必修二《第六章 平面向量及其應(yīng)用》章節(jié)復(fù)習與同步測試（含單元測試卷）

<6.1平面向量的概念》知識梳理

一、向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2.數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.

二、向量的幾何表示

1.有向線段

具有方向的線段叫做有向線段,它包含三個要素：起點、方囪、長度，如圖

所示.

終點）

4（起點）

以/為起點、6為終點的有向線段記作而，線段的長度叫做有向線段通

的長度記作【標I.

2.向量的表示

（1）幾何表示：向量可以用有向線段表示,有向線段的長度表示向量的大小，

有向線段的方向表示向量的方向.

（2）字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示（印刷用黑體a,b,c,書

寫時用a,Ac）.

3.模、零向量、單位向量

向量麗的大小，稱為向量而的長度（或稱模），記作I而I.長度為8的向

量叫做零向量，記作。；長度等于L個單位長度的向量，叫做單位向量.

思考“向量就是有向線段，有向線段就是向量”的說法對嗎？

答案錯誤.理由是：①向量只有長度和方向兩個要素；與起點無關(guān)，只要

長度和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；②有向線段有起點、長度和方

向三個要素，起點不同，盡管長度和方向相同，也是不同的有向線段.

三、相等向量與共線向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

（1）記法：向量a與平行，記作a〃五

（2）規(guī)定：零向量與任意向量平行.

2.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

3.共線向量：由于任一組平行向量都可以平移到同一直線上，所以平行向量

也叫做共線向量.要注意避免向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段的平行

和共線相混淆.

思考（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？

⑶與任意向量都平行的向量是什么向量？（4）若兩個向量在同一直線上，則這兩

個向量一定是什么向量？

答案（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）平行（共線）向量.

《6.1平面向量的概念》同步測試

注意事項：

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共16題.答卷前，考生務(wù)必

用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確命題的個數(shù)是（）

（1）長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；

（2）平行且模相等的兩個向量是相等向量；

（3）若萬B5,則8；

（4）兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由相等向量的定義知（1）正確；

平行且模相等的兩個向量也可能是相反向量，（2）錯；

方向不相同且長度相等的兩個是不相等向量，（3）錯；

相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個向量的有向線段的起點不

要求相同，（4）錯,

所以正確答案只有一個.故選B.

2.下列命題正確的是（

A.若㈤=0,則￡=6B.若㈤=|5|,則1=5

C.若|￡1=1刈，則;〃力D.若allb>貝！la=B

【答案】A

【解析】模為零的向量是零向量，所以A項正確；

而1=1引時，只說明向13的長度相等，無法確定方向,

所以B,C均錯；

。||6時，只說明方向相同或相反，沒有長度關(guān)系,

不能確定相等，所以D錯.故選A.

3.若非零向量4和B互為相反向量，則下列說法中錯誤是（）

A.allbB.a^bC."D.a--h

【答案】C

【解析】由平行向量的定義可知A項正確；

因為”和B的方向相反，所以故B項正確；

由相反向量的定義可知二=工，故選項D正確；

由相反向量的定義知al=bX,故C項錯誤.故選C.

4.如圖，設(shè)。是正六邊形ABC。比的中心，則與血相等的向量為（）

UUUl

A.BAB.CDC.ADD.OD

【答案】D

【解析】根據(jù)圖形看出，四邊形BC。。是平行四邊形.?.BC//OD,BC=O。

.?.阮=歷故選：D

5.若向量“與向量/；不相等，貝!I。與B一定（）

A.不共線B.長度不相等

C.不都是單位向量D.不都是零向量

【答案】D

【解析】???向量￡與向量坂不相等，它們有可能共線、有可能長度相等、有

可能都是單位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即選項A、B、C錯誤，D

正確.故選：D.

