高一數(shù)學(xué)一隅三反系列(人教A版必修第一冊)3.2.1函數(shù)的單調(diào)性(精講)(原卷版+解析)

3.2.1函數(shù)的單調(diào)性（精講）考點一定義法判斷單調(diào)性【例1】(2023·全國·高一）證明函數(shù)g（x）＝在（1，＋∞）上單調(diào)遞增．【一隅三反】1．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）已知，試判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明．2．(2023·四川南充·高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.3．(2023·河南·溫縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）求在區(qū)間上的最值．考點二性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性【例2】(2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個函數(shù)在是增函數(shù)的為（）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的遞減區(qū)間是()A．

B．

C．

D．2．(2023·四川省）下列函數(shù)中，在(－∞，0]內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝x2－2 B．y＝C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)23．(2023·湖北）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______.考點三分離常數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【例3】．(2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________.【一隅三反】1.(2023·鄂爾多斯市）函數(shù)（）A．在內(nèi)單調(diào)遞增 B．在內(nèi)單調(diào)遞減C．在內(nèi)單調(diào)遞增 D．在內(nèi)單調(diào)遞減2．(2023·江西）函數(shù)f(x)=在（）A．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增B．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減C．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增D．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減3．(2023·河南安陽市）函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減考點四圖像法判斷函數(shù)的單調(diào)性【例4】(2023·福建）作出下列函數(shù)的大致圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域：（1）；（2）；（3）（4）；（5）．【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其增區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高一）函數(shù)f（x）＝|x－2|·（x－4）的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）3．(2023·重慶市鳳鳴山中學(xué)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和考點五已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例5-1】(2023·江蘇·高一）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例5-2】(2023·江西宜春·高一期末）（多選）函數(shù)，對于任意，當(dāng)時，都有成立的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.2．(2023·陜西·銅川陽光中學(xué)高一期末）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________．3．(2023·全國·高一）已知函數(shù)f(x)＝，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，則實數(shù)m的取值范圍是___________.考點六利用單調(diào)性比較大小【例6】(2023·黑龍江）定義域為R的函數(shù)滿足:對任意的，有，則有（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·湖南）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．(2023·河北）已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．(2023·四川）定義在上的函數(shù)，對任意有，則（

）A． B．C． D．考點七利用單調(diào)性解不等式【例7-1】(2023·甘肅慶陽·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例7-2】(2023·福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，,則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．(2023·云南·高一階段練習(xí)）已知是定義在上的減函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．(2023·浙江衢州）函數(shù)是R上的增函數(shù)，，是其圖象上的兩點，則的解集是（

）A． B．C． D．考點八單調(diào)性的綜合運用【例8-1】(2023·江蘇·高一單元測試）已知函數(shù).(1)畫出的圖象：（要求先用鉛筆畫出草圖，再用中性筆描摹，否則不給分）(2)請根據(jù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（不必證明）(3)當(dāng)實數(shù)k取不同的值時，討論關(guān)于x的方程的實根的個數(shù)：（不必求出方程的解）【例8-2】(2023·全國·高一課時練習(xí)）定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，.（1）求的值.（2）求證：.（3）求證：在上是增函數(shù).（4）若，解不等式.（5）比較與的大小.【一隅三反】1．(2023·湖北孝感·高一期中）已知函數(shù)是增函數(shù)．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)解不等式2．(2023·廣西）已知函數(shù).（1）請在平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的草圖；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，請根據(jù)函數(shù)的草圖，寫出實數(shù)的值.3．(2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)x，y，都有；②當(dāng)時，；③.（1）求，的值；（2）證明在上是減函數(shù)；（3）如果不等式成立，求x的取值范圍.3.2.1函數(shù)的單調(diào)性（精講）考點一定義法判斷單調(diào)性【例1】(2023·全國·高一）證明函數(shù)g（x）＝在（1，＋∞）上單調(diào)遞增．答案:證明見解析解析：任取、，且，則，由于，∴，，∴，即，故在上是增函數(shù)．【一隅三反】1．(2023·湖南·高一課時練習(xí)）已知，試判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明．答案:在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；解析：在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明：設(shè)任意的、且，則，因為、且，所以、、，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；2．(2023·四川南充·高一期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明.答案:(1)(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析解析：(1)要使函數(shù)有意義，當(dāng)且僅當(dāng).由得，所以，函數(shù)的定義域為.(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減.證明：任取，，設(shè)，則.∵，∴，，又，所以，故，即，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減.3．(2023·河南·溫縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（2）求在區(qū)間上的最值．答案:（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；（2），.解析：（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增證明：任取，且因為，，，所以，即所以在區(qū)間上單調(diào)遞增（2）由（1）可得，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以，考點二性質(zhì)法判斷函數(shù)的單調(diào)性【例2】(2023·全國·高一專題練習(xí)）下列四個函數(shù)在是增函數(shù)的為（）A． B．C． D．答案:D解析：對A，二次函數(shù)開口向上，對稱軸為軸，在是減函數(shù)，故A不對．對B，為一次函數(shù)，，在是減函數(shù)，故B不對．對C，，二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為，在是增函數(shù)，故C不對．對D，為反比例類型，，在是增函數(shù)，故D對．故選：D【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的遞減區(qū)間是()A．

