新人教版高二暑期數(shù)學銜接第03講空間直線、平面的平行與垂直講義(學生版+解析)

第03講空間直線、平面的平行與垂直【學習目標】1.借助長方體,在直觀認識空間點,直線,平面的位置關系的基礎上,抽象出空間點,直線,平面的位置關系的定義,了解以下基本事實(公理)和定理2.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關系,歸納出以下的性質(zhì)定理,并加以證明定理1：一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行．定理2：兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行定理3：垂直于同一個平面的兩條直線平行定理4：兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直3.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關系,歸納出以下的判定定理定理5：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行定理6：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行定理7：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直定理8：如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直4.能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題．【基礎知識】一、空間中直線與平面之間的位置關系1.直線在平面內(nèi),則它們有無數(shù)個公共點．2.直線與平面相交,則它們有1個公共點．3.直線與平面平行,則它們沒有公共點．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．二、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)l∥α,a?β,α∩β＝b?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)l∥α,l?β,α∩β＝b?l∥b三、平面與平面之間的位置關系1.兩個平面平行,則它們沒有公共點．2.兩個平面相交,則它們有一條公共直線,兩個平面垂直是相交的一種特殊情況．四、平面與平面平行的判定和性質(zhì)文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α?β∥?α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b五、證明平行時常用的其他性質(zhì)1.垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.2.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.3.平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.六、判斷或證明線面平行的常用方法1.利用線面平行的定義(無公共點)．2.利用線面平行的判定定理(aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,b?α,a∥b?a∥α)．3.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β)．4.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))β,a∥α?a∥β)．七、證明面面平行的方法1.面面平行的定義．2.面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行．3.利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．4.兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行．八、證明線面或面面平行時要轉化為證明線性平行,在幾何體中證明線性平行常要用到平面幾何知識,如三角形的中位線與第3邊平行,若四邊形的一組對邊平行且相等,則另一組對邊平行等.九、線線垂直如果兩條直線所成的角是(無論它們是相交還是異面),那么這兩條直線互相垂直．十、直線與平面垂直1.如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足．垂線上2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直,?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行?a∥b十一、平面和平面垂直的定義1.兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直．2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直?l⊥α十二、判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據(jù)定義．(2)如果直線a∥b,a⊥c,則b⊥c.(3)如果直線a⊥面α,c?α,則a⊥c.(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．十三、證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a,b?α,a⊥c,b⊥c?c⊥α.(2)a∥b,a⊥α?b⊥α.(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β,a⊥α?a⊥β.(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β,α∩β＝m,a?α,a⊥m?a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m?m⊥γ.十四、證明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β,a?α?α⊥β.(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．(3)如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個,則它也垂直于另一個平面：α∥β,α⊥γ?β⊥γ【考點剖析】考點一：線線位置關系的判斷例1．(2023學年河南省商丘市第一高級中學高一下學期五月月考)設m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則考點二：線線平行的證明例2．(2023學年山西省高一下學期第三次月考)如圖,在直三棱柱中,,M為棱上一點.(1)記平面ACM與平面的交線為l,證明；(2)若M為的中點,且二面角A－CM－B的正切值為3,求線段BC的長度.考點三：線面平行的證明例3．(2023學年山西省高一下學期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為(

