第01講 菱形的性質(zhì)（解析版）-初中數(shù)學(xué)暑假自學(xué)課講義（9年級北師大版）

第01講菱形的性質(zhì)1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性質(zhì)定理一、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.要點：菱形的定義的兩個要素：①是平行四邊形.②有一組鄰邊相等.即菱形是一個平行四邊形，然后增加一對鄰邊相等這個特殊條件.二、菱形的性質(zhì)菱形除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：1.菱形的四條邊都相等；2.菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.3.菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸（對角線所在的直線），對稱軸的交點就是對稱中心.要點：（1）菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分.（2）菱形的面積由兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半（即四個小直角三角形面積之和）.實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半.（3）菱形可以用來證明線段相等，角相等，直線平行，垂直及有關(guān)計算問題.考點一：菱形的性質(zhì)例1．關(guān)于菱形，下列說法錯誤的是（）A．對角線垂直 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．對角線互相平分【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可直接選出答案．【解析】解：菱形的性質(zhì)有：對角線互相垂直平分，四邊相等，故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．關(guān)于菱形一定具有的性質(zhì)，下列說法錯誤的是（

）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直C．鄰邊相等 D．對角線相等【答案】D【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A．菱形對角線互相平分，故選項正確，不符合題意；B．菱形對角線互相垂直，故選項正確，不符合題意；C．菱形鄰邊相等，故選項正確，不符合題意；D．菱形的對角線不一定相等，故選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了菱形，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．下列性質(zhì)中，菱形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊平行且相等 B．對角線互相平分 C．每條對角線平分一組對角 D．對角互補【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)對各選項進(jìn)行判斷．【解析】解：A、菱形、平行四邊形的對邊平行且相等，故A選項不符合題意；B、菱形的對角線互相垂直平分、平行四邊形的對角線互相平分，故B選項不符合題意；C、菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角；平行四邊形的對角線互相平分，故C選項符合題意；D、菱形、平行四邊形的對角相等，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，掌握平行四邊形與菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點二：利用菱形的性質(zhì)求角度例4．如圖，菱形中，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)得到，，利用等邊對等角和三角形內(nèi)角和即可得到答案．【解析】解：∵四邊形是菱形，，∴，，∴，故選：B【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊對等角等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．如圖，在菱形中，對角線、相交于點O，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用等邊對等角計算出的度數(shù)，再由兩直線平行內(nèi)錯角相等計算出的度數(shù)，即可計算出的度數(shù).【解析】四邊形是菱形，，又由，則，四邊形是菱形，，則，故，故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形四邊都相等，即可得到等腰三角形，再運用等腰三角形等邊對等角，可計算出角的度數(shù)，菱形對邊相等且平行，運用兩直線平行內(nèi)錯角相等也可計算出角的度數(shù)，本題較為簡單.考點三：利用菱形的性質(zhì)求長度例6．如圖所示，在菱形中，對角線與交于點，于點．若，則(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求出∠OBE,再根據(jù)OE⊥BC即可求出∠BOE．【解析】∵∠BAD=110°,AC、BD是菱形對角線,∴∠OBC=∠OBA=,∵OE⊥BC,∴∠BOE=90°－35°=55°．故選C．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì),關(guān)鍵在于利用對角線平分對角的性質(zhì)解題．例7．如圖，在菱形中，，點E在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)一步求出，則．【解析】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，分別求出是解題的關(guān)鍵．例8．如圖，菱形，,點是對角線上一點，點是邊上一點，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接交于，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，進(jìn)而解答即可．【解析】解：連接交于，連接，四邊形是菱形，∴，，∴垂直平分，又點E在上，∴，∵，，，，，，，，，故選：B．【點睛】此題考查菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角解答．例9．如圖，在菱形中，，，則菱形的周長是（

）A．10 B．15 C．20 D．30【答案】C【分析】只需要證明是等邊三角形求出即可得到答案．【解析】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴菱形的周長，故選C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．例10．如圖，在菱形中，周長為16，，則的長等于（

）A． B．4 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，判定出是等邊三角形，根據(jù)菱形的周長求出的長度，即可得解．【解析】解：在菱形中，，，∴是等邊三角形，∵菱形的周長為16，∴，∴故選B．【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握菱形的基本性質(zhì)：菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．例11．如圖，在菱形中，，，，垂足為點H，則的長為（

