新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-6-3平面與平面垂直一素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.6.3平面與平面垂直(一)

【情境探究】1.如圖,教室內(nèi)的門與墻面,觀察當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時(shí),門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀.

(1)數(shù)學(xué)上,用哪個(gè)概念來描述門所在的平面與墻面所形成的角?提示:二面角.(2)平時(shí),我們常說“把門開大一點(diǎn)”,在這里指的是哪個(gè)角大一點(diǎn)?提示:二面角的平面角.必備知識(shí)生成2.教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角?分別指出是哪些二面角?這些二面角各是多少度?提示:可以構(gòu)成3個(gè)二面角;分別是兩相鄰墻面構(gòu)成的二面角,1個(gè)墻面與地面構(gòu)成的二面角,另1個(gè)墻面與地面構(gòu)成的二面角;這3個(gè)二面角都為90°.3.如何定義兩個(gè)平面互相垂直?提示:兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.4.如何畫兩個(gè)相互垂直的平面?平面α與平面β垂直,記作什么?提示:兩個(gè)互相垂直的平面通常畫成如圖中的兩種樣子,此時(shí),把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.平面α與平面β垂直,記作α⊥β.【知識(shí)生成】1.二面角及其平面角二面角概念從一條直線出發(fā)的兩個(gè)_______所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的___,這兩個(gè)半平面叫做二面角的___圖示

半平面棱面平面角文字在二面角的棱上任取一點(diǎn),以該點(diǎn)為垂足,在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于___的射線,則這兩條射線構(gòu)成的___叫做這個(gè)二面角的平面角圖示

符號(hào)OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍0°≤∠AOB≤180°規(guī)定二面角的大小可以用它的_______來度量,二面角的平面角是多少度,就說這個(gè)二面角是多少度.平面角是_____的二面角叫做直二面角棱角平面角直角2.平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言一個(gè)平面過另一個(gè)平面的_____,那么這兩個(gè)平面垂直圖形語(yǔ)言

符號(hào)語(yǔ)言l⊥α,_____?α⊥β作用判斷兩個(gè)平面_____垂線l?β垂直關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一二面角及其解法【典例1】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

(1)求證:AC1∥平面CDB1;(2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1,AC=BC=,求二面角B1-CD-B的大小.【思維導(dǎo)引】(1)連接BC1,交B1C于點(diǎn)E,連接ED,根據(jù)三角形中位線得到ED∥AC1,進(jìn)而得到線面平行.(2)根據(jù)二面角的定義可證得∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角,在三角形BDB1中求解即可.關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一二面角及其解法【典例1】如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

(1)求證:AC1∥平面CDB1;(2)若AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AA1=1,AC=BC=,求二面角B1-CD-B的大小.【思維導(dǎo)引】(1)連接BC1,交B1C于點(diǎn)E,連接ED,根據(jù)三角形中位線得到ED∥AC1,進(jìn)而得到線面平行.(2)根據(jù)二面角的定義可證得∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角,在三角形BDB1中求解即可.【解析】(1)連接BC1,交B1C于點(diǎn)E,連接ED.因?yàn)锳BC-A1B1C1是三棱柱,所以四邊形BCC1B1為平行四邊形.所以E是BC1的中點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)D是AB的中點(diǎn),所以ED是△ABC1的中位線,所以ED∥AC1,又ED?平面CDB1,AC1?平面CDB1,所以AC1∥平面CDB1.

(2)∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.事實(shí)上,因?yàn)锳A1⊥平面ABC,CD?平面ABC,所以AA1⊥CD.在△ABC中,AC=BC,D是底邊AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB.因?yàn)镃D⊥AB,CD⊥AA1,AB∩AA1=A,所以CD⊥平面ABB1A1,因?yàn)镈B1?平面ABB1A1,DB?平面ABB1A1,所以DB1⊥CD,DB⊥CD,所以∠BDB1是二面角B1-CD-B的平面角.在直角三角形B1DB中,BB1=1,DB=AB=1,所以△B1DB為等腰直角三角形,所以∠BDB1=45°.即所求二面角為45°.【類題通法】1.求二面角的平面角的步驟(1)作:找出或作出二面角的平面角.(2)證:證明所找或作的角就是二面角的平面角.(3)求:在三角形中解出角的大小.2.二面角的平面角的常見作法(1)定義法.在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.2.二面角的平面角的常見作法(1)定義法.在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①,則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(2)垂面法.過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.如圖②,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法.過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的A點(diǎn)向另一個(gè)平面作垂線,垂足為B,由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線,垂足為O,連接AO,則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③,∠AOB為二面角α-l-β的平面角.【定向訓(xùn)練】1.(2019·浙江高考)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)均相等,P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),記直線PB與直線AC所成角為α,直線PB與平面ABC所成角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則 (

