高職單招數(shù)學(xué)知識點(diǎn)

中學(xué)數(shù)學(xué)第一章-集合

考試內(nèi)容:

集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.

邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求:

(1)理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意

義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；駕馭有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用

它們正確表示一些簡潔的集合.

(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題與其

相互關(guān)系；駕馭充分條件、必要條件與充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯學(xué)問要點(diǎn)

一、學(xué)問結(jié)構(gòu):

本章學(xué)問主要分為集合、簡潔不等式的解法(集合化簡)、簡易邏輯

三部分:

二、學(xué)問回顧:

(一)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的運(yùn)用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為A工A;

②空集是任何集合的子集，記為。

③空集是任何非空集合的真子集；

假如AQ,同時(shí)BUA,則A=B.

假如A=B,B三C,那"=C.

［注］:①生{整數(shù)}(J)Z={全體整數(shù)}(X)

②已知集合S中力的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：

S=N；A=N+,則GA={0})

③空集的補(bǔ)集是全集.

3.①{(x,y)Ixy=0,xRR,於坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②］(x,y)\xy<0,xGR,昨彳}二、四象限的點(diǎn)集.

③l(x,y)\xy>0,xGR,yG??}一、三象限的點(diǎn)集.

［注］:①對方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：?+r3,解的集合{(2,1)}.

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.(例：A={(筋y)|y=x+l}B={y|y=/+1}則

AC\B=0)

4.①n個(gè)元素的子集有2〃個(gè).②〃個(gè)元素的真子集有2〃一1個(gè).③〃

個(gè)元素的非空真子集有2n-2個(gè).

5.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題肯定為真.否命題。逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題肯定為真.原命題=逆否命題.

例：①若a+〃片5,則aw2或/3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且6=3,則a+6=5,成立，所以此命題為真.

②x*1且y22,^^x+

解：逆否：X+y=3Ax=1或y=2.

:.x豐1且"2x+y#3,故x+yn3是XK1且"2的既不是充分,又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：右x"5,Y2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：ABo{x|xeA且xeB}

并：Al.Bo{x|xeAglueB}

補(bǔ)：CuA={xeU,且x/A}

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

（1）包含關(guān)系：

（2）等價(jià)關(guān)系：AqBoA3=A=4B=BoCuAB=U

（3）集合的運(yùn)算律：

交換律：An8=BnA;AU5=BUA

結(jié)合律：（An3）nC=An（8nC）;（AU8）UC=AU（8UC）

（二）含肯定值不等式、一元二次不等式的解法與延長

1.整式不等式的解法

特例①一元一次不等式ax〉b解的探討；

②一元二次不等式ax2+box〉0（a>0）解的探討.

A>0A=0A<0

二次函數(shù)

IL

y=ax2+bx-\-cITUJ

(a>0)的圖象o|X1=X2XX

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2++c=0h

x,x(x<x)Xi==---無實(shí)根

(〃〉0酌根x2122a

ax2+bx+c>0b

VX］或x〉/}<xx^--------j

（。>0）的解集2aR

ax1+bx+c<0

<X<x2）0

3>0）的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為》0(或△2<0)；△包20(或幺立W0)

g(x)g(x)g(x)g(x)

的形式，

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)

歿>0=/(x)g(x)>0;四>0=V代系)20

g(x)g(x)(g(x)HO

3.含肯定值不等式的解法

(1)公式法：血+耳<c,與同+4>c(c>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類探討.

(3)幾何法：依據(jù)肯定值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a#:0)

(1)根的“零分布”：依據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列

式解之.

（三）簡易邏輯

1、命題的定義：可以推斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡潔命題與復(fù)合命題:

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)

詞的命題是簡潔命題；由簡潔命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、

“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式:P或q（記作“pVq”）；p且q（記作"p形式）;

非P（記作“iq”）o

3、“或”、“且”、“非”的逆命題

若q則p

真值推斷T

（1）“非P”形式復(fù)合命題的真假

I逆否命題I

;若”則IP|

與F的真假相反；

（2）“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真，其他狀況時(shí)

為假；

（3）“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)為假，其他狀況時(shí)

為真.

