高中數(shù)學(xué)《離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征》考點(diǎn)講解與訓(xùn)練

《7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征》考點(diǎn)講解

【思維導(dǎo)圖】

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

則稱E(A)=xgxipi+…+xpi+…+式/為隨機(jī)變量X的均值

或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

離

散設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

型

隨

機(jī)

變

則區(qū)一旦甩尸描述了”)相對于均值的偏離程度.

量x,</=U........E(A)

的/)(.?=￡g—E(X))》為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)

數(shù)i-i

字變?X與其均值E(X)的平均偏離程度.稱研、)為隨機(jī)變量V的方差,

特

并稱其算術(shù)平方根7D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

征

(1)隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波

動(dòng)、集中與離散的程度.D(X)越大，表明平均偏離程度越大，X的取

值越分散.反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近.

(2)方差也是一個(gè)常數(shù)，它不具有隨機(jī)性，方差的值一定是非負(fù).

￡(*)=*,D(k)=O,其中A為常數(shù)

E(aX+b)^aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)

【常見考點(diǎn)】

考法一分布列均值與方差

【例1-1］已知隨機(jī)變量X的分布列是

X123

Pa

~23

則E（2X+a）=（）

57723

A?一B.-C.一D.一

3326

【例1-21隨機(jī)變量X的分布列如表所示,若E（X）=g,則。（3X—2）=（）

X-101

Pab

6

A.9B.7C.5I).3

【一隅三反】

i.已知隨機(jī)變量x的分布列為：設(shè)y=2x+i,則y的數(shù)學(xué)期望E(F)的值是()

X-101

Pa

~26

1B.122

A.---C.一D.?——

6333

2.已知X的分布列為:

設(shè)y=2x+i,則丫的數(shù)學(xué)期望后（丫）的值是（）

1229

A.--B.-C.1D.—

6336

3.（多選）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P（X=O）=:，E（X）,O（X）分別為

隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）

A.p（x=1）=E（X）B.E（4X+1）=4

c.。（x）4D.D（4X+1）=4

4.（多選）已知隨機(jī)變量J的分布列是

4-101

pl-pp_

722

隨機(jī)變量〃的分布列是

7123

1-p

p2.

722

則當(dāng)〃在（0』）內(nèi)增大時(shí)，下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.七傳）=石何）B.丫?=%）

C.￡（4）增大D.V（〃）先增大后減小

考法二實(shí)際應(yīng)用中的分布列與均值

【例2】某外貿(mào)企業(yè)在春節(jié)前夕特地從臺(tái)灣進(jìn)口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)100家大型農(nóng)貿(mào)市場提供

貨源，據(jù)統(tǒng)計(jì)，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量（單位：噸），以［160,180）、

［180,200）、［200,220）、［220,240）、［240,260）、［260,280）、［280,300）分組的頻

率分布直方圖如圖.

（1）求直方圖中工的值；

（2）在年平均銷售量為［220,240）、［240,260）、［260,280）、［280,3（X））的四組大型農(nóng)

貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取11家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在［240,260）、

［260,280）,［280,300）的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？

（3）在（2）的條件下，再從［240,260）、［260,280）、［280,300）這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)

市場中隨機(jī)抽取3家參加國臺(tái)辦的宣傳交流活動(dòng)，記恰有。家在［240,260）組，求隨機(jī)變

量〈的分布列與期望和方差.

【一隅三反】

1.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場的

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不

足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超

過1小時(shí)離開的概率分別為,、,；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為二、

462

|；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量J(單位：元)，求J的分布列與數(shù)學(xué)

期望E?,方差。⑷.

2.某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng)，有N個(gè)人參加.現(xiàn)將

所有參加者按年齡情況分為(20,25),(25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等

七組.其頻率分布直方圖如圖所示，已知[25,30)這組的參加者是6人.

(I)根據(jù)此頻率分布直方圖求N；

(II)組織者從(45,55)這組的參加者(其中共有4名女教師，其余全為男教師)中隨機(jī)

選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為X,求X的分布列、均值及方差.

