體會-理解-內(nèi)化：高中遞歸程序教學(xué)三步

【摘要】高中信息技術(shù)教學(xué)中，遞歸可將復(fù)雜問題簡單化，且遞歸程序代碼較為簡潔，是程序設(shè)計必備的算法。遞歸同時也是高中信息技術(shù)課標(biāo)要求學(xué)生所掌握的算法。在教學(xué)中，教師可從體會遞歸的原理、深層次理解遞歸、內(nèi)化遞歸思維三個方面展開，促進(jìn)學(xué)生理解遞歸，進(jìn)而形成遞歸思維?！娟P(guān)鍵詞】高中信息技術(shù)；遞歸算法；遞歸程序遞歸在程序設(shè)計領(lǐng)域是一種算法，遞歸程序就是利用遞歸算法編寫的程序代碼。其中遞歸算法的實現(xiàn)依賴于函數(shù)。因此，在一個函數(shù)的函數(shù)體中可以直接或間接地調(diào)用該函數(shù)本身，這樣的函數(shù)稱為遞歸函數(shù)，遞歸函數(shù)直接或間接調(diào)用自身的過程叫作遞歸。［1］在實際教學(xué)中，遞歸程序雖然代碼簡潔，但函數(shù)逐層調(diào)用自己的過程過于復(fù)雜，有時還要逐層返回去執(zhí)行上一層后續(xù)的代碼，教師難講解清楚，學(xué)生易陷入思維混亂。因此，在進(jìn)行遞歸程序教學(xué)時，教師應(yīng)注意設(shè)置情境，引導(dǎo)學(xué)生從形象思維順利過渡到抽象思維，理解遞歸的本質(zhì)以及遞歸執(zhí)行的原理與過程。一、體會遞歸的原理體會遞歸的原理是深入學(xué)習(xí)遞歸的第一步。遞歸的基本思想就是把一個大的復(fù)雜問題逐層轉(zhuǎn)化為一個與原問題相似但規(guī)模較小的子問題來求解，即化繁為簡、以大化小。筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)中可選取能體現(xiàn)遞歸的原理的案例，讓學(xué)生直觀感受的同時，激發(fā)其繼續(xù)探究遞歸的興趣。案例的選取可從生活中的遞歸入手。如分形圖，利用遞歸算法可以模擬出傳統(tǒng)的幾何方法所不能描述的自然景觀，將復(fù)雜的景物用簡單的規(guī)則來生成［2］，從視覺上刺激學(xué)生。如何引導(dǎo)學(xué)生在直觀感受的同時領(lǐng)悟其中的遞歸思想，是教師教學(xué)的重點。筆者認(rèn)為，可以從引導(dǎo)學(xué)生利用計算思維分析案例入手。計算思維解決問題一般分為4個步驟，即分解問題、模式識別、抽象化、算法。以圖1中的遞歸二叉樹案例為例。第一步：分解問題，教師呈現(xiàn)遞歸二叉樹代碼運(yùn)行過程的動畫，讓學(xué)生觀察它是如何將遞歸二叉樹圖形逐步轉(zhuǎn)化為一個個規(guī)模較小的子圖形的，使學(xué)生意識到可將復(fù)雜的圖形分解為較小的簡單圖形來求解。第二步：模式識別，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)原圖形和子圖形的相似之處。學(xué)生從動畫演示中易發(fā)現(xiàn)二者不僅形狀相似，且畫法相同。第三步：抽象化，引導(dǎo)學(xué)生抽象出原圖形和子圖形本質(zhì)的畫法，即“繪制右子樹—回到樹枝節(jié)點—繪制左子樹—回到樹枝節(jié)點”。第四步：算法，不斷重復(fù)執(zhí)行第三步抽象得到的步驟，即可畫出遞歸二叉樹。此時學(xué)生已感知到了原問題與子問題的關(guān)系，也有了將復(fù)雜問題分解成小問題來解決的意識。據(jù)此，教師可以引出遞歸算法的基本思想。二、深層次理解遞歸經(jīng)過遞歸思想的滲透，學(xué)生即可編寫程序。但在編寫程序時，學(xué)生往往會無從下手，尤其是對函數(shù)自己調(diào)用自己的過程感到困惑。因此，本部分教學(xué)的難點在于使學(xué)生深層次理解遞歸，理解函數(shù)自己調(diào)用自己來解決問題的原理與過程。教學(xué)遞歸程序的前提是學(xué)生已經(jīng)掌握了自定義函數(shù)。首先，筆者讓學(xué)生用遞歸思想去分析問題，明確自定義函數(shù)。其次，用嵌套的形式輔助學(xué)生理解遞歸的執(zhí)行過程，即遞推然后回歸。具體以年齡問題為例闡述如下。