）A．3 B．4 C． D．5【答案】C【分析】由菱形面積等于對角線積的一半可求面積，由勾股定理求出，然后由菱形的面積即可得出結(jié)果．【解析】解：如圖，對角線交于點O，∵四邊形是菱形，∴，∴，∵菱形的面積，∴，故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、菱形面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．例12．如圖，菱形的邊長為10，，則點到的距離等于（）A．5 B．6 C．8 D．1【答案】A【分析】連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得以及的度數(shù)，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)可求解．【解析】解：連接交于點，四邊形是菱形，，，，，在中，，，，點A到的距離等于5．故選：A．【點睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．例13．在菱形中，若，周長為16，則這個菱形的兩條對角線長分別為（

）A．2， B．4， C．4，4 D．，【答案】B【分析】連接、，、交于點，判定是等邊三角形，即可得到，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)勾股定理即可得到的長．【解析】解：如圖所示，，連接、，、交于點，四邊形是菱形，，，又菱形的周長為16，，又，是等邊三角形，，，在中，，．故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)．關(guān)鍵是畫圖并找出圖中的等邊三角形．考點四：利用菱形的性質(zhì)求面積例14．若菱形形的一條對角線長，另一條對角線，則它的面積是_____________．【答案】/平方厘米【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半計算即可．【解析】解：，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的面積，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．例15．菱形的周長是，一個內(nèi)角為，則菱形的面積為________．【答案】2【分析】過點A作于點E，根據(jù)菱形的周長先求出邊長，再根據(jù)30度角的性質(zhì)求出，再利用菱形的面積公式計算即可得解．【解析】解：如圖所示，∵菱形的周長為8，∴邊長，∵一個內(nèi)角，過點作于點，則，所以，菱形的面積為，故答案為：2．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含度角直角三角形的性質(zhì)，能夠正確畫出圖形和求出菱形邊上的高是解題的關(guān)鍵．例16．如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，，過作的平行線交的延長線于點，則的面積為_____________．【答案】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出的面積為12，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定可得，從而可得，然后根據(jù)等底同高求面積即可得．【解析】解：∵在菱形中，，，∴，，，，，∴，∴，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例17．如圖，四邊形是菱形，是兩條對角線的交點，過點的三條直線將菱形分成陰影和空白部分．當(dāng)菱形的兩條對角線的長分別為5和12時，則陰影部分的面積為_____．【答案】15【分析】根據(jù)菱形的面積的公式，即可求出陰影部分的面積．【解析】解：∵菱形是中心對稱圖形，∴由圖得：陰影的面積等于菱形面積的一半，∵菱形的兩條對角線的長分別為5和12，∴菱形的面積為，∴陰影部分的面積為15，故答案為：15．【點睛】本題主要考查了利用菱形的性質(zhì)求面積，正確運用菱形面積公式是解題的關(guān)鍵．考點五：利用菱形的性質(zhì)求坐標(biāo)例18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的四個頂點都在坐標(biāo)軸上，且菱形邊長為2，，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由菱形的性質(zhì)，所對的直角邊等于斜邊的一半可知，進(jìn)而可得點坐標(biāo)．【解析】解：由菱形的性質(zhì)可知，，，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，所對的直角邊等于斜邊的一半等知識．解題的關(guān)鍵在于對性質(zhì)的熟練掌握．例19．如圖，已知點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，菱形的對角線交于坐標(biāo)原點，則，兩點的坐標(biāo)為（

）A．點），點 B．點，點C．點，點 D．點，點）【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)可知點和點關(guān)于原點對稱，、關(guān)于原點對稱，結(jié)合條件可求得點，點的坐標(biāo)．【解析】解：四邊形為菱形，，，又點為坐標(biāo)原點，點和點關(guān)于原點對稱，點和點關(guān)于原點對稱，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為．故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和關(guān)于原點對稱，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點六：利用菱形的性質(zhì)證明例20．如圖，點，分別在菱形的邊，上，且．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，結(jié)合已知條件，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】∵四邊形是菱形，∴，，