4、四種命題的形式：

原命題：若P則q；逆命題：若q則P；

否命題：若［P則1q；逆否命題：若1q則［Po

（1）交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

（2）同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題;

⑶交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命

題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題。

逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不肯定為真。

②、原命題為真，它的否命題不肯定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題肯定為真。

6、假如已知pnq則我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pnq且qnp,則稱P是q的充要條件，記為P=q.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面動(dòng)身（假設(shè)），引出（與已知、公理、

定理…）沖突，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證

法。

中學(xué)數(shù)學(xué)其次章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對數(shù).對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，駕馭推斷一些簡潔函數(shù)的單調(diào)性、

奇偶性的方法.

(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，駕馭有理指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，駕馭指數(shù)函

數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(5)理解對數(shù)的概念，駕馭對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；駕馭對數(shù)函數(shù)的概念、圖

像和性質(zhì).

(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡潔的

實(shí)際問題.

§02.函數(shù)學(xué)問要點(diǎn)

學(xué)問回顧：

(一)映射與函數(shù)

1.映射與--映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起確

定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定

義域和對應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).

(二)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義:對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的隨意兩個(gè)自變量的值

X1,X2,

⑴若當(dāng)xKx?時(shí)，都有f(X)<f(X2),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)X1<X2時(shí)，都有則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在

這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：

(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)/(.X)為奇

函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；(2)/(-x)=/(x)或

/(-X)=-/a)是定義域上的恒等式。

2.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖形，偶函數(shù)

的圖象關(guān)于、軸成軸對稱圖形。反之亦真，因此，也

可以利用函數(shù)圖象的對稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。

3.奇函數(shù)在對稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對稱區(qū)間增

減性相反.

4.如果"X)是偶函數(shù)，則"x)=〃|x|),反之亦成立。

若奇函數(shù)在x=0時(shí)有意義，則."0)=0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：/(-%)=/(X)

設(shè)(〃為)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(…)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿意

①定義域肯定要關(guān)于y軸對稱，例如：＞在口一)上不是偶函數(shù).

②滿意/(-x)=/(x),或/(-x)-/(x)=0,若/(x)#0時(shí)，/4=1.

/(-X)

⑵奇函數(shù)：/(-x)=-/(x)

設(shè)ia,b)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿意

①定義域肯定要關(guān)于原點(diǎn)對稱，例如：y=d在口一)上不是奇函數(shù).

②滿意X),或…+"。，若即。時(shí)'碧一

8推斷函數(shù)掣I姓(定義J,曦燧f艮號的肯定要分子有理化，例如:

/*|)_/(彳2)=+b~=

Jx：+6?+Jx：+b?

在進(jìn)行探討.

9.⑴熟識常用函數(shù)圖象:

y=[2，+2x-l|f3關(guān)于x軸對稱.

⑵熟識分式圖象：'J

例：y=2、+1=2T■—^―=>定乂域{x|x#3,xeR},

-x-3x-3

值域3"2,"尺｝~*值域二x前的系數(shù)之比.

(三)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

(5)在R上是減函數(shù)

對

圖數(shù)

象函

數(shù)

產(chǎn)

性(1)定義域：(0,+°°)

lo

g"X

的

圖

象

和

性

質(zhì)

對數(shù)運(yùn)算:

質(zhì)(2)值域：R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0

(4)X￡(0,l)時(shí)"0xe(0,1)時(shí)y>0(

%G(1,+00)時(shí)y>0xe(l,+oo)時(shí)yv。四

(5)在(0,+8)上是增函在(0,+8)上是減函數(shù))

數(shù)方

法

總結(jié)

(1).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對應(yīng)法則相同.