6.下列說法錯誤的是（）

A.若非零向量b,C有￡//石，bile,則G//C

B.零向量與任意向量平行

C.已知向量乙萬不共線，且。/左，bHe,貝限=0

D.平行四邊形ABC。中，AB^CD

【答案】D

【解析】選項A：因為:，葭?都不是零向量，所以由Z//B，可知向量￡與向量

B具有相同或相反方向.又由B/無，可得向量"與向量B具有相同或相反方向，

所以向量￡與向量之具有相同或相反方向，故￡/不，故本說法是正確的；

選項B：零向量與任意向量平行這是數(shù)學規(guī)定，故本說法是正確的；

選項C：由￡//屋bl1c，可知："與向量［具有相同或相反方向，"與向量

坂具有相同或相反方向，但是向量￡石不共線，所以"=6,故本說法是正確的；

選項D：平行四邊形438中，應(yīng)該有荏=祝，故本說法是錯誤的.故選：

D

7.a，B為非零向量，且卜+同咽+〉,則（）

A.a＞坂同向B.a＞坂反向

C.a=-hD.a，坂無論什么關(guān)系均可

【答案】A

【解析】當兩個非零向量￡與坂不共線時，￡+5的方向與7坂的方向都不相

同，且B+4<W+M；當向量￡與坂同向時，Z+坂的方向與亂刃的方向都相同，且

口+*忖+忖；

當向量￡與B反向且時，￡+5的方向與坂的方向相同（與￡的方向相

反），且它+目明第,

故選:A

8.如圖是3x4的格點圖（每個小方格都是單位正方形），若起點和終點都在

方格的頂點處，則與福平行且模為血的向量共有（）

A.12個B.18個C.24個D.36個

【答案】C

【解析】由題意知，每個小正方形的對角線與而平行且模為逝的所在的

向量，3x4的格點圖中包含12個小正方形,

所以有12條對角線，與通平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24

個向量滿足.

故選：C.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選

對的得3分.

9.已知入坂是任意兩個向量，下列條件能判定向量￡與坂平行的是（）

A.a=bB.。%

c.”與B的方向相反D.Z與B都是單位向量

【答案】AC

【解析】對于A選項，若￡=石，則￡與各平行，A選項合乎題意；

對于B選項，若。="，但￡與否的方向不確定，則￡與B不一定平行，B

選項不合乎題意；

對于c選項，若￡與B的方向相反，則Z與B平行，c選項合乎題意；

對于D選項，［與B都是單位向量，這兩個向量長度相等，但方向不確定，

則￡與B不一定平行，D選項不合乎題意.故選：AC.

10.在下列結(jié)論中，正確的有（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合

B.平行向量又稱為共線向量

C.兩個相等向量的模相等

D.兩個相反向量的模相等

【答案】BCD

【解析】A.若兩個向量相等，它們的起點和終點不一定不重合，故錯誤；

B.平行向量又稱為共線向量，根據(jù)平行向量定義知正確；

C.相等向量方向相同，模相等，正確；

D.相反向量方向相反，模相等，故正確；故選：BCD

11.下列能使萬/區(qū)成立的是（）

A.a^bB.同=|同

C.〃與日方向相反D.同=0或忖=0

【答案】ACD

【解析】對于A,若￡=則￡與B大小相等且方向相同，所以://力；對于

B,若口=忖，則￡與行的大小相等，而方向不確定，因此不一定有力；對于C,

方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若￡與B方向相反，則有:〃力；對于

D,零向量與任意向量平行，所以若同=0或忖=0,則:/晨故選：ACD

12.如圖所示，梯形ABC。為等腰梯形，則下列關(guān)系正確的是（）

A.AB=DCB.畫=|困C.AB>DCD.BC//AD

【答案】BD

【解析】而與反顯然方向不相同，故不是相等向量，故A錯誤；

網(wǎng)與甌|表示等腰梯形兩腰的長度，所以網(wǎng)=|明，故B正確；

向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故C錯誤；

等腰梯形的上底與下底平行，所以前//礪，故。正確；故選：BD.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過程，

請把答案直接填寫在橫線上）

13.給出下列命題：

①向量通的長度與向量面的長度相等；

②向量￡與萬平行，則2與萬的方向相同或相反；

③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；

④兩個有公共終點的向量，一定是共線向量；

⑤向量麗與向量說是共線向量，則點必在同一條直線上.

其中不正確命題的序號是.