)A． B． C． D．考點四：面面平行的證明例4．(2023學年廣東省廣州市仲元中學高一下學期期中)在正方體中,E、F分別是棱和棱的中點．(1)求證：平面平面；(2)試問平面截正方體所得的截面是什么圖形？并說明理由．考點五：利用平行關系作截面例5．(2023屆上海市靜安區(qū)高三下學期6月最后階段水平模擬)正方體的棱長為1,、分別為、的中點,則平面截正方體所得的截面面積為____________．考點六：線線垂直的證明例6．(2023學年重慶市三峽名校聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考)如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,平面,,,(1)求證：；(2)若為的中點.求與平面所成角的正弦值.考點七：線面垂直的證明例7．(2023學年重慶市二0三中學校高一下學期第二次月考)如圖,在正三棱柱中,各棱長均為4,M,N分別是BC,的中點.(1)求證：平面；(2)求證：考點八：面面垂直的證明例8．(2023學年浙江省強基聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點,已知,PA=6,BC=8,DF=5求證：(1)直線PA//平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.考點九：線面位置關系中的探索性問題例9.如圖,ABCD為矩形,點A、E、B、F共面,和均為等腰直角三角形,且若平面⊥平面(1)證明:平面平面ADF(2)問在線段EC上是否存在一點G,使得BG∥平面若存在,求出此時三棱錐與三棱錐的體積之比,若不存在,請說明理由.【真題演練】1.(2023新高考全國卷Ⅱ)如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂點．則滿足的是()A. B.C. D.2．(2023年高考全國卷Ⅱ)設、為兩個平面,則的充要條件是 ()A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．,平行于同一條直線 D．,垂直于同一平面3．(2023新高考全國卷Ⅰ)如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點．(1)證明：；(2)若是邊長為1的等邊三角形,點在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積．4.(2023新高考全國卷Ⅱ)在四棱錐中,底面是正方形,若．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．,建如圖所示的空間坐標系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.5.(2023新高考山東卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明：l⊥平面PDC；6．(2023全國卷Ⅰ)如圖,為圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,為底面直徑,．是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點,．(1)證明：平面；【過關檢測】1.(2023學年河南省商丘市第一高級中學高一下學期五月月考)設m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則2.(2023學年安徽省池州市第一中學高一下學期5月月考)下列選項中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的是(

)A． B． C． D．3.(2023屆廣東省廣州市天河區(qū)高三綜合測試)一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形為正方形,分別為的中點,在此幾何體中,下面結論錯誤的是(

)A．直線與直線異面B．直線與直線異面C．直線平面D．直線平面4．(2023屆福建省廈門集美中學高三下學期適應性考試)在正方體中,棱長為3,E為棱上靠近的三等分點,則平面截正方體的截面面積為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2023屆河北省滄州市滄縣中學高三上學期階段測試)如圖所示,在四棱錐中中,為正方形,,E為線段的中點,F為與的交點,．則下列結論正確的是(