⑴對數(shù)運(yùn)算：

log”-N)=log.M+logaN(1>

M

log?！?log。M—log”N

N

nl2)

Iog?Af=nloga(±M)

logaVM=-log?M

n

小"N=N

換底公式：log0N=3叱

log/,a

推論：log”b?log%c-log(?a=1

nlog%。2.logg的?????10g〃〃T4=logq%

(以上M?O,NAO,aA(),awl,b>O,bwl,c>0,cl,a1,a2...anA0且w1)

注(1):當(dāng)a,y0時(shí)，log(a-b)=log(—a)+log(-b).

(2):當(dāng)MxO時(shí),取“+"，當(dāng)"是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí),W0,而MYO,故取

a_”

例如：10gax2w210gaX??,(210ga%中X>0而log.，中*WR).

(2)y=a*(aA0,"1)與y=k>g。x互為反函數(shù).

當(dāng)時(shí),y=logax的a值越大,越罪近x軸;當(dāng)OYOYI時(shí)，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解X,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)

的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，

求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉與到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式

中被開方數(shù)不小于0;③對數(shù)的真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1；④零

指數(shù)幕的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反

函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法：①設(shè)x”X2是所探討區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且5

<x2；②判定f(x)與fix?)的大?。虎圩鞑畋容^或作商比較.

(7).奇偶性的判定法:首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱,再計(jì)算f(-x)

與f(x)之間的關(guān)系:①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù);②

f(-x)-f(x)=0為偶;f(x)+f(-x)=o為奇；③f(-x)/f(x)=l是偶；

f(x)4-f(-X)=-1為奇函數(shù).

(8).圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；

②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與

對稱性描繪函數(shù)圖象.

中學(xué)數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列與其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列與其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)

列的一種方法，并能依據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，駕馭等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，

并能解決簡潔的實(shí)際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，

井能解決簡潔的實(shí)際問題.

§03.數(shù)列學(xué)問要點(diǎn)

等比數(shù)列的定義

等比數(shù)列的通項(xiàng)

等比數(shù)列的性質(zhì)

等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

等差數(shù)列等比數(shù)列

?,i-a,,=d

定義1+9=曲*0)

an

=冊_四nm

遞推an=a?_t+d;a,,=a,?_n+md斯；an=amq-

公式

a=q+(n-V)d

nnx

通項(xiàng)an=axq~(a1,#。)

公式

a+a

中項(xiàng)A^n-kn+kG=±yla_a(a_a>0)

12nkn+knkn+k

(n,kwN*,n>k>G)(〃，kwN",〃a%>0)

前N項(xiàng)Sn=13i+a〃)岫(夕=1)

%(1寸)=也處(*2)

/?(/?-1)

和Sn=na\+2d.i-qi-q

重要

a+a=a+a(m,〃，p,qwN”,a-a=ap?ciq(m,n,p,qeN*,m+n=p+q)

性質(zhì)mnpqmn

m+n=p+q)

1.⑴等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義{*}為A?Poan+i-an=d(常數(shù)){%}為G?尸o衛(wèi)?=q（常數(shù)）

--k

通項(xiàng)〃“二〃1+(nl)d=七+(nk)??"a"'=akq"

公式-

d-dn^aid

?(?i+a?),〃(〃T),叫(4=1)

求和s=-----!--------=na+-----------a

n2x12

S6(IT(底］

=《/+(4-多〃n二，

公式1-q"q

A=空女推廣：

中項(xiàng)G2=abo推廣：

2

2

公式2Q“=Q〃T〃+Q〃+,〃an=4-〃金?！?,〃

性

若m+n=p+q則a+a?=a+a若m+n=p+q,則aa=aa。

質(zhì)1mpqmnpg

s

2-?^2?-sn,s3n-s2n成等差數(shù)s“，S2"-s',』f,成等比數(shù)

