統(tǒng)計學筆記(精修版)

緒論

第一節(jié)統(tǒng)計學的含義和作用

一、什么是統(tǒng)計學

1.統(tǒng)計學的含義

統(tǒng)計學是有效收集、處理、分析和解釋數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,以便更好決策的一門方法論學科。

?2.分析數(shù)據(jù)的方法有描述統(tǒng)計、推斷統(tǒng)計。

⑴描述統(tǒng)計

①描述統(tǒng)計是將所收集的數(shù)據(jù)處理后，用數(shù)值、表格或圖形形式表現(xiàn)的有用信息。

②描述統(tǒng)計是基礎,它為推斷統(tǒng)計、統(tǒng)計咨詢、統(tǒng)計決策提供必要

⑵推斷統(tǒng)計就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征去估計或檢驗總體的數(shù)據(jù)特征。

二、統(tǒng)計學的作用和重要性

1.統(tǒng)計學的作用

人們用數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律做出更好的決策。

2.要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，對統(tǒng)計數(shù)據(jù)通常有要求：客觀性、適用性、準確性和及時性。

三、統(tǒng)計學是如何解決實際問題的？

統(tǒng)計學解決實際問題的基本思路是：

①提出及統(tǒng)計有關的實際問題；

②建立有效的指標體系；

③收集數(shù)據(jù)；

④選用或創(chuàng)造有效的統(tǒng)計方法處理、顯示所收集數(shù)據(jù)的特征；

⑤根據(jù)所收集數(shù)據(jù)的特征、結合定性、定量知識作出總體特征的合理推斷；

⑥根據(jù)推斷給出更好決策的建議；

不解決問題時，重復第②-⑥步。

第二節(jié)統(tǒng)計學的基本概念

?一、總體、單位和樣本

1.總體

統(tǒng)計總體是根據(jù)一定口的確定的,由客觀存在的、具有某種同質性的許多個別事物構成的整體。

⑴同質性是確定統(tǒng)計總體的基本標準,它是根據(jù)統(tǒng)計的研究H的而定的。研究R的不同,所確定的總體也不

同,其同質性的意義也隨之變化。

⑵統(tǒng)計總體還應具備大量性,即統(tǒng)計總體應應該由足夠數(shù)量的同質性單位構成。

2.總體單位（簡稱單位）是組成總體的各個個體。如典型案例1中英軍的每架戰(zhàn)機；事例4中的每個居民。

3.由總體的部分單位組成的集合稱為樣本（又稱子樣）。構成樣本的單位稱為樣品，樣本中樣品的數(shù)目稱為

樣本容量。

4.統(tǒng)計學解決問題的目的是認識總體的數(shù)據(jù)特征。但是，當調查是破壞性的，或者出于成本、時間等因素

考慮時，不必要或不可能對構成總體的所有單位都進行調查。

?二、標志、指標（參數(shù)）和統(tǒng)計量

1.標志：

（1）總體單位普遍具有的屬性或特征稱為標志。

（2）標志按其表現(xiàn)分為品質標志和數(shù)量標志兩種。

①品質標志表明單位屬性方面的特征,品質標志的表現(xiàn)只能用非數(shù)值來描述.

（如：典型案例1中英軍戰(zhàn)機的類型，事例4中每個居民的性別。）

?②數(shù)量標志表明單位數(shù)量方面的特征,其表現(xiàn)用數(shù)值來描述

（如：典型案例1中英軍戰(zhàn)機的彈孔位置，事例4中每個居民的收入。）

2.參數(shù)（標志）

⑴統(tǒng)計總體具有的數(shù)量特征的概念和數(shù)值稱為統(tǒng)計指標，也稱為參數(shù)。

⑵統(tǒng)計指標由兩項基本要素構成，即指標的概念和指標的取值。

（指標的概念是對所研究現(xiàn)象本質的抽象概括，也是對總體數(shù)量特征的質的規(guī)定性。）

（例如事例4中居民人口數(shù)100萬人,總收入31.4億元。）

⑶統(tǒng)計指標按表示形式可以分為數(shù)量指標和質量指標.

①凡是反映現(xiàn)象總規(guī)模、總水平的統(tǒng)計指標稱為數(shù)量指標，用絕對數(shù)來表示。例如事例4中居民總數(shù)100

萬人、總收入31.4億元等，

②凡是反映現(xiàn)象相對水平和工作質量的統(tǒng)計指標稱為質量指標，用相對數(shù)或平均數(shù)來表示.例如企業(yè)職工平

均工資5000元、工人出勤率93%等。質量指標是總量指標的派生指標，以反映現(xiàn)象之間的內在聯(lián)系和對比

關系。

⑷單個指標不能反映總體的全貌，這便需要設立指標體系。統(tǒng)計指標體系是由一系列相互聯(lián)系的統(tǒng)計指標

組成的有機整體,用以反映所研究現(xiàn)象各方面相互依存相互制約的關系。

3.統(tǒng)計量

⑴統(tǒng)計量是樣本觀測量的一個已知函數(shù),用來說明樣本的特征。是樣本觀測量的一個已知函數(shù),用來說明樣

本的特征。

⑵抽取的樣本不同，統(tǒng)計量的觀測值也就不同。如樣本平均數(shù)、樣本方差、樣本比例是統(tǒng)計量,抽取樣本后，

人們通常用及總體參數(shù)對應的統(tǒng)計量觀測值，作為總體參數(shù)的估計.

（如某汽車制造企業(yè)從生產的一批轎車中抽取了16輛轎車，用這些轎車的平均行駛里程值、合格率值分別

作為該批轎車平均行駛里程、合格率的估計。）

三、數(shù)據(jù)

