2025高考物理總復習含彈簧的機械能守恒問題

第六章機械能守恒定律微點突破3含彈簧的機械能守恒問題目標要求知道彈簧的彈性勢能與哪些因素有關，會分析含彈簧的機械能守恒問題。1.由于彈簧發(fā)生形變時會具有彈性勢能，系統(tǒng)的總動能將發(fā)生變化，若系統(tǒng)除重力、彈簧彈力以外的其他力不做功，系統(tǒng)機械能守恒。2.彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能有最大值。3.對同一彈簧，彈性勢能的大小為Ep＝

彈性勢能由彈簧的形變量決定，彈簧的伸長量和壓縮量相等時，彈簧的彈性勢能相等。例1

(2024·江蘇省高郵中學期中)如圖甲所示，質量不計的彈簧豎直固定在水平面上，t＝0時刻，將一金屬小球從彈簧正上方某一高度處由靜止釋放，小球落到彈簧上壓縮彈簧到最低點，然后又被彈起離開彈簧，上升到一定高度后再下落，如此反復。通過安裝在彈簧下端的壓力傳感器，測出這一過程彈簧彈力F隨時間t變化的圖像如圖乙所示，則A.t1時刻小球動能最大B.t2時刻小球動能最大C.t2～t3這段時間內，小球的動能先增大后減小D.t2～t3這段時間內，小球增加的動能等于彈簧減少的彈性勢能√小球在接觸彈簧之前做自由落體運動。碰到彈簧后先做加速度不斷減小的加速運動，當加速度為0即重力大小等于彈簧彈力大小時加速度達到最大值，而后往下做加速度不斷增大的減速運動，與彈簧接觸的整個下降過程，小球的動能和重力勢能轉化為彈簧的彈性勢能。上升過程恰好是下降過程的逆過程。由題圖乙可知t1時刻開始接觸彈簧，但在剛開始接觸后的一段時間內，重力大于彈簧彈力，小球仍做加速運動，所以此刻小球的動能不是最大，A錯誤；t2時刻彈力最大，小球處在最低點，動能最小，B錯誤；t3時刻小球往上運動恰好要離開彈簧；t2～t3這段時間內，小球先加速后減速，動能先增大后減小，彈簧的彈性勢能轉化為小球的動能和重力勢能，C正確，D錯誤。例2如圖所示，質量為M的小球套在固定傾斜的光滑桿上，原長為l0的輕質彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連，彈簧與桿在同一豎直平面內。圖中AO水平，BO間連線長度恰好與彈簧原長相等，且與桿垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中點，θ＝30°。現讓小球從A處由靜止釋放，重力加速度為g，下列說法正確的有A.下滑過程中小球的機械能守恒√下滑過程中小球的機械能會與彈簧的彈性勢能相互轉化，因此小球的機械能不守恒，故A錯誤；在B點，彈簧恢復原長，因此重力沿桿的分力提供加速度，根據牛頓第二定律可得mgcos30°＝ma，解得a＝

故B正確；到達B點時加速度與速度方向相同，因此小球還會加速，故C錯誤；因為C是AO′段的中點，θ＝30°，由幾何關系知當小球到C點時，彈簧的長度與在A點時相同，故在A、C兩位置彈簧彈性勢能相等，小球重力做的功全部轉化為小球的動能，有mgl0＝故D錯誤。例3