【答案】②④⑤

【解析】向量而與函是相反向量,它們的模長相等，即①正確；

零向量與任何向量平行,若向量Z與B中恰有一個為零向量,則它們的方向

不滿足題意，即②錯誤；

對于相等向量,若它們有共同的起點，則它們終點也相同，即③正確；

兩個有公共終點的向量,若它們的起點和終點不在一條直線上,則它們不共

線，即④錯誤；

因為向量可以平移，所以共線向量而與麗中，ARC,。不一定在同一條

直線上，即⑤錯誤.

故答案為:②④⑤.

14.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形

(1)與向量前相等的向量有

(2)若|洞=3,則明=.

【答案】AB,DC6

【解析】①根據(jù)相等向量的定義及平行四邊形性質(zhì)：與向量訪相等的向量

有限D(zhuǎn)C

②在=麗+反=2麗，|函=|2網(wǎng)=6

15.在如圖所示的半圓中，48為直徑，點。為圓心，。為半圓上一點，且NO⑦

=30°，AB=2,則|AC=.

【答案】1

【解析】連接由無=而得N4BC=NOCB=30°,又/ACB=90°,

則ACAB=1x2=l.

16.如圖所示，43c和AA2C是在各邊的g處相交的兩個全等的等邊三

角形，設(shè)AABC的邊長為。，圖中列出了長度均為|?的若干個向量

A

D

B'

BG\7HC

A'

貝！J：（1）與向量而相等的向量有；

（2）與向量麗共線，且模相等的向量有；

（3）與向量的共線，且模相等的向量有.

【答案】麗，HCEC>詼，麗，GB.HC甌，而，兩，

就，KB1

【解析】（1）與向量而相等的向量是麗，WC；

（2）與向量而共線且模相等的向量是正，DE，DB1,GB，HC，

（3）與向量函共線且模相等的向量E/，而，詞，HK>而'

三、解答題（本大題共4小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解

答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）如圖所示，0是正六邊形放幀的中心，且礪=

a?OB=b?OC=c-

（1）與￡的長度相等、方向相反的向量有哪些?

（2）與3共線的向量有哪些?

（3）請一一列出與￡,b，".相等的向量.

【解析】（1）因為正六邊形中各線段長度都相等，且方向相反的有：0D，

前,A。，F(xiàn)E-（2）由共線向量定理得：EF，品,甜，而，CB-DO-

AO>DA,AD?與a共線.

（3）由相等向量的定義得：與7相等的向量有E尸，DO,CB-,與坂相

等的向量有。C，EO>FA;與2相等的向量有戶。，ED，AB.

18.（本小題滿分12分）某人從4點出發(fā)向東走了5米到達6點，然后改變

方向沿東北方向走了10夜米到達。點，到達。點后又改變方向向西走了10米

到達〃點.

（1）作出向量而，BC，CDi

（2）求標的模.

【解析】（1）作出向量而，BC，麗；如圖所示:

南

（2）由題意得，是直角三角形，其中N8%=90°,BC=10五米,

CD=1Q米，

所以劭=10米.△力物是直角三角形，其中/力劭=90°,48=5米，BD=

10米,

所以AD=752+102=575（米），

所以|同=5質(zhì)米.

19.（本小題滿分12分）在如圖所示的坐標紙上（每個小方格邊長為1）,用

直尺和圓規(guī)畫出下列向量:

(1)0A，使I礪1=4近，點Z在點。北偏東45°；

(2)AB,使網(wǎng)=4,點8在點4正東；

(3)BC,使|髭|=6,點。在點6北偏東30°.

【解析】(1)由于點力在點。北偏東45°處，所以在坐標紙上點/距點。

的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又I麗|=4a，小方格邊長為1，所以

點/距點。的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點/位置可以確定，畫

出向量以如下圖所示.

(2)由于點8在點4正東方向處，且忖4=4,所以在坐標紙上點8距點/

的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點8位置可以確定，畫出向量|麗|

如下圖所示.

(3)由于點。在點6北偏東30°處，且|泥|=6,依據(jù)勾股定理可得：在

坐標紙上點。距點8的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3指心5.2,于是點。

位置可以確定，畫出向量|隴|如下圖所示.

20.(本小題滿分12分)一艘海上巡邏艇從港口向北航行了30km,這時接

到求救信號，在巡邏艇的正東方向

40km處有一艘漁船拋錨需救助.試求：

(1)巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點所航行的路程；

（2）巡邏艇從港口出發(fā)到出事地點之間的位移.

