高中數(shù)學(xué)大綱

高

中

數(shù)

學(xué)

大

綱

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

一、課內(nèi)重視聽講，課后與時(shí)復(fù)習(xí)。

新學(xué)問的接受，數(shù)學(xué)實(shí)力的培育主要在課堂上進(jìn)行，所以要特點(diǎn)重視課內(nèi)的學(xué)

習(xí)效率，尋求正確的學(xué)習(xí)方法。上課時(shí)要緊跟老師的思路，主動(dòng)綻開思維預(yù)料

下面的步驟，比較自己的解題思路與老師所講有哪些不同。特殊要抓住基礎(chǔ)學(xué)

問和基本技能的學(xué)習(xí)，課后要與時(shí)復(fù)習(xí)不留疑點(diǎn)。首先要在做各種習(xí)題之前將

老師所講的學(xué)問點(diǎn)回憶一遍，正確駕馭各類公式的推理過程，慶盡量回憶而不

采納不清晰馬上翻書之舉。仔細(xì)獨(dú)立完成作業(yè)，勤于思索，從某種意義上講，

應(yīng)不造成不懂即問的學(xué)習(xí)作風(fēng)，對(duì)于有些題目由于自己的思路不清，一時(shí)難以

解出，應(yīng)讓自己冷靜下來(lái)仔細(xì)分析題目，盡量自己解決。在每個(gè)階段的學(xué)習(xí)中

要進(jìn)行整理和歸納總結(jié)，把學(xué)問的點(diǎn)、線、面結(jié)合起來(lái)交織成學(xué)問網(wǎng)絡(luò)，納入

自己的學(xué)問體系。

二、適當(dāng)多做題，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

要想學(xué)好數(shù)學(xué)，多做題目是難免的，熟識(shí)駕馭各種題型的解題思路。剛起先要

從基礎(chǔ)題入手，以課本上的習(xí)題為準(zhǔn)，反復(fù)練習(xí)打好基礎(chǔ)，再找一些課外的習(xí)

題，以幫助開拓思路，提高自己的分析、解決實(shí)力，駕馭一般的解題規(guī)律。對(duì)

于一些易錯(cuò)題，可備有錯(cuò)題集，寫出自己的解題思路和正確的解題過程兩者一

起比較找出自己的錯(cuò)誤所在，以便與時(shí)更正。在平常要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。

讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維靈敏，能夠進(jìn)入最佳狀態(tài)，在考試

中能運(yùn)用自如。實(shí)踐證明：越到關(guān)鍵時(shí)候，你所表現(xiàn)的解題習(xí)慣與平常練習(xí)無(wú)

異。假如平常解題時(shí)隨意、馬虎、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平常

養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣是特別重要的。

三、調(diào)整心態(tài)，正確對(duì)待考試。

首先，應(yīng)把主要精力放在基礎(chǔ)學(xué)問、基本技能、基本方法這三個(gè)方面上，因?yàn)?/p>

每次考試占絕大部分的也是基礎(chǔ)性的題目，而對(duì)于那些難題與綜合性較強(qiáng)的題

目作為調(diào)劑，仔細(xì)思索，盡量讓自己理出頭緒，做完題后要總結(jié)歸納。調(diào)整好

自己的心態(tài)，使自己在任何時(shí)候冷靜，思路有條不紊，克服浮躁的心情。特殊

是對(duì)自己要有信念，恒久激勵(lì)自己，除了自己，誰(shuí)也不能把我打倒，要有自己

不垮，誰(shuí)也不能打垮我的驕傲感。

在考試前要做好打算，練練常規(guī)題，把自己的思路綻開，切忌考前去在保證正

確率的前提下提高解題速度。對(duì)于一些簡(jiǎn)潔的基礎(chǔ)題要有十二分把握拿全分；

對(duì)于一些難題，也要盡量拿分，考試中要學(xué)會(huì)嘗試得分，使自己的水平正常甚

至超常發(fā)揮。

由此可見，要把數(shù)學(xué)學(xué)好就得找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，了解數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn),

使自己進(jìn)入數(shù)學(xué)的廣袤天地中去。

高一數(shù)學(xué)第一冊(cè)上

第一章集合與簡(jiǎn)易邏輯

-集合

1.1集合

1.2子集、全集、補(bǔ)集

1.3交集、并集

1.4含肯定值的不等式解法

1.5一元一次不等式解法

閱讀材料集合中元素的個(gè)數(shù)

二簡(jiǎn)易邏輯

1.6邏輯聯(lián)結(jié)詞

1.7四種命題

1.8充分條件與必要條件

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題一

其次章函數(shù)

—函數(shù)

2.1函數(shù)

2.2函數(shù)的表示法

2.3函數(shù)的單調(diào)性

2.4反函數(shù)

二指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

2.5指數(shù)

2.6指數(shù)函數(shù)

三對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

2.7對(duì)數(shù)

閱讀材料對(duì)數(shù)的獨(dú)創(chuàng)