(2023·江蘇蘇州市八校聯盟月考)如圖所示，一根輕質彈簧一端固定于光滑豎直桿上，另一端與質量為m的滑塊P連接，P穿在桿上，一根輕繩跨過定滑輪將滑塊P和重物Q連接起來，重物Q的質量為4m，把滑塊從圖中A點由靜止釋放后沿豎直桿上下運動，當它經過A、B兩點時彈簧對滑塊的彈力大小相等，已知OA與水平面的夾角θ＝53°，OB長為3L，與AB垂直，不計滑輪的摩擦，重力加速度為g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，滑塊P從A到B的過程中，下列說法正確的是A.滑塊P的加速度一直減小B.滑塊P的最大速度為C.輕繩對滑塊P做功為8mgLD.重力對重物Q做功的功率一直減小√根據題意可知，滑塊P從A點開始運動時，重物Q的速度為零，則重物Q重力的功率為零，當滑塊P到達B點時，重物Q的速度也為零，此時重物Q重力的功率為零，則滑塊由A到B的過程中，重物Q重力的功率先增大后減小，故D錯誤；在A點彈簧對P的彈力向上，在B點彈簧對P彈力向下，可知P先加速上升后減速上升，在A、B間某位置，合力為零，速度最大，則滑塊P的最大速度大于從A點到速度最大點，彈簧的彈力不斷減小，繩子拉力在豎直方向的分力也減小，可知加速度不斷減小，在從速度最大點到B點過程中，繩子拉力在豎直方向的分力越來越小，合力向下，可知P所受的合力越來越大，則加速度越來越大，故A、B錯誤。例4如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C球放在水平地面上?，F用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行。已知A的質量為4m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計。開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面。整個過程中A一直在斜面上且B未與滑輪相碰，求：由題意可知，當A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，A的加速度此時為零。由牛頓第二定律得4mgsinα－2mg＝0(1)斜面的傾角α；答案30°(2)A球獲得的最大速度vm的大小。初始時系統(tǒng)靜止且細線無拉力，彈簧處于壓縮狀態(tài)，設彈簧壓縮量為Δx，對B：kΔx＝mg因B、C的質量均為m，則C球恰好離開地面時，彈簧伸長量也為Δx，故彈簧彈性勢能變化量為零，A、B、C三小球和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，例5

(2023·江蘇揚州市新華中學三模)如圖所示，半徑為R的光滑半圓形導軌固定在豎直面內的A、B兩點，直徑AB與豎直方向的夾角為60°，導軌上的C點在A點的正下方，D點是軌道的最低點，質量為m的圓環(huán)套在導軌上，圓環(huán)通過兩個相同的輕彈簧分別與A、B兩點連接，彈簧原長均為R，對圓環(huán)施加水平向右的力F＝

可使其靜止在D點。(重力加速度為g)(1)求彈簧的勁度系數k：如圖甲所示，圓環(huán)在D點時，BD彈簧處于原長，AD彈簧的伸長量為x＝(－1)R對圓環(huán)受力分析，正交分解有F＝kxsin30°(2)由C點靜止釋放圓環(huán)，求圓環(huán)運動到D點的動能Ek；C點與D點的高度差h＝0.5R圓環(huán)從C運動到D，在C點和D點兩彈簧彈性勢能的和相等，根據機械能守恒mgh＝Ek(3)由C點靜止釋放圓環(huán)，求圓環(huán)運動到D點時對軌道的作用力FN。答案1.7mg，方向豎直向下對圓環(huán)受力分析如圖乙所示，正交分解有解得FN′＝1.7mg根據牛頓第三定律，圓環(huán)對軌道的作用力FN＝FN′＝1.7mg，方向豎直向下。跟蹤訓練1.(2023·江蘇鹽城市階段練習)如圖所示，“蹦極”運動中，游戲者身系彈性繩下落。不計空氣阻力，游戲者從圖中位置下落到最低點過程中，下列說法正確的是A.彈性繩原長位置，彈性繩彈力等于游戲者重力B.游戲者速度最大時，彈性繩的彈性勢能為零C.彈性繩的彈性勢能最大時，游戲者速度最大D.彈性繩伸長階段，其彈性勢能一直增大，游戲

