第03講 矩形的性質(zhì)（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級(jí)北師大版）

第03講矩形的性質(zhì)1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性質(zhì)定理.一、矩形的定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.要點(diǎn)：矩形定義的兩個(gè)要素：①是平行四邊形；②有一個(gè)角是直角.即矩形首先是一個(gè)平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這個(gè)特殊條件.二、矩形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)包括四個(gè)方面：1.矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2.矩形的對(duì)角線相等；3.矩形的四個(gè)角都是直角；4.矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.要點(diǎn)：（1）矩形是特殊的平行四邊形，因而也是中心對(duì)稱圖形.過(guò)中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.（2）矩形也是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸（分別通過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線）.對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是對(duì)角線的交點(diǎn)（即對(duì)稱中心）.（3）矩形是特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，從而矩形的性質(zhì)可以歸結(jié)為從三個(gè)方面看：從邊看，矩形對(duì)邊平行且相等；從角看，矩形四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線看，矩形的對(duì)角線互相平分且相等.考點(diǎn)一：矩形性質(zhì)的判定一、單選題例1．關(guān)于矩形的性質(zhì)、下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．矩形的四個(gè)角都是直角 B．矩形的兩組對(duì)邊分別相等C．矩形的兩組對(duì)邊分別平行 D．矩形的對(duì)角線互相垂直平分且相等【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、矩形的四個(gè)角都是直角，說(shuō)法正確，不符合題意；B、矩形的兩組對(duì)邊分別相等，說(shuō)法正確，不符合題意；C、矩形的兩組對(duì)邊分別平行，說(shuō)法正確，不符合題意；D、矩形的對(duì)角線互相平分且相等但不一定垂直，說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．例2．下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是（

）A．對(duì)邊平行且相等 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角相等 D．對(duì)角線互相平分【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形和矩形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、對(duì)邊平行且相等，矩形和平行四邊形都具有，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、對(duì)角線相等，矩形具有而平行四邊形不具有，故該選項(xiàng)符合題意；C、對(duì)角相等，矩形和平行四邊形都具有，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、對(duì)角線互相平分，矩形和平行四邊形都具有，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握矩形和平行四邊形的性質(zhì)定理．例3．已知矩形的兩條對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)解答即可．【解析】解：如圖所示，在矩形中，，，，故B、C、D選項(xiàng)結(jié)論正確，當(dāng)四邊形為菱形或正方形時(shí)，成立，故結(jié)論不一定正確的是A選項(xiàng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，矩形的對(duì)邊互相平行且相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角，對(duì)角線互相平分且相等．考點(diǎn)二：利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)例4．矩形中，，，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】直接利用矩形的對(duì)角線相等的性質(zhì)即可求解．【解析】解：因?yàn)榫匦沃?，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是牢記“矩形的對(duì)角線相等”．例5．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線，則BD的長(zhǎng)為（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可知AC=BD且AO=CO，根據(jù)AO=3，求出AC，進(jìn)一步求BD即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC，∵AO=3cm，∴AC=2AO=6cm，∴BD=6cm．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；④對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等．例6．矩形的一條邊長(zhǎng)是a，兩條對(duì)角線的夾角為，則矩形的另外一條邊長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得出OA=OB，再證明△AOB是等邊三角形，得出OA=AB=a,再由勾股定理求出BC的長(zhǎng)即可．【解析】如圖所示，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC=90°，,,AC=BD,∴OA=OB,又∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=a，∴AC=2OA=2a，∴，即另一個(gè)邊長(zhǎng)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若BE＝EO，則AD的長(zhǎng)是（）A．3 B． C．3 D．【答案】B【分析】由矩形的性質(zhì)得OA＝OB，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得AB＝AO，則OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝1，∴BD＝2，∴AD＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出BD＝2是解題的關(guān)鍵．例8．如圖，矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作的垂線分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【分析】利用矩形的性質(zhì)證明，進(jìn)而得到，根據(jù)題干信息求出OE長(zhǎng)度便可求出EF的長(zhǎng)．【解析】解：四邊形ABCD是矩形，,（設(shè)0E=x,則DE=2x，根據(jù)勾股定理解OE）故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟知相關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．例9．如圖，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，且，則的長(zhǎng)度是（）A． B．2 C．8 D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)和，得出，，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可．【解析】解：∵矩形，，∴，，∵，，∴，，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例10．如圖，在矩形中，，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，且，連接，則的最小值為（）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】連接，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，在的延長(zhǎng)線上截取，連接，則，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解析】解：如圖，連接，在矩形中，，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，則，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，在的延長(zhǎng)線上截取，連接，則，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，連接，則，∴，∴的最小值為26，即的最小值為26，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．例11．如圖，矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止．過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．設(shè)是線段的中點(diǎn)，則在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，線段長(zhǎng)的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四邊形為矩形以及得，連接，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，作的垂直平分線與交于，再由是線段的中點(diǎn)得到當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的最小，用勾股定理求出即可．【解析】解：∵四邊形為矩形，，，∴，，∵，∴，連接，如圖所示：∴，即，∴，連接，如圖所示：∵是線段的中點(diǎn)，，∴，∴在的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)點(diǎn)與直線上動(dòng)點(diǎn)距離的最小值為垂線段，如圖所示，作的垂直平分線與交于，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的最小，連接，此時(shí)，∵，∴為等邊三角形，，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，勾股定理，要用的輔助線較多，關(guān)鍵在確定所在的軌跡以及最小值的位置．考點(diǎn)三：利用矩形的性質(zhì)求角度例12．如圖，在矩形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，已知，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解．【解析】解：∵矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例13．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，交BD于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．35° C．30° D．25°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OA=OD，從而得到∠ADO=55°，再由，即可求解．【解析】解：在矩形ABCD中，OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，∴∠ADO=55°，∵，即∠AED=90°，∴∠DAE=35°．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的對(duì)角線相等且互相平分是解題的關(guān)鍵．例14．將長(zhǎng)方形紙片按如圖折疊，若，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)及含30的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】∵折疊∴，AB=AB’∵CD∥AB∴∴∴AE=EC，∴DE=EB’∵=3DE=DE+EC=DE+AE∴AE=2DE∵∴=故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)、折疊的特點(diǎn)及含30的直角三角形的性質(zhì)．例15．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O．若∠BAO=55°，則∠AOD等于(