2.8對(duì)數(shù)函數(shù)

2.9函數(shù)的應(yīng)用舉例

閱讀材料自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型

實(shí)習(xí)作業(yè)建立實(shí)際問題的函數(shù)模型

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題二

第三章數(shù)列

3.1數(shù)列

3.2等差數(shù)列

3.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

閱讀材料有關(guān)儲(chǔ)蓄的計(jì)算

3.4等比數(shù)列

3.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

探討性學(xué)習(xí)課題：數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用

小結(jié)與復(fù)習(xí)

高一數(shù)學(xué)第一冊(cè)下

第四章三角函數(shù)

一隨意角的三角函數(shù)

4.1角的概念的推廣

4.2弧度制

4.3隨意角的三角函數(shù)

閱讀材料三角函數(shù)與歐拉

4.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

4.5正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

二兩角和與差的三角函數(shù)

4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切

4.7二倍角的正弦、余弦、正切

三三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

4.9函數(shù)（36）的圖象

4.10正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

4.11已知三角函數(shù)值求角

閱讀材料潮汐與港口水深

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題四

第五章平面對(duì)量

-向量與其運(yùn)算

5.1向量

5.2向量的加法與減法

5.3實(shí)數(shù)與向量的積

5.4平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算

5.5線段的定比分點(diǎn)

5.6平面對(duì)量的數(shù)量積與運(yùn)算律

5.7平面對(duì)量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

5.8平移

閱讀材料向量的三種類型

二解斜三角形

5.9正弦定理、余弦定理

5.10解斜三角形應(yīng)用舉例

實(shí)習(xí)作業(yè)解三角形在測(cè)量中的應(yīng)用

閱讀材料人們?cè)缙谠鯓訙y(cè)量地球的半徑?

探討性學(xué)習(xí)課題：向量在物理中的應(yīng)用

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題五

高二數(shù)學(xué)其次冊(cè)上

第六章不等式

6.1不等式的性質(zhì)

6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

6.3不等式的證明

6.4不等式的解法舉例

6.5含有肯定值的不等式

閱讀材料n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題六

第七章直線和圓的方程

7.1直線的傾斜角和斜率

7.2直線的方程

7.3兩條直線的位置關(guān)系

閱讀材料向量與直線

7.4簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃

探討性學(xué)習(xí)課題與實(shí)習(xí)作業(yè)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)

川

7.5曲線和方程

閱讀材料笛卡兒和費(fèi)馬

7.6圓的方程

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題七

第八章圓錐曲線方程

8.1橢圓與其標(biāo)準(zhǔn)方程

8.2橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)

8.3雙曲線與其標(biāo)準(zhǔn)方程

8.4雙曲線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)

8.5拋物線與其標(biāo)準(zhǔn)方程

8.6拋物線的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)

閱讀材料圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)與其應(yīng)用

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題八

高二數(shù)學(xué)其次冊(cè)下A

第九章直線、平面、簡(jiǎn)潔幾何體

9.1平面

9.2空間直線

9.3直線與平面平行的判定和性質(zhì)

9.4直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

9.5兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì)

9.6兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)

9.7棱柱

9.8棱錐

閱讀材料柱體和錐體的體積

探討性學(xué)習(xí)課題：多面體歐拉定理的發(fā)覺

閱讀材料歐拉公式和正多面體的種類

9.9球

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題九

第十章排列、組合和二項(xiàng)式定理

10.1分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

10.2排列

10.3組合

閱讀材料從集合的角度看排列與組合

10.4二項(xiàng)式定理

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題十

第十一章概率

11.1隨機(jī)事務(wù)的概率

11.2互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生的概率

11.3相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率

閱讀材料抽簽有先有后，對(duì)個(gè)人公允嗎?

高二數(shù)學(xué)其次冊(cè)下B

第九章直線、平面、簡(jiǎn)潔幾何體

9.1平面的基本性質(zhì)

9.2空間的平行直線與異面直線

9.3直線和平面平行與平面和平面平行

9.4直線和平面垂直

9.5空間向量與其運(yùn)算

9.6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

9.7直線和平面所成的角與二面角

9.8距離

閱讀材料向量概念的推廣與應(yīng)用

9.9棱柱與棱錐

探討性學(xué)習(xí)課題：多面體歐拉定理的發(fā)覺

閱讀材料歐拉公式和正多面體的種類

9.10球

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題九

第十章排列、組合和二項(xiàng)式定理

10.1分類計(jì)數(shù)原理與分布計(jì)數(shù)原理

10.2排列

10.3組合

閱讀材料從集合的角度看排列與組合

10.4二項(xiàng)式定理

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題十

第十一章概率

11.1隨機(jī)事務(wù)的概率

11.2互斥事務(wù)有一個(gè)發(fā)生的概率

11.3相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率

閱讀材料抽簽有先有后，對(duì)各人公允嗎?

