流體力學(xué)完整版本

第四章流體流體運動學(xué)和流體動力學(xué)基礎(chǔ)流體力學(xué)基本方程

連續(xù)性方程

動量方程動量矩方程伯努利方程能量方程第一節(jié)描述流體運動的兩種方法流體的流動是由充滿整個流動空間的無限多個流體質(zhì)點的運動構(gòu)成的。充滿運動流體的的空間稱為流場。研究方法歐拉法拉格朗日法：著眼于整個流場的狀態(tài)，即研究表征流場內(nèi)流體流動特性的各種物理量的矢量場與標(biāo)量場著眼于個別流體質(zhì)點的運動，綜合所有流體質(zhì)點的運動后便可得到整個流體的運動規(guī)律一、拉格朗日法拉格朗日方法（lagrangianmethod）是以流場中每一流體質(zhì)點作為描述流體運動的方法，它以流體個別質(zhì)點隨時間的運動為基礎(chǔ)，通過綜合足夠多的質(zhì)點（即質(zhì)點系）運動求得整個流動。——質(zhì)點系法研究對象：流體質(zhì)點空間坐標(biāo)（a,b,c）為t=t0起始時刻質(zhì)點所在的空間位置坐標(biāo)，稱為拉格朗日數(shù)。

所以，任何質(zhì)點在空間的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和時間t的函數(shù)。（2）（a,b,c）為變數(shù)，t=const，可以得出某一瞬間不同質(zhì)點在空間的分布情況。

（1）（a,b,c）=const

，t為變數(shù)，可以得出某個指定質(zhì)點在任意時刻所處的位置。流體質(zhì)點速度為：流體質(zhì)點加速度為：流體質(zhì)點的其它流動參量可以類似地表示為a、b、c和t的函數(shù)。如：

p=p(a，b，c，t)ρ=ρ(a，b，c，t)由于流體質(zhì)點的運動軌跡非常復(fù)雜，而實用上也無須知道個別質(zhì)點的運動情況，所以除了少數(shù)情況（如波浪運動）外，在工程流體力學(xué)中很少采用。二、歐拉法

歐拉法（eulermethod）是以流體質(zhì)點流經(jīng)流場中各空間點的運動來研究流動的方法?！鲌龇?/p>

研究對象：流場它不直接追究質(zhì)點的運動過程，而是以充滿運動流體質(zhì)點的空間——流場為對象。研究各時刻質(zhì)點在流場中的變化規(guī)律。將個別流體質(zhì)點運動過程置之不理，而固守于流場各空間點。通過觀察在流動空間中的每一個空間點上運動要素隨時間的變化，把足夠多的空間點綜合起來而得出的整個流體的運動情況。由歐拉法的特點可知，各物理量是空間點x，y，z和時間t的函數(shù)。所以速度、密度、壓強和溫度可表示為：1.速度寫成分量形式（x,y,z,t）——歐拉變量

2.歐拉加速度流體質(zhì)點某一時刻處于流場不同位置，速度是坐標(biāo)及時間的函數(shù)，所以流速是t的復(fù)合函數(shù)，對流速求導(dǎo)可得加速度:如：代入上式得：

等號右邊第一項是時變加速度；后三項是位變加速度；

引人微分算子:-----矢量微分算子那么引人隨流導(dǎo)數(shù)算子：若流動參數(shù)為B(可以是速度,壓強,密度等),則表示流場中一位置固定點,B參數(shù)對時間的變化引起,-----局部改變率表示流場中B參數(shù)在空間分布不均勻引起的----遷移改變率時變加速度（當(dāng)?shù)丶铀俣龋┝鲃舆^程中流體由于速度隨時間變化而引起的加速度；

位變加速度（遷移加速度）流動過程中流體由于速度隨位置變化而引起的加速度。在水位恒定的情況下：（1）A→A′不存在時變加速度和位變加速度。（2）B→B′不存在時變加速度,但存在位變加速度。