【解析】（D如圖，由于路程不是向量，與方向無關(guān)，所以總的路程為巡邏

艇兩次路程的和，即為18+8C=70（km）.

北

8（信號接收點）。（淄船）

L東

A（港口）

（2）巡邏艇從港口出發(fā)到漁船出事點之間的位移是向量，不僅有大小而且有

4

方向，因而大小為|羽=叫2=50（km）,由于sinN胡。=—,故方向為

5

4

北偏東N物G其中sinN物C='.

21.（本小題滿分12分）已知。是正方形4比》對角線的交點，在以0,A,

B,C,〃這5點中任意一點為起點，另一點為終點的所有向量中，寫出：

（1）與此相等的向量；

（2）與赤長度相等的向量；

（3）與次共線的向量.

【解析】畫出圖形，如圖所示.

（1）易知BCHAD,BC=AD,所以與更相等的向量為而.

（2）由。是正方形切對角線的交點知仍=⑺=%=。。，

所以與而長度相等的向量為麗，灰,CO?礪，痛，蘇，DO.

（3）與次共線的向量為而，BC,CB.

22.（本小題滿分12分）如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形組成,

方格紙中有兩個定點孫氏點。為小正方形的頂點，且|衣|=/.

(1)畫出所有的向量能；

⑵求I擊I的最大值與最小值.

【解析】(1)畫出所有的向量公，如圖所示.

(2)由(1)所畫的圖知，①當點C位于點G或C時，

IBC|取得最小值，產(chǎn)+22=75；

②當點。位于點盤或乙時，|前|取得最大值，42+52二國.

所以|前|的最大值為歷，最小值為右.

《6.2平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算》知識梳理

一.向量加法的法則

已知非零向量a,b,在平面F為任取一點/，作而=a,BC=

b,則向量元叫做a與b的和，記作a+b,即a+b=AB+

BC=AC.

向量求

三角形法這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.

和的法1

則

對于零向量與任意向量a,夫見定a+O=O+a=a

則

__A

不\r

以同一點。為起點的兩個已知向量a,8為鄰邊作?？?,則

以。為起點的對角線方就是a與，的和.把這種作兩個向量

平行四邊和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則

【思考】|a+引與|a|,仍|有什么關(guān)系？

【答案】(1)當向量a與力不共線時，a+6的方向與&,8不同，且恒+引<|T

+I引.(2)當a與b同向時，a+b,a,，同向，且a+b\=|a|+Zr.(3)當a與

力反向時，若|a|>|引，則a+b的方向與a相同，且|a+引=㈤一|引；若|a<b\,

則a+8的方向與b相同，且|a+b|=|引一a\.

二.向量的減法

1.定義：向量a加上力的相反向量，叫做a與力的差，即a—6=a+(-6),

因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算，叫

做向量的減法.

2.幾何意義：在平面內(nèi)任取一點。，作OA=a,OB=b,則向量a—8=84,

如圖所示.

3.文字敘述：如果把兩個向量的起點放在一起，那么這兩個向量的差是以減

向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.

【思考】若a,6是不共線向量，|a+引與|a—引的幾何意義分別是什么？

【答案】如圖所示，設(shè)蘇=a,方=8根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和

向量減法的幾何意義，有0C=a+6,BA=a—6.因為四邊形十％是平行四邊

形，所以必+6=|無|,6—引=|就|,分別是以力，仍為鄰邊的平行四邊

形的兩條對角線的長.

三、向量數(shù)乘的定義

實數(shù)兒與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作Aa,

其長度與方向規(guī)定如下：

(1)I4a|=|11|a|.

當4>0時,方向相同;

(2)Aa(aWO)的方向'

當4<0時,與的方向相反

特別地，當兒=0時，4a=0.當人=—1時，(-l)a=-a.

四向量共線定理

向量a3W0)與人共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)A,使力=4a

【思考】向量共線定理中為什么規(guī)定aWO?

【答案】若將條件aWO去掉，即當a=0時，顯然a與力共線.

