人教A版必修第二冊(cè)923總體集中趨勢(shì)的估計(jì)學(xué)案

9.2.3總體集中趨勢(shì)的估量

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

結(jié)合實(shí)例，能用樣本估量總體的集

閱讀教材并通過復(fù)習(xí)回憶學(xué)校學(xué)

中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾

習(xí)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的概念，

數(shù))，理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含

明確它們的統(tǒng)計(jì)含義.

義.

課前篇?自主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點(diǎn)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

在頻率分布

特征量含義

直方圖中的表達(dá)

取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的

眾數(shù)消失次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

橫坐標(biāo)

將數(shù)據(jù)按從大到小或從小

把頻率分布直方圖劃分為左右

到大的挨次依次排列，處在

中位數(shù)兩個(gè)面積相等的局部，分界線與

最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或

%軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))

每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)

方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和

［重點(diǎn)理解］

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的理解

(1)一組數(shù)據(jù)中，某個(gè)數(shù)據(jù)消失的次數(shù)稱為這個(gè)數(shù)據(jù)的頻數(shù)，遭

失次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

說明：假如有幾個(gè)數(shù)據(jù)消失的次數(shù)相同，并且比其他數(shù)據(jù)消失的

次數(shù)都多，那么這幾個(gè)數(shù)據(jù)都是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；假設(shè)一組數(shù)據(jù)中，

每個(gè)數(shù)據(jù)消失的次數(shù)一樣多，那么認(rèn)為這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).

(2)假如二組數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù),且依據(jù)從小到大排列后為修，處…，

%2/1，那么稱第+1為這組數(shù)的中位數(shù)；假如一組數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，且依

據(jù)從小到大排列后為期，％2,…，％2〃，那么稱趙掾皂為這組數(shù)的史

（3）假如給定的一組數(shù)是修，％2,…，/，那么這組數(shù)的平均數(shù)為

X亍之01土松土?二土3疝.

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是刻畫“中心位置〃的量，它們從不同

角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

2.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的比擬

名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

①它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中很

①表達(dá)了樣本數(shù)據(jù)的最大集

眾少的一局部信息；

中1八占、、，?

數(shù)②無法客觀地反映總體的特

②簡(jiǎn)單計(jì)算

征

①不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)

中（即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù)）

位的影響；對(duì)極端值不敏感

數(shù)②簡(jiǎn)單計(jì)算，便于利用中間

數(shù)據(jù)的信息

代表性較好，是反映數(shù)據(jù)集任何一個(gè)數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)變都會(huì)引

平

中趨勢(shì)的量.一般狀況下，起平均數(shù)的轉(zhuǎn)變.數(shù)據(jù)越

均

可以反映出更多的關(guān)于樣本“離群〃，對(duì)平均數(shù)的影響

數(shù)

數(shù)據(jù)全體的信息越大

［自我排查］

1.一組數(shù)據(jù)：85,88,73,88,79,85,其眾數(shù)是（）

A.88B.73C.88,85D.85

答案：C

解析：該組數(shù)據(jù)85,88,73,88,79,85有兩個(gè)眾數(shù)，它們是88,85.應(yīng)

選C.

2.數(shù)據(jù)一3,-2,0,6,6,13,20,35,那么它的中位數(shù)和眾數(shù)各是

)

A.6和6B.3和6

答案：A

解析：?.?從小到大排列的這8個(gè)數(shù)，排在中間的兩個(gè)數(shù)都是6,

二.中位數(shù)是6:消失的次數(shù)最多，眾數(shù)是6,應(yīng)選A.

3.一組數(shù)據(jù)從小到大排列為一1Q4,X,6,15,且這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù)是5,那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為()

A.5B.6C

答案：B

解析：由題意得;(4+%)=5,得％=6.

4.一組數(shù)據(jù)0,2,%,4,5的眾數(shù)是4,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

答案：3

解析：?.?數(shù)據(jù)0,2,X,4,5的眾數(shù)是4,，X=4,

二.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是gx(0+2+4+4+5)=3.

5.一組數(shù)據(jù)1,10,5,2,%,2,且2<%<5,假設(shè)該數(shù)據(jù)的眾數(shù)是中位

2

數(shù)的1倍，那么該數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.