)A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長度等于線段長度6.(2023學年河南省濮陽市第一高級中學高一下學期期中)已知直線和平面,給出四個論斷：①；②；③；④,以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結論,寫出你認為正確的命題：___________.7.(2023-2021學年湖南師范大學附屬中學高一下學期期末)已知正三棱柱中,,是的中點.(1)求證：平面；(2)點是直線上的一點,當與平面所成的角的正切值為時,求三棱錐的體積．8.(2023學年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學期第三次月考)如圖,已知在平面四邊形ABCP中,D為PA的中點,PA⊥AB,,且PA＝CD＝2AB＝2．將此平面四邊形ABCP沿CD折起,使平面PCD⊥平面ABCD,連接PA、PB．(1)求證：平面PBC⊥平面PBD；(2)設Q為側棱PC的中點,求直線PB與平面QBD所成角的余弦值．9.(2023學年河北省邢臺市卓越聯(lián)盟高一下學期月考)在如圖所示的幾何體中,底面四邊形ABEF為等腰梯形,,側面四邊形ABCD是矩形,且平面ABCD⊥平面ABEF,．BC＝BE＝2．(1)求證：AF⊥平面BCE；(2)求三棱錐A－CEF的體積．10.如圖所示,是所在平面外的一點,、、分別是、、的重心.(1)求證：平面平面；(2)求與的面積之比.第03講空間直線、平面的平行與垂直【學習目標】1.借助長方體,在直觀認識空間點,直線,平面的位置關系的基礎上,抽象出空間點,直線,平面的位置關系的定義,了解以下基本事實(公理)和定理2.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關系,歸納出以下的性質(zhì)定理,并加以證明定理1：一條直線與一個平面平行,如果過該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行．定理2：兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線平行定理3：垂直于同一個平面的兩條直線平行定理4：兩個平面垂直,如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,那么這條直線與另一個平面垂直3.從定義和基本事實出發(fā),借助長方體,通過直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關系,歸納出以下的判定定理定理5：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行定理6：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行定理7：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直定理8：如果一個平面過另一個平面的垂線,那么這兩個平面垂直4.能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題．【基礎知識】一、空間中直線與平面之間的位置關系1.直線在平面內(nèi),則它們有無數(shù)個公共點．2.直線與平面相交,則它們有1個公共點．3.直線與平面平行,則它們沒有公共點．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．二、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)l∥α,a?β,α∩β＝b?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)l∥α,l?β,α∩β＝b?l∥b三、平面與平面之間的位置關系1.兩個平面平行,則它們沒有公共點．2.兩個平面相交,則它們有一條公共直線,兩個平面垂直是相交的一種特殊情況．四、平面與平面平行的判定和性質(zhì)文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α?β∥?α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b五、證明平行時常用的其他性質(zhì)1.垂直于同一條直線的兩個平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.2.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.3.平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.六、判斷或證明線面平行的常用方法1.利用線面平行的定義(無公共點)．2.利用線面平行的判定定理(aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,b?α,a∥b?a∥α)．3.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β)．4.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))β,a∥α?a∥β)．七、證明面面平行的方法1.面面平行的定義．2.面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行．3.利用垂直于同一條直線的兩個平面平行．4.兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行．八、證明線面或面面平行時要轉化為證明線性平行,在幾何體中證明線性平行常要用到平面幾何知識,如三角形的中位線與第3邊平行,若四邊形的一組對邊平行且相等,則另一組對邊平行等.九、線線垂直如果兩條直線所成的角是(無論它們是相交還是異面),那么這兩條直線互相垂直．十、直線與平面垂直1.如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足．垂線上2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直,?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行?a∥b十一、平面和平面垂直的定義1.兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直．2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直?l⊥α十二、判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據(jù)定義．(2)如果直線a∥b,a⊥c,則b⊥c.(3)如果直線a⊥面α,c?α,則a⊥c.(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．十三、證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a,b?α,a⊥c,b⊥c?c⊥α.(2)a∥b,a⊥α?b⊥α.(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β,a⊥α?a⊥β.(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β,α∩β＝m,a?α,a⊥m?a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m?m⊥γ.十四、證明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β,a?α?α⊥β.(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．(3)如果一個平面垂直于兩個平行平面中的一個,則它也垂直于另一個平面：α∥β,α⊥γ?β⊥γ【考點剖析】考點一：線線位置關系的判斷例1．(2023學年河南省商丘市第一高級中學高一下學期五月月考)設m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則答案:D解析：A選項,,,則可能平行,相交,異面,故A錯誤；B選項,,,則可能,故B錯誤；C選項,,,則可能,也可能,故C錯誤；D選項,根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個平面,則另一條也垂直該平面,故D正確.故選D.考點二：線線平行的證明例2．(2023學年山西省高一下學期第三次月考)如圖,在直三棱柱中,,M為棱上一點.(1)記平面ACM與平面的交線為l,證明；(2)若M為的中點,且二面角A－CM－B的正切值為3,求線段BC的長度.解析：(1)證明：在直三棱柱中,∵平面ACM,平面ACM.平面ACM,∵平面,平面平面,∴；(2)解：取BC的中點E,連接AE,過E作于點F,連接AF.∵,∴,又∵MB⊥平面ABC,平面ABC,∴.∵,∴AE⊥平面BCM,∴,又,平面AEF,所以MC⊥平面AEF,又平面AEF,所以,∴即為所求二面角的平面角,∵AE⊥平面BCM,平面BCM,∴,又∵,∴,記,由,,又,∴,解得,即,∴.考點三：線面平行的證明例3．(2023學年山西省高一下學期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為(