(1)若6W0,則不存在實數(shù)兒，使6=4a

(2)若8=0,則對任意實數(shù)兒，都有6=4a

《6.2平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算》同步測試

注意事項：

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共16題.答卷前，考生務(wù)必

用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)在每小題所給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.下列四式不能化簡為而的是()

A.MB+AD-BMB.(AD+MB)+(BC+CM)

C.(AB+CD)+BCD.OC-OA+CD

【答案】A

【解析】對B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BC+CM=AD,故B

正確;

對C,(AB+CD)+BC^AB+BC+CD=AD,故C正確；

對D,OC-OA+CD^AC+CD^AD，故D正確；故選：A.

2.在平行四邊形ABCD中,設(shè)對角線ZC與切相交于點0,則通+甌=()

A.2BOB.2D0C.BDD.AC

【答案】B

【解析】因為四邊形ABC。為平行四邊形，故通+函=6，

^AB+CB=Ad+bB+CO+bB=2OB=2bd>故選B.

3.在五邊形A8CDE中(如圖)，AB+BC-DC=()

C.BDD.BE

【答案】B

【解析】AB+BC-DC=AB+BC+W=AD.B

4.如圖所示，已知空間四邊形翻9,連接4GBD,M,G分別是6C,切的

1―.1—.

中點，則通+5BC+5B。等于()

C.AGD.MG

【答案】C

【解析】?..四面體//5中，〃、G為BC、切中點，

：.-BC^BM,-BD=MG,

22

:.AB+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.故選C

22

5.八卦是中國文化中的哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為

圖2中的正八邊形四物仇祝其中。4=1,則給出下列結(jié)論：

?BF-HF+HD=Oi?0A+0C=-y/20F;@AE+FC-GE=AB.

【解析】對于①：因為麗一而+麗=而+而+而=麗+而=麗，故

①錯誤；

360°

對于②：因為ZAOC=T-X2=90。，則以。4,OC為鄰邊的平行四邊形為正

O

方形，

又因為OB平分乙4OC,所以04+。6=血。后=—00尸，故②正確；

對于③：因為通+定—瓦=醺+的+無+而，且定=麗,

^\^AE+FC-GE^AG+GB^AB,故③正確，故選：C.

6.如圖，在四邊形ABCD中，^AB=ci,AD=b,BC=c,則覺=()

D.

A-----------B

A.-a+b+cB.-a+b~cC.a+b+cD.a-b+c

【答案】D

【解析】由題意，在四邊形MC￡＞中，^AB=a,AD=b,BC=c,

根據(jù)向量的運算法則，可得反=次+而+元=—]+￡+￡=￡—五+".故選

D.

7.點P是AABC所在平面內(nèi)一點且方+定=麗，在AABC內(nèi)任取一點，

則此點取自AP8C內(nèi)的概率是（）

A.-B?-C.-D.-

2345

【答案】B

【解析】設(shè)。是8C中點，因為而+斤=而，所以2兩=而，

所以A、P、。三點共線且點P是線段AO的三等分點，

故產(chǎn)=3，所以此點取自APBC內(nèi)的概率是:.故選B.

8.P是AABC所在平面內(nèi)一點，^CB=APA+PB,其中/leR,則P點一

定在（）

A.AABC內(nèi)部B.AC邊所在直線上

C.AB邊所在直線上D.BC邊所在直線上

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，C月=幾百+而0圍-=4而o麗=4麗，，點P

在AC邊所在直線上，故選B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得。分，部分選

對的得3分.

9.已知正方體ABC。-ABC。的中心為。，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.況+歷與西+西是一對相反向量