)A．110° B．115° C．120° D．125°【答案】A【分析】由矩形的對(duì)角線互相平分得，OA=OB，再由三角形的外角性質(zhì)得到∠AOD等于∠BAO和∠ABO之和即可求解.【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OB，∠BAO=∠ABO=55°，∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.故答案為A【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)及外角的性質(zhì)，熟練利用外角的性質(zhì)求角度是解題的關(guān)鍵.例16．若矩形的一條對(duì)角線與一邊的夾角是，則兩條對(duì)角線相交所成的銳角是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等求出另一條對(duì)角線與一邊的夾角，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】解：矩形一條對(duì)角線與一邊的夾角是40°，另一條對(duì)角線與一邊的夾角也是40°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，兩條對(duì)角線所成銳角的度數(shù)為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是注意三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)．例17．如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，則∠BDE的度數(shù)為（

）A．36° B．30° C．27° D．18°【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可得以及的度數(shù)，然后求出各角的度數(shù)便可求出．【解析】解：在矩形ABCD中，，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，理解題意，綜合運(yùn)用各個(gè)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例18．如圖，在矩形中，、交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形的性質(zhì)得出，得出，由直角三角形的性質(zhì)求出即可．【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故C正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例19．如圖，在矩形中，，在上取一點(diǎn)E，使，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】如圖所示，取AE中點(diǎn)O，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明，則是等邊三角形，得到，從而求出，，再根據(jù)平角的定義即可得到答案．【解析】解：如圖所示，取中點(diǎn)O，連接，∵四邊形是矩形，，，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，三角形內(nèi)角和定理，正確作出輔助線構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例20．如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，C分別在直線a，b上，且，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先過(guò)點(diǎn)D作，由，可求得∠3的度數(shù)，易得，繼而求得答案．【解析】解：過(guò)點(diǎn)D作，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．例21．如圖，矩形的對(duì)角線相較于點(diǎn)O，的平分線交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線得出∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)結(jié)合圖中各角之間的關(guān)系即可得出結(jié)果．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠BAD=90°，∴OA=OB，∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°=∠AEB，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=45°-15°=30°，∠BAC=60°，∴△BAO是等邊三角形，∴AB=OB，∠ABO=60°，∴∠CBD=90°-60°=30°，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的計(jì)算，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．例22．如圖，延長(zhǎng)矩形的邊至點(diǎn)E，使，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，由矩形性質(zhì)可得、，知，而，可得度數(shù)．【解析】解：連接，四邊形是矩形，，，且，，又，，，，，即．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形對(duì)角線相等且互相平分、對(duì)邊平行．考點(diǎn)四：利用矩形的性質(zhì)求面積例23．矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為10，兩鄰邊之比為，則矩形的面積為（

