專題29 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專用）原卷版

2/2專題29平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】平面向量基本定理的應(yīng)用 3【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 5【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示 7【分層檢測(cè)】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.平面向量的基本定理?xiàng)l件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量結(jié)論對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．52．（2023·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．64．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．55．（2022·全國(guó)·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】平面向量基本定理的應(yīng)用一、單選題1．（21-22高一下·重慶北碚·階段練習(xí)）設(shè)是兩個(gè)不平行的向量，則下列四組向量中，不能組成平面向量的一個(gè)基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，點(diǎn)為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣西·二模）已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為為的重心，，則（

）A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為4．（2022·廣東惠州·一模）如圖，點(diǎn)O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C． D．三、填空題5．（2024·天津紅橋·二模）太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽(yáng)兩魚互抱在一起，因而被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個(gè)對(duì)稱的半圓弧組成的，線段MN過(guò)點(diǎn)O且兩端點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)半圓上，點(diǎn)P是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，令，，若，則；的最小值為．6．（2024·天津·二模）在中，，是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．設(shè)，，則可用，表示為，若，,則面積的最大值為．反思提升：(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.注意同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.【考點(diǎn)2】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算一、單選題1．（12-13高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知，若，則（）A．6 B．5 C．4 D．32．（2024·湖南邵陽(yáng)·一模）如圖所示，四邊形是正方形，分別，的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·湖北十堰·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，向量與向量的夾角為銳角C．存在，使得D．若，則4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一款家居裝飾物——博古架，它始見于北宋宮廷、官邸.博古架是類似于書架式的木器，其每層形狀不規(guī)則，前后均敞開，無(wú)板壁封擋，便于從各個(gè)位置觀賞架上放置的器物.某博古架的部分示意圖如圖2中實(shí)線所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．D．設(shè)Z為線段AK上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是三、填空題5．（2022·湖南岳陽(yáng)·三模）設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(dòng)(包含B，C兩個(gè)端點(diǎn))，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為．6．（2020·山西·三模）如圖，在△中，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).，則，滿足的等式是.反思提升：平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過(guò)程中，常利用向量相等其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解.【考點(diǎn)3】平面向量共線的坐標(biāo)表示一、單選題1．（23-24高二上·四川綿陽(yáng)·期末）直線的一個(gè)方向向量是（

）A． B． C． D．2．（2024·河北秦皇島·二模）已知向量，，則“”是“與共線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、多選題3．（2024·山東聊城·二模）已知向量，若在上的投影向量為，則（

）A． B．C． D．與的夾角為4．（2024·甘肅張掖·一模）下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若，其中，，且，則四點(diǎn)共面B．已知，，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是C．若，共線，則D．若，共線，則一定存在實(shí)數(shù)使得三、填空題5．（22-23高三上·廣西貴港·階段練習(xí)）已知向量，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則．6．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量，，若向量與向量共線，則角．反思提升：1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知在梯形中，且滿足，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．2．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家帕波斯在其著作《數(shù)學(xué)匯編》的第五卷序言中，提到了蜂巢，稱蜜蜂將它們的蜂巢結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為相同并且拼接在一起的正六棱柱結(jié)構(gòu)，從而儲(chǔ)存更多的蜂蜜，提升了空間利用率，體現(xiàn)了動(dòng)物的智慧，得到世人的認(rèn)可.已知蜂巢結(jié)構(gòu)的平面圖形如圖所示，則（

）

A． B．C． D．3．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知兩個(gè)向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江溫州·三模）平面向量，若，則（

）A． B．1 C． D．2二、多選題5．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，，，分別是邊，，的中點(diǎn)，，，交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個(gè)單位向量，且，若（），則的可能取值為（

）A． B． C． D．7．（2023·廣東·二模）若平面向量，，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則與同向的單位向量為C．若，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若，則的最小值為三、填空題8．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則，則實(shí)數(shù).9．（2024·黑龍江·二模）已知向量，，若，則．10．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則.四、解答題11．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習(xí)）在中，E為AC的中點(diǎn)，D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．(1)分別用向量，表示向量，；(2)若點(diǎn)N滿足，證明：B，N，E三點(diǎn)共線．12．（2023·湖南永州·二模）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且向量與向量共線.(1)求；(2)若的面積為，求的值.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，，，且，則（

）A． B． C． D．2二、多選題2．（2023·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形中，為中點(diǎn)，分別為線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，若，則的值可能是（

）

A．1 B． C． D．3三、填空題3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)，，．若與的交點(diǎn)為，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,四、解答題4．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖在中，，滿足.

(1)若，求的余弦值；(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，求的最小值.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（22-23高三上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.下列四個(gè)結(jié)論正確的是（