答案：4

2

解析：依據(jù)題意知，該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2,那么中位數(shù)是2苜=3,

2+x

把這組數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,2,X,5,10,那么丁=3,解得x=4,

——1

所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為％(1+24-2+4+5+10)=4.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破

研習(xí)1眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算

［典例1］（鏈接教材第203頁例4）（多項(xiàng)選擇）某籃球隊(duì)甲、乙兩

名運(yùn)發(fā)動(dòng)練習(xí)罰球，每人練習(xí)10組，每組罰球40個(gè)，命中個(gè)數(shù)如下

所示：

甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26

乙：14,9,13,18,19,20,23,21,21,11

那么下面結(jié)論中正確的選項(xiàng)是（）

A.甲的極差是29B.乙的眾數(shù)是21

C.甲的平均數(shù)為21.4D.甲的中位數(shù)是24

［答案］ABC

［解析］把兩組數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排列，得

甲:8,12,13,20,22,24,25,26,27,37

乙：9,11,13,14,18,19,20,21,21,23

故甲的最大值為37,最小值為8,那么極差為29,所以A正確;

——1

乙中消失最多的數(shù)據(jù)是21,所以B正確；甲的平均數(shù)為％甲=正（8+

12+13+20+22+24+25+26+27+37)=,所以C正確；甲的中位

數(shù)為京22+24)=23,故D不正確.

［巧歸納］平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法

平均數(shù)一般是依據(jù)公式來計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將

這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的挨次排列，再依據(jù)各自的定義計(jì)

算.

［練習(xí)1］1.某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人,

95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各

有1人，那么該小組成果的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

答案：C

解析：從小到大列出全部數(shù)學(xué)成果：

75,80,85,85,85,85,90,90,95,100,觀看知眾數(shù)和中位數(shù)均為85,計(jì)算得

平均數(shù)為87.

2.一組數(shù)據(jù)%1，%2,%3,%4,%5的平均數(shù)是2,那么另一組數(shù)據(jù)

2修一3,2%2—3,2即一3,2%4—3,2%5—3的平均數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案：A

解析：由于一組數(shù)據(jù)Xi,X2,X3,X4,X5的平均數(shù)是2,所以另一

組數(shù)據(jù)2即一3,2%2—3,2%3—3,2%4—3,2%5—3的平均數(shù)為2X2—3=1.

應(yīng)選A.

研習(xí)2平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用

［典例2］（鏈接教材第205頁例5）據(jù)了解，某公司的33名職工

月工資（單位：元）如下:

職務(wù)董事長(zhǎng)副董事長(zhǎng)董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員

人數(shù)11215320

工資110001000090008000650055004000

⑴求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；

（2）假設(shè)副董事長(zhǎng)的工資從10000元提升到20000元，董事長(zhǎng)的

工資從11000元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

又是多少（精確到元）？

（3）你認(rèn)為哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量更能反映這個(gè)公司員工的工資水平？結(jié)合

此問題談一談你的看法.

［解］（1）平均數(shù)是：7=4000+

7000+6000+5000X2+4000+2500X5+1500X3+0X20

33

=4000+1333=5333（元）.

中位數(shù)是4000元，眾數(shù)是4000元.

（2）平均數(shù)是=4000+

26000+16000+5000X2+4000+2500X5+1500X3+0X20

33

=4000+2212=6212(元).

中位數(shù)是4000元，眾數(shù)是4000元.

(3)在這個(gè)問題中，中位數(shù)和眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水

平，由于公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差異較大，這樣

導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個(gè)公司員工的

工資水平.

［巧歸納］眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的意義

(1)樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心

值〃，其中眾數(shù)和中位數(shù)簡(jiǎn)單計(jì)算，不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，但

只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但

受樣本中每個(gè)數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響也越大；

(2)當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)消失時(shí)，其眾數(shù)往往更能反映

問題，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì).

［練習(xí)2］如表是五班級(jí)兩個(gè)班各11名同學(xué)1分鐘仰臥起坐的成

果(單位：次)：

一班1933262928333435333320

二班2527292829302935293029

(1)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)各是多少？

(2)你認(rèn)為哪個(gè)數(shù)表示兩個(gè)班的成果更適宜？

解：(1)一班平均數(shù)：

(19+33+26+29+28+33+34+35+33+33+30)X1=

333口1=30.27(次)，

一班數(shù)據(jù)從小到大排列為：

19,26,28,29,30,33,33,33,33,34,35,

所以一班中位數(shù)為33次，

33消失的次數(shù)最多，眾數(shù)是33次；

二班平均數(shù)：

(25+27+29+28+29+30+29+35+29+30+29)X1=

320X1=29.09(次)，

二班數(shù)據(jù)從小到大排列為：

25,27,28,29,29,29,29,29,30,30,35,

所以二班的中位數(shù)是29次，

29消失的次數(shù)最多，所以二班的眾數(shù)是29次.