(III)已知[35,40)和[40,45)這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師.現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任

接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率

考法三均值方差做決策

【例3】.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量&與n,且g,n

的分布列為：

g123

Pa0.10.6

n123

p0.3b0.3

（1）求a,b的值;

（2）計(jì)算g,n的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況.

【一隅三反】

1.某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售.

如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單

位：枝，neN）的函數(shù)解析式：

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

日需求量n14151617181920

頻數(shù)10201616151320

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期

望及方差；

②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.

2.甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4

元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成

7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，

并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：

甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：

送餐單數(shù)3839404142

天數(shù)101510105

乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表:

送餐單數(shù)3839404142

天數(shù)51010205

若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：

(1)記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利

用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由.

答案解析

考法一分布列均值與方差

【例1-1］已知隨機(jī)變量X的分布列是

X123

Pa

~23

則E(2X+a)=()

57723

A.-B.-C.-D.—

3326

【答案】C

【解析】由分布列的性質(zhì)可得」+工+。=1,得所以,

E(X)=lx—+2x—+3x—=—

2363

i5i7

因此，E（2X+a）=E2X+q=2石（乂）+2=2乂1+工=7.故選：（;.

o3o2

【例1-2】.隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若E(X)=g,貝iJO(3X—2)=()

X-101

pab

6

A.9B.7C.5D,3

【答案】C

【解析】???E(X)=g,

由隨機(jī)變量X的分布列得：

—1+。+/,?=,1

<6]解得b=3,

——+b=一

63

￡>。)=(-1-2)2x2+(0一X^+(l-^)2=.

3633329

.-.Z)(3X-2)=9￡)(X)=9x1=5.

故選：c.

【一隅三反】

i.已知隨機(jī)變量x的分布列為：設(shè)y=2x+i,則丫的數(shù)學(xué)期望七（丫）的值是（）

X-101

pa

26

122

A.一一C.一D.一一

633

【答案】c

【解析】由題意，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得:+<+。=1,解得。=?，

263

所以隨機(jī)變量X的期望為E（x）=—lx1+Ox，+lx《=—二

2636

又由y=2x+i,所以隨機(jī)變量y的期望為E（y）=2E（x）+i=2x（—t）+i=g

故選：C.

設(shè)y=2x+i，則丫的數(shù)學(xué)期望七（丫）的值是（）

1229

A.-B.-C.1D.—

6336

【答案】B

【解析】由題意，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得:+9+。=1,解得。=1，

263

所以隨機(jī)變量X的期望為E（X）=—lx!+Ox，+lx!=-J,

2636

又由y=2x+i,所以隨機(jī)變量y的期望為E（y）=2E（x）+i=2x（—}+i=|

故選：B.

3.（多選）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P（X=O）=；,￡（x）,O（x）分別為

隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（x=l）=￡（x）B.E（4X+1）=4

C.O（x）=aD.O（4X+1）=4

【答案】ABC

13

【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X=O）=],所以p（x=l）="

]33

￡（X）=Ox—+lx—所以尸（zX=1）=E（X）,故A正確；

E(4X+l)=4E(X)+l=4x|+l=4,故B正確;

2

0-(3Ix-=-l,故C正確;

441416

3

D(4X+1)=42D(X)=16X4=3,故D不正確.

16

故選:ABC

4.（多選）已知隨機(jī)變量〈的分布列是

4-101

p1-pp_

522

隨機(jī)變量〃的分布列是

7123

l-pP_

p

~222

則當(dāng)P在（（）』）內(nèi)增大時(shí),下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.Eq)=E(〃)B.Vq)=V(〃)

C.E（J）增大D.V（〃）先增大后減小

【答案】BC

【解析】對于A，???〃=J+2,.?.ES)=EC)+2,故A錯(cuò)誤;

對于3,?.”=€+2,.?We)=V("),故8正確;

?.?E(g)=_g+gp,

對于C，

???當(dāng)P在（0,1）內(nèi)增大時(shí),EC）增大,故。正確;

對于￡),〃3°

,??￡1()=g+2x」+3建=----1-----

2222

?[")=(-『爭W+g-針?+(.凱勺-立-2>+；,

二當(dāng)P在（0,1）內(nèi)增大時(shí)，單調(diào)遞增，故。錯(cuò)誤.故選：BC.