?（-）變量及變量值

1.即說明現(xiàn)象的某一事實或數(shù)量的特征稱為變量，將上述標志、指標和統(tǒng)計量的名稱進行歸納就是變量。

2.變量的具體表現(xiàn)是變量值，數(shù)據(jù)就是變量及其表現(xiàn)，也可稱為反映客觀事物的事實或數(shù)量依據(jù)。

如:收入是一個變量，收入的表現(xiàn)是變量值。

3.將在特定研究過程中收集的所有數(shù)據(jù)集合在一起，稱為數(shù)據(jù)集。

4.根據(jù)變量值的確定及否，變量分為確定性變量（受確定性因素影響，因素是明確的，可解釋，可控制

的）及隨機變量（受許多不確定因素影響，如員工的起床時間）。

（-）數(shù)據(jù)的計量尺度

收集數(shù)據(jù)時需要用到以下四種由低到高的計量尺度：定類尺度、定序尺度、定距尺度和定比尺度，計量尺

度的不同決定了不同的數(shù)據(jù)分析及處理方法。

1.定類尺度是說明客觀現(xiàn)象無序類別的計量。定類尺度的主要數(shù)學特征是“=”或“片”.如居民的性別是

男、女計量，戰(zhàn)機的類型是戰(zhàn)斗機、轟炸機、偵察機等計量，這一場合的所使用的數(shù)值只作為無序分類的代

碼。

2.定序尺度是說明客觀現(xiàn)象有序類別的非數(shù)值計量。定序尺度的主要數(shù)學特征是或.例如,對居

民的滿意度計量可以分為非常滿意、滿意、一般、不滿意、非常不滿意五類。這一場合的所使用的數(shù)值只

作為有序分類的代碼。

3.定距尺度是說明客觀現(xiàn)象數(shù)值間距有意義的計量。其用確切的數(shù)值反映現(xiàn)象之間在量方面的差異，定距

尺度的主要數(shù)學特征是。如總量指標是定距尺度計量的。

（0不代表不存在）

4.定比尺度是說明客觀現(xiàn)象兩個數(shù)值比有意義的計量。定比尺度的主要數(shù)學特征是

如質量指標中的相對數(shù)、平均數(shù)是定比尺度計量的（0代表不存在）

5數(shù)據(jù)分類

⑴定類尺度，定序尺度的數(shù)據(jù)統(tǒng)稱為定性數(shù)據(jù)。定性變量是指帶有定性數(shù)據(jù)的變量。

⑵定距尺度，定比尺度的數(shù)據(jù)統(tǒng)稱為為定量數(shù)據(jù)。定量變量是指帶有定量數(shù)據(jù)的變量。

根據(jù)定量變量值連續(xù)出現(xiàn)及否，定量變量分為連續(xù)性變量及離散型變量。

①連續(xù)型變量是指變量在某一區(qū)域內的取值是連續(xù)不斷的，無法一一列舉。如:軍機的彈孔位置，產品的壽

命等。

②離散型變量是指變量的取值是間斷的,可以一一列舉。例如，產品數(shù)等。

（三）數(shù)據(jù)的類型

根據(jù)對客觀現(xiàn)象觀察的角度不同，統(tǒng)計數(shù)據(jù)可分為：橫截面數(shù)據(jù)、時間序列數(shù)據(jù)和面板數(shù)據(jù)。

1.橫截面數(shù)據(jù)又稱為靜態(tài)數(shù)據(jù)，它是指在同一時間對同一總體內不同單位進行觀察而獲得的數(shù)據(jù)。例如，

2014年全國各省、市、自治區(qū)的居民收入總值就屬于橫截面數(shù)據(jù)。

2.時間序列數(shù)據(jù)又稱為動態(tài)數(shù)據(jù)，它是指在某一段時期內按時間順序對同一總體進行觀察而獲得的數(shù)據(jù)。

例如，“十二五”期間我國按年份順序的居民收入總值就屬于時間序列數(shù)據(jù)

3.面板數(shù)據(jù)則是同時在時間和截面空間上取得的二維數(shù)據(jù)。例如2005-2014年30個企業(yè)的總產值數(shù)據(jù)。

面板數(shù)據(jù)則由30個企業(yè)10年的數(shù)據(jù)組成，共有300個觀測值。從某一年份看，它是由30個企業(yè)總產值數(shù)

第二章收集數(shù)據(jù)

第一節(jié)統(tǒng)計調查方案設計

調查方案設計是指導整個調查過程的綱領性文件，其主要內容主要包括以下幾個方面：

一、確定調查目的

1.調查要達到的具體目標

2.回答“為什么調查？”

3.調查之前必須明確

二、確定調查對象和調查單位

1.調查對象：調查研究的總體或調查范圍

2.調查單位：需要對之進行調查的單位?？梢允钦{查對象的全部單位（全面調查），也可以是調查對

象中的一部分單位（非全面調查）

3.回答“向誰調查？

三、選擇合適的調查方式、調查方法

1.調查方式是指調查的組織方式，主要有：普查、抽樣調查、典型調查、重點調查和統(tǒng)計報表制度

2.調查方法是指收集統(tǒng)計資料的方法，主要有：問卷法、訪談法、觀察法和實驗法

四、設計調查項目和調查表

1.調查項目：調查的具體內容

2.調查表：表現(xiàn)調查項目的表格或問卷。有單一表和一覽表兩種形式。

3.回答“調查什么？"

五、確定調查時間

統(tǒng)計調查時間包括兩種涵義：調查時間和調查期限

1.調查時間：調查資料的所屬時間（時期或時點）。

2.調查期限：進行調查工作的時間，包括搜集資料和報送資料的整個工作所需要的時間

六、調查報告的撰寫

調查報告的撰寫包括：調查過程的描述、依據(jù)調查數(shù)據(jù)所做的決策、對調查結果的評價

【在調查方案中，應給出：提交調查報告的具體時間，并對調查的精度、費用等提出具體要求】

七、制訂調查工作的組織實施計劃

第二節(jié)數(shù)據(jù)收集來源

一、數(shù)據(jù)收集的來源

1.原始數(shù)據(jù)：必須要求調研者親自收集

2.二手數(shù)據(jù)：調研者需要識別和評估二手數(shù)據(jù)的有效性

二、二手數(shù)據(jù)的收集

1.二手數(shù)據(jù)的來源

⑴內部二手數(shù)據(jù)

⑵外部二手數(shù)據(jù)

2.二手數(shù)據(jù)收集的特點

優(yōu)點：快捷、成本低、易獲取

缺點：相關性差、時效性差、可靠性低

四、二手數(shù)據(jù)收集的注意事項

二手數(shù)據(jù)的評估主要包括：

1.研究目的的評估一調研的目的是什么

2.二手數(shù)據(jù)來源評估-一誰收集了這些資料

3.研究內容評估一一收集了一些什么樣的資料

4.調查方式、方法評估一一這些資料如何獲得的

5.二手數(shù)據(jù)相關性評估一一這些資料及其他資料的一致程度如何

6.二手數(shù)據(jù)時效性評估一一這些資料是何時收集的

第三節(jié)原始數(shù)據(jù)的收集

一、數(shù)據(jù)收集的分類

1.按數(shù)據(jù)收集的組織方式不同，分為統(tǒng)計報表和專門調查

統(tǒng)計報表：按照國家有關法規(guī)的規(guī)定，自上而下地統(tǒng)一布置、自下而上地逐級填報的一種調查組織方

式。

專門調查：為了某一特定目的或專門問題而專門組織的調查

2.按數(shù)據(jù)收集對象包括范圍的大小不同，分為全面調查和非全面調查

全面調查：對構成調查對象中的所有黨委進行一一不漏的調查

非全面調查：是在統(tǒng)計調查過程中，僅對調查中的一部分單位進行調查。包括：抽樣調查、重點調查、典

型調查和非全面統(tǒng)計報表

3.按數(shù)據(jù)收集的登記時間是否連續(xù)，分為經常性調查和一次性調查

經常性調杳：又稱連續(xù)性調查，它是為了觀察社會經濟現(xiàn)象在一定時期內的數(shù)量變化所進行的調杳登記或

數(shù)據(jù)收集

一次性調查：又稱不連續(xù)性調查，它是對所研究的社會經濟現(xiàn)象間隔一段時間所進行的調查登記或數(shù)據(jù)收

集

4.按數(shù)據(jù)收集實施主體的不同，分為政府統(tǒng)計調查和民間統(tǒng)計調查

?二、數(shù)據(jù)收集的調查方式

數(shù)據(jù)收集的調查方式，按照組織方式主要有：普查、抽樣調查、典型調查、重點調查和統(tǒng)計報表制度

1.普查：專門組織的一次性全面調查

普查的特點：

⑴通常是一次性調查，周期性強

⑵全面性調查，收集的資料全面、系統(tǒng)、準確

⑶普查的點多面廣，工作量大，投入多

普查應遵循以下原則：

⑴時間統(tǒng)一性原則

⑵登記工作的規(guī)范性原則

⑶普查項目統(tǒng)一規(guī)定原則

⑷同類普查同周期性原則

2.抽樣調查：從總體中隨機抽取一部分單位作為樣本進行調查，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體數(shù)量特征的一