）A．48 B．24 C．50 D．以上答案都不對(duì)【答案】A【分析】設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為，可得，繼而求得矩形的兩鄰邊長(zhǎng)，則可求得答案．【解析】解：∵矩形的兩鄰邊之比為，∴設(shè)矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為，∵對(duì)角線長(zhǎng)為10，∴，解得，∴矩形的兩鄰邊長(zhǎng)分別為：6，8；∴矩形的面積為：．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，以及勾股定理．熟練掌握矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．例24．矩形的邊長(zhǎng)是4cm，一條對(duì)角線的長(zhǎng)是cm，則矩形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出矩形的另一條邊的長(zhǎng)度，即可求出矩形的面積．【解析】解：由題意及勾股定理得矩形另一條邊為∴矩形的面積．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握勾股定理．例25．如圖，矩形的對(duì)角線和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交和于點(diǎn)、，，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明≌，得、的面積相等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為的面積．【解析】解：四邊形是矩形，，；AB=CD=4，在和中，，≌，，；，故．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形全等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積的一半，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例26．如圖，四邊形和四邊形是兩個(gè)矩形，點(diǎn)在邊上，若，，則矩形的面積為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可求出BC的長(zhǎng)度，再求解∠ACB的度數(shù)，進(jìn)而求出CF的長(zhǎng)度，最后用矩形面積公式求解即可．【解析】∵四邊形和四邊形是兩個(gè)矩形，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理可得：，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形是矩形，∴BD=AC=2，∴CO=DO==1，∵CD=1，∴△CDO為等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ACB=30°，∵四邊形是矩形，∴，∴∠CBF=∠ACB=30°，∴CF=BC=，∴矩形的面積=AC×CF=2×=；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，含有30°角的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理，熟練地掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．例27．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)在AD上，且EB平分，若AB＝3，AE＝1，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線定義可得CE=BC，然后根據(jù)勾股定理可得BC，進(jìn)而可以解決問(wèn)題．【解析】解：在矩形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC，CD=AB=3，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵EB平分∠AEC，∴∠AEB=∠CEB，∴∠CBE=∠CEB，∴CE=BC，∵CD=AB=3，AE=1，∴DE=AD-AE=BC-1，在Rt△CED中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得BC=5，∴的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)解答．例28．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE＋PF＝________．【答案】2.4【分析】首先連接OP．由矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，可求得OA=OB=，S△AOB=S矩形ABCD=3，然后由S△AOB=S△AOP+S△BOP=3，即可求得答案．【解析】解：連接OP，∵矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，∴S矩形ABCD=AB?BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==5，∴S△AOB=S矩形ABCD=3，OA=OB=，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=××（PE+PF）=3，∴PE+PF==2.4．故答案為：2.4．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．例29．如圖，矩形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，則矩形的面積為_(kāi)_____．【答案】48【分析】先證明從而可得答案．【解析】解：矩形，，，，，，故答案為：48【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，掌握“矩形的對(duì)角線相等且互相平分”是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五：矩形的性質(zhì)與平面坐標(biāo)系例30．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，平行于軸，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)：對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角；可知：CB=AD=5，以及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)變化即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解析】∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形∴CB=AD=3∴點(diǎn)B（-1-3，-1）即B（-4，-1）∵AB=5∴點(diǎn)A（-4，-1+5），即A（-4，4）故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的變化規(guī)律，熟練的掌握長(zhǎng)方形對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例31．如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），則對(duì)角線AC的長(zhǎng)等于____．【答案】5【分析】連接OB，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)，即為AC的長(zhǎng)．【解析】如圖，連接OB，∵B的坐標(biāo)為（4，3），∴∵四邊形OABC是矩形∴AC=OB=5故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題主要考查求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是熟知矩形對(duì)角線相等．例32．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)長(zhǎng)方形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．