)A． B． C． D．答案:A解析：由得,或(舍).故選A．考點四：面面平行的證明例4．(2023學年廣東省廣州市仲元中學高一下學期期中)在正方體中,E、F分別是棱和棱的中點．(1)求證：平面平面；(2)試問平面截正方體所得的截面是什么圖形？并說明理由．解析：(1)證明：如圖所示：因為E,F為中點,則,,所以四邊形是平行四邊形,則,又平面AEC,平面AEC,所以平面AEC,連接BD交AC于點O,連接OE,則,且平面AEC,平面AEC,所以平面AEC,又,所以平面平面；(2)由(1)知：平面平面,且平面,平面平面,所以,又,所以,又,則,所以四邊形是平行四邊形,又DF=DG,故平面截正方體所得的截面是菱形.考點五：利用平行關系作截面例5．(2023屆上海市靜安區(qū)高三下學期6月最后階段水平模擬)正方體的棱長為1,、分別為、的中點,則平面截正方體所得的截面面積為____________．答案:解析：如圖,連接則,可得等腰梯形為平面截正方體所得的截面圖形,由正方體的棱長為1,得,,,則到的距離為,∴故答案為：.考點六：線線垂直的證明例6．(2023學年重慶市三峽名校聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考)如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,平面,,,(1)求證：；(2)若為的中點.求與平面所成角的正弦值.解析：(1)過作,∵平面平面,平面平面,∴平面.又∵平面,∴.∵平面,平面,∴.又∵,∴平面.又∵平面,∴.(2)過作,交于點,連接,過作,交于點.由(1)知,平面,且平面,∴.又且,∴平面.又∵平面,∴,又且,∴平面,∴為在平面內(nèi)的射影,即為與平面所成的角,∴,,由,得,得.∵平面,且平面,∴,∴,由,得,得,.所以與平面所成角的正弦值為.考點七：線面垂直的證明例7．(2023學年重慶市二0三中學校高一下學期第二次月考)如圖,在正三棱柱中,各棱長均為4,M,N分別是BC,的中點.(1)求證：平面；(2)求證：解析：(1)在正三棱柱中,各棱長均為4,而M是正邊BC的中點,則,而平面,平面,于是得,又,平面,所以平面.(2)正方形中,M,N分別是BC,的中點,則,有,即,則,由(1)知,平面,平面,則有,而,平面,因此,平面,而平面,所以.考點八：面面垂直的證明例8．(2023學年浙江省強基聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點,已知,PA=6,BC=8,DF=5求證：(1)直線PA//平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.解析：(1)因為D,E分別為棱PC,AC的中點,所以,且DE平面DEF,PA平面DEF.所以直線PA//平面DEF(2)因為且,所以.由中位線可知,則有,根據(jù)勾股定理逆定理知DE⊥EF,而,所以.且,AC平面ABC,BC平面ABC,所以DE⊥平面ABC..又DE平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC考點九：線面位置關系中的探索性問題例9.如圖,ABCD為矩形,點A、E、B、F共面,和均為等腰直角三角形,且若平面⊥平面(1)證明:平面平面ADF(2)問在線段EC上是否存在一點G,使得BG∥平面若存在,求出此時三棱錐與三棱錐的體積之比,若不存在,請說明理由.解析：(1)矩形中,,又平面⊥平面,平面平面,平面,則平面,而平面,因此,,因,即,而,平面,則平面,又平面,所以平面平面.(2)因和均為等腰直角三角形,且,則,即有,并且有,延長EB至H,使,連CH,如圖,由知,四邊形為平行四邊形,則有,且,于是得四邊形是平行四邊形,有,在平面內(nèi)過點B作交CE于G,因此,而平面,平面,從而得平面,顯然,則,即點G是線段CE的靠近點C的一個三等分點,于是得點G到平面的距離h是點C到平面的距離BC的,即,而,,即,所以線段EC的靠近點C的一個三等分點G,能使平面,三棱錐與三棱錐的體積之比為.【真題演練】1.(2023新高考全國卷Ⅱ)如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂點．則滿足的是()A. B.C. D.答案:BC解析：設正方體的棱長為,對于A,如圖(1)所示,連接,則,故(或其補角)為異面直線所成的角,在直角三角形,,,故,故不成立,故A錯誤.(或者易得在上底面的射影為,故不成立)對于B,如圖(2)所示,取的中點為,連接,,則,,由正方體可得平面,而平面,故,而,故平面,又平面,,而,所以平面,而平面,故,故B正確.對于C,如圖(3),連接,則,由B的判斷可得,故,故C正確.對于D,如圖(4),取的中點,的中點,連接,則,因為,故,故,所以或其補角為異面直線所成的角,因為正方體的棱長為2,故,,,,故不是直角,故不垂直,故D錯誤.故選BC2．(2023年高考全國卷Ⅱ)設、為兩個平面,則的充要條件是 ()A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．,平行于同一條直線 D．,垂直于同一平面答案:B解析：由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.3．(2023新高考全國卷Ⅰ)如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點．(1)證明：；(2)若是邊長為1的等邊三角形,點在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積．解析：(1)證明：因為,為的中點,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以；(2)在平面ABD中,作于M,在平面BCD中,作于N,連接EN,由⑴得4.(2023新高考全國卷Ⅱ)在四棱錐中,底面是正方形,若．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．,建如圖所示的空間坐標系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.解析：(1)取的中點為,連接.因為,,則,而,故.在正方形中,因為,故,故,因為,故,故為直角三角形且,因為,故平面,因為平面,故平面平面.(2)過作于點由(1)可知：平面平面面在中,,,,即得：即,即二面角的平面角的余弦值為5.(2023新高考山東卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明：l⊥平面PDC；解析：(1)證明：在正方形中,,因為平面,平面,所以平面,又因為平面,平面平面,所以,因為在四棱錐中,底面是正方形,所以且平面,所以因為所以平面；6．(2023全國卷Ⅰ)如圖,為圓錐的頂點,是圓錐底面的圓心,為底面直徑,．是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點,．(1)證明：平面；解析：(1)由題設,知為等邊三角形,設,則,,所以,又為等邊三角形,則,所以,,則,所以,同理,又,所以平面；【過關檢測】1.(2023學年河南省商丘市第一高級中學高一下學期五月月考)設m、n是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則答案:D解析：A選項,,,則可能平行,相交,異面,故A錯誤；B選項,,,則可能,故B錯誤；C選項,,,則可能,也可能,故C錯誤；D選項,根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個平面,則另一條也垂直該平面,故D正確.故選D.2.(2023學年安徽省池州市第一中學高一下學期5月月考)下列選項中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的是(

