第2課時垂線、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊同步考點知識清單＋例題講解＋課后練習(xí)(人教版)(原卷版+解析)

第2課時—垂線、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角知識點一：垂直：垂直的定義：兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是時，就說這兩條直線，其中一條直線叫做另一條直線的，它們的交點叫做。若直線與直線垂直，表示為。由鄰補角與對頂角可知，若相交線形成的角的中有一個角是直角，則四個均是?！绢愋鸵唬号c垂直有關(guān)的計算】1．如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB，垂直為點O，∠BOD＝50°，則∠COE＝（）第1題第2題A．30° B．50° C．120° D．140°2．如圖，平面內(nèi)∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，則以下結(jié)論：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．0個3．如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝120°38'，則∠BOD的大小為．第3題第4題4．如圖，在∠AOB內(nèi)部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，則∠COD＝（）A．65° B．25° C．35° D．20°5．如圖所示，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，則下列結(jié)論中不正確的是（）第5題第6題A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠AOD與∠1互為補角 D．∠1的余角等于75°30'6．如圖，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°知識點二：垂直的畫法（尺規(guī)作圖）：過一點作已知直線的垂線：具體步驟：①將直尺的一條邊與已知直線。②將直角三角尺的一條直角邊緊靠直尺平移，直到另一直角邊與已知點。③過點沿另一直角邊畫直線。該直線即為所作垂線。④在交點的位置標(biāo)上直角符號。【類型一：垂直作圖判斷】7．下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）A． B． C． D．8．過點P向線段AB所在的直線畫垂線，正確的畫法是（）A． B． C． D．知識點三：垂直的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點作已知直線的垂線，條直線與已知直線垂直。有且只有：存在且唯一。垂線段：過直線外一點作已知直線的，點到之間的部分叫做垂線段。垂線段最短：直線外一點連接直線上所有點的連線中，最短。點到直線的距離：垂線段的是直線外一點到該直線的距離?！绢愋鸵唬捍咕€存在問題】9．如圖，在平面內(nèi)過A點作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條10．如圖，在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條11．在平面內(nèi)，過一點畫已知直線的垂線，可畫垂線（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條【類型二：垂線段最短】12．如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直13．如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點之間，直線最短 C．兩點確定一條直線 D．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短14．在鄉(xiāng)村振興活動中，某村通過鋪設(shè)水管將河水引到村莊C處，為節(jié)省材料，他們過點C向河岸l作垂線，垂足為點D，于是確定沿CD鋪設(shè)水管，這樣做的數(shù)學(xué)道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．垂線段最短 D．兩條直線相交有且只有一個交點15．如圖，河道的一測有甲、乙兩個村莊，現(xiàn)要鋪設(shè)一條管道將水引向甲、乙兩村，下列四種方案中最節(jié)省材料的是（）A． B． C． D．【類型一：點到直線的距離】16．如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（）A．線段PB的長是點P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短 C．線段AC的長是點A到直線PC的距離 D．線段PC的長是點C到直線PA的距離17．如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，AB＝5，則點C到直線AB的距離為．第17題第18題18．如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，則點A到CD的距離是線段（）的長度．A．CD B．AD C．BD D．BC19．如圖，在直線l外一點P與直線上各點的連線中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，則點P到直線l的距離為（）第19題第22題A．3 B．4 C．4.3 D．520．點P為直線l外一點，點A為直線l上一點，PA＝4cm，設(shè)點P到直線l的距離是dcm，則（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤421．直線l上有A、B、C三點，直線l外有一點P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P點到直線l的距離是（）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm22．