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題十一

高三數(shù)學(xué)第三冊(cè)（理科）

第一章概率與統(tǒng)計(jì)

1.1離散型隨機(jī)變量的分布列

1.2離散型隨機(jī)變量的期望與方差

1.3抽樣方法

1.4總體分布的估計(jì)

閱讀材料累積頻率分布

1.5正態(tài)分布

1.6線性回來(lái)

閱讀材料回來(lái)直線方程的推導(dǎo)

實(shí)習(xí)作業(yè)通過抽樣調(diào)查，探討實(shí)際問題

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題一

其次章極限

2.1數(shù)學(xué)歸納法與其應(yīng)用舉例

閱讀材料不完全歸納法與完全歸納法

探討性學(xué)習(xí)課題：楊輝三角

2.2數(shù)列的極限

2.3函數(shù)的極限

2.4極限的四則運(yùn)算

閱讀材料無(wú)窮等比數(shù)列的和

2.5函數(shù)的連續(xù)性

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題二

第三章導(dǎo)數(shù)

3.1導(dǎo)數(shù)的概念

3.2幾中常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

閱讀材料改變率舉例

3.3函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)

3.4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3.5對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

閱讀材料近似計(jì)算

3.6函數(shù)的單調(diào)性

3.7函數(shù)的極值

3.8函數(shù)的最大值與最小值

3.9微積分建立的時(shí)代背景和歷史意義

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題三

第四章數(shù)系的擴(kuò)充一復(fù)數(shù)

4.1復(fù)數(shù)的概念

4.2復(fù)數(shù)的運(yùn)算

4.3數(shù)系的擴(kuò)充

探討性學(xué)習(xí)課題：復(fù)數(shù)與平面對(duì)量、三角函數(shù)的

聯(lián)系

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題四

高三數(shù)學(xué)第三冊(cè)（文科）

第一章統(tǒng)計(jì)

1.1抽樣方法

1.2總體分布的估計(jì)

1.3總體期望值和方差的估計(jì)

實(shí)習(xí)作業(yè)通過抽樣調(diào)查探討實(shí)際問題

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題一

附錄隨機(jī)數(shù)表

其次章導(dǎo)數(shù)

2.1導(dǎo)數(shù)的背景

2.2導(dǎo)數(shù)的概念

2.3多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.4函數(shù)的單調(diào)性與極值

2.5函數(shù)的最大值與最小值

2.6微積分建立的時(shí)代背景和歷史意義

探討性學(xué)習(xí)課題：楊輝三角

小結(jié)與復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)參考題二

中學(xué)數(shù)學(xué)基本公式

基本性質(zhì)：

r((a)(b))

2(a)()(a)(M)(a)(N);

3(a)0(a)(M)(a)(N);

4(a)(M'n)(a)(M)

三角函數(shù)的和差化積公式

a+B=2(a+B)/2?(。-6)/2

a—B=2(a+B)/2?(a—6)/2

a+B=2(a+B)/2?(a—6)/2

a—B=-2(a+B)/2?(a—0)/2

三角函數(shù)的積化和差公式

a?B=1/2[(a+B)+(a—B)]

a?B=1/2[(a+B)—(a—B)]

a?B=1/2[(a+B)+(a—B)]

a?B=-1/2[(a+B)-(a-3)]

倍角公式

22[1-0^2]

2(廠2-(廠2=2(廠2-1=1-20^2

半角公式

(2)=7((1)/2)(2)7((1)/2)

(2)=V((l)/2)(2)J((1)/2)

⑵=J(⑴/(⑴)(2)7((1)/((D)

⑵=J(⑴/(⑴)⑵J(⑴/(⑴)

某些數(shù)列前n項(xiàng)和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…(1)/2

1+3+5+7+9+11+13+15+--+(21)2-

2+4+6+8+10+12+14+-+(2n)(1)5

r2+2'2+3*2+4*2+5'2+6*2+7"2+8"2+-'2(l)(21)/6

r3+2'3+3*3+4"3+5"3+6"3+—n"32(1)2/4

l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+-(1)(1)(2)/3

正弦定理2R注：其中R表示三角形的外接圓半徑

余弦定理b'2^2'2-2注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(廠2+(廠2=-2注：()是圓心坐標(biāo)

圓的一般方程x'2-20注：D"2'2-4F>0

拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程廠2=2y-22x"2=2x"22

直棱柱側(cè)面積*h斜棱柱側(cè)面積’*h

正棱錐側(cè)面積l/2c*h'正棱臺(tái)側(cè)面積1/2(')h'

圓臺(tái)側(cè)面積1/2(')()1球的表面積4*r2

圓柱側(cè)面積*2*h圓錐側(cè)面積l/2*c**r*l

中數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)問與結(jié)論分類解析

一、集合與簡(jiǎn)易邏輯

1.集合的元素具有確定性、無(wú)序性和互異性.

2.對(duì)集合A、8,A8=0時(shí)，必需留意到“極端”狀況：A=0或3=0；求

集合的子集時(shí)是否留意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真子集.