)A． B． C． D．答案:D解析：對于A選項,,如圖所示,易證,所以P,Q,R,S四個點共面,故A錯誤；對于B選項,過P,Q,R,S可作一正六邊形,如圖示,所以P,Q,R,S四個點共面,故B錯誤；對于C選項,分別連接,如圖示,易證,所以P,Q,R,S四個點共面,故C錯誤；對于D選項,連接,如圖示因為平面,平面,但平面,所以異面,所以P,Q,R,S四個點不共面,故D正確.故選D3.(2023屆廣東省廣州市天河區(qū)高三綜合測試)一幾何體的平面展開圖如圖所示,其中四邊形為正方形,分別為的中點,在此幾何體中,下面結論錯誤的是(

)A．直線與直線異面B．直線與直線異面C．直線平面D．直線平面答案:B解析：由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐,如圖所示,連接,易得,則,故共面,則共面,故B錯誤；又面,面,不在直線上,則直線與直線異面,A正確；由,平面,平面,則直線平面,C正確；平面,平面,則直線平面,D正確.故選B.4．(2023屆福建省廈門集美中學高三下學期適應性考試)在正方體中,棱長為3,E為棱上靠近的三等分點,則平面截正方體的截面面積為(

)A． B． C． D．答案:C解析：延長交于點,連接交于點,如圖,在正方體中,面面,面面,面面,又四邊形是梯形,且為平面截正方體的截面.又,在等腰梯形中,過作,.故選C.5.(多選)(2023屆河北省滄州市滄縣中學高三上學期階段測試)如圖所示,在四棱錐中中,為正方形,,E為線段的中點,F為與的交點,．則下列結論正確的是(

)A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長度等于線段長度答案:ABC因為是正方形,所以．又因所以平面平面,,所以平面,因此A正確；而平面,所以平面平面,因此C正確；因為F是的中點,而E為線段的中點,所以平