2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與測試小題基礎(chǔ)練四排列組合二項式定理

小題基礎(chǔ)練(四)排列組合、二項式定理1．(2024·新課標(biāo)Ⅱ卷)某學(xué)校為了了解學(xué)生參與體育運動的狀況，用比例安排的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和中學(xué)部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和中學(xué)部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有()A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)種 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)種C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)種 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種解析：因為初中部和中學(xué)部分別有400和200名學(xué)生，所以人數(shù)比例為400∶200＝2∶1，則須要從初中部抽取40人，中學(xué)部取20人即可，則有Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種．故選D.答案：D2．(2024·全國乙卷)甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A．30種 B．60種C．120種 D．240種解析：依據(jù)題意可得滿意題意的選法種數(shù)為：Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(2,5)＝120.故選C.答案：C3．有五名志愿者參與社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參與服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參與兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()A．120 B．60C．40 D．30解析：先從5人中選1人連續(xù)兩天參與服務(wù)，共有Ceq\o\al(1,5)＝5(種)選法，然后從剩下4人中選1人參與星期六服務(wù)，剩下3人中選取1人參與星期日服務(wù)，共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＝12(種)選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有5×12＝60(種)選法．故選B.答案：B4．(2024·汕頭二模)電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)三種基本顏色，每種顏色的色號均為0～255.在電腦上繪畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種數(shù)為()A．2563 B．27C．2553 D．6解析：分3步取色，第一、其次、第三次都有256種取法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，共可配成256×256×256＝2563(種)顏色．故選A.答案：A5．(2024·佛山二模)“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培育試驗安排”簡稱“珠峰安排”，是國家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問”而推出的一項人才培育安排，旨在培育中國自己的學(xué)術(shù)大師．已知浙江高校、復(fù)旦高校、武漢高校、中山高校均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培育基地，某班級有5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，則每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法數(shù)共有()A．120種 B．180種C．240種 D．300種解析：5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同學(xué)選擇的不同方法數(shù)Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240.故選C.答案：C6．(2024·廣州一模)“回文”是古今中外都有的一種修辭手法，如“我為人人，人人為我”等，數(shù)學(xué)上具有這樣特征的一類數(shù)稱為“回文數(shù)”、“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如121，241142等，在全部五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)的“回文數(shù)”共有()A．100個 B．125個C．225個 D．250個解析：依據(jù)題意，對5位回文數(shù)有且僅有兩位數(shù)字是奇數(shù)，分2種類型，分3步進(jìn)行分析：第一類：對于百位數(shù)字，可以在0到9十個數(shù)字中任取1個偶數(shù)，有5種取法，對于十位、千位數(shù)字，是相同的，可以在0到9十個數(shù)字中任取1個奇數(shù)，有5種取法，對于萬位、個位數(shù)字，是相同的，可以在1到9十個數(shù)字中任取1個偶數(shù)，有4種取法，則5位回文數(shù)有5×5×4＝100(個)，其次類：對于百位數(shù)字，可以在0到9十個數(shù)字中任取1個偶數(shù)，有5種取法，對于十位、千位數(shù)字，是相同的，可以在0到9十個數(shù)字中任取1個偶數(shù)，有5種取法，對于萬位、個位數(shù)字，是相同的，可以在1到9十個數(shù)字中任取1個奇數(shù)，有5種取法，則5位回文數(shù)有5×5×5＝125(個)，共有225個．故選C.答案：C7．(2024·汕頭一模)現(xiàn)將A、B、C、D、E、F六個字母排成一排，要求A、B相鄰，且B、C不相鄰，則不同的排列方式有________種．()A．192 B．240C．120 D．28解析：將A、B捆綁，可作一個元素，與D、E、F排列，然后插入C，可得不同的排列方式有：Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(1,4)＝192.