B.礪-反與弧-西■是一對相反向量

C.。4+04+。心+。方與弧+*+西+*是一對相反向量

D.西-礪與反-優(yōu)■是一對相反向量

【答案】ACD

【解析】?.?。為正方體的中心，，礪=-西，歷=-西,故

OA+OD=-[OB,+OC^,

同理可得而+反=_（西■+鶴），

故0A+OB+OC+OD=-（OA）+0B1+0Ct+0Dij,:.A、C正確；

UllUULISIULU---------------------------------

,:OB-OC=CB，O\-ODX=AA,

，。月-反與弧-組是兩個相等的向量，，B不正確；

,.不-麗=可，無-西=束=-麗，

，西-礪=-（詼-叫，，口正確.故選ACD

10.下列各式中，結(jié)果為零向量的是（）

A.AB+MB+W+OMB.AB+BC+CA

C.OA+OC+BO+WD.AB-AC+BD-O）

【答案】BD

【解析】對于選項A：AB+MB+BO+OM^AB，選項A不正確；

對于選項8：AB+BC+CA^AC+CA^Q,選項8正確；

對于選項C：OA+OC+BO+CO=BA，選項C不正確；

umuuinuunuun,uunuun、,uirauun、uuuuumr

對于選項。：AB-AC+BD-CD=\AB+BD\-\AC+CD\=AD-AD=O

選項。正確.故選BD

11.若點〃E,產(chǎn)分別為AABC的邊CA9"的中點，且阮=￡,CA=b,

則下列結(jié)論正確的是（）

—1一

A.AD=——a-bB.BE=a+-b

22

—11一一1

C.CF=——a+-bD.EF=—a

222

【答案】ABC

【解析】如圖，

在AABC中，AI)=AC+a)=-CA+-CB=-b--a,故A正確;

22

BE=BC+CE=a+—b,故B正確；

2

AB=AC+CB=-b-a>CF=CA+^AB=b+^x（-b-a）=--^a+^b,故C

正確；

—1—?1-

EF=-CB=一一a,故D不正確.故選：ABC

22

12.下列關(guān)于平面向量的說法中不至頌的是（）

A.已知心方均為非零向量，則a//6o存在唯一的實數(shù)/I,使得石=而

B.若向量福，麗共線，則點A,B,C,。必在同一直線上

C.若無不=6?不且3H0,貝!=5

D.若點G為AABC的重心，則西+說+交=0

【答案】BC

【解析】對于選項A,由平面向量平行的推論可得其正確；

對于選項B,向量通，麗共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點A,

B,C,。不必在同一直線上，故B錯誤；

對于選項C,a-c=、co（a-B）-c=0,則（a-不一定推出￡=5,

故C錯誤；

對于選項D,由平面向量中三角形重心的推論可得其正確.

故選BC

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過程，

請把答案直接填寫在橫線上）

13.化簡：AB+EA-CB+CD+DE=?

【答案】6

【解析】AB+EA-CB+CD+DE=EB-CB+CE=EB+BC+CE=6.

故答案為：6.

14.若同=5,否與々方向相反，且忖=7,則1b.

【答案】~

【解析】因為B與［方向相反，

所以設(shè)￡=花（/<0）,則卜卜囚忖,

所以5=|/l|x7,可得;l=±m(xù)，

又4<0,所以a=-m.

15.若P是A4BC內(nèi)部一點，且滿足麗+2麗=麗，則A4BP與AABC的面

積比為.

【答案】|

【解析】PA+2PH=CB^PA+PB=CB+BP=CP

取AB的中點為。，貝I」而+方=2可

BP2PO=CP,則點P為AABC的重心

根據(jù)重心的性質(zhì)可得，點P到AB的距離是點C到AB的距離的;

q1

則2^L=一

S.c3

16.在平行四邊形ABC。中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M為BC的中點，

貝!1畫=,MN=.(用”,人表示)

【答案】」?J

244

【解析】如圖，???四邊形ABC。是平行四邊形，.?,詬二而，又?.?麗=3祝,

.?.A,N,C三點共線，且函則礪=礪+麗=，方+麗=_工8_4,

422

—————1一1一1一1一1111

MN=MC+CN=-BC——AC^-AD——AC=-b——(a+b)=——a+-b.

24242444

三、解答題（本大題共4小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解

答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）化簡.

（1）AB+CD+BC+DA.

（2）（^AB+MB）+（BO+BC）+OM.

【解析】（1）AB+CD+BC+DA=AB+BC+CD+DA^O;

（2）（JB+MB）+（lid+BC）+OM=AB+W+OM+MB+BC=AC.

18.（本小題滿分12分）已知在四邊形4%力中，AB=a+2b,麗=—4a

-b,CD=-5a-3b,求證：四邊形力aZ?為梯形.

【解析】如圖所示.