者的動能先增大后減小√1234彈性繩原長位置，彈性繩彈力為零，小于游戲者重力，故A錯誤；彈性繩伸長過程，一開始彈力小于重力，游戲者向下做加速運動；當彈力等于重力時，游戲者速度達到最大；之后游戲者繼續(xù)下落，彈力大于重力，游戲者向下做減速運動，當運動到最低點時，彈性繩伸長量最大，此時彈性繩的彈性勢能最大；可知彈性繩伸長階段，其彈性勢能一直增大，游戲者的動能先增大后減小，故B、C錯誤，D正確。12342.(2023·江蘇南通市海安高級中學檢測)如圖所示，原長為l的輕質彈簧，一端固定在O點，另一端與一質量為m的小球相連。小球套在豎直固定的粗糙桿上，與桿之間的動摩擦因數為0.5。桿上M、N兩點與O點的距離均為l，P點到O點的距離為

OP與桿垂直。當小球置于桿上P點時恰好能保持靜止。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度大小為g。小球以某一初速度從M點向下運動到N點，在此過程中，彈簧始終在彈性限度內。下列說法正確的是1234C.從M點到N點的運動過程中，小球受到的摩擦力

先變小后變大D.從M點到P點和從P點到N點的運動過程中，小球

受到的摩擦力做功相同√1234根據題意，設彈簧的勁度系數為k，在P點時，由于球置于桿上P點時恰好能保持靜止，則有F1＝FN，mg＝μFN1234由平衡條件有FN′＝F′sin45°，由牛頓第二定律有mg＋F′cos45°－μFN′＝ma，1234桿上M、N兩點與O點的距離均為l，所以小球在M和N點時彈簧處于原長，小球從M到P過程中，彈簧的壓縮量增大、彈力增大，彈簧彈力在水平方向的分力增大、摩擦力增大；小球從P到N過程中，彈簧的壓縮量減小、彈力減小，彈簧彈力在水平方向的分力減小、摩擦力減小，故從M點到N點的運動過程中，小球受到的摩擦力先變大后變小，故C錯誤；關于P點對稱的任意兩點，小球受到的摩擦力相同，所以從M點到P點和從P點到N點的運動過程中，小球受到的摩擦力做功相同，故D正確。12343.(2023·江蘇揚州市一模)如圖所示，在一直立的光滑管內放置一輕質彈簧，上端O點與管口A的距離為2x0，一質量為m的小球從管口由靜止下落，將彈簧壓縮至最低點B，壓縮量為x0，已知彈簧的彈性勢能表達式Ep＝

重力加速度為g，不計空氣阻力，則1234√小球下落到最低點時重力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能，此時彈性勢能最大，且有Epmax＝3mgx0，故A正確；根據選項A和彈簧彈性勢能的表達式有當小球的重力等于彈簧彈力時，小球有最大速度，則有mg＝kx1，再根據彈簧和小球組成的系統(tǒng)機械能守恒有mg(x1＋2x0)

解得最大速度為vmax＝

，故B錯誤；小球運動到最低點時有kx0－mg＝ma，解得a＝5g，故D錯誤。12344.(2023·江蘇鎮(zhèn)江市階段練習)如圖所示，傾角θ＝37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個半徑和質量不計的光滑定滑輪D，質量均為m＝1kg的物體A和B用一勁度系數k＝120N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住。用一不可伸長的輕繩使物體A跨過定滑輪與質量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過豎直固定的光滑均勻細桿，當整個系統(tǒng)靜止時，環(huán)C位于Q處，繩與細桿間的夾角α＝53°，且物體B對擋板P的壓力恰好為零。圖中SD水平且長度為d＝0.4m，位置R與位置Q關于位置S對稱，輕彈簧和定滑輪右側的繩均與斜面平行，現讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。求：1234(1)小環(huán)C的質量M；1234答案0.72kg先以A、B組成的整體為研究對象，A、B整體受到重力、支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為FT＝2mgsinθ＝2×1×10×sin37°＝12N以C為研究對象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖則FT·cos53°＝Mg代入數據得M＝0.72kg1234(2)小環(huán)C運動到位置Q的速率v；1234環(huán)從位置R運動到位置Q的過程中，小環(huán)C、彈簧和A組成的系統(tǒng)機械能守恒1234vA＝vcosα(3)小環(huán)