特殊幾何體、墻角問(wèn)題、對(duì)棱相等、側(cè)棱垂直于底面、側(cè)面垂直于底面的外接內(nèi)切問(wèn)題，需強(qiáng)化復(fù)習(xí).考點(diǎn)2正方體與長(zhǎng)方體中的球體切接問(wèn)題（10年4考）2023·全國(guó)甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷考點(diǎn)3圓錐與圓柱中的球體切接問(wèn)題（10年3考）2021·天津卷、2020·全國(guó)卷、2017·江蘇卷考點(diǎn)4棱錐與棱臺(tái)中的球體切接問(wèn)題（10年5考）2023·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2021·全國(guó)甲卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷考點(diǎn)5球體切接問(wèn)題中的最值及范圍問(wèn)題（10年5考）2023·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2018·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)01直接求球的表面積與體積及相關(guān)應(yīng)用1．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%2．（2020·山東·高考真題）已知球的直徑為2，則該球的體積是.3．（2017·上海·高考真題）已知球的體積為，則該球主視圖的面積等于考點(diǎn)02正方體與長(zhǎng)方體中的球體切接問(wèn)題1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)．2．（2020·天津·高考真題）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2017·天津·高考真題）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為.4．（2016·全國(guó)·高考真題）體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為A． B． C． D．5．（2016·全國(guó)·高考真題）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為.考點(diǎn)03圓錐與圓柱中的球體切接問(wèn)題1．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．2．（2020·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．3．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是考點(diǎn)04棱錐與棱臺(tái)中的球體切接問(wèn)題1．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．2．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．4．（2020·全國(guó)·高考真題）已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．5．（2020·全國(guó)·高考真題）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．6．（2019·全國(guó)·高考真題）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．考點(diǎn)05球體切接問(wèn)題中的最值及范圍問(wèn)題1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是．3．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2018·全國(guó)·高考真題）設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．5．（2016·全國(guó)·高考真題）在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，若，，，，則該球體積V的最大值是A． B． C． D．6．（2015·全國(guó)·高考真題）已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．專題12球體的外接與內(nèi)切小題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1直接求球的表面積與體積及相關(guān)應(yīng)用（10年3考）2021·全國(guó)新Ⅰ卷、2020·山東卷、2017·上海卷理解、掌握球體的表面積公式和體積公式，熟練掌握不同模型的球體的外接球和內(nèi)切球的相關(guān)計(jì)算，會(huì)利用（二級(jí)）結(jié)論快速解題本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般有特殊幾何體、墻角問(wèn)題、對(duì)棱相等、側(cè)棱垂直于底面、側(cè)面垂直于底面的外接內(nèi)切問(wèn)題，需強(qiáng)化復(fù)習(xí).考點(diǎn)2正方體與長(zhǎng)方體中的球體切接問(wèn)題（10年4考）2023·全國(guó)甲卷、2020·天津卷、2017·天津卷2016·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷考點(diǎn)3圓錐與圓柱中的球體切接問(wèn)題（10年3考）2021·天津卷、2020·全國(guó)卷、2017·江蘇卷考點(diǎn)4棱錐與棱臺(tái)中的球體切接問(wèn)題（10年5考）2023·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)新Ⅱ卷、2021·全國(guó)甲卷、2020·全國(guó)卷、2020·全國(guó)卷、2019·全國(guó)卷考點(diǎn)5球體切接問(wèn)題中的最值及范圍問(wèn)題（10年5考）2023·全國(guó)甲卷、2022·全國(guó)乙卷、2022·全國(guó)新Ⅰ卷、2018·全國(guó)卷、2016·全國(guó)卷、2015·全國(guó)卷考點(diǎn)01直接求球的表面積與體積及相關(guān)應(yīng)用1．（2021·全國(guó)新Ⅰ卷·高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.2．（2020·山東·高考真題）已知球的直徑為2，則該球的體積是.【答案】【分析】根據(jù)公式即可求解.【詳解】解：球的體積為：,故答案為：3．（2017·上海·高考真題）已知球的體積為，則該球主視圖的面積等于【答案】【詳解】由球的體積公式，可得，則，所以主視圖的面積為.考點(diǎn)02正方體與長(zhǎng)方體中的球體切接問(wèn)題1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，的中點(diǎn)，以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn)．【答案】12【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，所以以EF為直徑的球面與正方體棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.故答案為：122．（2020·天津·高考真題）若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出正方體的體對(duì)角線的一半，即為球的半徑，利用球的表面積公式，即可得解.【詳解】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即，所以，這個(gè)球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的外接球的表面積的求法，求出外接球的半徑是本題的解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.求多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題，常用方法有：（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.3．（2017·天津·高考真題）已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為.【答案】【詳解】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則，外接球直徑為.【考點(diǎn)】球【名師點(diǎn)睛】求多面體的外接球的面積和體積問(wèn)題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑；（3）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過(guò)兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心，本題就是第三種方法.4．（2016·全國(guó)·高考真題）體積為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因?yàn)檎襟w的體積為8，所以棱長(zhǎng)為2，所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以正方體的外接球的半徑為，所以該球的表面積為，故選A.【考點(diǎn)】正方體的性質(zhì)，球的表面積【名師點(diǎn)睛】與棱長(zhǎng)為的正方體相關(guān)的球有三個(gè)：外接球、內(nèi)切球和與各條棱都相切的球，其半徑分別為、和.5．（2016·全國(guó)·高考真題）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為3,2,1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為.【答案】【詳解】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為球的直徑，則，，則球的表面積為.考點(diǎn)03圓錐與圓柱中的球體切接問(wèn)題1．（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為，兩個(gè)圓錐的高之比為，則這兩個(gè)圓錐的體積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，計(jì)算球體的半徑，可計(jì)算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計(jì)算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設(shè)兩個(gè)圓錐的底面圓圓心為點(diǎn)，設(shè)圓錐和圓錐的高之比為，即，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因?yàn)椋?，，所以，，，因此，這兩個(gè)圓錐的體積之和為.故選：B.2．（2020·全國(guó)·高考真題）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為．【答案】【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，

由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.3．（2017·江蘇·高考真題）如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是【答案】【詳解】設(shè)球半徑為，則．故答案為．點(diǎn)睛:空間幾何體體積問(wèn)題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．考點(diǎn)04棱錐與棱臺(tái)中的球體切接問(wèn)題1．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因?yàn)椋?，解?故答案為：2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解；（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．2．（2022·全國(guó)新Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

3．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.4．（2020·全國(guó)·高考真題）已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．（2020·全國(guó)·高考真題）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問(wèn)題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面.6．（2019·全國(guó)·高考真題）已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．【答案】D【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對(duì)角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題．可通過(guò)線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．考點(diǎn)05球體切接問(wèn)題中的最值及范圍問(wèn)題1．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是．【答案】【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng)，即，故；

分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：3．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．故選：C.【點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．3