3.對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集

的個(gè)數(shù)依次為2",2"-1,2"-2.2"-1,

4.“交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即C“(A/8)=G,ACVB"；"并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交，

n

即C(AB)=C〃ACvB.

5.推斷命題的真假關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；留意："不'或'即'且'，

不'且‘即'或'".

6.“或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點(diǎn)

是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)是“一真一假”.

7.四種命題中"‘逆'者'交換'也"、"'否'者'否定'也”.

原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價(jià).反證法分為

三步：假設(shè)、推矛、得果.

留意：血題的查定是“命題的韭魚題，也就是，條佳丕變」僅查定績(jī)也所

得命題”，但查愈題是“既查定愿翕題的條件隹為條.住.，...又查定原血題的結(jié)迨

隹為結(jié)論.的所得龕題”.

8.充要條件

二、函數(shù)

mImr

1.指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，。：=劣，產(chǎn)，"N

a"

/=N=log?N=b(a>0,a豐1,N>0),

a°=1，log?1=0，log?a=1，Ig2+lg5=l，log?x=lnx，iog=，

°log.,a

fl

logb"=—\ogb.

ma

2.(1)映射是“'全部射出‘加‘一箭一雕’”；映射中第一個(gè)集合A中的元

素必有像，但其次個(gè)集合8中的元素不肯定有原像(A中元素的像有且僅有下

一個(gè)，但8中元素的原像可能沒有，也可隨意個(gè))；函數(shù)是“非空數(shù)集上的映

射”，其中“值域是映射中像集8的子集”.

(2)函數(shù)圖像與x軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但與y軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有,

也可隨意個(gè).

(3)函數(shù)圖像肯定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不肯定能成為函

數(shù)圖像.

3.單調(diào)性和奇偶性

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

留意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱.確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.對(duì)于偶函數(shù)而言

有:f(-x)=/(X)=/(|X|).

(2)若奇函數(shù)定義域中有0,則必有/(())=().即Oef(x)的定義域時(shí)，

〃0)=0是為奇函數(shù)的必要非充分條件.

(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作

差、鑒定)、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值

法等等.

(4)既奇又偶函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)(/(x)=0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的隨意

一個(gè)數(shù)集).

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必

異性”.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.復(fù)合函數(shù)要考

慮定義域的改變。(即復(fù)合有意義)

4.對(duì)稱性與周期性(以下結(jié)論要消化汲取，不行強(qiáng)記)

(1)函數(shù)y=f(x)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線X=0(y軸)對(duì)稱.

推廣一：假如函數(shù)y=/(x)對(duì)于一切xeR,者口有/(。+》)=/(〃一可成立,

則y=/(x)的圖像關(guān)于直線x=厘(由'”和的一半x=("+x)；S—x)確定”)

22

對(duì)稱.

推廣二：函數(shù)y=f(a+x),尸/9-力的圖像關(guān)于直線廣一(由

a+x=8-x確定)對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=-/(x)的圖像關(guān)于直線y=0(x軸)對(duì)稱.

(3)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)尸-〃-力的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.

推廣：曲線/(x,y)=O關(guān)于直線y=x+b的對(duì)稱曲線是f(y-b,x+b)-O;

曲線/(x,y)=O關(guān)于直線y=-x+b的對(duì)稱曲線是./'(-y+O,-x+))=O.

(5)類比“三角函數(shù)圖像”得：若y=/(x)圖像有兩條對(duì)稱軸

x=a,x=b(a豐b),則＞=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為T=2|a-6|.

假如y=f(x)是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)周期為T,則

/(X±A?T)=/(X)(/7GZ).

特殊：若f(x+a)=-f{x}{a0)恒成立，則T=2a.若

/(x+a)=—'―("0)恒成立，貝!jT=2a.若f(x+a)=-一匚(叱0)恒成立，則

/(x)f(x)

T=2a.

三、數(shù)列

1.數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前

〃項(xiàng)和公式的關(guān)系：4=恬(〃；1)?(必要時(shí)請(qǐng)分類探討).

一々

留意：an-(an-an_x)+{an_x-an_2)++(a2-a^+a［；an=---------??—?.

an-\an-2a\

2.等差數(shù)列{%}中:

(1)等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

Q

(2)〃=q+(n-l)d=am+(〃-in)d；p+q=in+n^>ap+aq=am+an.

⑶{"四、{h“}也成等差數(shù)列.

(4)兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和(差)組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列.

(5)%+%++am,ak+ak+l++ak+m_v仍成等差數(shù)列.

c〃(q+a“),n(n-l)ddS,

(6)S=——!-----,S-na+----------d,Sc=—n2+(a,——)〃,a=2-nt,

n2nA2n22"2n-l

y-=f(n)=>今=f(2n-1).

(7)ap=q,%=p(p*q)ncip”=O;=q,S?=p(pXq)=5*學(xué)=—(p+q);

S,“+.=S,?+S?+mnd.