列。列。

3

d=%一%=(mn)/i=%,q"-m

n—1m—n?lan,

(mwri)

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

a=

CD~n-\d（〃22,d為吊數(shù)）

②2冊=““+1+4,1（”22）

③an=kn+b（",k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①a,,=q（n>2,q為常數(shù),且W0）

②片=?！?「冊-|（"22，。/"+1?！癬戶0）①

注①：i.b^4ac,是a、b、c成等比的雙非條件，即/>=4=（3、b、c等

比數(shù)列.

ii.b=&（ac>0）f為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=土痣f為a、b、。等比數(shù)列的必要不充分.

iv.6=±疝且“ex。->為<3、b、C等比數(shù)列的充要.

留意：隨意兩數(shù)a、c不肯定有等比中項(xiàng)，除非有數(shù)>0,則等比中項(xiàng)肯定

有兩個(gè).

③％=cqn（c,q為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛冊｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log,即｝（XX1）成等比數(shù)列.

⑷數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和S"與通項(xiàng)冊的關(guān)系：%=卜=%"、

［注］:①5生也-1卜=必（。「4）（〃可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條

件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）一若"不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛”“｝前n項(xiàng)和S“=A〃2+8〃=e>2+（a「￡|〃一'可以為零也可不為零

f為等差的充要條件f若”為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若“不為零,

則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不行能

有等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的2倍

Sk，S[k—Sk>s3k_s2k…；

S奇

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃(〃CN+),則S偶-5奇=成,—=—；

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為則S2.-1=(2〃-1卜“，且S奇-S倘=a.，豆=」_

S的"T

n代入”到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+〃=必兇

2

②[2+22+32+..M=〃(〃+1)(2〃+1)

6

2

③13+23+33…/=嗎皿

[注]:熟識常用通項(xiàng)：9,99,999,…=冊=10"-1；5,55,555,-??=>??=1(10?-1).

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為0,年增長率

為r,則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+『.其中第〃年產(chǎn)量為〃(1+r)，1,

且過〃年后總產(chǎn)量為：

a+a(l+r)+a(l+r)2+...+tz(l+r)"-1=°+))].

l-(1+r)

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存“元，利息

為『，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的a元過〃個(gè)月后便成為〃(l+r)"元.因

此，其次年年初可存款：

a(1+r)12+a(l+r)u+a(1+r)10+…+a(l+r)="1+')口一口+"J.

I-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為a元；勿為勿個(gè)月將款全部

付清；r為年利率.

a(l+r)m=Hl+r)“i+x(l+r)m-2+…_v(l+r)+xna(l+r)m=吊"')----=>x="力+”—

r(l+r)m-l

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為5“，在"Y0時(shí)，有最大值.如何確定使S“取最大

值時(shí)的“值，有兩種方法：

一是求使冊20,冊+廠0,成立的"值；二是由〃利用二次函數(shù)的

性質(zhì)求”的值.

⑵假如數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積，求此

數(shù)列前〃項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例

如：....

242"

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就

是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差4,42的最小公倍數(shù).

2.推斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對于n

22的隨意自然數(shù)，驗(yàn)證a“-6-（，」）為同一常數(shù)。（2）通項(xiàng)公式法。（3）中

項(xiàng)公式法:驗(yàn)證2a“+]=a?+砧（*i=eN都成立。

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)S,,的最值問題：⑴當(dāng)為>0,d<0時(shí)，滿意

一"'2°八的項(xiàng)數(shù)m使得外取最大值.（2）當(dāng)《<0,d>0時(shí)，滿意收‘°八的項(xiàng)

數(shù)m使得s,“取最小值。在解含肯定值的數(shù)列最值問題時(shí)，留意轉(zhuǎn)化思想的

應(yīng)用。

（三）、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)

列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中｛%｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，

la?a,^J

C為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛a也｝其中｛%｝是等差數(shù)列，物,｝是各項(xiàng)不為

0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

1):1+2+3+...+n=

2

2)1+3+5+...+(2n-l)=n2

「［12

3)l3+23+---+n3=”〃+l)

4)I2+22+32+---+H2=-n(?+l)(2n+l)

6

5)L=L)

n(n+1)nn+\n(n+2)2nn+2

6)—=---(---)(p<q)

pqq-ppq

中學(xué)數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

隨意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.

