專題01倍長(zhǎng)中線模型(原卷版+解析)

專題01倍長(zhǎng)中線模型基本模型：（1）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE，則△ADC≌△EDB.（2）有三角形中線時(shí)，可過中點(diǎn)所在的邊的兩端點(diǎn)向中線作垂線，構(gòu)造全等三角形，例：如圖，AF為△ABC的中線，作BD⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作CE⊥AF于點(diǎn)E，則△BDN≌△CEN.例題精講例1．（基本模型）如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長(zhǎng)至，使，連接）例2．（培優(yōu)綜合）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請(qǐng)你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系，并直接寫出與的關(guān)系．例3．（分類討論）在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長(zhǎng)度．（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，是的中線，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接，平分．(1)求證：；(2)求證：．【變式訓(xùn)練2】某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．【理解與應(yīng)用】如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．【變式訓(xùn)練3】如圖1，在中，是邊的中線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．【變式訓(xùn)練4】（1）如圖1，△ABC中，AD為中線，求證：AB+AC＞2AD；（2）如圖2，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求證：BE+CF＞EF．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，為邊的中線，E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，，，則的長(zhǎng)為____________．2．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）3．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．4．已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．（1）如圖1，①若，請(qǐng)直接寫出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．如圖，在中，,,分別為,邊上的高，連接,過點(diǎn)作與點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，．（1）如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；（2）如圖，請(qǐng)寫出與之間的關(guān)系并證明．6．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在CB上，連接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．（1）求證：AD=AE；（2）若點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，AF交BE于點(diǎn)G，求∠AGE的度數(shù)．7．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長(zhǎng)為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．8．已知中，（1）如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，，點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線上，連交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．專題01倍長(zhǎng)中線模型基本模型：（1）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得DE＝AD，連接BE，則△ADC≌△EDB.（2）有三角形中線時(shí)，可過中點(diǎn)所在的邊的兩端點(diǎn)向中線作垂線，構(gòu)造全等三角形，例：如圖，AF為△ABC的中線，作BD⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，作CE⊥AF于點(diǎn)E，則△BDN≌△CEN.例題精講例1．（基本模型）如圖，在中，是上一點(diǎn)，連接，已知，，是的中線．求證：．（提示：延長(zhǎng)至，使，連接）答案:見解析【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)至，使，連接．∵是的中線，∴．在與中，，∴．∴，．∵，∴．∵，，，∴．在與中，，∴．∴．∵，∴．例2．（培優(yōu)綜合）（1）閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍，小聰同學(xué)是這樣思考的：延長(zhǎng)至，使，連接．利用全等將邊轉(zhuǎn)化到，在中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線的取值范圍，在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是___________，中線的取值范圍是___________；（2）問題解決：如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：；（3）問題拓展：如圖3，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作和，其中，，，連接，請(qǐng)你探索與的數(shù)量與位置關(guān)系，并直接寫出與的關(guān)系．答案:（1），；（2）見解析；（3），【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)至，使，連接，為邊上的中線，，在和中，，，，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可得：，即，，，，故答案為：，；（2）證明：如圖2中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴；（3）解：結(jié)論：，，如圖3，延長(zhǎng)于，使得，連接，延長(zhǎng)交于，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，，，，

，，即．例3．（分類討論）在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長(zhǎng)度．（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．答案:（1）見解析；（2）；（3）線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或【詳解】（1）證明：如圖1，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．（2）解：如圖2，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置關(guān)系：，數(shù)量關(guān)系：分四種情況討論∵直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，∴，①如圖3，當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，由（1）可知，，即，，，，∵，．②當(dāng)直線與線段交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，又為邊中點(diǎn)，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如圖4，當(dāng)直線與線段的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)時(shí)．由（2）得：，，，∴，即，．④當(dāng)直線與線段的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，直線于點(diǎn)，，，，，又為中點(diǎn)，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．綜上所述，線段、和的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為或或．【變式訓(xùn)練1】如圖，在中，，是的中線，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，連接，平分．(1)求證：；(2)求證：．答案:(1)見詳解(2)見詳解【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接，如圖所示：∵是的中線，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∵，，∴（AAS），∴，∴．【變式訓(xùn)練2】某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．【理解與應(yīng)用】如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．