初二【數(shù)學(xué)(人教版)】平方差公式 教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息

課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)八年級(jí)學(xué)期秋季

課題平方差公式

書名：義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師

指導(dǎo)教師

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：1.理解平方差公式，能利用公式進(jìn)行計(jì)算；

2.在探索平方差公式的過(guò)程中，感悟從具體到抽象地研究問(wèn)題的方法，在驗(yàn)證平方差公式

的過(guò)程中，感知數(shù)形結(jié)合思想.

教學(xué)重點(diǎn)：平方差公式

教學(xué)難點(diǎn)：平方差公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)與平方差公式的變式運(yùn)用

教學(xué)過(guò)程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

一.新力1引入

閱讀〃、故事，并回答問(wèn)題

小明利】小蘭分別負(fù)責(zé)兩塊區(qū)域的彳直日工作.小明負(fù)責(zé)一期2邊長(zhǎng)為。

米的正方「形空地，小蘭則負(fù)責(zé)一塊I￡方形空地，長(zhǎng)為正方形空地邊長(zhǎng)

力口5米，寬度是正方形空地邊長(zhǎng)減5米.有一天，小明對(duì)〃、蘭說(shuō):“咱

們換一T，值日的區(qū)域吧，反正這兩土夬地大小都一樣."你戈?得小明說(shuō)

的對(duì)嗎？為什么？

3min新知引入

?1

ClyT-35)米

不妨我。］來(lái)算一下：S正二。?Q=/,S長(zhǎng)=(a+5)(a-5)

這是多功1式乘以多項(xiàng)式，應(yīng)如何計(jì)￡良呢？前面我們已經(jīng)學(xué)過(guò)法則：

SR=(a-■5)(?！?)=cr-5ci+5ci—25=/_25

小明說(shuō)白/J不對(duì)，長(zhǎng)方形面積比正方方方面積少了25平方米.

【設(shè)計(jì)意圖】：一方面通過(guò)小故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生真正動(dòng)手計(jì)算得

到結(jié)論.另一方面引出本節(jié)課的要學(xué)習(xí)的公式，為后續(xù)公式的代數(shù)推導(dǎo)和幾何推

導(dǎo)做鋪墊.

二.探究新知

1.自主探究

計(jì)算下面多項(xiàng)式的積，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

(l)(x+l)(x-l)=1

8min探究新知+2)(相-2)=」-4

(3)(2x+1)(2%-1)=4/T

問(wèn)題1：根據(jù)以上算式的結(jié)構(gòu)和所得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

(等式的左邊是兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，這兩個(gè)多項(xiàng)式分別是兩個(gè)數(shù)

的和與這兩個(gè)數(shù)的差；等式的右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方之差)

問(wèn)題2：你能否用含字母的式子來(lái)表示你所發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律呢？

(不妨設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為包則一般形式可以表示為：

(a+b)(a-b)=a2-b2這種形式)

【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)計(jì)算得出結(jié)果后，進(jìn)一步分析所給這3個(gè)式子的結(jié)構(gòu)，通過(guò)

比較可以總結(jié)出等式兩邊的特點(diǎn).學(xué)生根據(jù)所觀察到的特點(diǎn)，表達(dá)成一般形式，

自然而然的引出新知，銜接緊湊，過(guò)程流暢.

2.歸納新知

由上面的幾個(gè)例子不難發(fā)現(xiàn)，都是形如的多項(xiàng)式和的多

項(xiàng)式相乘，運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，可以得到：

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,

乘完后是四項(xiàng)，而化簡(jiǎn)之后僅剩兩項(xiàng)。

所以，這類式子是多項(xiàng)式乘法中比較特殊的一類，在遇到具有與

此相同形式的多項(xiàng)式相乘，我們可以直接寫出運(yùn)算結(jié)果，即：

(a+b)(a-h)=a2-b2

讓我們的計(jì)算更加的快速和準(zhǔn)確。

對(duì)于這個(gè)公式，它有自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用語(yǔ)言來(lái)描述，就是“兩

個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差”。

所以我們稱這個(gè)公式為乘法的平方差公式。

問(wèn)題3：觀察上述公式，其結(jié)構(gòu)上有什么特征？

我們不難發(fā)現(xiàn)，等號(hào)左邊的兩個(gè)多項(xiàng)式中，“第一個(gè)數(shù)”。符號(hào)相

同，“第二個(gè)數(shù)”。符號(hào)相反，等號(hào)右邊是符號(hào)相同項(xiàng)a的平方減去符

號(hào)相反項(xiàng)人的平方.所以，我們?nèi)粝肜闷椒讲罟竭M(jìn)行計(jì)算，可以先

觀察多項(xiàng)式中是否有符號(hào)相同項(xiàng)，相反項(xiàng)，若滿足公式結(jié)構(gòu)，便可以

直接使用公式計(jì)算，而無(wú)需再運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則.