在水位變化的情況下：

(1)A→A′存在時變加速度,但不存在位變加速度。

(2)B→B′既存在時變加速度,又存在位變加速度。

第二節(jié)流體流動的分類按照流體性質(zhì)劃分：可壓縮流體的流動和不可壓縮流體的流動；理想流體的流動和粘性流體的流動；牛頓流體的流動和非牛頓流體的流動；磁性流體的流動和非磁性流體的流動；

按照流動特征區(qū)分：層流流動和紊流流動；有旋流動和無旋流動；定常流動和非定常流動；超聲速流動和亞聲速流動；按照流動空間區(qū)分：內(nèi)部流動和外部流動；一維流動、二維流動和三維流動；1.定常流動、非定常流動（steadyandunsteadyflow)非定常流動：定常流動：流動是否定常與所選取的參考坐標(biāo)系有關(guān)。

2.一維流動、二維流動和三維流動一維流動：流動參數(shù)是一個坐標(biāo)的函數(shù)；二維流動：流動參數(shù)是兩個坐標(biāo)的函數(shù)；三維流動：流動參數(shù)是三個坐標(biāo)的函數(shù)。對于工程實際問題，在滿足精度要求的情況下，將三維流動簡化為二維、甚至一維流動，可以使得求解過程盡可能簡化。二維流動→一維流動三維流動→二維流動一.流線

這是歐拉方法中，用幾何曲線形象描述流動的手段。1.流線的定義—表示某一瞬時流體各點流動趨勢的曲線:

曲線上每一點的速度矢量總在該點與曲線相切。右圖為流線譜中顯示的流線形狀第三節(jié)跡線與

流線

2.流線的性質(zhì)

b.流線不能是折線，而是一條光滑的曲線。a.同一時刻的不同流線,不能相交.c.流線簇的疏密反映了速度的大小（流線密集的地方流速大，稀疏的地方流速?。?。

u1u2s1s2交點

u1u2折點

s

d.流線的形狀和位置，在定常流動時不隨時間變化；而在不定常流動時，隨時間變化。3.流線的方程根據(jù)流線的定義，可以求得流線的微分方程：設(shè)ds為流線上A處一微元弧長:

u為流體質(zhì)點在A點的流速:因為流速向量與流線相切，即沒有垂直于流線的流速分量，u和ds重合。所以即展開后得到：——流線方程或用它們余弦相等推得：二.跡線跡線—某一質(zhì)點在某一時段內(nèi)的運動軌跡線。圖中煙火的軌跡為跡線。1.跡線的定義2.跡線的微分方程式中，ux,uy,uz

均為時空t,x,y,z的函數(shù)，且t是自變量。

注意：流線和跡線微分方程的異同點?！骶€方程

【例1】有一流場,其流速分布規(guī)律為：ux=-ky，

uy=kx，uz=0，試求其流線方程。

【解】由于uz=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為：

將兩個分速度代入流線微分方程，得到即：

xdx+ydy=0

積分上式得到：

x2+y2=c

即流線簇是以坐標(biāo)原點為圓心的同心圓。

【例2】已知：設(shè)速度場為ux=t+1,vy=1，t=0時刻流體質(zhì)點A位于原點。求：（1）質(zhì)點A的跡線方程；（2）t=0時刻過原點的流線方程；解：(1)由歐拉跡線方程式，跡線方程組為由上兩式分別積分可得t=0時質(zhì)點A位于x=y=0，得c1=c2=0。質(zhì)點A的跡線方程為:消去參數(shù)t得A點的跡線方程為：（2）由流線微分方程：積分可得：

在

t=0時刻，流線通過原點

x=y=0，可得C=0，相應(yīng)的流線方程為：

一.基本概念

1.流管—在流場中取任一封閉曲線（不是流線），通過該封閉曲線的每一點作流線，這些流線所組成的管狀空間稱為流管。

因為流管是由流線構(gòu)成的，所以它具有流線的一切特性，流體質(zhì)點不能穿過流管流入或流出(由于流線不能相交)。流管就像固體管子一樣，將流體限制在管內(nèi)流動。第四節(jié)一元流動模型