考法二實(shí)際應(yīng)用中的分布列與均值

【例2】某外貿(mào)企業(yè)在春節(jié)前夕特地從臺(tái)灣進(jìn)口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)100家大型農(nóng)貿(mào)市場提供

貨源,據(jù)統(tǒng)計(jì)，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量（單位：噸），以［160,180）、

［180,200）,［200,220）、［220,240）、［240,260）、［260,280）、［280,300）分組的頻

率分布直方圖如圖.

（1）求直方圖中左的值；

（2）在年平均銷售量為［220,240）、［240,260）,［260,280）、［280,300）的四組大型農(nóng)

貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取11家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在［240,260）、

［260,280）,［280,300）的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？

（3）在（2）的條件下，再從［240,260）、［260,280）、［280,300）這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)

市場中隨機(jī)抽取3家參加國臺(tái)辦的宣傳交流活動(dòng)，記恰有J家在［240,260）組，求隨機(jī)變

量4的分布列與期望和方差.

【答案】（1）O.（X）75；（2）年平均銷售量在［240,260）、［260,280）、［280,3（X））的農(nóng)貿(mào)

3Q

市場中應(yīng)各抽取3、2、1家；（3）分布列見解析，E（4）=/，。信）=藥.

【解析】（1）由頻率和為1,即

（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.0（）5+0.0025）x20=1,解得x=0.0075；

（2）年平均銷售量在［220,240）的農(nóng)貿(mào)市場有0.0125x20x100=25（家），

同理可求年平均銷售量［240,260）、［260,280）、［280,300］的農(nóng)貿(mào)市場有15、10、5

家，

11￡

所以抽取比例為

25+15+10+55

從年平均銷售量在［240,260）的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽取15x；=3（家），

從年平均銷售量在［260,280）的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽取10x；=2（家）

從年平均銷售量在［280,300）的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽取5x（=1（家），

即年平均銷售量在［240,260）、［260,280）、［280,300）的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取3、2、

1家；

（3）由（2）知，從［240,260）、［260,280）、［280,300）的大型農(nóng)貿(mào)市場中各抽取3

家、2家、1家，

所以隨機(jī)變量4的可能取值分別為0、1、2、3,

則p（g=0）=等q,上=1）=與

P傳=2）=33=_,P信=3）=33=一,

'，C：20v'Cl20

自的分布列如下表所示:

40123

1991

P

20202020

i9913

數(shù)學(xué)期望為E（/=0x萬+lx京+2x萬+3x方=不

天至出八23丫1r3丫923丫9L3丫19

方差為￡>(4)=|0——x---F1——xF2——x---F3——x—=—.

\(2)20I2)20I2)20I2)2020

【一隅三反】

1.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場的

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不

足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算).有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超

過1小時(shí)離開的概率分別為1、二；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為、

462

|；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).

(1)求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

(2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量J(單位：元)，求J的分布列與數(shù)學(xué)

期望E?,方差。⑷.

【答案】⑴—；(2)分布列見解析，E(J)=80,￡)(4)=---.

【解析】(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0、40、80元，

兩人都付0元的概率為6=；x,=算，兩人都付40元的概率為2=gx|=:，

兩人都付80元的概率為巴=(1一。一與x1

V42/1o5J24

則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P=4+2+A=(+1+==^；

(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為J,J可能取值為0、40、80、120、160,

P（"160）=＞卜一

所以，隨機(jī)變量J的分布列為

04080120160

151

P

24412424

=0x—+40xl+80xA+i20xl+160x—=80.

24412424

D(^)=(0-80)2x—+(40-80)2xl+(80-80)2x—+(120-80)2X-+(160-80)2X—

412424

4000

3

2.某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動(dòng)，有N個(gè)人參加.現(xiàn)將

所有參加者按年齡情況分為(20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)等

七組.其頻率分布直方圖如圖所示，已知[25,30)這組的參加者是6人.