)A.β<γ,α<γ

B.β<α,β<γC.β<α,γ<α D.α<β,γ<β【解析】選B.方法一,如圖,G為AC的中點(diǎn),V在底面ABC的投影為O,則P在底面的投影D在線段AO上,過D作DE垂直AC于E,易得PE∥VG,過P作PF∥AC交VG于F,過D作DH∥AC,交BG于H,則α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,則cosα==cosβ,即α>β,tanγ==tanβ,即γ>β,綜上所述,答案為B.方法二:(特殊位置)取V-ABC為正四面體,P為VA中點(diǎn),易得cosα=?sinα=,sinβ=,sinγ=可知B選項(xiàng)正確.2.如圖,已知四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD.(1)求二面角B-PA-D的大小;(2)求二面角B-PA-C的大小.【解析】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.所以∠BAD為二面角B-PA-D的平面角.又由題意∠BAD=90°,所以二面角B-PA-D的大小為90°.(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.所以∠BAC為二面角B-PA-C的平面角.又四邊形ABCD為正方形,所以∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的大小為45°.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC與△PBC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,PA=3,D為PA的中點(diǎn),求二面角D-BC-A的大小.【解析】因?yàn)锳B=PB,PC=AC,所以易證BD=CD,取BC中點(diǎn)M,連接DM,AM,則DM⊥BC,AM⊥BC,所以二面角D-BC-A的平面角為∠DMA,因?yàn)锳D=,AM=,DM=所以∠DMA=60°,即二面角D-BC-A的大小為60°.探究點(diǎn)二平面與平面垂直的判定【典例2】如圖所示,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn),求證:(1)ED=DA;(2)平面BDM⊥平面ECA.(3)平面DEA⊥平面ECA.【思維導(dǎo)引】(1)要證DE=DA,只需取EC中點(diǎn)F,連接DF并證明Rt△EFD≌Rt△DBA.(2)注意M為EA的中點(diǎn),可取CA的中點(diǎn)N,先證明N點(diǎn)在平面BDM內(nèi),再證明平面BDM過平面ECA的一條垂線即可.(3)仍需證平面DEA經(jīng)過平面ECA的一條垂線.【證明】(1)取EC的中點(diǎn)F,連接DF.因?yàn)镋C⊥BC,CE=2BD,易知DF∥BC,所以DF⊥EC.在Rt△EFD和Rt△DBA中,因?yàn)镋F=EC=BD,FD=BC=AB,∠EFD=∠DBA=90°,所以Rt△EFD≌Rt△DBA,所以ED=DA.(2)取CA的中點(diǎn)N,連接MN,BN,則MN

EC,所以MN∥BD,所以N點(diǎn)在平面BDM內(nèi).因?yàn)镋C⊥平面ABC,所以EC⊥BN.又CA⊥BN,CA∩EC=C,所以BN⊥平面ECA.因?yàn)锽N在平面MNBD內(nèi),所以平面MNBD⊥平面ECA.即平面BDM⊥平面ECA.(3)因?yàn)锽D