種非全面調查。

⑴概率抽樣：根據(jù)隨機原則從總體中抽選樣本，并根據(jù)樣本信息對總體的某些特征做出估計推斷，對

推斷可能出現(xiàn)的誤差可以從概率意義上加以控制

非概率抽樣：調查組根據(jù)自己的方便或主觀判斷抽取樣本的方法

⑵抽樣調查優(yōu)勢：經濟性、時效性、準確性

⑶幾種具體的抽樣方式：

①簡單隨機抽樣一一是指從總體N個單位中隨機抽取n個單位作為樣本，使每個可能的樣本被抽中

的概率相等的一種抽樣方式。

②分層抽樣一一主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中的個體有明顯差異。共同點：每個個

體被抽到的概率都相等N/M。

③整群抽樣一一是將總體中各單位歸并成若干個互不交叉、互不重復的集合，稱之為群;然后以群

為抽樣單位抽取樣本的一種抽樣方式?！緫谜撼闃訒r，要求各群有較好的代表性，即群內各單位的差異

要大，群間差異要小】

④等距抽樣一一首先將總體各單位按一定順序排列，更具樣本容量大小確定抽選間隔，然后隨機抽

取一個進入樣本，直到滿足要求為止的一種抽樣方式

⑤多階段抽樣一一是指將抽樣過程分階段進行，每個階段使用的抽樣方法往往不同，即將各種抽樣

方法結合使用，其在大型流行病學調杳中常用。

第一階段，將總體分為若干個一級抽樣單位，從中抽選若干個一級抽樣單位入樣；

第二階段，將入樣的每個一級單位分成若干個二級抽樣單位，從入樣的每個一級單位中各抽選若干個

二級抽樣單位入樣……，依此類推，直到獲得最終樣本

3.典型調查：

從調查對象的全部單位中選擇少數(shù)典型單位進行調查。目的是描述和揭示事物的本質特征和規(guī)律。調查結

果不能用于推斷總體

4.重點調查：

從調查對象的全部單位中選擇少數(shù)重點單位進行調查。調查結果不能用于推斷總體

5.統(tǒng)計報表制度：按照國家有關法規(guī)的規(guī)定，自上而下地統(tǒng)一布置、自下而上地逐級填報的一種調查組織

方式。

統(tǒng)計報表內容：報表目錄、報表表式、填表說明

統(tǒng)計報表的資料來源：原始記錄、統(tǒng)計臺賬、企業(yè)內部報表

三、數(shù)據(jù)收集的方法

1.問卷法：郵寄調查、調查、電腦輔助調查、網(wǎng)絡調查

2.訪談法

優(yōu)點：廣泛地認識客觀現(xiàn)象、深入地研究問題、資料收集可靠和應用面很廣

缺點：必須依賴具有較高素質的訪問員、直接交談會對獲取資料的客觀性產生負面影響、在不便詢問時訪

談無法實施、調查費用大、時間長，可能會碰到意料不到的困難

集體訪談：將一組被調查者集中在調查現(xiàn)場，讓他們對調查的主題發(fā)表意見以獲得資料

【常用的有：頭腦風暴法、德爾非法（專家意見法）、深度訪談法】

個別訪談：調查者對每一名受訪者進行一對一單獨訪談。

3.觀察法：

就調查對象的行動和意識，調查人員邊觀察邊記錄以收集所需信息

調查人員不是強行介入

能夠在被調查者不察覺的情況下獲得資料

4.實驗法

在設定的特殊實驗場所、特殊狀態(tài)下，對調查對象進行實驗以獲得所需資料。有室內實驗法和市場實驗法

第四節(jié)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的質量

一、統(tǒng)計數(shù)據(jù)的誤差

統(tǒng)計調杳誤差分為登記性誤差和代表性誤差

1）登記性誤差：由于調查者或被調查者的人為因素所造成的誤差。理論上講可以消除

2）代表性誤差：用樣本數(shù)據(jù)進行推斷時所產生的誤差。通常無法消除，但事先可以進行控制和計算

第三章整理和顯示數(shù)據(jù)

第一節(jié)數(shù)據(jù)的整理及顯示問題的提出

1.根據(jù)解決問題的目的確定分組的變量，如典型案例4中分組的變量為收入。

2.確定組數(shù)等，如典型案例4中，收入由貧到富分為5組，連續(xù)型變量如收入還涉及到確定每組組距、上

限和下限。

3.按不重不漏的原則對數(shù)據(jù)進行分組，確定各組頻數(shù)、頻率，典型案例4還涉及到每組的收入值等。

蟲用表、圖顯示整理的數(shù)據(jù)，如表3-1、圖3-1

第二節(jié)定量數(shù)據(jù)的整理及顯示

?一、定量數(shù)據(jù)的整理

1.主要采用統(tǒng)計分組來整理。數(shù)據(jù)分組后，把每組的個數(shù)稱為頻數(shù)。每組個數(shù)所占比例稱為頻率。

2.統(tǒng)計分組就是指根據(jù)統(tǒng)計研究的目的和客觀現(xiàn)象的內在特點，按某個變量（或幾個變量）把被研

究的總體劃分成為若干個不同性質的組，然后再統(tǒng)計出各組的頻數(shù)，就形成了一張頻數(shù)分布表。

3.統(tǒng)計分組方法：單變量值分組和組距分組

1）單變量值分組就是將一個變量值作為一組，適合變量值較少的情況。

比如居民家庭按照人口數(shù)進行分組，可分為1口人家庭、2口人家庭、3口人家庭、4口人家庭、5口人

以上家庭的組別。

2）組距式分組是將變量值的一個區(qū)間作為一組，適合于連續(xù)變量和變量值較多的離散型變量情況.組距

式分組可采用等距分組，也可采用不等距分組.

①等距分組是指每組組距相等。

等距分組的基本步驟有：

第一步：確定組數(shù)：一般情況下，一批數(shù)據(jù)所分的組數(shù)不應少于5組且不多于15組。在實際分組時，可以

參考經驗公式來確定組數(shù)K,即lg2

第二步：確定組距：組距是一組的上限及下限之差

組距=（最大值-最小值）+組數(shù)

第三步：統(tǒng)計出各組的頻數(shù)并整理成頻數(shù)分布表。

［統(tǒng)計各組頻數(shù)時要注意遵循不重不漏的原則。為解決不重的問題，統(tǒng)計分組時習慣規(guī)定“上組限不在組

內”比如100這一數(shù)值不能算在“90'100”這一組,而是算在“IOO'UO”這一組內?！?/p>

閉口組：有上、下限值

開口組：“XX以下”及“XX以上”

組中值一一常用作各組的代表值：下限及上限之間的中點值，即：

跳下限的開口組的組中值=上限值-鄰組組距

2(100以下，缺下限)

缺上限的開口組的組中值=下限值+鄰顰距

2(90以上，缺上限)