2.元流

—

流管中的液流稱為元流或微小流束元流的極限是一條流線。3.流束—過流管橫截面上各點作流線，則得到充滿流管的一束流線簇，稱為流束。4.過水?dāng)嗝妗此溃ü艿?、明渠等）中垂直于水流流動方向的橫斷面,如圖中的1-1，2-2斷面。又稱為有效截面，在流束中與各流線相垂直，在每一個微元流束的過水?dāng)嗝嫔希鼽c的速度可認(rèn)為是相同的。5.緩變流和急變流緩變流——流束內(nèi)流線的夾角很小、流線的曲率半徑很大，近乎平行直線的流動。否則即為急變流。緩變流——在管道截面積變化劇烈、流動方向發(fā)生改變的地方，如突擴管、突縮管、彎管、閥門等處的流動為急變流。6.有效截面流量平均流速有效截面——在流束或者總流中，與所有流線都垂直的截面。流量——在單位時間內(nèi)流過有效截面積的流體的量。體積流量（）：質(zhì)量流量：平均流速——體積流量與有效截面積之比值,用v表示。7.濕周水力半徑當(dāng)量直徑

濕周——在總流的有效截面上，流體與固體壁面的接觸長度。水力半徑——總流的有效截面積A和濕周之比。圓形截面管道的幾何直徑非圓形截面管道的當(dāng)量直徑關(guān)于濕周和水力半徑的概念在非圓截面管道的水力計算中常常用到。第五節(jié)系統(tǒng)控制體輸運方程一、系統(tǒng)與控制體

一定量的流體在特定時間，特定空間內(nèi)的流動規(guī)律。系統(tǒng)控制體系統(tǒng)是一團流體質(zhì)點的集合。系統(tǒng)包含著確定的流體質(zhì)點有確定的質(zhì)量表面不斷變形控制體是指流場中某一確定的空間區(qū)域，這個區(qū)域的周界稱為控制面?？刂企w形狀和位置相對于坐標(biāo)系固定不變有確定的體積包含的流體質(zhì)點不確定二、輸運方程建立系統(tǒng)內(nèi)部某物理量的時間變化率與控制體內(nèi)的該物理量時間變化率之間的關(guān)系已知：系統(tǒng)內(nèi)流體所具有的某種物理量求：單位質(zhì)量流體具有的物理yxzIIt時刻取坐標(biāo)系取隔離體:系統(tǒng)分析N變化從t時刻到t+δt的變化xz時刻II’IIIIy因為：xz時刻II’IIIIy當(dāng)若控制體的體積用表示則第一項是在δt時間內(nèi)流出控制體的流體所具有的物理量可以用同樣時間內(nèi)在流體所通過的控制面上流出的這種物理量的面積分來表示xz時刻II’IIIIyCS2CS1同理：t時刻單位時間內(nèi)流入控制體的流體所具有的物理量應(yīng)表示為xz時刻II’IIIIyCS2CS1xz時刻II’IIIIyCS2CS1系統(tǒng)內(nèi)部的N的時間變化率等于控制體內(nèi)的N的時間變化率加上單位時間內(nèi)經(jīng)過控制面的凈通量。流體系統(tǒng)內(nèi)物理量對時間的隨體導(dǎo)數(shù)公式，或稱輸運公式。在定常流動條件下，整個系統(tǒng)內(nèi)部的流體所具有的某種物理量的變化率只與通過控制面的流動有關(guān)，而不必知道系統(tǒng)內(nèi)部流動的詳細(xì)情況。對定常流動：討論：第六節(jié)連續(xù)性方程一、公式推導(dǎo)當(dāng)時流體系統(tǒng)的總質(zhì)量不隨時間發(fā)生變化積分形式的連續(xù)方程

單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加（減少）等于同時間內(nèi)通過控制面流入（流出）的凈流體質(zhì)量。對定常流動所以

