專題05 排列組合與二項式定理（含解析）- 十年（2015-2024）高考真題數(shù)學分項匯編（全國用）

專題05排列組合與二項式定理（含解析）-十年（2015-2024）高考真題數(shù)學分項匯編（全國通用）專題05排列組合與二項式定理考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1排列組合綜合（10年8考）2024·全國甲卷、2023·全國甲卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2021·全國甲卷、2021·全國甲卷、2020·海南卷、2020·山東卷、2019·全國卷、2017·全國卷、2016·全國卷、2016·四川卷、2016·全國卷理解、掌握排列與組合的定義，會計算排列數(shù)與組合數(shù)，熟練掌握排列組合的解題方法排列組合是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會和分類加法原理與分步乘法原理結合在小題中考查，需重點復習理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關基本量的求解，會三項式、乘積式的相關計算二項式定理是新高考卷的?？純?nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關最大（?。╉椨嬎悖柚攸c強化復習考點2二項式定理綜合（10年8考）2024·北京卷、2022·北京卷、2020·北京卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·全國卷、2016·四川卷、2015·全國卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考點01排列組合綜合1．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．203．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種6．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．8．（2021·全國乙卷·高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種9．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.810．（2021·全國甲卷·高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．11．（2020·海南·高考真題）要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種12．（2020·山東·高考真題）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種13．（2019·全國·高考真題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．14．（2017·全國·高考真題）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A．12種 B．18種 C．24種 D．36種15．（2016·全國·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A．24 B．18 C．12 D．916．（2016·四川·高考真題）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為A．24 B．48C．60 D．7217．（2016·全國·高考真題）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A．18個 B．16個C．14個 D．12個考點02二項式定理綜合1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．3．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．104．（2020·全國·高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．205．（2019·全國·高考真題）（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．246．（2018·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．807．（2017·全國·高考真題）(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．808．（2017·全國·高考真題）展開式中的系數(shù)為A． B．C． D．9．（2016·四川·高考真題）設i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix410．（2015·全國·高考真題）的展開式中，的系數(shù)為A．10 B．20C．30 D．6011．（2015·陜西·高考真題）二項式的展開式中項的系數(shù)為，則A．4 B．5 C．6 D．712．（2015·湖南·高考真題）已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則等于（

）．A． B． C． D．13．（2015·湖北·高考真題）已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（

）．A． B． C． D．專題05排列組合與二項式定理考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1排列組合綜合（10年8考）2024·全國甲卷、2023·全國甲卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷、2021·全國甲卷、2021·全國甲卷、2020·海南卷、2020·山東卷、2019·全國卷、2017·全國卷、2016·全國卷、2016·四川卷、2016·全國卷理解、掌握排列與組合的定義，會計算排列數(shù)與組合數(shù)，熟練掌握排列組合的解題方法排列組合是新高考卷的?？純?nèi)容，一般會和分類加法原理與分步乘法原理結合在小題中考查，需重點復習理解、掌握二項式定理的通項公式，會相關基本量的求解，會三項式、乘積式的相關計算二項式定理是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查二項式系數(shù)和、系數(shù)和、求給定項的二項式系數(shù)或系數(shù)及相關最大（?。╉椨嬎悖柚攸c強化復習考點2二項式定理綜合（10年8考）2024·北京卷、2022·北京卷、2020·北京卷、2020·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2017·全國卷、2017·全國卷、2016·四川卷、2015·全國卷、2015·陜西卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷考點01排列組合綜合1．（2024·全國甲卷·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解法一：畫出樹狀圖，結合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計算公式進行求解.【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率.解法二：當甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B2．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動的情況，即可得解.【詳解】不妨記五名志愿者為，假設連續(xù)參加了兩天公益活動，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動的選擇種數(shù)有種.故選：B.3．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結合組合的知識即可得解.【詳解】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學生來自不同年級的概率為.故選：D.4．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物里，選出兩種進行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結果共有種.故選：D.6．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B7．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.8．（2021·全國乙卷·高考真題）將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（

）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種【答案】C【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用問題，屬基礎題，關鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.9．（2021·全國甲卷·高考真題）將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.10．（2021·全國甲卷·高考真題）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產(chǎn)生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.11．（2020·海南·高考真題）要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（