正弦、余弦的誘導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin(3x+6)的圖

像.正切函數(shù)的圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

(1)理解隨意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

(2)駕馭隨意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的

定義；駕馭同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；駕馭正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了

解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

(3)駕馭兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；駕馭二倍角的正弦、

余弦、正切公式.

(4)能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡潔三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式

證明.

(5)理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點(diǎn)法”

畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(3x+6)的簡圖，理解A.3、小的

物理意義.

(6)會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx

表示.

(7)駕馭正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

(8)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tan

a,tana?cosa=1”.

§04.三角函數(shù)學(xué)問要點(diǎn)

1.①與a(0°Wa<360°)終邊相同的角的集合(角a與角6的終邊重

▲

y

合)：Mp=kx360°+a,kez}32

sinxsitix

②終邊在X軸上的角的集合：回A=kxl80\kez}:*，

③終邊在y軸上的角的集合：物iP=&xl8(T+90\kez}":

sinxsinx

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|/?IZ?=Ax900,*ez}

SIN\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖

⑤終邊在尸X軸上的角的集合：加1尸=-180。+45。,我2篇工：鑫震3二'三、

⑥終邊在y=-x軸上的角的集合：Mp=kxl8(r-45\kez}

⑦若角a與角△的終邊關(guān)于X軸對稱，則角a與角△的關(guān)系：a=360%-4

⑧若角a與角4的終邊關(guān)于F軸對稱，則角a與角△的關(guān)系：a=360%+180?！?/p>

⑨若角a與角尸的終邊在一條直線上，則角a與角尸的關(guān)系：a=180Z+夕

⑩角a與角6的終邊相互垂直，則角a與角4的關(guān)系：a=360Z+p±90。

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2z180°=乃1°=0.01745

1=57.30°=57°18'

留意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：lrad=!so°弋57.30°=57°18'.1°=

7T

JL^O.01745(rad)

180

3、弧長公式：/日⑶八扇形面積公式：s扇形=g"=；lal,/

4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個(gè)隨意角，在a的終邊y.a的終邊上任

y)P與原點(diǎn)的距l(xiāng)/,(X，y)離為

取(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(X,

y.一-

r，則sin(7=—5cosa=-'tana=—，cola=—?，

rrxy

r?r

seca=—,?csca=—,

xy

5、三角函數(shù)在各象限的符號:(一全二正弦，三切四余弦)

*^T

vpf

正弦、余割余弦、正割正切、

6、三角函數(shù)線16.幾個(gè)重要結(jié)論：

(1)叫(2)yi

正弦線：MP；余弦線：0M；/Xjsinx|J|cosxj/正切

sinx>cosx/.…\?…

_________/_|cosx|>|sinx|\\/|cosx|>|sinxl

線：AT.

/ccsx>sinx/\

//^inxljlcosx卜

(3)若o<x<；廁sinx<x<tanx

7.三角函數(shù)的定義域:

三角函數(shù)定義域

{X|XG7?)