【答案】【分析】由矩形的對(duì)邊平行即可求得第四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；【解析】點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)和的縱坐標(biāo)相等，要使這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成矩形，則第四個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與相等，縱坐標(biāo)與相等，∴第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；故答案是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，準(zhǔn)確判斷是解題的關(guān)鍵．例33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形中，，，將沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在處，與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】設(shè)，則，由題意可以求證，從而得到，再根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：由題意可知：，，設(shè)，則，又∵∴∴在中，，即解得：∴點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理以及平面直角坐標(biāo)系的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六：根據(jù)矩形的性質(zhì)證明例34．如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，在上，，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】由矩形的性質(zhì)得出，再根據(jù)，，由證明，得出，即可得出．【解析】證明：∵四邊形是矩形，∴，在和中，，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．例35．如圖，已知矩形中，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，，且．（1）求證：；（2）若，求：的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，由垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由已知條件得到，由，即可得到：的值．【解析】（1）∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．一、填空題1．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接．若，則__________．【答案】/2.5【分析】由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，從而EF是△AOD的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF的長(zhǎng)．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5，∵，∴，即點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)．∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴EF是△AOD的中位線，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，掌握中位線定理是本題的關(guān)鍵．2．（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得AO=CO=BO=DO=6，再證明，從而得是等邊三角形，進(jìn)而即可求解．【解析】解：∵在矩形中，∴AO=CO=BO=DO=6，∵，∴BC=2BE，∵，∴BE=AF，∵∠OBE+∠ABF=∠ABF+∠BAF=90°，∴∠OBE=∠BAF，∵又∵∠AFB=∠BEO=90°，∴，∴AB=BO，∴AB=BO=AO，∴是等邊三角形，∴∠ABO=60°，∴∠OBE=30°，∴OE=3，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的對(duì)角線相等且平分是解題的關(guān)鍵．二、解答題3．（2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）4-8【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，進(jìn)而即可求解．【解析】（1）證明：∵在矩形中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵，∴（AAS），（2）∵，∴AN=DM=4，∵，∴，∴AB=，∴矩形的面積=×2=4，又∵，∴四邊形的面積=4-4-4=4-8．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．4．（2022·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=BC，點(diǎn)F在BC邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P是線段BC上一點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AP，垂足為E．(1)若CG為∠DCF的平分線．請(qǐng)判斷BP與CP的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的長(zhǎng)．【答案】(1)BP=PC，證明見(jiàn)解析(2)BP=．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求∠BAP=∠APB=45°，可得AB=BP，即可得結(jié)論；（2）由全等得到AP=PC,在△ABP中應(yīng)用勾股定理可求解．【解析】（1）解：BP=CP，理由如下：∵CG為∠DCF的平分線，∴∠DCG=∠FCG=45°，∴∠PCE=45°，∵CG⊥AP，∴∠E=∠B=90°，∴∠CPE=45°=∠APB，∴∠BAP=∠APB=45°，∴AB=BP，∵AB=BC，∴BC=2AB，∴BP=PC；（2）解：∵△ABP≌△CEP，∴AP=CP，∵AB=3，∵BC=2AB=6，∵，∴，∴BP=．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖:(1)將兩張長(zhǎng)為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．①判斷四邊形AGCH的形狀，并說(shuō)明理由；②求四邊形AGCH的面積．(2)如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積．【答案】(1)①菱形，理由見(jiàn)解析；②20(2)【分析】（1）①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；②設(shè)AH=CG=x，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）兩個(gè)矩形的對(duì)角線相等，可得出EC的長(zhǎng)，設(shè)AH=CG=x，利用勾股定理以及邊長(zhǎng)之間的關(guān)系可得出x的值，進(jìn)而可求出面積．【解析】（1）①∵四邊形ABCD，四邊形AECF都是矩形∴∴四邊形AHCG為平行四邊形∵∴∴∴四邊形AHCG為菱形；②設(shè)AH=CG=x，則DH=AD-AH=8-x在中即解得∴四邊形AHCG的面積為；（2）由圖可得矩形ABCD和矩形AFCE對(duì)角線相等∴∴設(shè)AH=CG=x則HD=7-x在中，在中，∵EC=EH+CH=8∴x=3∴四邊形AGCH的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．一、單選題1．下列性質(zhì)中，矩形一定具有的是（