(I)根據(jù)此頻率分布直方圖求N；

(II)組織者從(45,55)這組的參加者(其中共有4名女教師，其余全為男教師)中隨機(jī)

選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為X,求X的分布列、均值及方差.

(III)已知[35,40)和[40,45)這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師.現(xiàn)從這兩個(gè)組中各選取2人擔(dān)任

接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率

【答案】（I）40（ID見解析（III）

【解析】(I)[25,30)這組頻率為0.03x5=0.15,所以N=G^=40

(II)(45,55)這組的參加者人數(shù)為(0.02+0.01)x5x40=6,

X=l,2,3,

c'c21

P(X=D=-1^=M

C2cl3

尸(X=2)=-^=,

3

p(X=3)=WC=—1

C：5

X123

3]_

p

555

131

￡(X)=lx-+2x-+3x-=2

r>(X)=(l-2)2x1+(2-2)2x|+(3-2)2xi=|

(III)[35,40)這組的參加者人數(shù)為0.04x5x40=8

[40,45)這組的參加者人數(shù)為0.03x5x40=6

C\C'-Ci+C^-C'C\16

恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率為一2。士力.=「

ClCl35

考法三均值方差做決策

【例3】.甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量g與n,且&,n

的分布列為：

€123

(2)計(jì)算n的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況.

【答案】(1)a=0.3；b=0.4；(2)2.3；2；0.81；0.6；甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全

面，各有優(yōu)勢與劣勢.

【解析】(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知

a+0.1+0.6=1,

...a=0.3.

同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.

(2)E(&)=1XO.3+2X0.1+3X0.6=2.3,

E(n)=lX0.3+2X0.4+3X0.3=2,

D(€)=(l-2.3)嘆0.3+(2-2.3)2X0.1+(3-2.3)2X0.6=0.81,

D(n)=(l-2)2X0.3+(2-2)2X0.4+(3^2)2X0.3=0.6.

由于E(g)>E(n),說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(g)>D(n),說明甲

得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢.

【一隅三反】

1.某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售.

如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.

(1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單

位：枝，neN)的函數(shù)解析式；

(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：

日需求量n14151617181920

頻數(shù)10201616151320

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期

望及方差；

②若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.

【答案】（1）y=（〃eN）；（2）①分布列詳見解析，E（X）=76,

80,n>16

O（X）=44；②都有道理，理由詳見解析.

【解析】

（1）當(dāng)日需求量16時(shí)，利潤y=80.當(dāng)日需求量〃<16時(shí)，利潤y=10〃-80.

10n-80,n<16,、

所以y關(guān)于〃的函數(shù)解析式為y=1c,、（neN）.

80,n>16

(2)①X可能的取值為60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,

p(X=80)=0.7.

X的分布列為

X607080

P0.10.20.7

X的數(shù)學(xué)期望為E（X）=60x0.1+70x0.2+80x0.7=76.

X的方差為D（X）=（60-76）2x0.1+（70-76）2x0.2+（80-76）2x0.7=44.

②答案一：

花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，丫表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么丫的分布列為

Y55657585

P0.10.20.160.54

Y的數(shù)學(xué)期望為￡*(/)=55x0.1+65x0.2-4-75x0.16+85x0.54=76.4.

Y的方差為

D(r)=(55-76.4)2x0.1+(65-76.4)2x0.2+(75-76.4)2x0.16+(85-76.4)2x0.54=ll2.04

由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，r>（x）<r>（y）,即購進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤波動(dòng)相對較小.

另外，雖然E（X）<E（y）,但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.

答案二：

花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下：

若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，丫表示當(dāng)天的利澗（單位：元），那么丫的分布列為

Y55657585

P0.10.20.160.54

Y的數(shù)學(xué)期望為E（K）=55x0.1+65x0.2+75x0.16+85x0.54=76.4.

由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E（X）<E（Y）,即購進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤大于購進(jìn)

16枝時(shí)的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.