問題情境：5個學(xué)生在一起，第5個學(xué)生說他比第4個學(xué)生大兩歲，第4個學(xué)生說他比第3個學(xué)生大兩歲，第3個學(xué)生說他比第2個學(xué)生大兩歲，第2個學(xué)生說他比第1個學(xué)生大兩歲，第1個學(xué)生說他今年10歲，請問第5個學(xué)生今年幾歲？第一步：按照遞歸思想分析該問題，以大化小，可知要求第5個人年齡，先求第4個人年齡再加2，求第4個人年齡要先求第3個人年齡再加2，以此類推。接下來逐步形成自定義函數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：計算某個人的年齡是重復(fù)的動作，即其等于計算前一個人的年齡加2，如果是第一個人年齡，答案就是10?？勺远x一個函數(shù)為age（），功能為求某個人的年齡。設(shè)變量n代表“當(dāng)前同學(xué)”，則可得到代碼（見圖2）。第二步：用嵌套的形式輔助學(xué)生理解遞歸的執(zhí)行過程。遞歸的本質(zhì)是函數(shù)的重復(fù)執(zhí)行，只不過是通過函數(shù)自己嵌套自己的方式來實現(xiàn)的。筆者認(rèn)為，此處可以讓學(xué)生動手實踐，體會和感悟函數(shù)的重復(fù)執(zhí)行過程，如可設(shè)計如圖3所示的試一試活動。實踐過程中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)這個程序會不斷輸出某個數(shù)，直至報錯，教師可借此順利引出解答此題要給出重復(fù)執(zhí)行的終止條件，否則函數(shù)會無限地反復(fù)調(diào)用，從而陷入死循環(huán)。經(jīng)過以上學(xué)習(xí)，教師引導(dǎo)學(xué)生再回過頭來分析計算年齡的遞歸程序，學(xué)生易體會到雖然age（）函數(shù)僅有4行代碼，但實際上該age（）函數(shù)在不斷地重復(fù)執(zhí)行。由于age（）函數(shù)執(zhí)行過程中涉及回歸，筆者認(rèn)為此處可展開嵌套，用圖形的形式將抽象的東西具象化，輔助學(xué)生理解遞歸過程（見圖4）。根據(jù)嵌套的執(zhí)行原理，即先遞推到最內(nèi)層嵌套，只有當(dāng)最內(nèi)層嵌套解決了，才返回上一層嵌套去執(zhí)行后續(xù)的代碼，先是逐層遞推進(jìn)去，然后再逐層返回，且每一層嵌套都是age（）函數(shù)本身，學(xué)生也就理解了遞歸“自己”逐層向內(nèi)嵌套“自己”的原理——先逐層嵌套進(jìn)行遞推，再逐層返回進(jìn)行回歸。經(jīng)過以上教學(xué)，學(xué)生明確年齡問題的遞歸程序完整代碼如圖5所示，遞歸終止條件為n==1。遞歸編寫的代碼簡潔易懂。三、內(nèi)化遞歸思維圖5中的年齡問題較簡單，用普通的循環(huán)就可以解決，但是現(xiàn)實中學(xué)生往往會面臨復(fù)雜的問題，解決這類復(fù)雜問題時就需要用到遞歸思維。因此，在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過遞歸的案例形成遞歸思維，解決復(fù)雜問題。教師可設(shè)計經(jīng)典的案例培養(yǎng)學(xué)生的遞歸思維，使其學(xué)會分解并抽象復(fù)雜問題。如走臺階問題：一個10級臺階的樓梯，如果每次只能走一個臺階或者兩個臺階，那么有多少種走法？第一步：以大化小，逐層分解問題。設(shè)問：逐步縮小問題規(guī)模，分解的若干子問題分別是什么？其中最小可直接解決的子問題是什么？第二步：尋找關(guān)聯(lián)，抽象問題。設(shè)問：原問題與分解的若干子問題有何關(guān)聯(lián)，能否建立計算模型？學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)原問題和子問題解法相同，即n階臺階走法=（n-1階臺階走法）+（n-2階臺階走法），接著教師引導(dǎo)學(xué)生將解決問題的方法抽象成自定義函數(shù)，即遞歸函數(shù)。第三步：整理算法，編寫程序。遞歸的優(yōu)勢在于編寫的代碼簡潔，解決問題的邏輯一目了然，尤其是用于