在定常流動條件下，通過控制面的流體質(zhì)量通量等于零。應(yīng)用于定常管流時：A1，A2為管道上的任意兩個截面截面A1上的質(zhì)量流量截面A2上的質(zhì)量流量二、一維流動的連續(xù)方程一維定常流動積分形式的連續(xù)性方程

和分別表示兩個截面上的平均流速，并將截面取為有效截面：

三、物理意義：

在定常流動條件下，通過流管的任意有效截面的質(zhì)量流量是常量。對不可壓縮流體不可壓縮流體沿流管的體積流量是常量。在同一總流上，流通截面積大的截面上流速小，在流通截面積小截面上流速大。例：斷面為50×50cm2的送風(fēng)管，通過abcd四個40×40cm2的送風(fēng)口向室內(nèi)輸送空氣，送風(fēng)口氣流平均速度均為5m/s，

求：通過送風(fēng)管1-1，2-2，3-3各斷面的流速和流量。Q0abcd123123解：每一送風(fēng)口流量Q＝0.4×0.4×5=0.8m3/s

Q0＝4Q＝3.2m3/s根據(jù)連續(xù)性方程

Q0＝Q１＋3Q

Q１＝Q0－Q＝3Q＝2.4m3/s

Q0＝Q２＋2Q

Q２＝Q0－2Q＝2Q＝1.6m3/s

Q0＝Q3＋3Q

Q3＝Q0－3Q＝0.8m3/s

各斷面流速Q(mào)0abcd123123→第七節(jié)動量方程與動量矩方程一、慣性坐標(biāo)系中的動量方程與動量矩方程當(dāng)時為系統(tǒng)的動量

根據(jù)動量定理，流體系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在系統(tǒng)上的外力的矢量和。

單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力作用在外法線方向微元面積dA上的表面應(yīng)力由于t時刻流體系統(tǒng)與控制體重合，故得——積分形式的動量方程對于定常流動在定常流動條件下，控制體內(nèi)質(zhì)量力的主矢量與控制面上的表面力的主矢量之和應(yīng)等于單位時間通過控制體表面的流體動量通量的主矢量，與控制體內(nèi)部的流動狀態(tài)無關(guān)。根據(jù)動量矩定理，流體系統(tǒng)動量矩的時間變化率等于作用在流體系統(tǒng)上的外力矩的矢量和積分形式的動量矩方程當(dāng)為流體系統(tǒng)的動量矩.二、定常管流的動量方程壁面處緩變流斷面上截面上斷面平均速度動量修正系數(shù)可求證β＞1：

得證。動量修正系數(shù)是無量綱數(shù)，它的大小取決于總流過水?dāng)嗝娴牧魉俜植?，分布越均勻，β值越小，越接近?.0。

β——動量修正系數(shù)，是指實際動量與按斷面平均流速計算的動量的比值，β＞1。對于層流：β=4/3；紊流：β=1.02~1.05，計算值一般取1.0。

假如有效截面上的密度與速度均為常量應(yīng)用定常管流的動量方程求解時，需要注意以下問題：動量方程是一個矢量方程，每一個量均具有方向性，必須根據(jù)建立的坐標(biāo)系判斷各個量在坐標(biāo)系中的正負(fù)號。

根據(jù)問題的要求正確地選擇控制體，選擇的控制體必須包含對所求作用力有影響的全部流體。方程左端的作用力項包括作用于控制體內(nèi)流體上的所有外力，但不包括慣性力。方程只涉及到兩個流入、流出截面上的流動參數(shù)，而不必顧及控制體內(nèi)是否有間斷面存在。