如圖，量得直線l外一點P到l的距離PB的長為6cm，若點A是直線l上的一點，那么線段PA的長不可能是（）A．5.5cm B．6.2cm C．7.5cm D．8cm知識點四：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角。如圖中的（舉1例）。內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角。如圖中的（舉1例）。同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角。如圖中的（舉1例）。同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形?！绢愋鸵唬号袛嗤唤?、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角】23．如圖，下列圖形中的∠1和∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．24．如圖，直線b，c被直線a所截，則∠1與∠2是（）A．對頂角 B．同位角 C．內(nèi)錯角 D．同旁內(nèi)角25．如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）第25題第26題A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是同旁內(nèi)角 C．∠1和∠4是內(nèi)錯角 D．∠3和∠4是對頂角26．如圖，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內(nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（）A．①、② B．①、②、④ C．②、③、④ D．①、②、③、④27．如圖，直線a，b被c所截，則∠1與∠2是（）第27題第28題A．同位角 B．內(nèi)錯角 C．同旁內(nèi)角 D．鄰補角28．若直線a，b，c相交如圖所示，則∠1的內(nèi)錯角為（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠529．如圖，下列判斷正確的是（）A．∠3與∠6是同旁內(nèi)角 B．∠2與∠4是同位角 C．∠1與∠6是對頂角 D．∠5與∠3是內(nèi)錯角第2課時—垂線、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角（答案卷）知識點一：垂直：垂直的定義：兩條直線相交形成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。若直線與直線垂直，表示為。由鄰補角與對頂角可知，若相交線形成的角的中有一個角是直角，則四個均是直角?！绢愋鸵唬号c垂直有關(guān)的計算】1．如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB，垂直為點O，∠BOD＝50°，則∠COE＝（）A．30° B．50° C．120° D．140°分析：利用對頂角的定義結(jié)合垂線的定義得出∠COE＝90°+50°求出即可．【解答】解：∵∠BOD＝50°，∴∠AOC＝50°，∵EO⊥AB，∴∠COE＝90°+50°＝140°．故選：D．2．如圖，平面內(nèi)∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，則以下結(jié)論：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．0個分析：由∠AOB＝∠COD＝90°根據(jù)等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判斷①正確；由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判斷，②確；由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，沒有∠AOC≠∠AOD，即可判斷③不正確；由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根據(jù)周角的定義得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即點F、O、E共線，又∠COE＝∠BOE，即可判斷④正確．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正確；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正確；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正確；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即點F、O、E共線，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正確．故選：B．3．如圖，點O在直線AB上，OC⊥OD，若∠AOC＝120°38'，則∠BOD的大小為．分析：根據(jù)平角的意義求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)垂直的意義求出答案．【解答】解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°38'，∴∠BOC＝180°﹣120°38'＝59°22′，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣59°22′＝30°38′，故答案為：30°38′．4．如圖，在∠AOB內(nèi)部作OC⊥OB，OD平分∠AOB．若∠AOB＝130°，則∠COD＝（）A．65° B．25° C．35° D．20°分析：由角平分線的定義可求∠BOD，由垂直的定義得到∠BOC＝90°，即可求出∠COD．【解答】解：∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝×130°＝65°，∵OC⊥OB，∴∠BOC＝90°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°﹣65°＝25°．