②不等距分組是指并非所有組距都相等。

二、定量數(shù)據(jù)的圖示

定量數(shù)據(jù)常用的統(tǒng)計圖主要有直方圖、莖葉圖、曲線圖、散點圖等。

三、頻數(shù)分布圖的類型

頻數(shù)分布圖則屬于其中一種統(tǒng)計圖，其主要類型有如下三種。

鐘型分布：''兩頭小，中間大”即中間變量值分布的頻數(shù)多，兩端分布頻數(shù)少，

(III)中，其分布特征是以變量的平均數(shù)為對稱軸，左右兩側對稱分布

(I)(II)中為非對稱分布，(I)是右偏分布(II)是左偏分布，

U型分布：“兩頭大，中間小”即中間的變量值分布頻數(shù)少，兩端的變量值分布頻數(shù)多，及鐘型分布剛好相

反

J型分布：有兩種類型，一種是正J型，即頻數(shù)隨著變量的增大而增多：另一種則呈反J型，即頻數(shù)隨著

變量的增大而減少

第三節(jié)品質數(shù)據(jù)的整理及顯示

一、定類數(shù)據(jù)的整理及圖示

(-)定類數(shù)據(jù)的整理

定類數(shù)據(jù)整理主要用頻數(shù)分布表進行。

(~)定類數(shù)據(jù)的圖示

定類數(shù)據(jù)的圖示主要有條形圖、餅圖等

二、定序數(shù)據(jù)的整理及圖示

(-)定序數(shù)據(jù)的整理

定序數(shù)據(jù)也是采用頻數(shù)分析表進行整理。

還可以計算累計頻數(shù)和累計頻率，累計方法有兩種：向上累計和向下累計。

(")定序數(shù)據(jù)的圖示

定序型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖主要有累計頻數(shù)分布圖和環(huán)形圖。小)

第四節(jié)圖表的合理使用

一、鑒別圖形優(yōu)劣的準則

(-)一張好的圖形應具有的特征

1.反映數(shù)據(jù)分布特征和規(guī)律。

2.便于比較。

3.有對圖形的描述和文字說明。

(-)鑒別圖形優(yōu)劣的準則

1.是否有助于真實、準確洞察問題的實質。

2.是否提供完整的信息量，是否使復雜的觀點簡單化。

二、統(tǒng)計表的設計

(-)統(tǒng)計表的概念和結構

1.概念

統(tǒng)計表是表現(xiàn)統(tǒng)計資料的一種形式。

2.結構

從形式上看，由四部分構成：

A、總標題：是表的名稱，概括統(tǒng)計表中要說明的內容；

B、橫行標題：是各組的名稱，反映總體各組成部分；

C、縱覽標題：是分組標志或指標的名稱，說明縱行所列各項費料的內容；

D、指標數(shù)值：也稱數(shù)字資料，是統(tǒng)計表的具體內容。

從內容上看，由主詞和賓詞兩個部分組成。主詞是統(tǒng)計表所說明的總體，總體的各組或各組的名稱。賓詞

是用于說明主詞的各種指標。通常，統(tǒng)計表的主詞列在表的左方，其詞列在表的右方，如表3-10所示(P52)

(-)統(tǒng)計表的種類

統(tǒng)計表按照總體分組情況不同，可分為簡單表、分組表和復合表三類。

(三)統(tǒng)計表的編制

1.統(tǒng)計表線條的繪制。

通常統(tǒng)計表的上下端以粗線繪制，表內縱橫線以細線繪制。表格的左右不封口。

2.合計欄的設置

統(tǒng)計表各縱列需要合計時，可將合計列放在最后一行，各橫行若需要合計時，可將合計列放在最前欄

或最后一欄。

3.標題的設計。

統(tǒng)計表的標題要簡明扼要，以簡練而準確的文字來概括統(tǒng)計資料的內容、資料所屬時間、空間等。

4.計量單位的列法。

指標數(shù)值一般要有計量單位，若只有一種計量單位時，可在表右上端注明。如果計量單位不統(tǒng)一，可專

設計量單位欄。

5.標志值的書寫。

標志值應該填寫整齊，對準位數(shù)。當數(shù)值太小可忽略不計時，寫上“0”：當缺失某項資料時，用符號“…”

表示；不應有數(shù)字時，用符號表示。

6.注解或資料來源的標明。

一般而言，統(tǒng)計表下方應該注明資料來源，以便查考、

第四章數(shù)據(jù)分布的數(shù)字特征

第一節(jié)數(shù)據(jù)集中趨勢的測定

一、集中趨勢測定問題的提出和作用

(-)問題的提出

對于總體中的個體數(shù)據(jù)，有時會呈現(xiàn)出在一定范圍內以某個數(shù)據(jù)為中心上下波動的分布特征，即

數(shù)據(jù)有時具有它分布的中心，我們稱之為數(shù)據(jù)分布的集中趨勢。該如何測定一組數(shù)據(jù)的集中趨勢呢？

二)集中趨勢測定的作用

1.集中趨勢指標的分類

2.集中趨勢指標的作用

(1)可以反映一組數(shù)據(jù)分布的中心或一般水平；

(2)可以反映同一現(xiàn)象在不同時間或空間條件下的發(fā)展趨勢或差異；

(3)可以用來分析現(xiàn)象之間的依存關系；

(4)樣本平均數(shù)是統(tǒng)計推斷的一個重要統(tǒng)計量。

?二、集中趨勢的測定

(-)數(shù)值平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù)只適用于定量數(shù)據(jù)(數(shù)值型數(shù)據(jù))，而不適用于定性數(shù)據(jù)。

?1.算術平均數(shù)

(1)簡單算術平均數(shù)

簡單算術平均數(shù)是根據(jù)未分組數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))計算的一種平均數(shù)，它是將所有的原始數(shù)據(jù)相加再除以

數(shù)據(jù)總個數(shù)得到的。

①樣本計算的簡單算術平均數(shù)的計算公式是：

②總體數(shù)據(jù)計算的簡單算術平均數(shù)的計算公式為：

(2)加權算術平均數(shù)

①加權算術平均數(shù)是根據(jù)分組數(shù)據(jù)計算的?種平均數(shù)。設樣本被分為k組，各組的頻數(shù)為f,樣本計算的

加權算術平均數(shù)的計算公式為：

其中，Xi有兩種情況：在單變量值分組中，Xi代表各組的變量值；在組距式分組中，Xi代表各組的組中

f,

值，f=l稱作權重(頻率)。

②總體數(shù)據(jù)計算的加權算術平均數(shù)的計算公式為：

(3)算術平均數(shù)的主要數(shù)學性質

①各變量值及其算術平均數(shù)的離差之和等于零；

務年喳h永=。

即：TT

②各變量值及其算術平均數(shù)的離差平方和最小。

￡(耳一司2=min或Ea_司2￡=rnin

即：日

2.調和平均數(shù)

調和平均數(shù)加權算術平均數(shù)的一種變形。

調和平均數(shù)及加權算術平均數(shù)的關系是：

若已知各組變量值及其標志總量m.(mi=xf),而缺乏的數(shù)據(jù)時，則加權算術平均數(shù)可通過變形

得到f,(fFin./x,)后，再以m；為權數(shù)的調和平均數(shù)形式來計算。

3.幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n次方根

(1)簡單幾何平均數(shù)

當樣本數(shù)據(jù)中各變量值出現(xiàn)的次數(shù)都相同時，用簡單幾何平均數(shù)公式。

式中，X.代表各變量值，n為樣本容量，門為連乘符號

(2)加權幾何平均數(shù)

