空間向量及其運算兩個向量的數量積

2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞1空間向量的基本定理如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數對x、y、z，使ABDCO思路：作E2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞2推論：設點O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的有序實數對x、y、z使OABCPPP注：空間任意三個不共面向量都可以構成空間的一個基底如：2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞3教學過程一、幾個概念1）兩個向量的夾角的定義OAB2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞42）兩個向量的數量積注意：①兩個向量的數量積是數量，而不是向量.②零向量與任意向量的數量積等于零。2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞53）射影BAA1B1

根據以上定義正射影（簡稱射影）是一個向量！向量在方向上的射影的長度為2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞64)空間向量的數量積性質

注意：①性質2）是證明兩向量垂直的依據；②性質3）是求向量的長度（模）的依據；對于非零向量，有：2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞75)空間向量的數量積滿足的運算律

注意：數量積不滿足結合律2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞8二、課堂練習2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞9ADFCBE2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞10三、典型例題

例1：已知m,n是平面

內的兩條相交直線，直線l與

的交點為B，且

l⊥m，l⊥n，求證：l⊥

分析：由定義可知，只需證l與平面內任意直線g垂直。nmggmn

ll要證l與g垂直，只需證l·g＝0而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序實數對(x,y)使得g=xm+yn

要證l·g＝0,只需l·g=xl·m+yl·n=0而l·m＝0，l·n＝0故l·g＝02024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞11三、典型例題

例1：已知m,n是平面

內的兩條相交直線，直線l與

的交點為B，且l⊥m，l⊥n，求證：l⊥

nmggmn

ll證明：在

內作不與m、n重合的任一條直線g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m與n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序實數對（x，y），使

g=xm+yn,

l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l(xiāng)·g=0∴l(xiāng)⊥g∴l(xiāng)⊥g

這就證明了直線l垂直于平面

內的任一條直線，所以l⊥

2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞12例2：已知：在空間四邊形OABC中，OA⊥BC，

OB⊥AC，求證：OC⊥ABABCO

2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞13例3如圖，已知線段在平面內，線段，線段，線段，，如果，求、之間的距離。解：由，可知.由知.

2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞14例4已知在平行六面體中，,

,求對角線的長。解：2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞151.已知線段、在平面內，，線段，如果，求、之間的距離.解：∵2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞162.已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于，點分別是邊的中點。求證：。證明：因為所以同理，2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞173.已知空間四邊形，求證：。證明：∵2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞184.如圖，已知正方體，和相交于點，連結，求證：。2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞19思考題：利用向量知識證明三垂線定理aAOP2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞20已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于,點分別是的中點，求下列向量的數量積：作業(yè)講評2024/7/23新疆奎屯市第一高級中學特級教師王新敞21課堂小結：

1．正確分清楚空