(8)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最大值是全部非負(fù)項(xiàng)之和；

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是全部非正項(xiàng)之和；

(9)有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必定聯(lián)系，由數(shù)列的總

項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)確定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”一“奇數(shù)項(xiàng)和”

二總項(xiàng)數(shù)的一半與其公差的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則''奇數(shù)項(xiàng)和”一“偶數(shù)項(xiàng)

和”=此數(shù)列的中項(xiàng).

(10)兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常考慮

選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、

和式法、圖像法(也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式).

3.等比數(shù)列｛叫中：

（1）等比數(shù)列的符號(hào)特征（全正或全負(fù)或一正一負(fù)），等比數(shù)列的首項(xiàng)、

公比與等比數(shù)列的單調(diào)性.

xn

（2）an=axq"-=amq"-';p+q=m+bp-bq=bm-hn.

⑶｛1%|｝、｛%（1）?,｝、｛0｝成等比數(shù)列；｛q,｝、｛〃,｝成等比數(shù)列n他也｝成

等比數(shù)列.

（4）兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積（商）組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

（5）q+%++a,”M?+a*+i++ak+m-\>成等比數(shù)列.

叫（4=1）/叫（4=1）

（6）■=忙也=4。臼）（#]）=_'小旦（#】）.

\-q\-q[\-q\-q

特殊：a"-/?"-（?-b）（a"-'+a7b+a'-V++abn-2+b'-'）.

m

⑺Sm+n=Sm+qS?=Sll+q-Sm.

（8）“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前〃項(xiàng)積的最大值是全部大于

或等于1的項(xiàng)的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前”項(xiàng)積的最小值是

全部小于或等于1的項(xiàng)的積；

（9）有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的存在必定聯(lián)系，由數(shù)列的總

項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)確定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”=“奇數(shù)項(xiàng)和”

與“公比"的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”=“首項(xiàng)”加上“公比”

與“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和.

（10）并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù)a涉同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù)“涉存在等

比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù)〃力的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì)G=±瘀.也就是

說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)（非同號(hào)時(shí)），假如有，必有一對(duì)（同號(hào)時(shí)）.在

遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

（11）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)法、

和式法（也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式）.

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

（1）假如數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列，則數(shù)列｛Ag（A""總有意義）必成等比數(shù)列.

（2）假如數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列，則數(shù)列｛1嗚|*｝（心0,"1）必成等差數(shù)列.

（3）假如數(shù)列他｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，則數(shù)列｛4｝是非零常數(shù)數(shù)列；

但數(shù)列｛4｝是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

（4）假如兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，則由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是

等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

假如一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，則常選

用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)

列中那些項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列.

留意：（1）公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不肯定相同，即探討?！?粼.但

也有少數(shù)問題中探討=勿，這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù)相同.（2）三（四）

個(gè)數(shù)成等差（比）的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），

②等比數(shù)列求和公式（三種形式），

③1+2+3++"=鼻（”+1）,12+22+32++〃2=工〃（〃+1）（2〃+1）,

26

1+3+5++（2〃-1）="2,1+3+5++（2〃+1）=（〃+1）2.

（2）分組求和法：在干脆運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同

類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.

（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其

共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性

的作用求和(這也是等差數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法).

(4)錯(cuò)位相減法：假如數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)

列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，則常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的的等比數(shù)

列的和”求解(留意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的

項(xiàng)數(shù)減一的差”！)(這也是等比數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法之一).

(5)裂項(xiàng)相消法：假如數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)

分裂后相關(guān)聯(lián)，則常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：

①—1

n(n+1)n〃+1

②一L-一一L_),

n(n+k)Knn+k'

特殊聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，

必要時(shí)分類探討.

(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。

四、三角函數(shù)

1.a終邊與6終邊相同(a的終邊在。終邊所在射線上)=a=e+2k兀(kwZ).

a終邊與。終邊共線(a的終邊在。終邊所在直線上)。.

a終邊與。終邊關(guān)于x軸對(duì)稱oa=-0+2k7r(keZ).

a終邊與。終邊關(guān)于y軸對(duì)稱oa=7r-0+2k7r(k.

a終邊與。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱oa=〃+6+2k兀(keZ).

一般地：a終邊與。終邊關(guān)于角夕的終邊對(duì)稱oa=2/7-6+2Z乃(ZeZ).

a與當(dāng)?shù)慕K邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定.

2.弧長(zhǎng)公式：/=|a|R,扇形面積公式：S=：/R=3|a|R2,1弧度(1)*57.3.

3.三角函數(shù)符號(hào)特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

留意：sin15°=cos75°=娓二◎,sin75°=cos15°=巫彳逝,

44

tan15=cot75=2-6，tan75=cot15=2+石，sinl80=^=^.

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在x軸上（起點(diǎn)在x軸上）”、余弦線“躺

在x軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、正切線“站在點(diǎn)A（l,0）處（起點(diǎn)是A）”.務(wù)必重

視“三角函數(shù)值的大小與單位圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦'<=>'縱

坐標(biāo)'、'余弦'<=>'橫坐標(biāo)'、‘正切'o'縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商'”；

務(wù)必記?。?jiǎn)挝粓A中角終邊的改變與sintz土cosa值的大小改變的關(guān)系.a為銳

角=sina<a<tana.