故選：B．5．如圖所示，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB于點O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30'，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠AOD與∠1互為補角 D．∠1的余角等于75°30'分析：由余角，補角的定義，對頂角的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，即可判斷．【解答】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵OF平分∠AOE，∴∠2＝∠AOE＝45°，∵∠1和∠3是對頂角，∴∠1＝∠3，∵∠AOD與∠1是鄰補角，∴∠AOD與∠1互為補角，∵∠1的余角等于90°﹣∠1，∴∠1的余角等于90°﹣15°30′＝74°30′，故選：D．6．如圖，∠PQR＝132°，SQ⊥QR，QT⊥PQ，則∠SQT＝（）A．48° B．32° C．24° D．66°分析：利用垂直的概念，得出∠PQS＝∠PQR°﹣90°，再利用互余的性質(zhì)，得出∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS．【解答】解：∵，∠PQR＝132°，QT⊥PQ，∴∠PQS＝132°﹣90°＝42°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT＝90°，∴∠SQT＝∠PQT﹣∠PQS，＝90°﹣42°，＝48°．故選：A．知識點二：垂直的畫法（尺規(guī)作圖）：過一點作已知直線的垂線：具體步驟：①將直尺的一條邊與已知直線重合。②將直角三角尺的一條直角邊緊靠直尺平移，直到另一直角邊與已知點重合。③過點沿另一直角邊畫直線。該直線即為所作垂線。④在交點的位置標(biāo)上直角符號?！绢愋鸵唬捍怪弊鲌D判斷】7．下列選項中，過點P畫AB的垂線CD，三角板放法正確的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線做法及三角板的特征直接可得．【解答】解：∵三角板有一個角是直角．∴三角板的一條直角邊與直線AB重合．∵過點P作直線AB的垂線．∴三角板的另一條直角邊過點P．∴符合上述條件的圖形只有選項C．故選：C．8．過點P向線段AB所在的直線畫垂線，正確的畫法是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的作法判斷即可．【解答】解：A選項，沒有過點P，過該選項不符合題意；B選項，過點P作AB的垂線，垂線是直線，故該選項符合題意；C選項，PO為垂線段，不是直線，故該選項不符合題意；D選項，PA沒有垂直于AB，故該選項不符合題意；故選：B．知識點三：垂直的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點作已知直線的垂線，有且只有1條直線與已知直線垂直。有且只有：存在且唯一。垂線段：過直線外一點作已知直線的垂線，點到垂足之間的部分叫做垂線段。垂線段最短：直線外一點連接直線上所有點的連線中，垂線段最短。點到直線的距離：垂線段的長度是直線外一點到該直線的距離?！绢愋鸵唬捍咕€存在問題】9．如圖，在平面內(nèi)過A點作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條分析：根據(jù)垂直、垂線的定義，可直接得結(jié)論．【解答】解：在同一平面內(nèi)，與已知直線垂直的直線有無數(shù)條，所以作已知直線m的垂線，可作無數(shù)條．故選：D．10．如圖，在平面內(nèi)作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條分析：根據(jù)垂直、垂線的定義，可直接得結(jié)論．【解答】解：在同一平面內(nèi)，與已知直線垂直的直線有無數(shù)條，所以作已知直線m的垂線，可作無數(shù)條．故選：D．11．在平面內(nèi)，過一點畫已知直線的垂線，可畫垂線（）A．0條 B．1條 C．2條 D．無數(shù)條分析：根據(jù)垂線的性質(zhì)：在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直進行分析即可．【解答】解：在平面內(nèi)，過一點畫已知直線的垂線，可畫垂線的條數(shù)是1．故選：B．【類型二：垂線段最短】12．如圖，某同學(xué)在體育課上跳遠后留下的腳印，在圖中畫出了他的跳遠距離，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點確定一條直線 C．垂線段最短 D．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直分析：根據(jù)垂線段最短進行判斷即可．【解答】解：由題意得，解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學(xué)知識是“垂線段最短”，故選：C．13．如圖，將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路AB、AC、AD可走，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．兩點之間，直線最短 C．兩點確定一條直線 D．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短分析：根據(jù)垂線段最短即可求解．【解答】解：將軍要從村莊A去村外的河邊飲馬，有三條路可走AB、AC、AD，將軍沿著AB路線到的河邊，他這樣做的道理是垂線段最短．故選：D．14．在鄉(xiāng)村振興活動中，某村通過鋪設(shè)水管將河水引到村莊C處，為節(jié)省材料，他們過點C向河岸l作垂線，垂足為點D，于是確定沿CD鋪設(shè)水管，這樣做的數(shù)學(xué)道理是（）A．兩點之間，線段最短 B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直 C．