(2)運(yùn)用平均數(shù)表示兩個(gè)班的成果更適宜.

研習(xí)3利用頻率分布直方圖估量總體的集中趨勢(shì)

［典例3］某校從參與高二班級(jí)學(xué)業(yè)水平測(cè)試的同學(xué)中抽出80名

同學(xué)，其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如下圖.

⑴求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成果的眾數(shù)；

(2)求這次測(cè)試數(shù)學(xué)成果的中位數(shù).

7Q_|_QQ

［解］(1)由題干圖知眾數(shù)為一丁=75,那么這80名同學(xué)的數(shù)

學(xué)成果的眾數(shù)為75分.

(2)由題干圖知，設(shè)中位數(shù)為％X(%—70),所以％七73.3,即這80

名同學(xué)的數(shù)學(xué)成果的中位數(shù)為73.3分.

［母題探究］1.［變?cè)O(shè)問］假設(shè)本例的條件不變,求數(shù)學(xué)成果的平均

數(shù).

解：由題干圖知這次數(shù)學(xué)成果的平均數(shù)為：處詈XX10+

50+5060+7070+8080+90

-2~XX10+-2~XX10+-2~XX10+-2~XX10+

90+100八

一2一XX10=72(分).

2.［變?cè)O(shè)問］假設(shè)本例條件不變，求80分以下的同學(xué)人數(shù).

角星:分?jǐn)?shù)在［40,80)內(nèi)的頻率為：(0.005+0.015+0.020+0.030)*10

=0.7,所以80分以下的同學(xué)人數(shù)為80X0.7=56.

［巧歸納］用頻率分布直方圖估量眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

(1)眾數(shù)：取最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左

右兩個(gè)面積相等的局部的分界線與z軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心〃，等于頻率分

布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

［練習(xí)3］某校為了解全校高中同學(xué)五一小長(zhǎng)假參與實(shí)踐活動(dòng)的

狀況，抽查了100名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)他們假期參與實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間(單位:

小時(shí))，繪成的頻率分布直方圖如下圖.

頻率

0.15

a

0.12

1012實(shí)驗(yàn)活動(dòng)時(shí)間〃卜時(shí)

(1)求這100名同學(xué)中參與實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在6?10小時(shí)內(nèi)的人數(shù);

(2)估量這100名同學(xué)參與實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)和平均

角翠：(l)100X［1-(0.04+0.12+0.05)X21=58(^),

即這100名同學(xué)中參與實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在6?10小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為

(2)由頻率分布直方圖可以看出最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7,

故這100名同學(xué)參與實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)的估量值為7小時(shí).

由(0.04+0.12)X2=0.32,(0.04+0.12+0.15)X2=

0.62,0.32<0.5<0.62,

得中位數(shù)才滿意6<K8.

由0.32+Q—6)X0.15=0.5,

得片7.2,

即這100名同學(xué)參與實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)的估量值為7.2小

由(0.04+0.12+0.15+Q+0.05)X2=1,

解得a=0.14,

X2XX2XX2XX2XX2X11=7.16（小時(shí)）.

課后篇?根底達(dá)標(biāo)延長(zhǎng)閱讀

1.數(shù)據(jù)一3,-2,0,6,6,13,20,35,那么它的中位數(shù)和眾數(shù)各是

()

A.6和6B.3和6C

答案：A

解析：?.?從小到大排列的這8個(gè)數(shù)，排在中間的兩個(gè)數(shù)都是6,

二.中位數(shù)是6:消失的次數(shù)最多，眾數(shù)是6,應(yīng)選A.

2.在一次中同學(xué)田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參與男子跳高的17名運(yùn)發(fā)動(dòng)的

成果如表所不：

成果(單位：m)

人數(shù)23234111

分別求這些運(yùn)發(fā)動(dòng)成果的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù).

解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75消失了4次，消失的次數(shù)最多，即這

組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75.袁里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的挨次排

列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中

位數(shù)是1.70；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是X3+-Xl)=,17)^1.69(m).

故17名運(yùn)發(fā)動(dòng)成果的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次為1.75m,1.70

m,1.69m.

課后自讀方案

［標(biāo)準(zhǔn)解答］用樣本平均數(shù)估量總體平均數(shù)

［例如］（2020福建莆田高一檢測(cè)）國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的?

環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)?，其中規(guī)定，居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得

超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/

立方米.某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的

24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

組另IJPM2.5（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率

第一組(0,15]4

其次組(15,30]12y

第三組(30,45]8

第四組(45,60]8

第五組(60,75]