當樣本數(shù)據(jù)中各變量值出現(xiàn)的次數(shù)不全相同時，用加權幾何平均數(shù)公式。

式中，x,代表各變量值，n為樣本容量，口為連乘符號

【如果獲得一組總體數(shù)據(jù)，根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的幾何平均數(shù)/石的公式及樣本數(shù)據(jù)的基本相同。】

需要注意的是：

當數(shù)據(jù)中出現(xiàn)零或負值時不宜計算幾何平均數(shù)；

幾何平均數(shù)是一種適用于特殊數(shù)據(jù)的平均數(shù)，當變量值之間具有連乘積關系時，采用幾何平均數(shù)更加合理;

現(xiàn)實生活中，幾何平均數(shù)主要用于計算現(xiàn)象的平均增長率和平均發(fā)展速度（詳見本書第九章）。

（-）位置代表值

1.眾數(shù)

1)眾數(shù)（Mode）是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的變量值，通常用符號表示。

2)眾數(shù)代表的是最常見、最普遍的情況。眾數(shù)不僅可以度量定性數(shù)據(jù)的集中趨勢，還可以度量定量數(shù)據(jù)

的集中趨勢。

3)眾數(shù)的特點：

?眾數(shù)是位置型平均數(shù)，它只及位置有關，不受數(shù)據(jù)中極端值的影響；

②從分布形態(tài)上看，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布最高峰點所對應的變量值；

眾數(shù)具有不唯一性（可以有一個或多個或沒有）

4)組距式分組數(shù)據(jù)中眾數(shù)的求解較為復雜。在組距式分組數(shù)據(jù)中，求解眾數(shù)的步驟：

①先要確定眾數(shù)所在組；

如果是等距分組數(shù)據(jù)，那么次數(shù)最多的那一組就為眾數(shù)組；如果是不等距分組數(shù)據(jù)，那么組密度（組

頻率/組距）最大的組就為眾數(shù)組。

②之后再按照下列公式求解眾數(shù)的近似值。計算公式如下:

xd

匕一九）+￡一“）

下限公式：

力一北1

xd

_-

或上限公式：(Z.ZH)+(4)ZH4)

2.中位數(shù)

1)中位數(shù)是?組數(shù)據(jù)從小到大排序后位于中間位置上的變量值，通常用符號表示。

2)由于中位數(shù)和位置有關，所以中位數(shù)只能度量定序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢;

3)求解中位數(shù)的步驟：

①首先，對數(shù)據(jù)進行排序；

②其次，確定中位數(shù)的位置，即中間位置；

③最后，計算中間位置上的變量值。

4)中位數(shù)的位置計算公式為：

①數(shù)據(jù)個數(shù)n為奇數(shù)，

中位數(shù)為：2

②數(shù)據(jù)個數(shù)n為偶數(shù)

,2四刎

中位數(shù)為:

③分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的求解

對于分組數(shù)據(jù)而言，不需要再另外排序，直接按照分組的順序即可。

分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的位置計算公式：

求出中位數(shù)位置后，按照下列公式求解中位數(shù)的近似值。

MB公式:

M-----xd(4.13)

或上限公式：

Af?U——2----xd(4.14)

（看例題Pea）

5）中位數(shù)特點及應用

①中位數(shù)是位置型度量值，其特點是不受極端值的影響，因此具有穩(wěn)定性；

②在實際運用中，當數(shù)據(jù)的偏斜程度較大時，用中位數(shù)作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表值比較合適。

6）分位數(shù)

①實際上，測度數(shù)據(jù)在特定位置上的水平，還可以計算四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等，我們統(tǒng)稱它

們?yōu)榉治粩?shù)。

②四分位數(shù)的計算方法：

A.四分位數(shù):定義：一組數(shù)據(jù)由小到大排序后位于25%位置和75%位置處的變量值。

【位于在25%位置處的變量值（即下四分位數(shù)，用符號Q表示）和處在75%位置處的變量值（即上四分位數(shù)，

用符號Q、表示），上、下四分位數(shù)之間恰好包含了50*的數(shù)據(jù)。】

B.求解四分位數(shù)的步驟

a）先排序；

b）然后確定上、下四分位數(shù)的位置；

c）最后，求相應位置上的變量值。（看例題Pg）

7）箱線圖

將中位數(shù)、四分位數(shù)和其他指標結合起來，可以更詳細的反應數(shù)據(jù)的分布特征。箱線圖是由一組數(shù)據(jù)的最

小值（X"."）、最大值（4J、下四分位數(shù)（Q,）、上四分位數(shù)（Q,）和中位數(shù)（M。）這五個特征值構成。通過

箱線圖，可以觀察數(shù)據(jù)的中心位置、離散程度及對稱性等特征，同時還可以進行多組數(shù)據(jù)分布的比較。

（三）算術平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)三者的比較及應用

（1）算術平均數(shù)屬于數(shù)值型平均數(shù)，它是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計算的集中趨勢測度值，因此可以綜合反映全部數(shù)

據(jù)的信息；眾數(shù)和中位數(shù)屬于位置型代表值，它們是根據(jù)數(shù)據(jù)分布的特定位置確定出的集中趨勢測度值，

因此不能概括全部數(shù)據(jù)的信息

（2）算術平均數(shù)和中位數(shù)在任何一組數(shù)據(jù)中都存在且具有唯一性，但不一定所有數(shù)據(jù)都存在眾數(shù)，且眾數(shù)

也不具有唯一性。一般情況下，在數(shù)據(jù)量充分大并且具有明顯集中趨勢時，計算眾數(shù)才有意義：

（3）算術平均數(shù)只適用于定量數(shù)據(jù)，中位數(shù)適用于定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)，眾數(shù)則適用于所有數(shù)據(jù)，即定性

數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)均可；

（4）算術平均數(shù)受極端值的影響，因此，當數(shù)據(jù)偏斜程度較大時（數(shù)據(jù)中存在極端值），不宜用算術平均

數(shù)來代表數(shù)據(jù)的一般水平。眾數(shù)和中位數(shù)不受極端值的影響，因此，當數(shù)據(jù)偏斜程度較大時，可以考慮用

眾數(shù)或中位數(shù)來代表數(shù)據(jù)的一般水平；

（5）算術平均數(shù)可以估計或推斷總體特征值。而眾數(shù)和中位數(shù)不宜用作此類推斷

<6）算術平均數(shù)和眾數(shù)、中位數(shù)的數(shù)量關系主要取決于數(shù)據(jù)分布的偏斜程度（非對稱程度）

①對于呈現(xiàn)單峰分布的數(shù)據(jù)，如果數(shù)據(jù)的分布是對稱的，則眾數(shù)M。、中位數(shù)Me和算術平均數(shù)X三者相

等，BPM~t.=X-

②如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)左偏（負偏）分布，說明數(shù)據(jù)中存在極小值

從而略使中位數(shù)偏小，而眾數(shù)則完全不受極小值大小和位置的影響，因此一般情況下，三者的關系表現(xiàn)為

X<Me<Mo-

（3）如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)右偏（正偏）分布，則一般有：M0<Me<X—

(7)皮爾遜經驗公式數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏斜但偏斜程度不大時，算術平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)之間存在一定的比例關

系，即「混蟲工現(xiàn))