故選A.答案：A8．(2024·廣東模擬)把二項式(eq\r(3,x)＋eq\f(2,x))9的全部綻開項重新排列，求有理項不相鄰的概率為()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,42) D.eq\f(1,3)解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(3,x))9－r·(eq\f(2,x))r＝Ceq\o\al(r,9)·x3－eq\f(r,3)·eq\f(2r,xr)＝Ceq\o\al(r,9)·x3－eq\f(4r,3)·2r，其中0≤r≤9，r∈N，當(dāng)r＝0，3，6，9，項為有理項，則有4項有理項，6項無理項，綻開式的10項全排列共有Aeq\o\al(10,10)種，有理項互不相鄰可把6個無理項全排，把4個有理項在形成的7個空中插空即可，有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(4,7)種．所以有理項都互不相鄰的概率為eq\f(Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(4,7),Aeq\o\al(10,10))＝eq\f(1,6).故選B.答案：B9．(多選題)(2024·佛山禪城區(qū)校級一模)若x5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，其中ai(i＝0，1，…，5)為實數(shù)，則()A．a(chǎn)0＝0 B．a(chǎn)3＝－10C．a(chǎn)1＋a3＋a5＝－16 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a5＝1解析：x5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，對于A，令1－x＝0，則x＝1，則a0＝1，故A錯誤；對于B，因為x5＝[1－(1－x)]5，所以綻開式中含(1－x)3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·(－1)3＝－10，故B正確．對于C，令1－x＝1，則x＝0，則a0＋a1＋a2＋…＋a5＝0，令1－x＝－1，則x＝2，則a0－a1＋…－a5＝25＝32，所以a1＋a3＋a5＝eq\f(0－32,2)＝－16，故C正確；對于D，a1＋a2＋…＋a5＝0－a0＝－1，故D錯誤．故選BC.答案：BC10．(多選題)(2024·青島一模)在(2x－eq\f(1,x))8的綻開式中，下列說法正確的是()A．常數(shù)項是1120B．第四項和第六項的系數(shù)相等C．各項的二項式系數(shù)之和為256D．各項的系數(shù)之和為256解析：依據(jù)二項式定理，(2x－eq\f(1,x))8的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)28－k(－1)kx8－2k，對于A，常數(shù)項為Ceq\o\al(4,8)24(－1)4＝1120，故A正確；對于B，第四項的系數(shù)為Ceq\o\al(3,8)28－3(－1)3＝－1792，第六項的系數(shù)為Ceq\o\al(5,8)28－5(－1)5＝－448，故B錯誤；對于C，因為n＝8，所以各項的二項式系數(shù)之和為28＝256，故C正確；對于D，令x＝1，各項的系數(shù)之和為1，故D錯誤．故選AC.答案：AC11．(2024·新課標(biāo)Ⅰ卷)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．解析：若選2門，則只能各選1門，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝16(種)，如選3門，則分體育類選修課選2，藝術(shù)類選修課選1，或體育類選修課選1，藝術(shù)類選修課選2，則有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝24＋24＝48，綜上共有16＋48＝64(種)不同的方案．故答案為64.答案：6412．(2024·深圳模擬)(x＋2)(x－1)3綻開式中x2的系數(shù)為________．解析：(x－1)3的綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)x3－r·(－1)r，(x＋2)(x－1)3＝x(x－1)3＋2(x－1)3，取r＝2和r＝1，計算得到系數(shù)為：Ceq\o\al(2,3)·(－1)2＋2×Ceq\o\al(1,3)·(－1)1＝－3.故答案為－3.答案：－313．(2024·天津卷)在(2x3－eq\f(1,x))6的綻開式中，x2項的系數(shù)為________．解析：二項式(2x3－eq\f(1,x))6的綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x3)6－r·(－eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,6)·26－r·(－1)r·x18－4r，令18－4r＝2得，r＝4，所以x2項的系數(shù)為Ceq\o\al(4,6)·22×(－1)4＝60.故答案為60.答案：6014．(2024·上海卷)設(shè)(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a4＝________．解析：依據(jù)題意及二項式定理可得：a0＋a4＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(4,4)·(－2)4＝17.故答案為17.答案：1715．(2024·惠州模擬)已知(2eq\r(x)－eq\f(1,x))n的二項式系數(shù)的和為64，則其綻開式的常數(shù)項為________(用數(shù)字作答)．解析：由題意，2n＝64，得n＝6.所以(2eq\r(x)－eq\f(1,x))n＝(2eq\r(x)－eq\f(1,x))6，其通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2eq\r(x))6－r(－eq\f(1,x))r＝(－1)r·26－r·Ceq\o\al(r,6)·x3－eq\f(3,2)r.令3－eq\f(3,2)r＝0，得r＝2.所以綻開式的常數(shù)項為24·Ceq\o\al(2,6)＝240.故答案為240.答案：24016．(2024·汕頭潮陽區(qū)三模)(x2＋eq\f(2,x)＋1)7綻開式中x5的系數(shù)是________．解析：因為(x2＋eq