垂線段最短 D．兩條直線相交有且只有一個交點分析：根據(jù)垂線段最短進行判斷．【解答】解：因為CD⊥l于點D，根據(jù)垂線段最短，所以CD為C點到河岸l的最短路徑．故選：C．15．如圖，河道的一測有甲、乙兩個村莊，現(xiàn)要鋪設(shè)一條管道將水引向甲、乙兩村，下列四種方案中最節(jié)省材料的是（）A． B． C． D．分析：垂線段最短指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．依據(jù)線段的性質(zhì)以及垂線段的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解答】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的方案是B選項．故選：B．【類型一：點到直線的距離】16．如圖，點P是直線a外的一點，點A、B、C在直線a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，則下列不正確的語句是（）A．線段PB的長是點P到直線a的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短 C．線段AC的長是點A到直線PC的距離 D．線段PC的長是點C到直線PA的距離分析：利用點到直線的距離的定義、垂線段最短分析．【解答】解：A、根據(jù)點到直線的距離的定義：即點到這一直線的垂線段的長度．故此選項正確；B、根據(jù)垂線段最短可知此選項正確；C、線段AP的長是點A到直線PC的距離，故選項錯誤；D、根據(jù)點到直線的距離即點到這一直線的垂線段的長度．故此選項正確．故選：C．17．如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，AB＝5，則點C到直線AB的距離為．分析：運用直角三角形面積的兩種求法求CD的長即可．【解答】解：由題意可知，△ABC的面積為，，∴AC×BC＝AB×CD，∴3×4＝5×CD，∴CD＝．故答案為．18．如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，則點A到CD的距離是線段（）的長度．A．CD B．AD C．BD D．BC分析：根據(jù)點到直線的距離的概念判斷即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴點A到AB的距離是線段AD的長度，故選：B．19．如圖，在直線l外一點P與直線上各點的連線中，PA＝5，PO＝4，PB＝4.3，OC＝3，則點P到直線l的距離為（）A．3 B．4 C．4.3 D．5分析：由點到直線的距離概念，即可選擇．【解答】解：∵直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，∴點P到直線l的距離為垂線段PO的長度，故選：B．20．點P為直線l外一點，點A為直線l上一點，PA＝4cm，設(shè)點P到直線l的距離是dcm，則（）A．d＞4 B．d≥4 C．d＜4 D．d≤4分析：根據(jù)點到直線的距離垂線段最短進行求解即可．【解答】解：∵點P到直線l的距離是dcm，點到直線的距離是垂線段的長度，垂線段最短PA＝4cm∴d≤4，故選：D．21．直線l上有A、B、C三點，直線l外有一點P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P點到直線l的距離是（）A．等于2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．大于2cm且小于3cm分析：根據(jù)點到直線的距離的定義和垂線段最短的性質(zhì)解答．【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，∴P點到直線l的距離不大于2cm．故選：C．22．如圖，量得直線l外一點P到l的距離PB的長為6cm，若點A是直線l上的一點，那么線段PA的長不可能是（）A．5.5cm B．6.2cm C．7.5cm D．8cm分析：從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短，據(jù)此可得結(jié)論．【解答】解：直線l外一點P到l的距離PB的長為6cm，點A是直線l上的一點，那么線段PA的長最短等于6cm，故不可能是5.5cm，故選：A．知識點四：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角。如圖中的∠1與∠5（舉1例）。內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角。如圖中的∠4與∠6（舉1例）。同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角。如圖中的∠4與∠5（舉1例）。同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形。【類型一：判斷同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角】23．如圖，下列圖形中的∠1和∠2不是同位角的是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)同位角的意義逐項進行判斷即可．【解答】解：選項A中的∠1與∠2，是直線AB、BC被直線EF所截的同位角，因此選項A不符合題意；選項B中的∠1與∠2，是直線AB、MG被直線EM所截的同位角，因此選項B不符合題意；選項C中的∠1與∠2，沒有公共的截線，因此不是同位角，所以選項C符合題意；選項D中的∠1與∠2，是直線CD、EF被直線AB所截的同位角，因此選項D不符合題意；故選：C．24．如圖，直線b，c被直線a所截，則∠1與∠2是（）A．對頂角 B．同位角 C．內(nèi)錯角 D．同旁內(nèi)角分析：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．【解答】解：由題意可得，∠1與∠2是直線b，c被直線a所截而成的同位角．故選：B．25．如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）A．∠1和∠2是同位角 B．∠2和∠3是