第二節(jié)數(shù)據(jù)離散程度的測定

一、離散程度測定問題的提出和作用

(-)離散程度測定問題的提出

由于差異性是數(shù)據(jù)的本質屬性，所以各個數(shù)據(jù)及其分布中心之間總是存在著不同程度的偏離。我

們把數(shù)據(jù)偏離其中心值的程度叫做離散程度，離散程度可以說明數(shù)據(jù)之間差異程度的大小，那么如何測定

一組數(shù)據(jù)的離散程度呢？

(-)離散程度測定的作用

離散程度的大小主要通過變異指標來測定。變異指標的主要作用有：

1.可以衡量平均指標的代表程度。變異指標值越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大、數(shù)據(jù)越分散，繼而平均指標

的代表性就越弱；反之，變異指標值越小，則數(shù)據(jù)的離散程度越小、數(shù)據(jù)越集中，繼而平均指標的代表性

就越強；

2.可以反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和均衡性。變異指標值越大，則數(shù)據(jù)的離散程度越大，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和均衡性就

越差；反之，則數(shù)據(jù)的離散程度越小，數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和均衡性就越好。

二、離散程度的測定

(-)異眾比率

1.異眾比率是指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重，通常用Vr表示，計算公式為：

式中：,雨是眾數(shù)組的頻數(shù)；j是變量值的總頻數(shù)

2.異眾比率的特點：

1)可用來衡量眾數(shù)的代表性強弱，即，異眾比率越大，則眾數(shù)的代表性越弱；反之，眾數(shù)的代表性就越

強；

2)異眾比率主要用于測度定性數(shù)據(jù)的離散程度，也可以用于定量數(shù)據(jù)離散程度的測度。

(-)極差、四分位差和平均差

1.極差

極差(Range)又稱全距，是一組數(shù)據(jù)中最大值及最小值之差，通常用R表示。計算公式為：

R=max(x,.)-min(x,.)

1)對于原始數(shù)據(jù)和單變量值分組數(shù)據(jù)：M不)為一組數(shù)據(jù)的最大值；血1不)為一組數(shù)據(jù)的最小值。

2)對于組距式分組數(shù)據(jù)，極差就用變量值最大組的上限減去變量值最小組的下限近似得到。

3)極差的特點：極差是變異指標中最簡單的測度值，其優(yōu)點是計算簡便、易于掌握。但因極差只利用了

?組數(shù)據(jù)兩端的信息，容易受到極端值的影響。因此，極差不能全面、穩(wěn)定地反映數(shù)據(jù)的離散程度。

2.四分位差

1)四分位差是指上四分位數(shù)(Q.)及下四分位數(shù)(Q,)之差，因此也叫內距或四分間距，通常用表示。

計算公式為：Qd=Qu-QL

2)四分位差特點：

①四分位差只能說明中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，它依然不能充分反映全部數(shù)據(jù)的離散狀況。四分位差越

大，說明中間50%數(shù)據(jù)的離散程度越大；四分位差越小，說明中間50%數(shù)據(jù)的離散程度越??；

②在一定程度上，四分位差也可以反映中位數(shù)的代表性好壞；

（3）四分位差是一種順序統(tǒng)計量，因此四分位差適用于測度定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)的離散程度。

3.平均差

1）平均差（meandeviation）是各變量值及其算術平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)。因此，也稱平均絕對離差，

通常用M.D表示。

2）平均差的計算有兩種情況

①簡單平均法

如果數(shù)據(jù)是未分組數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)），則用簡單算術平均法來計算平均差：

②加權平均法

如果數(shù)據(jù)是分組數(shù)據(jù)，采用加權算術平均法來計算平均差：

3）平均差的特點：

①平均差意義明確，計算結果易于理解，并且利用了全部數(shù)據(jù)的信息，反映了每個變量值及平均

數(shù)的平均差異程度。因此能全面地反映一組數(shù)據(jù)的離散狀況。平均差越大，則數(shù)據(jù)的離散程度

越大；平均差越小，則數(shù)據(jù)的離散程度越小；

②為了避免正負離差相互抵消的現(xiàn)象發(fā)生，平均差在計算時給離差加上了絕對值。但由于絕對值

的出現(xiàn)給計算帶來了很大的不便，因此在實際應用中受到很大的限制。

?（三）方差和標準差

1）方差是各變量值及其算術平均數(shù)離差平方的算術平均數(shù)。標準差就是方差的平方根。

2）方差、標準差特點：

①方差、標準差利用了全部數(shù)據(jù)的信息，能較好地反映數(shù)據(jù)的離散程度；

②方差、標準差是通過平方的方法消去離差的正負號，這更便于數(shù)學上的處理。因此，方差、標

準差是統(tǒng)計中最重要的變異指標，同時也是實際中應用最廣泛的離散程度測度值。

3）方差、標準差計算公式

總體數(shù)據(jù)

樣本數(shù)據(jù)

①未分組數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）的樣本方差和樣木標準差的計算公式分別為：

②分組數(shù)據(jù)的樣本方差和樣本標準差的計算公式分別為：

H）2/七（A；一石2f

s'『-------S=-------------

'i=,（k為組數(shù)）

。（四）標準化值（標準分數(shù)）

標準化值就是用各變量值及其平均數(shù)的離差再除以其標準差。

1）標準化值的計算公式為：

2）標準化值的特點：

標準化值具有均值為0,標準差為I的特性。

3）經驗法則【3。質量管理法則的原理】

使用條件：在正態(tài)分布或近似正態(tài)分布（對稱的鐘型分布）的條件下

?大約有68%的數(shù)據(jù)位于均值±1個標準差范圍內；

?大約有95%的數(shù)據(jù)位于均值±2個標準差范圍內；

?大約有99%的數(shù)據(jù)位于均值土3個標準差范圍內

4）切比雪夫定理

利用切比雪夫定理來判斷有多少的數(shù)據(jù)落入以均值為中心的k（標準化值）個標準差范圍內。

使用條件：任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)：

根據(jù)切比雪夫定理的內容，至少有（1—4工）的數(shù)據(jù)落入均值左右k個標準差范圍內，其中k

為大于1的任意數(shù)，當然也可以為小數(shù)。

?k=2說明至少有75%的數(shù)據(jù)落入均值±2個標準差范圍內；

?k=3說明至少有89%的數(shù)據(jù)落入均值土3個標準差范圍內；

?k=4說明至少有94%的數(shù)據(jù)落入均值±4個標準差范圍內。

?（五）離散系數(shù)

?離散系數(shù)也稱變異系數(shù)（coefficientofvariation）,它是極差、四分位差、平均差或標準差等變

異指標及其算術平均數(shù)對比的結果。

?常用的離散系數(shù)有極差系數(shù)、平均差系數(shù)和標準差系數(shù)，但應用最廣泛的是標準差系數(shù)。

?標準差系數(shù)的計算公式：

?離散系數(shù)的作用

離散系數(shù)是測度數(shù)據(jù)離散程度的相對統(tǒng)計量，可用于比較不同變量值水平或不同計量單位的不同組別

數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大的，則該組數(shù)據(jù)的離散程度就大；離散系數(shù)小的，則該組數(shù)據(jù)的離散程度就