例水在直徑為10cm的60°水平彎管中以5m/s流速流動，彎管前端壓強為0.1at，如不計損失，亦不考慮重力作用，求水流對彎管的作用力。P1P260°α1122xyR壁-水解：1）取控制體，進口、出口及管壁組成1122；P1P260°α1122xyR壁-水2）選擇坐標(biāo)系，如圖x軸與彎管進口前管道軸線一致；由于不考慮重力，∴管壁→水作用力為假設(shè)與x軸成角；另：方向沿x軸正方向（已知）方向垂直于斷面22，且指向控制體內(nèi)（未知）。根據(jù)伯努利方程P1P260°α1122xyR壁-水∵截面積不變∴由動量方程：P1P260°α1122xyR壁-水（未知數(shù)，,兩個方程）則第八節(jié)能量方程

根據(jù)能量守衡和轉(zhuǎn)換定律，流體系統(tǒng)中能量的時間變化率應(yīng)等于單位時間質(zhì)量力和表面力對系統(tǒng)所做的功加上單位時間外界與系統(tǒng)交換的熱量。質(zhì)量力功率表面力功率傳熱率積分形式的能量方程對于定比熱的完全氣體對于定常流動，上式左端第一項為0對一維流動：當(dāng)不考慮與外界的熱量交換，且質(zhì)量力僅有重力時。由于重力做功，將重力做功作為單位質(zhì)量流體的位勢能包含在單位質(zhì)量流體的能量項中：重力作用下絕熱流積分形式的能量方程第九節(jié)伯努利方程及其應(yīng)用不可壓縮理想流體在重力場中一維定常流動對于理想流體取微元流管做為控制體,而對微元截面的積分便是被積函數(shù)本身（沿流線成立）一、伯努利方程不可壓縮理想流體在與外界無熱量交換的條件下，流體的內(nèi)能u等于常數(shù)。—伯努利方程方程的適用條件：理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動時的一條流線或者一個微元流管上。二、伯努利方程的意義1.能量意義:單位重量流體具有的動能:單位重量流體的勢能（或位能）:單位重量流體具有的壓能-----單位重量流體所具有的總機械能沿任意一條流線保持不變。2.幾何意義------沿流線（元流）總水頭為常數(shù)。：速度水頭（以斷面速度u為初速度鉛直上升所能達到的高度）

：位置水頭（流體質(zhì)點相對于基準(zhǔn)的高度）：壓強水頭（壓強作用使流體沿測壓管所能上升的高度）3.水頭線：沿程水頭(如總水頭或測壓管水頭)的變化曲線。（速度水頭）（壓強水頭）（位置水頭）（總水頭）

虹吸管的水頭線與真空區(qū)總水頭線：是對應(yīng)的變化曲線，它代表水頭損失沿流程的分布狀況。測壓管水頭線：是對應(yīng)的變化曲線，它代表壓強沿流程的變化狀況。水力坡度J：指單位長度流程的平均水頭損失，即測壓管水頭線坡度JP：單位長流程上的測壓管水頭線降落，用測壓管測量。

注意：

1.理想流動流體的總水頭線為水平線；

2.實際流動流體的總水頭線恒為下降曲線；

3.測壓管水頭線可升、可降、可水平。

4.若是均勻流，則總水頭線平行于測壓管水頭線，即J=JP。

5.總水頭線和測壓管水頭線之間的距離為相應(yīng)段的流速水頭。三.伯努利方程的應(yīng)用

1、

皮托管2、文丘里流量計3、虹吸現(xiàn)象1、皮托管在工程實際中，常常需要來測量某管道中流體流速的大小，然后求出管道的平均流速，從而得到管道中的流量，要測量管道中流體的速度，可采用皮托管來進行，其測量原理如所示。在液體管道的某一截面處裝有一個測壓管和一根兩端開口彎成直角的玻璃管（稱為測速管）。VBAZZ皮托管測速原理將測速管（又稱皮托管）的一端正對著來流方向，另一端垂直向上，這時測速管中上升的液柱比測壓管內(nèi)的液柱高h(yuǎn)。這是由于當(dāng)液流流到測速管入口前的A點處，液流受到阻擋，流速變?yōu)榱?，則在測速管入口形成一個駐點A。駐點A的壓強PA稱為全壓，在入口前同一水平流線未受擾動處（例如B點）的液體壓強為PB。速度為V。應(yīng)用伯努利方程于同一流線上的Ｂ、Ａ兩點，則有上式表明,只要測量出流體的運動全壓和靜壓水頭的差值h，就可以確定流體的流動速度。由于流體的特性，以及皮托管本身對流動的干擾,實際流速比用式計算出的要小，因此，實際流速為