AD=AB+BC+CD

=(a+2Z?)+(-4a—Z?)+(-5a-36)

=—8a—2b=2(—4a—b),

Z.AD=2BC.

，而與前共線，且|而|=2|前

又???這兩個向量所在的直線不重合，

：.AD//BC,且4片2必

，四邊形A?切是以A9,8c為兩條底邊的梯形.

19.（本小題滿分12分）如圖，已知〃，瓦廠分別為A4BC的三邊8C,AC,

AB的中點，求證：AD+BE+CF^Q.

【解析】由題意知45=4e+。方，BE=BC+CE，CF^CB+BF，

由題意可知而=C/5，BF=FA.

：.AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)

=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB)

=(AE+EC+CD+CE+BF)+6

^AE+CD+BF^AE+EF+FA^6.

20.(本小題滿分12分)如圖，已知正方形A8C。的邊長等于單位長度1,

AB=a，BC=b>AC=c,試著寫出向量.

(1)a+b+c;

（2）a-b+c,并求出它的模.

【解析】(1)a+b+c=(AB+BC)+AC=AC+AC=2AC=2c；

(2)a-b+c=AB-BC+AC=AB+(.AC+CB)=AB+AB=2AB.

：.\a-b+c\=2\AB\=2.

21.(本小題滿分12分)如圖，四邊形。是以向量麗=￡,麗為

邊的平行四邊形，=國=；而，試用入/；表示加、ON.MN.

BD

區(qū)

OA

【解析】:BM』C,BC=CA,；.BM=；BA,

36

BM=-BA=-(OA-OB)=-(a-b).

666

OM^OB+BM^b+-(a-h]=-a+-b.

6、>66

■.■CN=-CD,CD=OC,

3

____2__.2__.__?22

ON=OC+CN=-OD=-(OA+OB)=-a^-b.

3333

__.-..22-15-1I-

MN=ON-OM=-a+-b——a--b=-a——b.

336626

16.(本小題滿分12分)設(shè)a,b,c為非零向量，其中任意兩向量不共線,

已知a+b與c共線，且8+c與a共線，則b與a+c是否共線？請證明你的結(jié)

論.

【解析】8與a+c共線.證明如下：

,.2+8與c共線，

...存在唯一實數(shù)A,使得a+b=4c.①

,."+c與a共線，

...存在唯一實數(shù)〃，使得b+c=〃a②

由①一②得，3—c=^c~Pa.

；.(1+li)a=(1+4)c.

又-a與c不共線，.?」+〃=0,1+4=0,

:.N=-1,4=——1,a+Z>=—c,即a+6+c=0.

a+c=-b.

故a+c與b共線.

《6.3平面向量的數(shù)量積》知識梳理

一、兩向量的夾角與垂直

1.夾角：已知兩個非零向量a和力，。是平面上的任意一點，作蘇=a,OB

=b,則0（0W〃W“）叫做向量8與6的夾角（如圖所示）.

當。=0時，a與力同向；當8=R時，a與力反向.

2.垂直：如果a與力的夾角是三，則稱a與b垂直，記作a_Lb.

2

二、向量數(shù)量積的定義

非零向量a,力的夾角為，，數(shù)量|a||b|cos，叫做向量a與b的數(shù)量積（或

內(nèi)積），記作a?6,即Z>=|a||6|cos0,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積

等于0.

【思考】若aWO,且a-5=0,是否能推出力=0.

【答案】在實數(shù)中，若a#0,且6=0,則6=0；但是在數(shù)量積中，若#0,

且a?6=0,不能推出6=0.因為其中a有可能垂直于》

三、投影向量

在平面內(nèi)任取一點。，作而=a,ON=b,過點"作直線QM的垂線，垂足

為則OM,就是向量a在向量力上的投影向量.

設(shè)與6方向相同的單位向量為e,a與6的夾角為0,則兩與e,a,d

之間的關(guān)系為函=|acos0e.

四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)向量a與力都是非零向量，它們的夾角為0,e是與b方向相同的單位向

量.則

(1)a,e=e,a=|a\,cos0,

(2)a_L2xna?b—0.

與詞向，

⑶當a〃力時，a?力={IT__

-忖.’”與。反向,

特別地，a?a=a?或|a=yja-a

(4)|a?引Wa\b\.