又∵，

∴．

∴．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例21．如圖所示，在菱形中，對角線相交于點，過點作對角線的垂線交的延長線于點，求證：四邊形是平行四邊形【答案】見解析；【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)得到即可解答．【解析】證明：∵在菱形中，∴，，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例22．如圖，菱形中，E是對角線上的一點，連接、，求證：．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，證明，即可得出．【解析】證明：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形全等的判斷和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明．例23．如圖，已知菱形的對角線、相交于點，延長至點，使，連接．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的對邊平行且相等可得，，然后證明得到，，根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；（2）欲求菱形的面積，求得、的長度即可．【解析】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，，又∵，∴，，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）知，四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∴．∴菱形的面積．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的運用．掌握菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D選項正確，不能得出，故C選項不正確，故選：C.【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿著線段剪成兩個全等的圖形，則的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得出答案．【解析】解：∵紙片是菱形∴對邊平行且相等∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要知道兩直線平行，內(nèi)錯角相等．3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點，連接CE交對角線BD于點F．若∠DEF＝∠DFE，則這個菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．30【答案】B【分析】連接AC交BD于O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，證明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，則BD＝6，所以O(shè)B＝OD＝3，接著利用勾股定理計算出OC，從而得到AC＝，然后根據(jù)菱形的面積公式計算它的面積．【解析】解：連接AC交BD于O，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，∵E為AD邊的中點，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，，∴AC＝2OC＝，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝．故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形面積＝ab（a、b是兩條對角線的長度）．4．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是菱形，，點是中點，是對角線上一點，且，則的值是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】取AC的中點M，連接EM設(shè)由中位線性質(zhì)可得再根據(jù)，可得出從而得到FC的長，即可得到的結(jié)果．【解析】解：如圖所示：取AC的中點M，連接EM，DM，設(shè)∵點是中點，∴EM是的中位線，四邊形是菱形，，∠AMD=90°，，∴DM=，∴AM=故選：D．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．5．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【答案】A【分析】取AB中點G點，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知E點、G點關(guān)于對角線AC對稱，即有PE=PG，則當(dāng)G、P、F三點共線時，PE+PF=PG+PF最小，再證明四邊形AGFD是平行四邊形，即可求得FG=AD．【解析】解：取AB中點G點，連接PG，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，且邊長為2，∴AD=DC=AB=BC=2，∵E點、G點分別為AD、AB的中點，∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可知點E、點G關(guān)于對角線AC軸對稱，∴PE=PG，∴PE+PF=PG+PF，即可知當(dāng)G、P、F三點共線時，PE+PF=PG+PF最小，且為線段FG，如下圖，G、P、F三點共線，連接FG，∵F點是DC中點，G點為AB中點，∴，∵在菱形ABCD中，，∴，∴四邊形AGFD是平行四邊形，∴FG=AD=2，故PE+PF的最小值為2，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，找到E點關(guān)于AC的對稱點是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）菱形中，對角線，，則菱形的邊長為____________．【答案】5【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，從而得出，，最后根據(jù)勾股定理即可求出菱形的邊長．【解析】解：如圖，∵四邊形是菱形，∴，，，∵，，∴，，在中，，∴菱形的邊長為5，故答案為：5．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長為2，，對角線與交于點，為中點，為中點，連接，則的長為_________．【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位線定理得FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．【解析】解：如圖，取OD的中點H，連接FH，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，∵點H是OD的中點，點F是AD的中點，∴FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，∴FH⊥BD，∵點E是BO的中點，點H是OD的中點，∴OE＝，OH＝，∴EH＝，∴EF＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=80°，延長BC到E，在∠DCE內(nèi)作射錢CM，使得∠ECM=30°，過點D作DF⊥CM，垂足為F．若DF=，則BD的長為______（結(jié)果保留很號）．【答案】【分析】連接AC交BD于H，證明△DCH≌△DCF，得出DH的長度，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得出BD的長度．【解析】解：如圖，連接AC交BD于點H，由菱形的性質(zhì)得∠ADC=∠ABC=80°，∠DCE=80°，∠DHC=90°，又∵∠ECM=30°，∴∠DCF=50°，∵DF⊥CM，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=40°，又∵四邊形ABCD是菱形，∴BD平分∠ADC，∴∠HDC=40°，在△CDH和△CDF中，，∴△CDH≌△CDF（AAS），∴DH=DF=，∴DB=2DH=．故答案為：．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定，菱形的對角線互相平分是此題的關(guān)鍵知識點，得出∠HDC=∠FDC是這個題最關(guān)鍵的一點．一、單選題1．菱形不具備的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．對角線一定相等 C．對角線平分對角 D．是中心對稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)逐一判斷即可．【解析】解：A．菱形的四條邊都相等，故本選項不合題意；B．菱形的對角線不相等，故本選項符合題意；C．菱形的對角線平分內(nèi)角，故本選項不合題意；D．菱形是中心對稱圖形，故本選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)以及中心對稱圖形，掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，已知菱形的兩條對角線與長分別是和，則這個菱形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由菱形面積等于對角線乘積的一半列式計算即可．【解析】解：∵四邊形是菱形，，，∴，故選：C．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記菱形的面積公式，屬于中考?？碱}型．3．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，則菱形ABCD的面積是（）A．18 B．18 C．36 D．36【答案】B【分析】過點AE⊥BC于點E，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BC=AB=6，然后根據(jù)含30度角的直角三角形以及勾股定理可得AE，進(jìn)而可以解決問題．【解析】解：如圖，過點AE⊥BC于點E，在菱形ABCD中，BC=AB=6，∠ABC=60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=3，∴AE==3，∴菱形ABCD的面積=BC?AE=6×3=18．故選：B．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，菱形的邊長為2，，則點A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)坐標(biāo)意義，點A坐標(biāo)與垂線段有關(guān)，過點A向x軸垂線段AE，求得OE、AE的長即可知點A坐標(biāo)．【解析】過點A作AE⊥x軸，垂足為E，則∠AEO=90°，∵，∠AEO=90°∴，∴∵菱形的邊長為2即AO=2，∠AEO=90°，∴，即解得：．∴點A坐標(biāo)為，故選：D．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，等角對等邊，勾股定理等，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在菱形中，E、F分別是、的中點，若，則菱形的周長為（