小。

總結：反映數(shù)據(jù)離散程度的各測定值的應用場合

1）對于分類數(shù)據(jù)，主要用異眾比率來測度其離散程度；

2）對于順序數(shù)據(jù)，主要用四分位差來測度其離散程度；

3）對于數(shù)值型數(shù)據(jù)，主要用方差或標準差來測度其離散程度。

4）當需要對不同組別數(shù)據(jù)的離散程度進行比較時，則使用離散系數(shù)。

第三節(jié)數(shù)據(jù)分布形態(tài)的測定

一、分布形態(tài)測定問題的提出和作用

（-）分布形態(tài)測定問題的提出

集中趨勢和離散程度是數(shù)據(jù)分布特征的兩個重要方面，但要想全面了解數(shù)據(jù)的分布特點，我們還

需要知道數(shù)據(jù)的分布形狀，那么如何測定一組數(shù)據(jù)的分布形狀呢？

（-）分布形態(tài)測定的作用

通過分布形態(tài)的測定，我們可以了解數(shù)據(jù)分布形狀的對稱性以及分布曲線的扁平陡峭程度。將這

兩點結合，我們還可以判斷數(shù)據(jù)是否接近于正態(tài)分布。

二、矩

1.數(shù)據(jù)分布形態(tài)的測度主要是通過偏度系數(shù)和峰度系數(shù)來實現(xiàn)的。矩又是計算偏度系數(shù)和峰度系數(shù)的基

礎

2.矩可分為總體矩和樣本矩

樣本距

一般來說，將一組樣本X”…,X”及其算術平均數(shù)X離建的k次方的平均數(shù)稱為樣本的k階中心矩，即

ak=——----------<階數(shù)k是正整數(shù)）

Zz

Z-1

算術平均數(shù)：一階原點矩

方差：二階中心矩

階數(shù)k=3和k=4時，矩則可以反映數(shù)據(jù)的分布形態(tài)特征。矩可以看成是一系列反映數(shù)據(jù)分布特征指標的統(tǒng)

稱。

?三、偏度

偏度(skewness)是指數(shù)據(jù)分布的不對稱程度或偏斜程度。偏度也就是對數(shù)據(jù)非對稱程度和方向的測度。

用來測定偏度的統(tǒng)計量是偏度系數(shù)，記作SK.

對于分組數(shù)據(jù)，偏度系數(shù)SK的計算公式為：

偏態(tài)系數(shù)性質：

①如果分布是對稱的，則SK=O；

②如果SKKO,說明分布是非對稱的，

?當SK>0時，表明分布是右偏分布(正偏分布)；

?當SK<0時，表明分布是左偏分布(負偏分布)。SK的數(shù)值越大，表明數(shù)據(jù)的偏斜程度越大。

四、峰度

1.峰度(kurtosis)是指數(shù)據(jù)分布曲線的陡靖或扁平的程度。

2.對峰度的度量通常以正態(tài)分布曲線為標準進行比較。如果比正態(tài)分布曲線更加尖峭，稱為尖峰分布；

如果比正態(tài)分布曲線更加扁平，稱為扁平分布。

3.測度峰度的統(tǒng)計量是峰度系數(shù)，記作K。

對于分組數(shù)據(jù)，峰度系數(shù)K的計算公式為：

4.峰態(tài)系數(shù)性質：

?當K=0時，說明分布為正態(tài)分布；

?當K>0時，說明曲線是尖峰(陡峭)分布，即數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更集中，K的數(shù)值越大，則曲線越陡峭；

?當K<0時，說明曲線是扁平分布，即數(shù)據(jù)比正態(tài)分布更分散，K的數(shù)值越小，則曲線越平緩。

第五章抽樣分布

第一節(jié)抽樣分布基本概念

一、樣本容量和樣本個數(shù)

1.總體是研究的所有個體構成的集合，常用表示

2.從中隨機抽取部分個體構成一個樣本，構成樣本的個體的數(shù)目，常用n表示，稱為樣本容量，也稱樣

本量。

二、參數(shù)和統(tǒng)計量

1.參數(shù)是用來描述總體數(shù)量特征的，如總體均值口、總體比例n、總體方差。-等

2.統(tǒng)計量是用來描述樣本數(shù)量特征的，是由樣本構造的函數(shù)，如樣本均值X、樣本麗P、樣本方差S2

等

3.由于總體是唯一的、固定不變的，故參數(shù)往往是一個未知的常數(shù)；而樣本不唯一，且一旦抽取出來，

就成為已知，故統(tǒng)計量是隨機變量，其取值隨著樣本的變化而改變。

4.抽樣的目的就是要根據(jù)樣本統(tǒng)計量去估計或推斷總體參數(shù)。

三、抽樣分布

1.統(tǒng)計量是隨機變量。抽樣分布就是統(tǒng)計量的概率分布

2.樣本均值的概率分布、樣本比例的概率分布、樣本方差的概率分布等都稱為抽樣分布。

3.現(xiàn)實世界中，我們面對的總體往往很大，進而樣本數(shù)目將很可觀，不可能將所有的樣本都抽取出來。

因此抽樣分布實質上是--種理論分布。它可能是精確的某已知分布，也可能是以某已知分布為極限的

極限分布。

4.抽樣分布理論在推斷統(tǒng)計中具有重要的作用，它是后續(xù)參數(shù)估計和假設檢驗的

理論依據(jù)和基礎。

四、抽樣分布的數(shù)字特征

(-)樣本均值的數(shù)字特征

1.設總體的平均數(shù)為U,方差為。2,采取重復抽樣的方式，從中抽取獨立同分布_

的樣本：X,,X“。根據(jù)數(shù)學期望和方差的性質，可推出樣本均值X數(shù)學期望二均數(shù)）、方差及總

體的平均數(shù)、方差之間的關系

I101520253035404550

T

例題：p|一1~石I~石I_石4~~T*~*7~*J~T另~*

樣本均值的平均數(shù)

總體均值

樣本均值的方差

總體方差

22

o=E(X)-[E(X)f=1100-900=200n

2.以上結論均建立在重復抽樣情形下，

若是在不重復抽樣情形下，方差需要用系數(shù)進行修正，從而樣本均值的數(shù)字特征為:

■■■■■

CT2-M?

E(X)=/i^=〃

（-）樣本比例的數(shù)字特征

1.比例：總體（或樣本）中具有某種屬性的個體數(shù)及全部個體數(shù)之比，總體比例記為”。

根據(jù)數(shù)學期望和方差的性質，可推出樣本比例P的數(shù)學期望、方差及總體的平均數(shù)、方差之間的關系：

用P估計n理論依據(jù)成立

2.以上結論均建立在重復抽樣情形下，若是在不重復抽樣情形下，當樣本容量很大時，方差需要用系數(shù)