五平面向量數(shù)量積的運算律

1.a,b=b?a(交換律).

2.(/la)?力=4(a?b)=a?(九⑹(數(shù)乘結(jié)合律).

3.(a+b)?c—a,c+b,c(分配律).

【思考】若a-c,是否可以得出結(jié)論a="

【答案】不可以.

已知實數(shù)a,b,c(6W0),則ab=8c=a=c,但是a?力=8?c推不出a=

c.理由如下：

如圖，a*b=\a|b\cosfi=\b\0A\,

b,c=b|c\cosa=b|.

所以a?6=8?c,但是aWc.

《6.3平面向量的數(shù)量積》同步測試

注意事項：

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘，試題共16題.答卷前，考生務(wù)必

用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）在每小題所給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知向量滿足|4=1,ab=-l＞則”2。-可=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】因為同=1，4出=一1，

所以7(2￡—石)=2￡2_￡0=2問2_(T)=2+]=3,故選：B.

2.設(shè)“，坂均為單位向量，且則B+2+()

A.3B.^6C.6D.9

【答案】B

【解析】a,B均為單位向量，且=

4

3.已知兩個單位向量萬，5滿足|2々+3?|=近，則/與5的夾角是()

712兀5兀

B.Tc.TD.~6

【答案】C

【解析】由|22+3W=近,所以|21+342=4/+12無方+9/=7,

又因為單位向量￡石，所以122石=-6n萬-5=-g,

/一1、a-h1

所以向量的夾角為cos〈。/〉=問忖

2'

且他可6。萬］,所以伍5〉=今，故選：c.

4.如圖，45=1,AC=3,NA=9()。,而=2而，則而.麗=()

421

A.B.1C.D.

333

【答案】C

__________I______i_____2___i___

【解析】由AD=AB+BD^AB+-BC^AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

所以而.而=(|而+；麗=|■通恁.而

21____2]2

=-xl2+-|ACIIA5|cos90°=-+-x3x0=-.故選：C

5.已知向量入坂滿足同=3,忖=4,且公與坂反向，則?+3到石=()

A.36B.48C.57D.64

【答案】A

【解析】因為[與V反向,所以伍可=萬，

又,卜3,忖=4,,所以(4+3萬)石=03+35?5,

=3x4x(-l)+3x42=36.故選：A

6.在AABC中，AB=2,AC=3,且麗?衣=一3百，貝！||恁一尢研(加R)

的最小值是()

A.1B.也C.竺D.273

【答案】A

【解析】VAB=2,AC=3,J.AB-AC=-3A/3

.-.|XC-=AC-2AAB-AC+A2AB2=9+6732+422=4^2+乎J+；,

當花一手時，時一義畫,取得最小值為:，則時一%同取得最小值為方

故選A.

7.已知p是邊長為2的正三角形板的邊■上的一點，則福?麗的取值

范圍是（）

A.[2,6]B.[2,4]C.(2,4)D.(0,4)

【答案】B

【解析】如圖所示，。為48的中點，AP-AB=\AP\\AB\cosZABC,

當P在3時，Q在而方向上的投影AB最大，

=2x2=4,

當P在。時，而在右方向上的投影A。最小，

(A戶?AEbmil,=2xl=2,.??麗?麗的取值范圍是[2,4],故答案為：B.

8.已知等邊AA6c的面積為6,動點。在AA5c的邊上，若線段"N為

△ABC內(nèi)切圓的一條直徑，S.DM.DN<A,則實數(shù)丸的取值范圍為()

A.[0,+oo)B.[1,+co)C.D.[2,+oo)

【答案】B

【解析】設(shè)AABC的邊長為“，則解得a=2,

4

設(shè)內(nèi)切圓圓心為。，

加?麗=(前一歷).(而—說)=|阿—|阿2=|西

可知當點。在AABC的頂點位置時，|歷『有最大值，此時|歷|=2叵，

DMDN=\，

故實數(shù)A的取值范圍為[1，H.故選B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的

選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選

對的得3分.

9.若￡、b>"是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是()

A.(a-h)-c=(h-c)-a

B.若34=一向陽，則2/而

C.若a.c=B?c,則a//B

D.若a.a