式中ψ—流速修正系數(shù),一般由實驗確定，ψ=0.97。則

如果測定氣體的流速，則無法直接用皮托管和靜壓管測量出氣柱差來，必須把兩根管子連接到一個Ｕ形差壓計上，從差壓計上的液面差來求得流速，如圖所示，則則得用皮托管和靜壓管測量氣體流速考慮到實際情況，

動壓管工程實際中常將靜壓管和皮托管組合在一起，稱為皮托－靜壓管或者動壓管。原理：測量時將靜壓孔和總壓孔感受到的壓強分別和差壓計的兩個入口相連，在差壓計上可以讀出總壓和靜壓之差，從而求得被測點的流速。

文丘里流量計主要用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成，如圖所示。它是利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用Ｕ形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。2、文丘里(Venturi)流量計文丘里流量計原理圖以文丘里管的水平軸線所在水平面作為基準(zhǔn)面。列截面1-1，2-2的伯努利方程

由一維流動連續(xù)性方程整理得

由流體靜力學(xué)

上式表明，若ρ液、

ρ、A2、A1已知，只要測量出h液，就可以確定流體的速度。流量為：

考慮到實際情況

式中Cd為流量系數(shù)，通過實驗測定。文丘里流量計是節(jié)流裝置中的一種，除此之外還有孔板，噴嘴等，其基本原理與文丘里流量計基本相同，不再敘述。判斷：文丘里流量計公式能不能用來測量計算傾斜管道中的流量？【例】有一文丘里管如圖a所示,若水銀差壓計的指示為360mmHg，并設(shè)從截面A流到截面B的水頭損失為0.2mH2O，dA=300mmdB=150mm，試求此時通過文丘里管的流量是多少?圖a文丘里管【解】以截面A為基準(zhǔn)面列出截面A和B的伯努利方程

由此得

由連續(xù)性方程所以水銀差壓計1—1為等壓面，則有3、虹吸現(xiàn)象

由于大氣壓的作用，液體從液面較高的容器通過曲管越過高處而流入液面較低容器的現(xiàn)象。它發(fā)生的條件是曲管（虹吸管）里先要灌滿液體，同時高于較高液面的液柱的壓強不超過大氣壓。例如：汽車司機常用虹吸管從油桶中吸出汽油或柴油；河南、山東一帶應(yīng)用虹吸管把黃河里的水引到堤內(nèi)灌溉農(nóng)田；在日常生活中，如給魚缸換水等都是。在圖3-60所示的虹吸管中，已知：H1=2m；H2=6m；管徑D=15mm；如不計損失。問s處的壓強應(yīng)為多大時此管才能吸水？此時管內(nèi)流速v2及流量qv各為若干？（注意：管端并未接觸水面或深入水中）【解】選取過水?dāng)嗝?-1、2-2及水平基準(zhǔn)面O-O，列1-1面（水面）到2-2面的伯努利方程：即（A）再選取水平基準(zhǔn)面O′-O′，列過水?dāng)嗝?-2及3-3的伯努利方程：即（B）因v2=v3由（B）式得：代入（A）式得：故【例】如圖所示的虹吸管泄水，已知斷面1,2及2,3的損失分別為hw1,2=0.6v2/(2g)和hw2,3=0.5v2/(2g)，試求斷面2的平均壓強。