進行修正，從而樣本比例的數(shù)字特征為：

（三）樣本方差的數(shù)字特征

設總體X方差為。2,采取重復抽樣

的方式，從中抽取獨立同分布的樣本:X,…，X“根據(jù)數(shù)學期望和方差的性質，可推出樣本方差的數(shù)學期

望、方差及總體的方差之間的關系為：

以上結論均建立在重復抽樣情形下，若是在不重復抽樣情形下，方差需要用系數(shù)進行修正，從而樣本

方差的數(shù)字特征為

（四）標準誤（重點）

統(tǒng)計量抽樣分布的標準差，稱為統(tǒng)計量的標準誤，也稱標準誤差

標準誤可用于說明抽樣誤差的大小。抽樣誤差是指由抽樣的隨機性引起的樣本結果及總體的真實值之

間的差異，它描述的是所有樣本可能的結果及總體真值之間的平均性差異。若總體標準差未知，可用樣本

標準差代替，此時的標準誤稱為估計標準誤。

?樣本均值的標準誤為。X

?樣本比例的標準誤為。P

?樣本方差的標準誤為。9

第二節(jié)幾個常見的抽樣分布

?一、樣本均值的抽樣分布

1.樣本均值的抽樣分布，就是采取重復抽樣的方式，選取容量為的所有樣本，由樣本均值所有可能的

取值形成的概率分布。

2.分兩種情況來討論樣本均值的抽樣分布類型。

1）總體服從正態(tài)分布

①正態(tài)分布的再生定理；若總體變量X?N（u,。2）,從這個總體中抽取容量為n的樣本，則樣本

均值X-N（~o7n）

a）什么是正態(tài)分布

=——e/-ao<x<+<x）

若X的概率密度函數(shù)為：V2ncr

其中，P和。都是參數(shù)，且。>0,則稱X服從參數(shù)為P和。的正態(tài)分布，記作

X?N（N,。九

b）正態(tài)分布的概率密度曲線是一條對稱的鐘型曲線。N決定了圖形的中位置，。決定了圖形中曲線的陡

峭程度。

當參數(shù)u=0,o=1時，這樣的正態(tài)分布為標準正態(tài)分布，記為N（0,1）,其概率密度函數(shù)為：

1上

（p{x）-,——e2（-oo<JC<+a>）o

J27t

2）總體服從非正態(tài)分布

②獨立同分布中心極限定理表明：無論總體服從何種分布，只要其平均數(shù)和方差

存在，那么從中抽取的獨立同分布樣本X”…X.,,其均值在當n很大時，就會近似

服從正態(tài)分布X~N（N,。②）.

大樣本：n230

總體〈

正杰分布在正態(tài)分布

?二、樣本比例的抽樣分布

1.樣本比例是一種特殊的樣本均值。從而，根據(jù)樣本均值的抽樣分布理論可得樣本比例的抽樣分布

2.大樣本：同時滿足np》5和n（1-p）

3.當樣本容量很大時，樣本比例P的抽樣分布為：

…卜,嗎㈤）

4.在不重復抽樣情形下，當樣本容量很大時，樣本比例的抽樣分布為：

?需要修正：對于有限總體，要用修正系數(shù)修正

?不需要修正：無限總體/此時N很大而抽樣比二W5%時，修正系數(shù)趨于1,方差可以按重復抽樣

情形時（即不用修正）的公式計算

三、樣本方差的抽樣分布（不考）

樣本方差S?的抽樣分布，就是采取重復抽樣的方式，選取容量為n的所有樣本，由樣本方差S，的所有可能

的取值形成的概率分布。

設總體服從均值為u,方差S?的正態(tài)分布，及…，X。為來自該總體的樣本，則樣本方差S2的抽樣分布為:

(〃-I

稱服從自由度為n-1的片分布(卡方分布)。

(y'

卡方分布的數(shù)字特征,可得：

2b-N—n

在不重復抽樣情形下，方差為：N-X

四、t分布和F分布

1.t分布

tX

設X?N(0,1),Y~/(〃)，且X及Y相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為n

的I分布，記作t?t(n)o

?t分布概率密度函數(shù)曲線是以縱軸為對稱軸的單峰對稱圖形。自由度n越大，分布越趨近于標準正態(tài)

分布，當〃—00時，分布及標準正態(tài)分布完全一致。

?t分布的數(shù)字特征為：

總體平均數(shù)：石(t)=05N2>

方差：

2.F分布

若％~z2(z?Jy~72(々)且x及Y相互獨立,則隨機變量尸=：/3服從自由度為

的F分布，記作F〃2)。其中,m稱為第一自由度，m稱為第二自由度

F分布的數(shù)字特征為：

總體平均數(shù)：

E(X)=—%—(?2>2)

方差：%一2

第六章參數(shù)估計

第一節(jié)點估計

1.點估計的相關概念

1)點估計是用對應的估計量0的某個取值直接作為相應總體參數(shù)。的估計值。

【如：我們用樣本均值作為總體均值的估計，用樣本比例作為總體比例的估計，用樣本方差作為總體方差

的估計等】

2)估計量：用于估計總體參數(shù)的隨機變量

3)估計值：估計參數(shù)時計算出來的統(tǒng)計量的具體值【如果樣本均值x=80,則80就是的估計值】

2.點估計的求解方法

①矩估計法

?用樣本原點矩作為總體原點矩的估計。

設k個參數(shù)e=（用，4,…&）'，求卜個參數(shù)o=（"，扇…a）’矩估計

需要建立k個方程，方法是：

]n

設總體的一個樣本觀測值是（占，刀2,???，X?），其1階原點矩4=一￡M,總體觀測量X的1階

n7^

原點矩7/=E〈XD=叫⑥,用樣本原點矩A,作為總體原點矩m,的估計，得出k個方程

4=0（。）Q=L..波），解此方程組得出的即為參數(shù)0的矩估計。

【例6-1】設總體X的均值u及方差。2都存在但均未知，設來自總體X的一個樣本是

（X],矛2,…，X"），求U，0的矩估計7，.

解：是兩個參數(shù)，故需要建立兩個方程

因為

令[4=.

得依沙尸人+產

即

?結論：總體均值的矩估計是樣本均值，而總體方差（即總體向1階中心矩）矩估計是樣本二階中心矩

【求總體均值及方差的矩估計無需知道總體服從什么分布?！?/p>

②最大似然估計法

i.............................二.......................................J

?固定樣本觀測值（不，芍，…，X”），在可能的取值中，挑選使似然函數(shù)￡（包達到最大（從而概率P

達到最大）的作為參數(shù)。的估計。這樣得到的6稱之為參數(shù)。的最大似然估計。因此，求參數(shù)。的

最大似然估計問題就轉化為求似然函數(shù)￡（5）的最大值問題了。

?求總體均值及方差的最大似然估計需要知道總體分布。

3.估計量的優(yōu)良性標準

?參數(shù)估計量的評價標準：無偏性、有效性和一致性，我們稱之為估計量的優(yōu)良性標準。

1）無偏性

AAAA

設。為總體參數(shù)，。為。的一個估計量，如果夕（。）=0,則稱。是。的無偏估計量。即。是。重心，

A

。及e的距離最近。

2）八有歿性AA

設A、0為。的兩個無偏估計量,如果有：，（仇）〈/褊）/曲向璃瞰總體參數(shù)

的兩個無偏估計量來說，方差越小的估計量越有效。

3）人一致性aa

設3為。的一個估計量，若當n一時？0依磕；收斂于0,則稱為。而一致估計量。此即隨著樣

本容量n的增大，點估計量越來越接近被估總體參數(shù)o

?估計量樣本平均、樣本比例P、樣本方差小分別是總體平均U、總體比例n、總體方差。的無偏、

有效、一致估計量。即滿足優(yōu)良性標準。

點估計的優(yōu)點是簡潔明了，給出了具體的估計值；缺點是無法提供估計的精度和估計的可靠程度

?第二節(jié)區(qū)間估計

?圍繞點估計值構造總體參數(shù)的一個區(qū)間，這就是區(qū)間估計

1.區(qū)間估計的概念

1）區(qū)間估計就是總體參數(shù)。落在區(qū)間估計量（自，①）內的概率為1-a,即

尸<^<4）=1-??稱區(qū)間（。，強源體參數(shù)