B．

C．

D．答案:A解析：作出函數(shù)圖象的圖象，由圖象可知圖象的減區(qū)間為故選：A2．(2023·四川省）下列函數(shù)中，在(－∞，0]內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝x2－2 B．y＝C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2答案:C解析：A中，因為y＝x2－2在（－∞，0）上為減函數(shù)，所以A不對；B中，因為y＝在（－∞，0）上為減函數(shù)，所以B不對；C中，∵y=1+2x在（－∞，+∞）上為增函數(shù)，故C正確；D中，∵y＝－(x＋2)2的對稱軸是x=－2，∴在（-∞，－2）上為增函數(shù)，在（－2，+∞）上為減函數(shù)，故D不對．故選：C3．(2023·湖北）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為______.答案:、解析：由知，即的定義域為，作出的圖像如圖所示：由圖可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為和.故答案為：、.考點三分離常數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【例3】．(2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________.答案:，解析：；的圖像是由的圖像沿軸向右平移個單位，然后沿軸向下平移一個單位得到；而的單調(diào)增區(qū)間為，；的單調(diào)增區(qū)間是，．故答案為：，【一隅三反】1.(2023·鄂爾多斯市）函數(shù)（）A．在內(nèi)單調(diào)遞增 B．在內(nèi)單調(diào)遞減C．在內(nèi)單調(diào)遞增 D．在內(nèi)單調(diào)遞減答案:C解析：因為，函數(shù)的圖象可由y＝－圖象沿x軸向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到，如下圖所示．所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故選：C.2．(2023·江西）函數(shù)f(x)=在（）A．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增B．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減C．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增D．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減答案:C解析：f(x)的定義域為{x|x≠1}.f(x)==-1=-1，因為函數(shù)y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，由平移關(guān)系得，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增.故選：C.3．(2023·河南安陽市）函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減答案:B解析：因為數(shù)，所以，因為，所以函數(shù)在遞減，在上遞減，故選B.考點四圖像法判斷函數(shù)的單調(diào)性【例4】(2023·福建）作出下列函數(shù)的大致圖像，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域：（1）；（2）；（3）（4）；（5）．答案:（1）減區(qū)間：和，值域：；減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：；增區(qū)間：和，減區(qū)間：，值域：；減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：；減區(qū)間：和，增區(qū)間：和，值域：，大致圖像見解析解析：（1），圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù).因為，所以，故值域為：；（2），圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，當(dāng)時，取得最小值，故值域：；（3），圖象如圖所示：函數(shù)在和為增函數(shù)，在為減函數(shù)，值域為：.（4），圖象如圖所示：函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù).值域為：；（5），函數(shù)在和為減函數(shù)，在和為增函數(shù)，值域為：.【一隅三反】1．(2023·全國·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，其增區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案:C解析：結(jié)合圖象分析可知，函數(shù)的圖象在區(qū)間是上升的，所以對應(yīng)其增區(qū)間是．故選：C．2．(2023·全國·高一）函數(shù)f（x）＝|x－2|·（x－4）的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．[2，4] B．[2，3] C．[2，＋∞） D．[3，＋∞）答案:B解析：函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故選：B3．(2023·重慶市鳳鳴山中學(xué)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C． D．和答案:B解析：，作出其圖象如圖所示：由圖象可知，函數(shù)的增區(qū)間為和.故選:B考點五已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)【例5-1】(2023·江蘇·高一）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案:D解析：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，依題意，，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D【例5-2】(2023·江西宜春·高一期末）（多選）函數(shù)，對于任意，當(dāng)時，都有成立的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．答案:CD解析：根據(jù)題意，當(dāng)，都有成立時，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)減函數(shù).所以解得，反之也成立即是時，都有成立的充要條件所以其必要不充分條件對應(yīng)的a的取值范圍包含區(qū)間，故選項CD正確.故選：CD.【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.答案:解析：當(dāng)時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即在上遞增，則，當(dāng)時，函數(shù)是二次函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)知，，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：2．(2023·陜西·銅川陽光中學(xué)高一期末）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________．答案:解析：時，滿足題意；時，，解得，綜上，故答案為：．3．(2023·全國·高一）已知函數(shù)f(x)＝，對任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，則實數(shù)m的取值范圍是___________.答案:解析：不妨設(shè)，所以由可得：，所以函數(shù)在上遞減，故，解得：．故答案為：考點六利用單調(diào)性比較大小【例6】(2023·黑龍江）定義域為R的函數(shù)滿足:對任意的，有，則有（

