2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.7-利用空間向量研究距離問題【課件】

必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)第七節(jié)利用空間向量研究距離問題第八章立體幾何初步、空間向量與立體幾何核心考點(diǎn)·分類突破【課標(biāo)解讀】【課程標(biāo)準(zhǔn)】能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會向量方法在研究幾何問題中的作用.【核心素養(yǎng)】直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【命題說明】考向考法高考題常以體積為載體,考查空間中點(diǎn)線距、點(diǎn)面距.求空間幾何體的體積是高考熱點(diǎn),主要在解答題中體現(xiàn).預(yù)測2025年高考本節(jié)內(nèi)容仍會與立體幾何知識結(jié)合考查,試題難度中檔.必備知識·逐點(diǎn)夯實(shí)

基礎(chǔ)診斷·自測類型辨析改編易錯題號12,341.(思考辨析)(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)點(diǎn)到平面的距離是該點(diǎn)與平面上點(diǎn)距離的最小值.(

)(2)點(diǎn)到直線的距離也就是該點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線長度的最小值.(

)(3)直線l平行于平面α,則直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.(

)(4)直線l上兩點(diǎn)到平面α的距離相等,則l平行于平面α.(

)提示:由距離的最小性可知(1)(2)正確;(3)中直線l上任意點(diǎn)到平面α的距離相等,正確;(4)中直線l可能與平面α相交.

√

√

√×

核心考點(diǎn)·分類突破

(2)如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'中,已知E為CC'上一點(diǎn),且2CE=EC',在平面CDD'C'內(nèi)作EF∥A'B,交C'D'于點(diǎn)F,則直線EF與A'B之間的距離為

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解題技法向量法求點(diǎn)到直線的距離的方法方法一:(1)求直線的方向向量.(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.(3)利用勾股定理求解.方法二:在直線上設(shè)出垂線段的垂足的坐標(biāo),利用共線和垂直求出垂足坐標(biāo),再求向量的模.方法三:(1)求直線的方向向量;(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值,進(jìn)而求出正弦值;(3)求出所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量的模,再乘以夾角的正弦值即為所求.提醒:平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.

考點(diǎn)二點(diǎn)面距及其應(yīng)用[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.(1)求證:AD⊥PB;【解析】(1)取AD的中點(diǎn)O,連接OP,OB,BD,(圖略)因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,∠BAD=60°,所以AD=AB=BD.因?yàn)镺為AD的中點(diǎn),所以BO⊥AD.在△PAD中,PA=PD,O為AD的中點(diǎn),所以PO⊥AD.因?yàn)锽O∩PO=O,所以AD⊥平面POB.因?yàn)镻B?平面POB,所以AD⊥PB.

[例2]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,∠APD=90°,且PA=PD,AD=PB.(2)(一題多法)求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

2.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點(diǎn).求:(1)直線MN與平面OCD的距離;【解析】(1)因?yàn)镺A⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,所以O(shè)A⊥AD,OA⊥AB,AB⊥AD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AO所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),R(0,1,0),因?yàn)镸,R分別為OA,AD的中點(diǎn),則MR∥OD,因?yàn)镸R?平面OCD,OD?平面OCD,所以MR∥平面OCD,因?yàn)锳D∥BC且AD=BC,R,N分別為AD,BC的中點(diǎn),則CN∥RD且CN=RD,所以四邊形CDRN為平行四邊形,所以RN∥CD,

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

如圖,已知正方形ABCD的邊長為1,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),直線AC到平面PEF的距離為

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對點(diǎn)訓(xùn)練在