）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【分析】首先將3名學生分成兩個組，然后將2組學生安排到2個村即可.【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C【點睛】解答本類問題時一般采取先組后排的策略.12．（2020·山東·高考真題）6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（

）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【分析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C【點睛】本小題主要考查分步計數(shù)原理和組合數(shù)的計算，屬于基礎題.13．（2019·全國·高考真題）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查利用兩個計數(shù)原理與排列組合計算古典概型問題，滲透了傳統(tǒng)文化、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng)，“重卦”中每一爻有兩種情況，基本事件計算是住店問題，該重卦恰有3個陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可計算．【詳解】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有情況，其中6爻中恰有3個陽爻情況有，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．【點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復，其次要分析是排列問題還是組合問題．本題是重復元素的排列問題，所以基本事件的計算是“住店”問題，滿足條件事件的計算是相同元素的排列問題即為組合問題．14．（2017·全國·高考真題）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有A．12種 B．18種 C．24種 D．36種【答案】D【詳解】4項工作分成3組,可得：=6，安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，可得：種．故選D.15．（2016·全國·高考真題）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【詳解】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22＝6種走法．同理從F到G，最短的走法，有C31C22＝3種走法．∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3＝18種走法．故選B．【考點】計數(shù)原理、組合【名師點睛】分類加法計數(shù)原理在使用時易忽視每類中每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是相互獨立的；分步乘法計數(shù)原理在使用時易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而未完成這件事，步步之間是相互關聯(lián)的．16．（2016·四川·高考真題）用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為A．24 B．48C．60 D．72【答案】D【詳解】試題分析：由題意，要組成沒有重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應該為1或3或5，其他位置共有種排法，所以奇數(shù)的個數(shù)為，故選D.【考點】排列、組合【名師點睛】利用排列、組合計數(shù)時，關鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏，分步時要注意整個事件的完成步驟．在本題中，個位是特殊位置，第一步應先安排這個位置，第二步再安排其他四個位置．17．（2016·全國·高考真題）定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意，中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有A．18個 B．16個C．14個 D．12個【答案】C【詳解】試題分析：由題意，得必有，，則具體的排法列表如下：,01010011;010101011,共14個【點睛】求解計數(shù)問題時，如果遇到情況較為復雜，即分類較多，標準也較多，同時所求計數(shù)的結果不太大時，往往利用表格法、樹狀圖將其所有可能一一列舉出來，常常會達到出奇制勝的效果．考點02二項式定理綜合1．（2024·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出二項展開式，令，解出然后回代入二項展開式系數(shù)即可得解.【詳解】的二項展開式為，令，解得，故所求即為.故選：A.2．（2022·北京·高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【分析】利用賦值法可求的值.【詳解】令，則，令，則，故，故選：B.3．（2020·北京·高考真題）在的展開式中，的系數(shù)為（

）．A． B．5 C． D．10【答案】C【分析】首先寫出展開式的通項公式，然后結合通項公式確定的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.故選：C.【點睛】二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．4．（2020·全國·高考真題）的展開式中x3y3的系數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【詳解】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為所以的系數(shù)為故選：C【點睛】本題主要考查了二項式定理及其展開式的通項公式，還考查了賦值法、轉化能力及分析能力，屬于中檔題.5．（2019·全國·高考真題）（1+2x2）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20 D．24【答案】A【分析】本題利用二項展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．【詳解】由題意得x3的系數(shù)為，故選A．【點睛】本題主要考查二項式定理，利用展開式通項公式求展開式指定項的系數(shù)．6．（2018·全國·高考真題）的展開式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【詳解】分析：寫出，然后可得結果詳解：由題可得令,則所以故選C.點睛：本題主要考查二項式定理，屬于基礎題．7．（2017·全國·高考真題）(+)(2-)5的展開式中33的系數(shù)為A．-80 B．-40 C．40 D．80【答案】C【詳解】，由展開式的通項公式可得：當時，展開式中的系數(shù)為；當時，展開式中的系數(shù)為，則的系數(shù)為.故選C.【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)