2

3深入探索

大家想一下，我們除了可以從多項(xiàng)式乘法的法則角度來(lái)說(shuō)明平方

差公式，還能從什么角度說(shuō)明呢？還記得引例中的面積問(wèn)題嗎？我們

可以嘗試?yán)瞄L(zhǎng)方形面積，從幾何角度說(shuō)明平方差公式.

如圖1,是一個(gè)長(zhǎng)(。+力為寬為3-勿的長(zhǎng)方形，其面積是

(a+b)(,a-b),而這塊面積可以分割成兩長(zhǎng)方形，將其中長(zhǎng)為(。-切，

寬為6的長(zhǎng)方形剪下，拼到如圖2的位置，在剪切的過(guò)程中，總面積

不變。我們發(fā)現(xiàn)在圖2中的面積是邊長(zhǎng)為“的大正方形面積，減去空

白部分，即邊長(zhǎng)為人的小正方形面積.利用面積的方法，我們?cè)俅螐膸?/p>

何的角度證明了平方差公式(a+份(。-份=/一〃

【設(shè)計(jì)意圖】：從幾何角度再次證明平方差公式，有利于讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平方差公式

的幾何意義，使學(xué)生更好地理解這一公式，并在此過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.

三.例題講解

例1.運(yùn)用平方差公式計(jì)算

(1)(%+-)(%--)(2)(3x+2)(3x-2)

22

(3)(—x+2y)(—x—2y)(4)(3-2?)(-3-2?)

例題講解

lOmin【分析工能否利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算，我們需要觀察所給式子是

否滿足平方差公式的結(jié)構(gòu).也就是說(shuō)我們需要找到公式中的相同項(xiàng)。，

相反項(xiàng)b,所得結(jié)果應(yīng)為相同項(xiàng)的a的平方減去相反項(xiàng)b的平方.

11、1、(1)觀察可知，x為相同項(xiàng)，相當(dāng)于公

(X+—)(x)=(x)"—(一)"1

jjjjJj2式中的a,；為相反項(xiàng)，相當(dāng)于公式中

(a+b)(a-b)=af的江利用公式即為

4

(3X+2)(3X-2)=(3X)2-22(2)中3x為相同項(xiàng)，這個(gè)整體看成

lilt一、a,2為相反項(xiàng)，看成。.最后二應(yīng)

(a+b)(a-b)-a~-b~為(3x>,是9/；82為名最終結(jié)

果為9萬(wàn)2-4

3

(3)中首先要進(jìn)行觀察，這里P是相同項(xiàng)，這個(gè)整體相當(dāng)于a,而

2y相當(dāng)于從最后化簡(jiǎn)完是/-4優(yōu)

(4)中相同項(xiàng)為(-2a),相反項(xiàng)為3,所以最終結(jié)果為4a2一9

解：(1)*+：)(1_：)=爐_(；)2=爐_：

2224

(2)(3X+2)(3X-2)=(3X)2-22=9X2-4

(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2

(4)(3-2a)(-3-2a)=(-2a)2-32=4?2-9

練習(xí)：下列各式中，不能運(yùn)用平方差公式的是()

A.(/〃—〃)(/〃+〃)B.，-)/)(/+口

例題講解

C.(rm+n)(m—n)D.(2x—3)(2x+3)

【分析】：若能利用平方差公式，則需要在式子中找到相同項(xiàng)。，相反

項(xiàng)b,若兩項(xiàng)均為相同項(xiàng)，或者均為相反項(xiàng)，則無(wú)法利用公式計(jì)算.通過(guò)

觀察可知C項(xiàng)中-加和〃2,建和-〃都為相反項(xiàng)，不符合平方差公式的

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此選擇C.

【設(shè)計(jì)意圖】：例1和練習(xí)可以幫助學(xué)生正向認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)，辨析使用公式所

需的條件，為下面應(yīng)用公式計(jì)算打下基礎(chǔ).

例2：計(jì)算:

(l)(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5)

⑵102x98(3)(x"+4)(x"-4)

(4)(3?2+-b)(3a2--b)(9a4+-b2)

224

【分析工(1)中只有前半部分符合公式條件，可以利用平方差公式

簡(jiǎn)便運(yùn)算，其余的運(yùn)算仍按照乘法法則進(jìn)行；(2)是兩個(gè)數(shù)字相乘，

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)數(shù)字很有特點(diǎn)，一個(gè)是102=100+2,98=100-2,可

以利用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算；(3)中相同項(xiàng)為x",相反項(xiàng)為4,

最終結(jié)果為3')2-42；(4)需要先把前兩項(xiàng)利用平方差公式計(jì)算出來(lái)，

然后利用結(jié)果二次利用平方差公式，從而得到最終結(jié)果.