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運(yùn)用中，務(wù)必重視“依據(jù)已知角的范圍和

三角函數(shù)的取值，精確確定角的范圍，并進(jìn)任定號(hào)”;

6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號(hào)看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是

“角的變換”！

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其

倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

如a=（a+￡）-/?=（&_￡）+/?,2a=（a+j3）+（a-J3）,2a=（/3+a）-（/3-a）,

a+B=2.彗,守=卜一雪一修叫等.

常值變換主要指“1”的變換：

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan]=siny=cosO=等.

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降

次、升次）、運(yùn)算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）.解題時(shí)本著“三看”的基

本原則來(lái)進(jìn)行：“看角、看函數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形運(yùn)

用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次.

留意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號(hào)特征；余弦倍角公式的三種形式選用;

降次（升次）公式中的符號(hào)特征."正余弦'三兄妹一sinx±cos^sinxcosxJ的

聯(lián)系”（常和三角換元法聯(lián)系在一起

，=sinx±cosxG[-＞/2,5/2],sinxcosx=）.

協(xié)助角公式中協(xié)助角的確定：asinx+bcos冗=J/+〃sin（x+6）（其中。角所

在的象限由a,6的符號(hào)確定，。角的值由tan0=2確定）在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起

a

著重要作用.尤其是兩者系數(shù)肯定值之比為1或G的情形.Asinx+Bcosx=C有

實(shí)數(shù)解OA2+B2NC2.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像與其變換：

（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

留意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；肯定值對(duì)三角函數(shù)周期性的影

響：一般說來(lái)，某一周期函數(shù)解析式加肯定值或平方，其周期性是：弦減半、

切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加肯定值，其周期性不變；其

他不定.$13y=sin2x,j=|sinx|的周期都是乃，但＞=卜2乂+|??乂y=|sinjc|+|cos^的周期為

%,的周期不變，問函數(shù)，y=sin/,y=sin|4y=cos五，是周期函數(shù)嗎？

（2）三角函數(shù)圖像與其幾何性質(zhì)：

（3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮與其向量的平移變換.

（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法（五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)

列）和變換法.

9.三角形中的三角函數(shù)：

（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為乃，隨意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，隨

意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形。三內(nèi)角都是銳角。＞三內(nèi)角

的余弦值為正值。任兩角和都是鈍角。隨意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

（2）正弦定理：3=&=f=27?（7?為三角形外接圓的半徑）.

sinAsinBsinC

留意：己知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則

務(wù)必留意可能有兩解.

（3）余弦定理：?+/-2bccosAcosA='+<~---1等，

2bc2bc

常選用余弦定理鑒定三角形的類型.

（4）面積公式：S=ga%=gabsinC=^~.

ZZ4K

五、向量

1.向量運(yùn)算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請(qǐng)留意：向量運(yùn)算中向量起點(diǎn)、終點(diǎn)與其

坐標(biāo)的特征.

2.幾個(gè)概念：零向量、單位向量（與AB共線的單位向量是+也，特殊：

（普+與U（普-禺））、平行（共線）向量（無(wú)傳遞性，是因?yàn)橛?）、相

\AB\\AC\\AB\\AC\

等向量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以與一個(gè)向量在另一向量方向上的

投影（0在6上的投影是=加05<4,。>=$^€11）.

11忖

3.兩非零向量平行（共線）的充要條件

a//b<^>a=Ab<=>（a-h）2=（|6f||/?|）2o%/+y%=。?

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件

a±hoah=0<=>|a+h\=\a-h\o玉/+y%=。?

特殊：零向量和任何向量共線.a=一是向量平行的充分不必要條件!

4.平面對(duì)量的基本定理：假如e和。是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對(duì)

該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4、右，使力+4分

5.三點(diǎn)A、B、C共線=AB、AC共線；

向量P4P8、PC中三終點(diǎn)48、C共線=存在實(shí)數(shù)a、力使得：

PA=aPB+j3PCS.a+j3=l.

22

6,向量的數(shù)量積：|a|=(a)=a-a9a-b=\a\\b\cos0=xix2+y1y2,

cos0=ab為毛+y％

⑷助斤:即F

a在匕上的投影=\a\cos<a,b>=—=號(hào)+）'通?

網(wǎng)衍I

留意：<a,b>為銳角o"?">（）且a、b不同向;

<a,b>為直角=a力=0且外人N。；

<a,Z?>為鈍角=a/<0且a、人不反向；

4力<0是<a,b>為鈍角的必要非充分條件.

向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)分：一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的

向量和為零向量，這是題目中的自然條件，要留意運(yùn)用；對(duì)于一個(gè)向量等式，

可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)

向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量；向量的“乘法”

不滿意結(jié)合律，即及5?1）#@?5］，切記兩向量不能相除（相約）.