【解】取0-0，列斷面1，2的能量方程（取α1=α2=1）

（a）v2=v3=v（因d2=d1=d），可對斷面1，3寫出能量方程：

（b）

可得：

代入式（a）中得：

可見虹吸管頂部，相對壓強為負(fù)值，即出現(xiàn)真空。為使之不產(chǎn)生空化，應(yīng)控制虹吸管頂高（即吸出高），防止形成過大真空。

第十節(jié)沿流線主法線方向壓強和速度的變化討論垂直于流線方向的壓強和速度的變化對所取微元柱體進行受力分析,根據(jù)牛頓第二定律：受力平衡方程：其中在伯努利常數(shù)對所有流線具有同一值的條件下，伯努利常數(shù)沿r方向不變由積分得在彎曲流線主法線方向上，速度隨距曲率中心距離的減小而增加，即在彎曲管道中，內(nèi)側(cè)的速度高，外側(cè)的速度低如果流線位于水平面內(nèi)，或者重力勢變化的影響可以忽略不計。則在彎曲流線主法線方向上，壓強隨距曲率中心距離的增加而增加，即在彎曲管道中，內(nèi)側(cè)的壓強小，外側(cè)的壓強大。

代入彎曲管道中流體壓強和速度分布圖對于直線流動

在直線流動條件下，沿垂直于流線方向的壓強分布服從于靜力學(xué)基本方程式在直線流動中如果不計重力影響：忽略重力影響的直線流動，沿流線法向的壓強梯度為零，即沒有壓強差。第十一節(jié)粘性流體總流伯努利方程設(shè)有一不可壓縮恒定流動，在總流各自處于漸變流的流斷上，任意選取兩個過流斷面。單位重量元流伯努利方程方程兩端同乘以元流重量流量γdQz1z2在整個過流斷面進行積分：上述積分可分為三個部分：1）∵漸變流過流斷面服從液體靜壓強分布規(guī)律∴z1z22）令動能修正系數(shù)z1z2上式截面的平均流速

動能修正系數(shù)a是由于截面上速度分布不均勻而引起的，a是個大于1的數(shù)，有效截面上的流速越均勻，a值越趨近于1。在實際工業(yè)中，通常都近似地取a=1.0。以后如不加特別說明，都假定a=1，并以v

代表平均流速。而對于圓管層流流動a=2。3）令單位重量流體流過1、2斷面平均能量損失為則綜上可得-----不可壓縮恒定總流伯努利方程討論：（1）恒定不可壓縮。（2）選在漸變流。（3）功率輸入H輸入（如泵)功率輸出H輸出（如汽輪機）H輸入H輸出（4）有分流或合流仍然適用思考題:

問題1.拿兩張薄紙，平行提在手中，當(dāng)用嘴順紙間縫隙吹氣時，問薄紙是不動、靠攏、還是張開？為什么？

參考答案：靠攏；流速增大、壓強降低問題2：兩船并行相撞的解釋：兩船間流線密、流速高、壓力低。注：能量方程的解題步驟

三選一列

1選擇基準(zhǔn)面：基準(zhǔn)面可任意選定,但應(yīng)以簡化計算為原則。例如選過水?dāng)嗝嫘涡模▃=0），或選自由液面（p=0）等。2選擇計算斷面：計算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面.

3選擇計算點：管流通常選在管軸上,明渠流通常選在自由液面。對同一個方程,必須采用相同的壓強標(biāo)準(zhǔn)。4列能量方程解題：注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用.

【例】一抽水機管系（如圖），要求把下水池的水輸送到高池，兩池高差15m，流量Q=30l/s，水管內(nèi)徑d=150mm。泵的效率hp=0.76。設(shè)已知管路損失（泵損除外）為10v2/(2g)，試求軸功率。

【解】取基準(zhǔn)面0-0及斷面1（位于低水池水面）及2（位于高水池水面）。設(shè)泵輸入單位重水流的能量為hp，取α1=α2=1，則能量方程有：

因z1=0，z2=15m，p1=p2=0，且過水?dāng)嗝婧艽?，v1≈v2≈0，而管中流速：故有：

得：

hp=16.47N·m/N

所需軸功率Np為：

由上式可得