/(x)=sinx

{xIXG/?)

f(x)=COSX

/(x)=tanxjx|XGR且x0女乃+3肛女^2)

{x|xe7?HAWki,kWZ]

f(x)=cotx

f(x)=secxjx|XGR且XWA)+g萬，&Wz}

{x\xehk/r,keZ}

f(x)=CSCX

cosa

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：包吧=tana———=cota

cosasina

tanacota=1cscasina=lsecacosa=l

sin2a+cos2a=1sec2a-tan2a-1esc2a-cot2a=1

9、誘導(dǎo)公式：

L/r

把竺士a的三角函數(shù)化為aM三角函數(shù)，概括為：

2

“奇變偶不變，符號看象限”

三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組二

藕亂三

sinx.2，.

sinx?CSCA=1taru-sin-x+cos-x=1sin(2dr+x)=sinx

cosxcos(2&萬+x)=cosx

cosx

cosx,secx=lcot戶1+tan2x=sec2xtan(2br+x)=tanx

sinx

cot(2Z萬+尤)=cotx

taar,cotr=l1+cot2x=csc2x

sin(-x)=-sinx

cos(-x)=cosX

tan(-x)=-tanx

cot(-x)=-cotx

公式組四公式組五公式組六

sin(乃+x)=-sinxsin(2^-x)=-sinxsin(笈-x)=sinx

cos()+x)=-cosXcos(2^r-x)=cosxcos(〃-x)=-cosX

tan(^+x)=tanxtan(2乃-x)=-tanxtan(;r-jr)=-tanx

81(1+x)=cotXcot(2^--x)=-cotxcot(4一x)=-cotx

（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

cos(a+0)=cosacos力一sinasindsin2cr=2sinacosa

cos(a-P)=cosacos力+sinasinpcos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-\=l-2sin2a

sin(a+/?)=sinacosp+cosasinp

sin(a_0)=sinacos0-cosasinp

tana+tan[i

tan(a+p)—

1-tanatanp

,八、tana-tanBa,Jl-coscrsma1-cosa

tan(a-/?)=---------------tan—=±----------=-----------=-----------

1+tantan/?2V14-cosaA1+cosasina

tan75"=cot15"=2+百.

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì):

y=Asin(air+e)

y=sinxy=cosxy=tanx

/(A、。＞0)

定義RRRQjc^+eZ|R

域

值域[-1,+U[-1,4-1]R[~AA]

周期27c2/rn24

co

性

奇偶奇函偶函奇函數(shù)當(dāng)0/0,非奇非

性數(shù)數(shù)偶

當(dāng)*=0,奇函數(shù)

3-1",.

「會嗚+丘)…冗

247d2k冗-----(P

(D(A),

-y+2k叫上為增上為增函數(shù)

?

2攵萬+-171-(p

上為增函數(shù)(keZ)_---------c-o--------(-4)」

［2而，

單調(diào)函數(shù)；上為增函數(shù)；

(24+1卜］

…冗

性［一+2上乃，上為減2K7T+--(P

---------2—(A),

2CD

3%“1

——+2k兀］

2函數(shù)2~K7T+—37T-(P

----2--------(-A)

_coJ

上為減(keZ)

上為減函數(shù)

函數(shù)

(k&Z)

(keZ)

留意:(Dy=-sinxy=sinx的單調(diào)性正好相反；y=-cosx與y=cosx的單調(diào)性也

同樣相反.一般地，若y=/(x)在m,句上遞增(減)，則y=J；(x)在m,句上遞減

(增).\

②尸卜in］與y=|cos_r|的周期是〃.?1I?

③y=sin(firc+*)或y=cos(?a+q)(owO)的周期7=容■.

H

)—anW的周期為2%(一乃――如圖，翻折無效)?

Zlu,1r1-->~~rnI—乙71

2H

④y=sin(m+°)的對稱軸方程是x=k7i:+三(keZ),對稱中心(女肛0)；y=cos(oi￥+e)

的對稱軸方程是％=&/(ZcZ)，對稱中心(而+「0);y=tan3￥+e)的對

2，

稱中心(絲0).