答案:[探究與發(fā)現(xiàn)]見解析；[理解與應(yīng)用]（1）見解析；（2）1＜x＜4【詳解】解：[探究與發(fā)現(xiàn)]證明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解與應(yīng)用]（1）證明：如圖2中，延長(zhǎng)AE到F，使EF=EA，連接DF，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴ED=EC，在△DEF與△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD與△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，∵BD=3，AD=5，在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，即x的取值范圍是1＜x＜4．【變式訓(xùn)練3】如圖1，在中，是邊的中線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．答案:（1）見解析；（2）【詳解】（1）如圖1所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，在與中，，，，，，在與中，,，，；（2）如圖所示，，，平分，，，，，，作，在與中，，，，，在與中，，，，，，設(shè)，，，．【變式訓(xùn)練4】（1）如圖1，△ABC中，AD為中線，求證：AB+AC＞2AD；（2）如圖2，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求證：BE+CF＞EF．答案:（1）證明見解析；（2）證明見解析．【詳解】（1）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．∵AD為中線，∴．∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．（2）如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接CG，EG．∵AD為中線，∴．∴在和中，，∴，∴．∵，∴，∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．課后訓(xùn)練1．如圖，在中，為邊的中線，E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，若，，，則的長(zhǎng)為____________．答案:2.4【詳解】如解圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，∵為邊的中線，∴∵，∴∴，∵∴∴∵，∴∴．故答案為：2.4．2．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE，作EF⊥AE，若點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）答案:180°﹣α．【詳解】解：延長(zhǎng)AE至M，使EM＝AE，連接AF，F(xiàn)M，DM，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△AEC與△MED中，，∴△AEC≌△MED（SAS），∴∠EAC＝∠EMD，AC＝DM，∵EF⊥AE，∴AF＝FM，∵點(diǎn)F在BD的垂直平分線上，∴FB＝FD，在△MDF與△ABF中，，∴△MDF≌△ABF（SSS），∴∠AFB＝∠MFD，∠DMF＝∠BAF，∴∠BFD+∠DFA＝∠DFA+∠AFM，∴∠BFD＝∠AFM＝180°﹣2（∠DMF+∠EMD）＝180°﹣（∠FAM+∠BAF+∠EAC）＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，故答案為：180°﹣α．3．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．答案:（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【詳解】（1）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）證明:延長(zhǎng)到點(diǎn)使,連接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延長(zhǎng)到，使，連接，，，，，，點(diǎn)在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．4．已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．（1）如圖1，①若，請(qǐng)直接寫出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．答案:（1）①45°；②見解析；（2），理由見解析【詳解】（1）①∵，∴∵∴又∵∴∴故答案為．②如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴≌，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）．如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，∵，，∴≌，∴，，∵．∴≌，∴．5．如圖，在中，,,分別為,邊上的高，連接,過點(diǎn)作與點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，．（1）如圖，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，求證：；（2）如圖，請(qǐng)寫出與之間的關(guān)系并證明．答案:(1)詳見解析;(2)AF=2DG,且AF⊥DG,證明詳見解析.【詳解】解:（1）證明:設(shè)BE與AD交于點(diǎn)H..如圖，∵AD,BE分別為BC,AC邊上的高,∴∠BEA=∠ADB=90°.∵∠ABC=45°,∴△ABD是等腰直角三角形.∴AD=BD.∵∠AHE=∠BHD,∴∠DAC=∠DBH.∵∠ADB=∠FDE=90°,∴∠ADE=∠BDF.∴△DAE≌△DBF.∴BF=AE,DF=DE.∴△FDE是等腰直角三角形.∴∠DFE=45°.∵G為BE中點(diǎn),∴BF=EF.∴AE=EF.∴△AEF是等腰直角三角形.∴∠AFE=45°.∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延長(zhǎng)DG至點(diǎn)M,使GM=DG,交AF于點(diǎn)H,連接BM,∵點(diǎn)G為BE的中點(diǎn),BG=GE.∵∠BGM∠EGD,∴△BGM≌△EGD.∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.∵∠DAC=∠DBE,∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,∴∠BDF=45°-∠DBE.∵∠ADE=∠BDF,∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.∵BD=AD,∴△BDM≌△DAF.∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.∵∠BDM+∠MDA=90°,∴∠MDA+∠FAD=90°.∴∠AHD=90°.∴AF⊥DG.∴AF=2DG,且AF⊥DG【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì),關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用性質(zhì).6．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D在CB上，連接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．（1）求證：AD=AE；（2）若點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，AF交BE于點(diǎn)G，求∠AGE的度數(shù)．答案:（1）證明見解析；（2）90°．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=90°，EA⊥AD，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AD=AE；（2）延長(zhǎng)AF至M，使FM=AF，連接MC，在△ADF與△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（SAS），∴AD=CM，∠DAF=∠M，∴AD∥CM，∴∠ACM+∠DAC=180°，∵△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∴AD=AE=CM，∵∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAC+∠DAC+∠CAE=180°，∴∠BAE+∠DAC=180°，∴∠BAE=∠ACM，在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（SAS），∴∠ABG=∠CAF，∵∠CAF+∠BAG=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠AGB=∠AGE=90°．7．【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∠DFE＝∠BAE，求DF的長(zhǎng)為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點(diǎn)，求證：AP⊥DP．答案:觀察發(fā)現(xiàn)：EC，2，12，1，6；探索應(yīng)用：17；應(yīng)用拓展：見解析【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)解：如圖①，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=