）A． B．C． D．答案:A解析：定義域在上的函數(shù)滿足：對任意的，，有，可得函數(shù)是定義域在上的增函數(shù)，所以（1）（3）．故選：．【一隅三反】1．(2023·湖南）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．答案:D解析：因為在區(qū)間上是增函數(shù)，并且，所以，所以D選項的正確的．故選：D2．(2023·河北）已知函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．答案:A解析：因為函數(shù)在上單調(diào)遞增且關(guān)于直線對稱，所以，所以，即．故選：A．3．(2023·四川）定義在上的函數(shù)，對任意有，則（

）A． B．C． D．答案:A解析：由題意，對任意有，故任取，有即在上單調(diào)遞減由于故選：A考點七利用單調(diào)性解不等式【例7-1】(2023·甘肅慶陽·高一期末）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:C解析：在上單調(diào)遞增，，，解得：，實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【例7-2】(2023·福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，,則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:C解析：因為函數(shù)為上單調(diào)遞減，則可變形為，則，解得，所以的取值范圍為，,故選：C【一隅三反】1．(2023·江蘇·高一）已知是定義在上的增函數(shù)，且，則x的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案:B解析：因為是定義在上的增函數(shù)，且，所以，即，解得，所以x的取值范圍為，故選：B2．(2023·云南·高一階段練習(xí)）已知是定義在上的減函數(shù)，且，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案:A解析：∵是定義在上的減函數(shù)，且，則，解得.故選：A.3．(2023·浙江衢州）函數(shù)是R上的增函數(shù)，，是其圖象上的兩點，則的解集是（

）A． B．C． D．答案:B解析：因為，是圖象上的兩點，所以，所以，轉(zhuǎn)化為，因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以，所以不等的解集為，故選：B考點八單調(diào)性的綜合運用【例8-1】(2023·江蘇·高一單元測試）已知函數(shù).(1)畫出的圖象：（要求先用鉛筆畫出草圖，再用中性筆描摹，否則不給分）(2)請根據(jù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；（不必證明）(3)當(dāng)實數(shù)k取不同的值時，討論關(guān)于x的方程的實根的個數(shù)：（不必求出方程的解）答案:(1)圖象見解析(2)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是，．(3)答案見解析解析：(1)因為，所以函數(shù)的圖象如圖所示：(2)由圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是，．(3)因為方程的實根的個數(shù)即是函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)，所以由圖可知，當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)是，此時方程有個根；當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)是，此時方程有個根；當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)是，此時方程有個根；當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)是，此時方程沒有根．【例8-2】(2023·全國·高一課時練習(xí)）定義在上的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，.（1）求的值.（2）求證：.（3）求證