2

y=cos2x―空電迎一sy=-cos(-2x)=-cos2x

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是Ax)具有奇偶性的必要不充分條件.(奇偶性的

兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱(奇偶都要)，二是滿意奇偶性條件,

偶函數(shù)：/(-X)=/(X),奇函數(shù)：/(-X)=-f(X))

奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：y=tanx是奇函數(shù)，y=tan(x+9)是非

奇非偶.(定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱)

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若Oex的定義域，則/（x）肯定有/（o）=o.（0。的定義域,

則無此性質(zhì)）

⑨y=sinW不是周期函數(shù)；產(chǎn)師才為周期函數(shù)（T=Q；:

八,。聯(lián)是周期函數(shù)（如圖）；kKM為周期鹵疑（土泊―

Y=OCHU1陽年

y.c0s2x+，的周期為萬（如圖），并非全部周期函數(shù)都有最小正周期丁利茹:

y-f（x）=5=f（x+k）,keR.

@y=acosa+bsinp=V^2+^2sin（a+^）4-cos^=—有飛a2+b22田?

a

11、三角函數(shù)圖象的作法：

1）、幾何法:

2）、描點(diǎn)法與其特例一一五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線

作圖法（正、余切曲線）.

3）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象.

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等.

函數(shù)y=Asin（cox+（I））的振幅|A|,周期？=紅，頻率f=_L=@,相

\（o\T2不

位的+0；初相夕（即當(dāng)x=0時(shí)的相位）.（當(dāng)A>0,?>0時(shí)以上公式

可去肯定值符號），

由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|>1）

或縮短（當(dāng)0<|A|Vl）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象，叫做振

幅變換或叫沿y軸的伸縮變換.（用y/A替換y）

由y=sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0<|o|

<1）或縮短（II>1）到原來的比?倍，得到y(tǒng)=sin3x的圖象，叫做

0）

周期變換或叫做沿X軸的伸縮變換.（用3X替換X）

由y=sinx的圖象上全部的點(diǎn)向左（當(dāng)<1>>0）或向右（當(dāng)“<0）

平行移動(dòng)I6I個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin（x+?。┑膱D象，叫做相位變換或

叫做沿x軸方向的平移.（用x+6替換x）

由y=sinx的圖象上全部的點(diǎn)向上（當(dāng)b>0）或向下（當(dāng)b<0）平

行移動(dòng)IbI個(gè)單位，得至I」y=sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移.（用

丫+（七）替換丫）

由y=sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=Asin（<ox+<1））（A>0,

3>0）（xeR）的圖象，要特殊留意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后依

次不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)分。

中學(xué)數(shù)學(xué)第五章-平面對量

考試內(nèi)容：

向量.向量的加法與減法.實(shí)數(shù)與向量的積.平面對量的坐標(biāo)表示.線段

的定比分點(diǎn).平面對量的數(shù)量積.平面兩點(diǎn)間的距離、平移.

考試要求：

（1）理解向量的概念，駕馭向量的幾何表示，了解共線向量的概念.

（2）駕馭向量的加法和減法.

（3）駕馭實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件.

（4）了解平面對量的基本定理，理解平面對量的坐標(biāo)的概念，駕馭平面

對量的坐標(biāo)運(yùn)算.

（5）駕馭平面對量的數(shù)量積與其幾何意義，了解用平面對量的數(shù)量積可

以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，駕馭向量垂直的條件.

（6）駕馭平面兩點(diǎn)間的距離公式，以與線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,

并且能嫻熟運(yùn)用駕馭平移公式.

§05.平面對量學(xué)問要點(diǎn)

1.本章學(xué)問網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.向量的概念

⑴向量的基本要素：大小和方向.⑵向量的表示：幾何表示法AB；

字母表示：a；

坐標(biāo)表示法a=xiyj=(x,y).

⑶向量的長度：即向量的大小，記作IaI.

(4)特殊的向量：零向量a=0oIaI=0.

單位向量a為單位向量=II=1.

(5)相等的向量：大小相等，方向相同(不，匕)=(心，匕)?1"-"

=為

(6)相反向量：所-boK-aoaykO

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a

//b.平行向量也稱為共線向量.

3.向量的運(yùn)算

運(yùn)算類

幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

型