7.\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\

留意：ayb同向或有0O|a+〃|=|a|+N||a|-|b||=|a-〃|;

a、〃反向或有0<^\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\=\a+b\;

。、人不共線=||a|-|b||<|a±Z?|<|a|+聞.（這些和實(shí)數(shù)集中類似）

_內(nèi)+%2

8.中點(diǎn)坐標(biāo)公式「丁，加尸=叫+后。.為3的中點(diǎn).

r-2

AABC中，AB+AC過8c邊中點(diǎn)；（也+&）1（&.生）；

\AB\\AC\|AB||AC|

與A映線的單位向量是土迫.PG=J（P4+PB+PC）=G為A4BC的重心;

\AB\3

特殊PA+PB+PC=0oP為AABC的重心.

PAPB=PBPC=PCPAoP為AABC的垂心;

+_ACL）（AH0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是ABAC的角平分線所在

|AB|\AC\

直線）

\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB=O^PA4BC的內(nèi)心.

2

SABC=||AB||AC|sinA=g亦即AC『一（A5.AC）.

六、不等式

1.（1）解不等式是求不等式的解集，最終務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集

的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.

（2）解分式不等式綱>〃（”（））的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分，分子

g（x）

分母分解因式，X的系數(shù)變?yōu)檎?標(biāo)根與奇穿過偶彈回）；

（3）含有兩個(gè)肯定值的不等式如何去肯定值？（一般是依據(jù)定義分類探討、

平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）;

（4）解含參不等式常分類等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類探討.留意：按參數(shù)探

討，最終按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)探討，最終應(yīng)求并集.

2.利用重要不等式a+bN2疝以與變式（竽f等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必

留意a,1R+（或a,6非負(fù)），且“等號(hào)成立”時(shí)的條件是積或和a+8其中

之一應(yīng)是定值（一正二定三等四同時(shí)）.

3.常用不等式有：耳正N乎NJ茄之生（依據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算

a+b

結(jié)構(gòu)選用）

a、b、e,cr+b'+c2>ab+be+ca（當(dāng)且僅當(dāng)a=A=c時(shí)，取等號(hào)）

4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性

質(zhì)法、綜合法、分析法

5.含肯定值不等式的性質(zhì):

a、b同號(hào)或有0U>Ia+匕HaI+聞NIIaI-聞1=1a-b|;

a、b異號(hào)或有0<^\a-b\=\a\+\b\>\\a\-\b\\^a+b\.

留意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？(常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分

別變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題).

6.不等式的恒成立，能成立,恰成立等問題

(1).恒成立問題

若不等式/(x)>A在區(qū)間O上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上/(%)mjn>4

若不等式/(x)<B在區(qū)間。上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間。上/(%)_<B

(2).能成立問題

若在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)x使不等式/(x)>A成立，即/(x)>A在區(qū)間。

上能成立，，則等價(jià)于在區(qū)間。上A

若在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)x使不等式/(x)<3成立，即/(x)<8在區(qū)間。

上能成立，，則等價(jià)于在區(qū)間。上的〃x)m1n<5.

(3).恰成立問題

若不等式f(x)>A在區(qū)間。上恰成立，則等價(jià)于不等式,f(x)>A的解集

為。.

若不等式/(x)<8在區(qū)間。上恰成立，則等價(jià)于不等式/(x)<8的解集

為，

七、直線和圓

1.直線傾斜角與斜率的存在性與其取值范圍；直線方向向量的意義(“=〃")或

2(0,1)(2^0))與其直線方程的向量式((x-%,>-%)=%(。為直線的方向向

量)).應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為

h但你是否留意到直線垂直于x軸時(shí)，即斜率左不存在的狀況?

2.知直線縱截距6,常設(shè)其方程為曠=丘+8或x=0；知直線橫截距與,常設(shè)其

方程為x=，"y+Xo(直線斜率k存在時(shí)，m為k的倒數(shù))或y=0.知直線過點(diǎn)

(公,%),常設(shè)其方程為丁=女。-%)+%或x=x().

留意：(1)直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、一

般式、向量式.以與各種形式的局限性.(如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存在的直線,

還有截矩式呢？)

與直線l.Ax+By+C^0平行的直線可表示為Ax+By+Cx=0；

與直線l:Ax+By+C=0垂直的直線可表示為Bx-Ay+C,=0；

過點(diǎn)P(x°,y°)與直線/:Ar+5j+C=0平行的直線可表示為：

A(x-Xo)+B(y->o)=O；

過點(diǎn)P(x0,%)與直線l-.Ax+By+C^0垂直的直線可表示為：

B(x-x0)-A(^-yo)=O.

(2)直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等=直

線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)。直線的斜率為1或直線

過原點(diǎn)；直線兩截距肯定值相等。直線的斜率為±1或直線過原點(diǎn).

(3)在解析幾何中，探討兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直線重合,

而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個(gè)不同的概念：夾角特指相交

兩直線所成的較小角，范圍是而其到角是帶有方向的角，范圍是(0,7).