）A．四邊相等 B．對(duì)角線垂直 C．鄰邊相等 D．對(duì)角線相等【答案】D【分析】根據(jù)矩形的邊的特征，對(duì)角線的特征，來(lái)判斷即可．【解析】矩形的對(duì)邊平行且相等，但是鄰邊不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；矩形的對(duì)角線相等但不一定垂直，故本選項(xiàng)符合題意；矩形的鄰邊不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意；矩形的對(duì)角線相等，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖，在矩形中，兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C． D．【答案】D【分析】利用矩形的性質(zhì)可知對(duì)角線互相平分且，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：在矩形中，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理求直角邊是解決本題的關(guān)鍵．3．如果矩形的一邊與對(duì)角線的夾角為，則兩條對(duì)角線相交所成的銳角的度數(shù)為（

）A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】C【分析】先畫出簡(jiǎn)單的圖形，因?yàn)榫匦蝺蓪?duì)角線相等且互相平分，又有一角的度數(shù)，可由三角形內(nèi)角和求解角的度數(shù)．【解析】解：如圖，∵矩形兩對(duì)角線相等且互相平分，一邊與對(duì)角線的夾角為50°，即∠OAB=50°，OB=OA，∴另一角∠OBA=∠OAB=

50°，由三角形內(nèi)角和可得兩條對(duì)角線相交所成的銳角的度數(shù)即∠AOB=180°-50°-50°=80°．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理．4．矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且，的周長(zhǎng)為23，則矩形的兩條對(duì)角線的和是（

）A．18 B．28 C．36 D．46【答案】C【分析】根據(jù)矩形對(duì)角線互相平分，對(duì)邊相等可得，，，再由的周長(zhǎng)為23可得，然后可得答案．【解析】解：四邊形是矩形，，，，的周長(zhǎng)為23，，，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形是特殊的平行四邊形，平行四邊形對(duì)角線互相平分，對(duì)邊相等．5．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E在邊上，若平分，則的長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】利用角平分線和平行線內(nèi)錯(cuò)角相等，可證明，則ED=AD，則可用勾股定理求出ED．【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，AB=CE=3∴∵平分∴∴∴ED=AD=8∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、平行線性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)進(jìn)行角度代換是解題關(guān)鍵．6．如圖，在矩形中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求得，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得出．【解析】解：連接，∵四邊形是矩形，∴，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)是，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在矩形中，，E是的中點(diǎn)，于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)是（）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，可證得，從而得到，進(jìn)而得到，再由直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【解析】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，即，∴，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識(shí)，倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在矩形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，垂直平分于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（

）

A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得是等邊三角形，推出，可得，可得，再利用勾股定理求解即可.【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)、明確求解的方法是關(guān)鍵.9．如圖，在矩形中，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（

）

A．不變 B．變長(zhǎng) C．變短 D．先變短再變長(zhǎng)【答案】A【分析】連接，結(jié)合三角形的中位線定理即可求得結(jié)論．【解析】解：如圖所示，連接，∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，∴為中位線，由中位線定理可知：，∵隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不變，∴的長(zhǎng)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不變，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理，理解并熟練運(yùn)用中位線定理是解題關(guān)鍵．10．在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，．連接，則下面的結(jié)論：①是等邊三角形；②是等腰三角形；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】判斷出是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出，再判斷出是等邊三角形，可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，再求出，可判斷②；由直角三角形的性質(zhì)可得，可判斷③；由面積公式可得，可判斷④．【解析】解：平分，，，是等腰直角三角形，，，，，在矩形中，，是等邊三角形，是等邊三角形，故①正確；，，，是等腰三角形，故②正確；在中，，，故③錯(cuò)誤；，，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．矩形的對(duì)角線長(zhǎng)13，一邊長(zhǎng)為5，則它的面積為_(kāi)____．【答案】60【分析】先運(yùn)用勾股定理求出另一條邊，再運(yùn)用矩形面積公式求出它的面積．【解析】∵對(duì)角線長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為5，∴另一條邊長(zhǎng)＝＝12，∴S矩形＝12×5＝60；故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理，本題關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理求出另一條邊．12．矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，，則______．【答案】/80度【分析】由矩形的性質(zhì)可知OA=OD，即得出，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出答案．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．13．如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，若，，則的長(zhǎng)是______．【答案】2【分析】先證明是等邊三角形，得出，再由矩形的性質(zhì)得出【解析】解：∵四邊形是矩形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴,又，∴是等邊三角形，∴，∴故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．14．如圖，過(guò)矩形的對(duì)角線上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線與，那么圖中矩形的面積與矩形的面積的大小關(guān)系是_____；（填“＞”或“＜”或“=”）【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)對(duì)角線把矩形面積一分為二即可解得．【解析】解：∵四邊形是矩形，又∵對(duì)角線上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線與，∴四邊形是矩形，四邊形是矩形，∴的面積的面積，的面積的面積，的面積的面積，∴的面積的面積的面積的面積的面積的面積，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉矩形的對(duì)角線平分矩形的面積．15．如圖，O是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．若，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．