EC,MN

EC,所以BD

MN,所以四邊形MNBD為平行四邊形,所以DM∥BN.由(2)知BN⊥平面ECA,所以DM⊥平面ECA.又DM?平面DEA,所以平面DEA⊥平面ECA.【類題通法】證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角.實(shí)質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角.(2)利用面面垂直的判定定理:即要證面面垂直,只要轉(zhuǎn)化為證線面垂直,其關(guān)鍵與難點(diǎn)是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.【定向訓(xùn)練】1.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,CD⊥AD.求證:平面PDC⊥平面PAD.【證明】因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又因?yàn)镃D⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.又因?yàn)镃D?平面PDC,所以平面PDC⊥平面PAD.2.如圖所示,在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD是平行四邊形.(1)求證:EF∥平面ABCD.(2)若CF⊥AE,AB⊥AE,求證:平面ABFE⊥平面CDEF.【證明】(1)因?yàn)樵谖迕骟wABCDEF中,四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB∥CD,因?yàn)锳B?平面CDEF,CD?平面CDEF,所以AB∥平面CDEF,所以AB和EF平行或異面,因?yàn)镋F,AB共面于平面ABFE,所以AB∥EF,因?yàn)镋F?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.(2)因?yàn)镃F⊥AE,AB⊥AE,AB∥CD,所以AE⊥CD,因?yàn)镃F∩CD=C,所以AE⊥平面CDEF,因?yàn)锳E?平面ABFE,所以平面ABFE⊥平面CDEF.探究點(diǎn)三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱PD=a,PA=PC=a.(1)求證:PD⊥平面ABCD;(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;(3)求二面角P-BC-D的大小.【思維導(dǎo)引】(1)轉(zhuǎn)化為證明PD⊥DC與PD⊥AD.(2)轉(zhuǎn)化為證明AC⊥平面PBD.(3)先證出∠PCD為二面角P-BC-D的平面角.【解析】(1)因?yàn)镻D=a,DC=a,PC=a,所以PC2=PD2+DC2.所以PD⊥DC.同理可證PD⊥AD.又AD∩DC=D,所以PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC.而四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.又BD∩PD=D,所以AC⊥平面PBD.又AC?平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC,又BC⊥DC,PD∩DC=D,所以BC⊥平面PDC.所以BC⊥PC.所以∠PCD為二面角P-BC-D的平面角.在Rt△PDC中,PD=DC=a,所以∠PCD=45°.即二面角P-BC-D的大小是45°.【知識(shí)延拓】1.在矩形ABCD中,已知AD=2AB,E是AD的中點(diǎn),沿BE將△ABE折到△A1BE的位置(如圖2),使A1C=A1D,求證:平面A1BE⊥平面BCDE.

【解題指南】△ABE是等腰直角三角形,翻折前后未變,要充分利用這一特點(diǎn),取BE的中點(diǎn)F,連接A1F,證明A1F⊥平面BCDE即可.

【證明】如圖,取BE,CD的中點(diǎn)F,G,連接A1F,FG,A1G.因?yàn)锳1C=A1D,所以A1G⊥CD.因?yàn)锳D=2AB,E是AD的中點(diǎn),所以A1B=A1E.因?yàn)镕為BE的中點(diǎn),所以A1F⊥BE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以ED∥BC,∠BCD=90°.因?yàn)镕,G分別為BE,CD的中點(diǎn),所以FG⊥CD.因?yàn)镕G∩A1G=G,所以CD⊥平面A1GF,所以CD⊥A1F.因?yàn)镋D∥BC,BC=2ED,所以四邊形BCDE為直角梯形,所以CD與BE必相交,所以A1F⊥平面BCDE.因?yàn)锳1F?平面A1BE,所以平面A1BE⊥平面BCDE.2.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是線段AB上的兩點(diǎn),且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4,現(xiàn)將△ADE,△CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點(diǎn)重合于點(diǎn)G,得到多面體CDEFG.求證:平面DEG⊥平面CFG.【證明】因?yàn)镈E⊥EF,CF⊥EF,所以四邊形CDEF為矩形,由GD=5,DE=4,得GE=3,由GC=4,CF=4,得FG=4,所以EF=5.在△EFG中,有EF2=GE2+FG2,所以EG⊥GF.又因?yàn)镃F⊥EF,CF⊥FG,EF∩GF=F,所以CF⊥平面EFG,所以CF⊥EG,因?yàn)镚F∩CF=F,所以EG⊥平面CFG,所以平面DEG⊥平面CFG.【類題通法】垂直問題及二面角求解的解題關(guān)鍵(1)與垂直有關(guān)的綜合問題涉及線與線、線與面、面與面的垂直,解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化.線線垂直?線面垂直?面面垂直.(2)二面角求解的關(guān)鍵是作出二面角的平面角,并將所作角放在直角三角形內(nèi)求解.【定向訓(xùn)練】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD.E為棱AD的中點(diǎn),異面直線PA與CD所成的角為90°.