注：點(diǎn)到直線的距離公式

,|Ar()+By()+C|

特殊：4U=左4=-1(匕、心都存在時(shí))o442+4生=0；

4〃/20m2(…2都存在時(shí))O健箜2；

卜’2重合O｛，=/3、自都存在時(shí))O｛於=靜或BG=B2C,'

4.線性規(guī)劃中幾個(gè)概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

5.圓的方程：最簡(jiǎn)方程M+y2=R2；標(biāo)準(zhǔn)方程(i)2+(i)2=用；

一般式方程f+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);

參數(shù)方程收世嚼(6為參數(shù))；

IV-SillC/

直徑式方程0-%)(%-々)+(>-%)(曠-％)=0.

留意：

(1)在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是

(~^~2),R=2JD2+E-4F.

(2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”供應(yīng)了樣板，常用三角換元有：

x?+>2=1-?x=cos6,y=sin。，x2+/=2-^x=V2cos6?,y=>/2sin(?,

x2+j2<1->x=rcos0,y=rsin0(0<r<1),

x2+y2<2—>x=rcos。,y=rsin0[0<r<>/2).

6.解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思

路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半弦長(zhǎng)、弦

心距構(gòu)成直角三角形，切線長(zhǎng)定理、割線定理、弦切角定理等等)的作用！”

2

(1)過圓/+_/=*上一點(diǎn)尸(為,％)圓的切線方程是：xxa+yy0=R,

222

過圓(x-a)+(y-b)=R上一點(diǎn)P(x0,y0)圓的切線方程是：

2

(x-d)(x0-a)+(y-a)(y0-a)=/?,

22

過圓V+丁+6+Ey+F=0(D+E-4F>0)上一點(diǎn)P(x0,%)圓的切線方程

是：xro+y%+g(x+Xo)+號(hào)(y+%)+F=O?

假如點(diǎn)P(%,%)在圓外，則上述直線方程表示過點(diǎn)P兩切線上兩切點(diǎn)的

“切點(diǎn)弦”方程.

假如點(diǎn)P（x0,y。）在圓內(nèi)，則上述直線方程表示與圓相離且垂直于0產(chǎn)（。1

為圓心）的直線方程，|0/M=R2（1為圓心01到直線的距離）.

7.曲線G：/（x，y）=O與C,:g（x,y）=O的交點(diǎn)坐標(biāo)o方程組加的解；

y）-u

過兩圓Ci:F（x,y）=0、C2:g（x,y）=0交點(diǎn)的圓（公共弦）系為f{x,y）+Ag（x,j）=0,

當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)平方項(xiàng)時(shí)，/（x,y）+4g（x,y）=0為兩圓公共弦所在直線方程.

八、圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個(gè)定義，與其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件,在圓錐曲線問題中，假

如涉與到其兩焦點(diǎn)（兩相異定點(diǎn)），則將優(yōu)先選用圓錐曲線第肯定義；假如涉與

到其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線（肯定點(diǎn)和不過該點(diǎn)的肯定直線）或離心率，則將優(yōu)先選用圓

錐曲線其次定義；涉與到焦點(diǎn)三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余

弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

（1）留意：①圓錐曲線第肯定義與配方法的綜合運(yùn)用；

②圓錐曲線其次定義是：“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母"，橢圓=

點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線O點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是大于1

的正數(shù)，拋物線。點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是等于1.③圓錐曲線的焦半徑公式如

下圖：

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對(duì)稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特

殊點(diǎn)線、圓錐曲線的改變趨勢(shì).其中e=C,橢圓中立=0二百、雙曲線中

aa

a

重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值與其'頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、

準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)的幾何性質(zhì)'”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、

焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).

留意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì).

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思

想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.特殊是：

①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一

元二次方程時(shí)，務(wù)必“判別式20”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決問題時(shí),必需

先有“判別式20”.

②直線與拋物線（相交不肯定交于兩點(diǎn)）、雙曲線位置關(guān)系（相交的四種狀

況）的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理.

③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，"平行弦''問題

的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦''問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角

形"或"點(diǎn)差法”、"長(zhǎng)度（弦長(zhǎng)）”.問題關(guān)鍵是長(zhǎng)度.（弦長(zhǎng)）公式

2

??|AB|=/"一八'+日一人產(chǎn)，\ABhVl+^\x2-x2

|AB|=-必1=或“小小直角三角形”.

④假如在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，則可選擇應(yīng)用“斜率”

為橋梁轉(zhuǎn)化.

4.要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點(diǎn)法、

參數(shù)法、交軌法、向量法等），以與如何利用曲線的方程探討曲線的幾何性質(zhì)

（定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類探討思想和

等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本動(dòng)身點(diǎn).

留意：①假如問題中涉與到平面對(duì)量學(xué)問，則應(yīng)從已知向量的特點(diǎn)動(dòng)身，考

慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形

式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化.

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個(gè)不同的概念,尋求軌跡或軌跡

方程時(shí)應(yīng)留意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如

角平分線的雙重身份）、”方程與