【答案】20【分析】先由，得到，然后結(jié)合矩形的性質(zhì)得到，再結(jié)合點(diǎn)O和點(diǎn)M分別是和的中點(diǎn)得到和的長(zhǎng)，最后得到四邊形的周長(zhǎng)．【解析】解：∵四邊形是矩形，，∴，，∵O是矩形的對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，，∴，∴四邊形的周長(zhǎng)為：，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊上的中位的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．16．在矩形中，，，若點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，則長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】連接，先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，從而可得，再利用勾股定理可得，然后根據(jù)即可得出答案．【解析】解：如圖，連接，在矩形中，∵，，是邊的中點(diǎn)，，，，，，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及等面積法的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．17．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．設(shè)CE為x．則DE=AD-x，CD=AB=2．根據(jù)勾股定理可得x2=（3-x）2+22解得CE=13/6．18．如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，以為邊作等邊，點(diǎn)和點(diǎn)分別位于兩側(cè)．（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（2）點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為_(kāi)_____．【答案】【分析】連接并延長(zhǎng)至，使得，連接，證明，進(jìn)而證明是等邊三角形，，得出點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則在線段上運(yùn)動(dòng)，即可求解；（2）根據(jù)垂線段最短，得出從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為，進(jìn)而勾股定理即可求解．【解析】（1）如圖所示，連接并延長(zhǎng)至，使得，連接，∵在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴∴,，∵，則是等邊三角形，∴，∴即∴點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則在線段上運(yùn)動(dòng)，∵，，∴，∴，又∵，∴∴是等邊三角形，∴，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則的長(zhǎng)，故答案為：．（2）由（1）可知點(diǎn)在線段上從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，的最小值為∵，則∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，得出點(diǎn)在線段上，從點(diǎn)至點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，則在線段上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．已知：如圖，過(guò)矩形的頂點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，得出，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得證．【解析】證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．20．已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)．求證：AE＝BE．【答案】見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)證明△ADE≌△BCE，即可求解.【解析】證明：∵矩形ABCD∴∠D＝∠CAD＝BC∵E是CD的中點(diǎn)∴CE＝DE在△ADE和△BCE中，AD＝BC，∠D＝∠C，CE＝DE∴△ADE≌△BCE∴AE＝BE【點(diǎn)睛】此題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定.21．已知：如圖，四邊形是矩形，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)題意證明即可證明．【解析】證明：（1）∵四邊形是矩形，∴（矩形的對(duì)角相等），（矩形的對(duì)邊平行）．∴．又∵，∴．∴；（2）∵四邊形是矩形，∴（矩形的對(duì)邊相等）．在和中，∵，，∴．∴．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的證明方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)和三角形全等的證明方法．22．已知：如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．(1)判斷的形狀．(2)求矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．【答案】(1)等邊三角形(2)【分析】（1）先根據(jù)矩形和平行四邊形的性質(zhì)證明，然后根據(jù)等邊三角形的判定即可得出答案；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求解即可．【解析】（1）解：是等邊三角形．理由：在矩形中，（矩形的對(duì)角線相等）．∵（平行四邊形的對(duì)角線互相平分），∴．∵，∴，∴是等邊三角形．（2）解：∵，∴，即矩形對(duì)角線的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，證明三角形是等邊三角形和運(yùn)用矩形的性質(zhì)求對(duì)角線長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=4，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且AE=CF，連接BD、EF．(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；(2)若EF⊥BD，求AE的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可完成證明；（2）結(jié)合（1）證明四邊形BFDE是菱形，可得DE=BE，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，ADBC，∵AE=CF，∴DE=BF，DEBF，∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：∵四邊形BFDE是平行四邊形，EF⊥BD，∴四邊形BFDE是菱形，∴DE=BE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△ABE中，BE=DE=AD-AE=4-AE，AB=2，根據(jù)勾股定理得：BE2=AE2+AB2，∴（4-AE）2=AE2+22，解得AE=．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)定理解答．24．如圖所示，在矩形中，平分.（1）求的度數(shù)；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可知∠AEB=∠EAD=45°，則∠ACE=∠AEB-∠EAC=30°；