）A．4 B．8 C．16 D．20【答案】B【分析】由三角形中位線定理可求BC＝2，由菱形的性質(zhì)可求周長．【解析】解：∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，EF＝1，∴BC＝2EF＝2，∵四邊形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的周長＝4×2＝8，故選：B．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握菱形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．如圖，菱形中，，點E、F分別在邊、上，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】菱形的四邊相等，對角線平分每一組對角，因為，連接，和菱形的邊長相等，可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，求出．【解析】解：連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，，，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．7．如圖，菱形的對角線相交于點O．E，F(xiàn)分別是的中點，若，則菱形的周長為（）A．8 B．16 C．8 D．16【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可以得到與的關(guān)系，與的關(guān)系，再根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，即可得到的長，然后即可求得菱形的周長．【解析】解：取的中點，連接，，點為的中點，點為的中點，，，，，四邊形是菱形，，，，，，，設(shè)，則，，，，解得，，菱形的周長為：，故選：B．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、三角形的中位線、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．8．如圖，菱形的對角線交于點O，交的延長線于E，，則的面積為（

）A．11 B．12 C．14 D．15【答案】B【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，從而得出的長度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出的長度，利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，計算出的面積，再根據(jù)等底同高的兩三角形面積相等可得答案．【解析】解：，，四邊形是平行四邊形，，∵四邊形是菱形，∴，在中，，即可得，又，是直角三角形，，，．故選：B．【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理及三角形的面積，屬于基礎(chǔ)題，求出的長度，判斷是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．9．如圖，菱形的兩條對角線交于點O，于點E，若，則的長是（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】先求出菱形的邊長，再由菱形的面積公式可求解．【解析】∵菱形，，∴∴，∵，∴，解得，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，掌握菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在菱形中，，，點P是菱形內(nèi)部一點，且滿足，則的最小值是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】在上取一點E，使得，作，作點C關(guān)于的對稱點H，交于G，連接交于P，連接，此時，的值最小．在和中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可．【解析】解：如圖，在上取一點E，使得，作，作點C關(guān)于的對稱點H，交于G，連接交于P，連接，此時，的值最?。淖钚≈担咚倪呅问橇庑?，，∴，，∴，則，∵，∴，∴，在中，，，∴，故選：D．【點睛】本題考查軸對稱﹣最短問題，三角形的面積，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題．二、填空題11．如果一個菱形的一條邊長為，那么這個菱形的周長為_________．【答案】8【分析】根據(jù)菱形的四條邊都相等，現(xiàn)在已知其一條邊長為，即可求出菱形的周長．【解析】解：菱形的四條邊都相等，其邊長都為，菱形的周長．故答案為：8．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單，掌握菱形的四條邊相等是解題關(guān)鍵．12．如圖，在菱形中，過點A作于點E，交對角線于點F，點G為的中點．若，則_______°．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，進(jìn)而得出，據(jù)此即可求解．【解析】解：∵四邊形為菱形，∴，∴．∵，∴．∵點為的中點，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．菱形的對角線，則菱形的高為_______．【答案】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理計算出，再根據(jù)等面積法即可計算出菱形的高．【解析】解：如圖所示：