4

(1)(>+2)(y—2)—(y—l)(y+5)(2)102x98=(100+2)(100-2)

=/-22-(/+4y-5)=1002-22

=y2-4-y2-4y+5=10000-4

=-4y+l=9996

(3)(xH+4)(xn-4)

=(x")2-42

=”-16

(4)(3a2+-/?)(3a2--/?)(9a4+-/?2)

224

=[(3?2)2-(^)2](9?4+^2)

24

=(9a4--b2)(^a4+-b2)

歸納總結(jié)44

1.5min=81a16-—/74

16

練習(xí):⑴(x+l)(x2+l)(x-l)(x4+l)

21

(2)20-xl9-

33

21

解:⑴(x+l)(x2+l)(x-l)(x4+l)(2)203X193

=(x+l)(x-l)(x2+l)(x4+1)=(20+|)x(20-|)

=(x2-l)(x2+l)(x4+l),2,4

=202-(-)2=400--

=，-1)(/+1)39

=xs-l=39嚕

【設(shè)計(jì)意圖】：這兩道例題的選取目的是讓學(xué)生理解公式的結(jié)構(gòu)特征.公式中的

既可以表示具體的數(shù)字，也可以表示單項(xiàng)式，甚至可以表示多項(xiàng)式.只要符

合公式的結(jié)構(gòu)，就可以利用它簡(jiǎn)便運(yùn)算.例題從不同角度強(qiáng)化了公式的靈活運(yùn)

2min用，讓學(xué)生對(duì)公式中的字母含義有了更深刻的理解，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生利用類比迂

移解決問(wèn)題.

例3：在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)恼?/p>

拓展提升(])(t>+a)()=a2-b2(2)(m-n)()=n2-m2

(3)(一>3x)()=1—9/⑷(/+〃)()=?4-/74

【分析工觀察此題左右，可以利用平方差公式.根據(jù)給出化簡(jiǎn)后的結(jié)

果，及等號(hào)右邊的式子，可從化簡(jiǎn)后的形如"一"結(jié)果入手，找出誰(shuí)

5

相當(dāng)于原公式的a,b.對(duì)應(yīng)公式(a+b)(a-b)=1-b2,我們發(fā)現(xiàn)a是兩

個(gè)多項(xiàng)式中相同的項(xiàng)，而匕和-人是多項(xiàng)式中相反的項(xiàng)，由此可推斷出

括號(hào)中的多項(xiàng)式.

(1)中相同項(xiàng)為m相反項(xiàng)為近故括號(hào)里應(yīng)該為他功)

(2)中結(jié)果為〃2一環(huán)，故相同項(xiàng)為n,相反項(xiàng)為m,故括號(hào)里應(yīng)該

(3)中結(jié)果為1-9小，相同項(xiàng)為1,相反項(xiàng)為3x,故括號(hào)里應(yīng)該為

(T+3x)

(4)中相同項(xiàng)為“2,相反項(xiàng)為。2,故括號(hào)里應(yīng)該為(屋-從)

解：(1)S+a)(a-/?)=+'-/(2)(m-n)(-n-m)=n2-m2

0.5min

(3)(-l-3x)(-l+3x)=l-9x2(4)(a2+b2)(a2-bz)=a4-b4

【設(shè)計(jì)意圖】：此題從反方向考察對(duì)平方差公式結(jié)構(gòu)的理解和掌握，再次強(qiáng)化了

公式的結(jié)構(gòu)。公式的反向運(yùn)用本質(zhì)為因式分解，所以此題也為后續(xù)利用平方差

公式因式分解做一個(gè)鋪墊.

例4：已知X?-V=⑵％-y=2,則土=________

y

【分析工此題給出丁-：/和x—y的值，由(x+y)(x_y)=x2_y2,求

出x+y=6。已知了x-y=2,x+y=6,即得到一個(gè)方程組，可求得

課后作業(yè)

的值，從而上的值也可以求出.

y

解:由(x+y)(x—y)=尤2-丁，且-=12,%一了=2,

得.2(x+y)=12,所以x+y=6

又因?yàn)槭?,解得f=4,所以土=2

四.歸納總結(jié)

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平方差公式，和公式推導(dǎo).