(1)在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM∥平面PBE,并說明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.【解析】(1)延長(zhǎng)AB與CD,二者相交于點(diǎn)M,因?yàn)镋為AD的中點(diǎn),所以AE=ED=AD,因?yàn)锽C=CD=AD,所以ED=BC,因?yàn)锳D∥BC,所以ED∥BC,所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以BE∥CD,因?yàn)锳B∩DC=M,所以M∈DC,所以CM∥BE,因?yàn)锽E?平面PBE,CM?平面PBE,所以CM∥平面PBE,因?yàn)镸∈AB,AB?平面PAB,所以M∈平面PAB,故在平面PAB上可找到一點(diǎn)M使得CM∥平面PBE.(2)過A作AF⊥EC交EC于點(diǎn)F,連接PF,過A作AG⊥PF交PF于點(diǎn)G,因?yàn)椤螾AB=90°,PA與CD所成角為90°,所以PA⊥CD,PA⊥AB,因?yàn)锳B∩CD=M,所以PA⊥平面ABCD,因?yàn)镋C?平面ABCD,所以PA⊥EC,因?yàn)镋C⊥AF且AF∩AP=A,所以CE⊥平面PAF,因?yàn)锳G?平面PAF,所以AG⊥CE,因?yàn)锳G⊥PF且PF∩CE=F,所以AG⊥平面PFC,所以∠APF為所求PA與平面PCE所成的角,因?yàn)镻A⊥平面ABCD,∠ADC=90°,即AD⊥DC.所以∠PDA為二面角P-CD-A所成的平面角,由題意可得∠PDA=45°,而∠PAD=90°,所以PA=AD,因?yàn)锽C=CD,四邊形BCDE是平行四邊形,∠ADC=90°,所以四邊形BCDE是正方形,所以∠BEC=45°,所以∠AEF=∠BEC=45°,因?yàn)椤螦FE=90°,所以AF=AE,所以tan∠APF=所以sin∠APF=.易錯(cuò)提醒核心知識(shí)方法總結(jié)核心素養(yǎng)直觀想象：求解二面角的問題求二面角時(shí)注意是銳角還是鈍角平面與平面垂直（一）面面垂直的判斷方法：（1）利用定義：作二面角的平面角→證明為直角（2）判定定理：轉(zhuǎn)化為證線面垂直，即在一個(gè)面內(nèi)找一條直線與另一個(gè)平面垂直二面角的求法：作出二面角的平面角并證明，將作出的角放在三角形中求解邏輯推理：面面垂直的證明問題涉及邏輯推理及其轉(zhuǎn)化思想在證明面面垂直時(shí)注意滿足的條件二面角定義判定定理應(yīng)用課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.給出下列命題:①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角;②異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直,則a,b所成的角與這個(gè)二面角相等或互補(bǔ);③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成角的最小角;④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.其中真命題是 (

)

A.①③ B.②④ C.③④ D.①②【解析】選B.對(duì)于①,顯然混淆了平面與半平面的概念,錯(cuò)誤;對(duì)于②,因?yàn)閍,b分別垂直于兩個(gè)面,所以也垂直于二面角的棱,但由于異面直線所成的角為銳角(或直角),所以應(yīng)是相等或互補(bǔ),正確;對(duì)于③,因?yàn)樗魃渚€不一定垂直于棱,所以錯(cuò)誤;④正確.故選B.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于 (

)A. B. C. D.【解析】選C.如圖所示,連接AC交BD于O,連接A1O,則∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角,設(shè)A1A=a,則AO=a,所以tan∠A1OA=3.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面α內(nèi),且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,點(diǎn)P,A,B是定點(diǎn),則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是(

)A.一條線段 B.一條直線C.一個(gè)圓 D.一個(gè)圓,但要去掉兩個(gè)點(diǎn)【解析】選D.因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC?平面PAC,所以AC⊥平面PBC.又因?yàn)锽C?平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以AB為直徑的圓,除去A和B兩點(diǎn).4.對(duì)于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的條件是 (

)A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?αC.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,m⊥α,n⊥β【解析】選C.因?yàn)閙∥n,n⊥β,所以m⊥β.又m?α,所以α⊥β.5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小為________.

【解析】因?yàn)锳B⊥BC,AB⊥BC1,所以∠C1BC為二面角C1-AB-C的平面角,大小為45°.答案:45°Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,