2.甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4

元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)（含40單）的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成

7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，

并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：

甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：

送餐單數(shù)3839404142

天數(shù)101510105

乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表:

送餐單數(shù)3839404142

天數(shù)51010205

若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題：

（1）記乙公司送餐員日工資為X（單位：元），求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利

用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由.

【答案】（1）詳見解析；（2）推薦小王去乙公司應(yīng)聘，理由見解析.

【解析】（1）設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為。，

當(dāng)a=38時(shí)，X=38x6=228,p=—

5010

當(dāng)a=39時(shí)，X=39x6=234,/?=-=-；

505

當(dāng)a=40時(shí)，X=40x6=240,/?=-=-；

505

當(dāng)。=41時(shí)，X=40x6+lx7=247,p=-=-；

505

當(dāng)。=42時(shí)，X=40x6+2x7=254,

故X的所有可能取值為228、234、240、247、254,

故X的分布列為：

X228234240247254

121

P

1055W

fe￡(X)=228x-+234xl+240xl+247x-+254x—=241.8.

1055510

(2)甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為：

38x0.2+39x0.3+40x0.2+41x0.2+42x0.1=39.7,

則甲公司送餐員日平均工資為80+4x39.7=238.8元，

因?yàn)橐夜舅筒蛦T日平均工資為241.8元，238.8<241.8,

所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘.

《7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征》考點(diǎn)訓(xùn)練

【題組一分布列均值與方差】

1.若隨機(jī)變量&的分布列：

g124

P0.40.30.3

那么E(5g+4)等于()

A.15B.11C.2.2D.2.3

3.設(shè)則隨機(jī)變量X的分布列是:

X0a1

P

333

則當(dāng)。在(0,1)內(nèi)增大時(shí)()

A.O(X)增大B.D(X)減小

c.O(x)先增大后減小D.D(x)先減小后增大

4.甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)g、n的分布列如下表.表中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是

)

環(huán)數(shù)k8910

P(g=k)0.30.20.5

P(n=k)0.20.40.4

A.甲B.乙C.一樣D.無法比較

5.(多選)(已知X的分布列為

A.P(X=O)=!B.E(X)=--

33

231

C.D(X)=-D.P(X>-1)=—

272

6.(多選)已知0<a<5,隨機(jī)變量&的分布列如下.

4

g-101

31

p---aa

44

當(dāng)a增大時(shí)，()

A.E(&)增大B.E(g)減小C.D(g)減小D.D(g)增大

7.(多選)已知隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)=2,則下列說法正確的是()

X123

]_

ptnn

3

1111

A.m=—,n=—B.m=-,n=—

2633

c.o(x)=gD.O(X)=g

8.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表；且E(X)=2,則"=,D(2X-3)=

X02a

]_

PP

63

9.設(shè)隨機(jī)變量J的分布列為:

4012

￡1

Pm

53

則團(tuán)=—；隨機(jī)變量占的數(shù)學(xué)期望后傳)=—.

10.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=：)=aMZ=l,2,3,4),。為常數(shù)，則E(4X)=

11.已知隨機(jī)變量J的分布列如下表所示，且〃=-24+3,則E(〃)=

4-101

\_

P

454

12.已知X的分布列

X-101

]_

P

236

且y=aX+3,E(y)=|,則。=.

13.已知隨機(jī)變量X的分布列如下：

X013

]_

Pa

32

若隨機(jī)變量丫滿足y=3x-1,則丫的方差。（丫）=.

【題組二實(shí)際應(yīng)用中的分布列與均值】

1.一個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和3個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)每次取出1個(gè)球，每個(gè)球被取出的

可能性相等，取出后不放回，直到某種顏色的球全部取出.設(shè)取出黑球的個(gè)數(shù)4,則

P（J=1）=，E（J）=.