，菱形的對角線，，，，設(shè)菱形的高為，則，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，等面積法，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，菱形的對角線，相交于點，過點作于點，連接，若，，則菱形的面積為______．【答案】【分析】利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，進(jìn)一步可求出，，利用菱形的面積公式求解即可．【解析】解：∵，且為菱形，∴，∴，即，∵，∴，∴菱形的面積，故答案為：96．【點睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出菱形對角線的長度．15．如圖，在菱形中，，．點P為邊上一點，且不與點C，D重合，連接，過點A作，且，連接，則四邊形的面積為______．【答案】【分析】連接，由菱形的性質(zhì)可知是等邊三角形，過點C作于點G，過點P作于點H，可得，繼而得出，根據(jù)勾股定理求出長度，再證明四邊形是平行四邊形，依據(jù)進(jìn)行求解即可．【解析】如圖，連接，∵四邊形是菱形中，，∴，，∴是等邊三角形，過點C作于點G，過點P作于點H，則，∵，，∴，∵，∴，∴∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積公式等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，菱形的對角線相交于點，過點作于點，連接，，若菱形的面積為16，則的長為____．【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)得，，，再求出，則，然后由菱形面積求出，則，即可解決問題．【解析】解：四邊形是菱形，，，，，，，，，，菱形的面積，，，在中，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖1，菱形紙片的邊長為，，將菱形沿，GH折疊，使得點B，D兩點重合于對角線上的點P（如圖2）．若，則六邊形的面積為______．

【答案】【分析】由菱形的性質(zhì)可得，，，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，可證四邊形是平行四邊形，可得，，由面積和差關(guān)系可求解．【解析】解：如圖，

∵四邊形是菱形，，∴，，cm，，∴，,∴∴．∵，∴，，∵將菱形沿，折疊，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，同理可得：，

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴六邊形面積，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，求出的長是本題的關(guān)鍵．18．如圖，在菱形中，°，在對角線上任取一點Р（端點除外），連接、．在BA的延長線上取一點Q，使．當(dāng)點Р在線段上移動時：①；②當(dāng)點P沿CA方向運動時，的度數(shù)先變小，后變大；③；④．其中，說法正確的序號是___________．【答案】①③④【分析】利用證明即可推出①和④正確；作點到和的距離，根據(jù)角平分線判定定理推出，證明，從而求出為定值，驗證②錯誤；即可推出③正確．【解析】解：連接，過點分別作于點，于點，如圖所示，四邊形為菱形，，．，，，，①和④正確．，，為等邊三角形，．，，，．，．，．為定值．②不正確．，，是等邊三角形．，，，，，．．③正確．故答案為：①③④【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，涉及到的知識點有三角形全等和角平分線的性質(zhì)判定，作對輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，菱形的對角線、相交于點，，垂足為點，，，求、的長．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出，勾股定理求得，進(jìn)而等面積法求得，即可求解．【解析】解：∵菱形的對角線、相交于點，，，∴，∴中，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點O，且．(1)求菱形周長；(2)，求的長．【答案】(1)8(2)【分析】（1）根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意可得為等邊三角形，，則，即可得出，根據(jù)勾股定理求出的長度，即可求解．【解析】（1）解：∵四邊形是菱形，，∴菱形周長；（2）解：∵四邊形是菱形，，，∴，即為等邊三角形，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得，∴．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊相等，對角線互相垂直平分，對角線平分對角．21．如圖，在菱形中，對角線交于點O，過點C作交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)22【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）證明四邊形是平行四邊形，則，然后進(jìn)行求解即可．【解析】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴四邊形周長為，∴四邊形的周長為22．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．22．圖1，圖2都是由小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，分別按要求畫出圖形．

(1)在圖1中畫出以為對角線的菱形，C，D均在格點上．(2)在圖2中畫出以為邊的平行四邊形，E，F(xiàn)均在格點上，并使其面積最大．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】（1）根據(jù)等邊三角形與菱形的性質(zhì)可進(jìn)行作圖；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【解析】（1）解：所作菱形如圖所示：

（2）解：由圖可知的長是固定的，要使所作平行四邊形的面積為最大，則需滿足該平行四邊形邊上的高為最大即可，如圖所示：

【點睛】本題主要考查等邊三角形、菱形及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握各個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在菱形中，E為對角線上一點，連接．(1)求證：；(2