2.“雙十一”是指每年的11月11日，以一些電子商務(wù)為代表，在全國范圍內(nèi)興起的大

型購物促銷狂歡日.某商家在去年的“雙十一”中開展促銷活動(dòng)：凡購物滿5888元的顧客

會(huì)隨機(jī)獲得A,B,C三種贈(zèng)品中的一件，現(xiàn)恰有3名顧客的購物金額滿5888元.設(shè)隨機(jī)變

量X表示獲得贈(zèng)品完全相同的顧客人數(shù)，則P（X=0）=,E（X）=

3.一個(gè)袋子內(nèi)裝有若干個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球（所有的球除顏色外其他均相同），從

中一次性任取2個(gè)球，每取得一個(gè)黑球得0分，每取得一個(gè)白球得1分，每取得一個(gè)紅球

得2分，用隨機(jī)變量J表示取2個(gè)球的總得分，已知得0分的概率為!.

（1）求袋子內(nèi)黑球的個(gè)數(shù)；

（2）求J的分布列與均值.

4.甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，

則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為乙獲勝的概率為g,各局比

賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；

（2）記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.

5.某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起,現(xiàn)要把這2件次品找出來,為此每次隨機(jī)抽取

1件進(jìn)行測試,測試后不放回，直至次品全部被找出為止.

（1）求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；

（2）設(shè)所要測試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【題組三均值方差做決策】

1.設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X（單位：小時(shí)）和丫的分布列分別如表1和表2

所示：

X90010001100

P0.10.80.1

Y95010001050

P0.30.40.3

試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？

2.某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，

未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需

求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：。C）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶；如果

最高氣溫位于區(qū)間［20,25）,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,需求量為200

瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻

數(shù)分布表：

最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨

量”（單位：瓶）為多少時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

3.某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后

兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2

次，超過2次每次收取維修費(fèi)2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可

免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺(tái)這種機(jī)

器.現(xiàn)需決策在購買機(jī)馨時(shí)應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)

保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：

維修次數(shù)0123

臺(tái)數(shù)5102015

以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺(tái)機(jī)器超

過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).

(1)求X的分布列；

(2)以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？

4.某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,

按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作.規(guī)定:至少正確完成其中2題的便可提交通過.已知6

道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是：，且

每題正確完成與否互不影響.

(D分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計(jì)算均值；

(2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的均值及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)

操作能力.

5.為倡導(dǎo)綠色出行，某市推出“新能源分時(shí)租賃汽車”業(yè)務(wù).其中一款新能源分時(shí)租賃汽

車每次租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/千米；②行駛時(shí)間不超過

40分鐘時(shí)，按0.12元/分計(jì)費(fèi)；超過40分鐘時(shí)，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi).已知王先生

家離上班地點(diǎn)15千米，每天租用該款汽車上、下班各一次.由于堵車、紅綠燈等因素，每次

路上開車花費(fèi)的時(shí)間是變量f(單位：分).現(xiàn)統(tǒng)計(jì)其50次路上開車花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段

內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：

時(shí)間f分[20,30][30,40][40,50][50,60]

頻數(shù)2182010

將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費(fèi)的時(shí)間視為用車時(shí)間，范圍為

[20,60]分.

（1）寫出王先生一次租車費(fèi)用y（單位：元）與用車時(shí)間t（單位：分）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若王先生的公司每月發(fā)放1000元的車補(bǔ)，每月按22天計(jì)算，請估計(jì)：

①王先生租用一次新能源分時(shí)租賃汽車上下班的平均用車時(shí)間（同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)

值做代表）.

②王先生每月的車補(bǔ)能否足夠上下班租用新能源分時(shí)租賃汽車，并說明理由.

答案解析

【題組一分布列均值與方差】

1.若隨機(jī)變量&的分布列：

124

P0.40.30.3

那么E(5g+4)等于()

A.15B.11C.2.2D.2.3

【答案】A

【解析】由已知，得：E€=1X0.4+2X0.3+4X0.3=2.2,

.\E(5€+4)=5E(&)+4=5X2.2+4=15.故選：A.

2.設(shè)g的分布列為

1234

]_]_

P

6633

又設(shè)。=2g+5,則E（n）等于（）

【答案】I)

【解析】E(€)=1X-+2X-+3X^+4X-=—,所以E(n)=E(2g+5)=2E(g)

6