新人教版高二暑期數(shù)學(xué)銜接第03講空間直線、平面的平行與垂直講義(學(xué)生版+解析)

第03講空間直線、平面的平行與垂直【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助長(zhǎng)方體,在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn),直線,平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點(diǎn),直線,平面的位置關(guān)系的定義,了解以下基本事實(shí)(公理)和定理2.從定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長(zhǎng)方體,通過(guò)直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的性質(zhì)定理,并加以證明定理1：一條直線與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行．定理2：兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行定理3：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行定理4：兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直3.從定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長(zhǎng)方體,通過(guò)直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的判定定理定理5：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行定理6：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行定理7：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直定理8：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直4.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系1.直線在平面內(nèi),則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．2.直線與平面相交,則它們有1個(gè)公共點(diǎn)．3.直線與平面平行,則它們沒(méi)有公共點(diǎn)．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．二、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)l∥α,a?β,α∩β＝b?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)l∥α,l?β,α∩β＝b?l∥b三、平面與平面之間的位置關(guān)系1.兩個(gè)平面平行,則它們沒(méi)有公共點(diǎn)．2.兩個(gè)平面相交,則它們有一條公共直線,兩個(gè)平面垂直是相交的一種特殊情況．四、平面與平面平行的判定和性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α?β∥?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b五、證明平行時(shí)常用的其他性質(zhì)1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.2.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.3.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.六、判斷或證明線面平行的常用方法1.利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．2.利用線面平行的判定定理(aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,b?α,a∥b?a∥α)．3.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β)．4.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))β,a∥α?a∥β)．七、證明面面平行的方法1.面面平行的定義．2.面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行．3.利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．4.兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行．八、證明線面或面面平行時(shí)要轉(zhuǎn)化為證明線性平行,在幾何體中證明線性平行常要用到平面幾何知識(shí),如三角形的中位線與第3邊平行,若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等,則另一組對(duì)邊平行等.九、線線垂直如果兩條直線所成的角是(無(wú)論它們是相交還是異面),那么這兩條直線互相垂直．十、直線與平面垂直1.如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．垂線上2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直,?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行?a∥b十一、平面和平面垂直的定義1.兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α十二、判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據(jù)定義．(2)如果直線a∥b,a⊥c,則b⊥c.(3)如果直線a⊥面α,c?α,則a⊥c.(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．十三、證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a,b?α,a⊥c,b⊥c?c⊥α.(2)a∥b,a⊥α?b⊥α.(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β,a⊥α?a⊥β.(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β,α∩β＝m,a?α,a⊥m?a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m?m⊥γ.十四、證明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β,a?α?α⊥β.(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．(3)如果一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則它也垂直于另一個(gè)平面：α∥β,α⊥γ?β⊥γ【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：線線位置關(guān)系的判斷例1．(2023學(xué)年河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則考點(diǎn)二：線線平行的證明例2．(2023學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)如圖,在直三棱柱中,,M為棱上一點(diǎn).(1)記平面ACM與平面的交線為l,證明；(2)若M為的中點(diǎn),且二面角A－CM－B的正切值為3,求線段BC的長(zhǎng)度.考點(diǎn)三：線面平行的證明例3．(2023學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：面面平行的證明例4．(2023學(xué)年廣東省廣州市仲元中學(xué)高一下學(xué)期期中)在正方體中,E、F分別是棱和棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)試問(wèn)平面截正方體所得的截面是什么圖形？并說(shuō)明理由．考點(diǎn)五：利用平行關(guān)系作截面例5．(2023屆上海市靜安區(qū)高三下學(xué)期6月最后階段水平模擬)正方體的棱長(zhǎng)為1,、分別為、的中點(diǎn),則平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)___________．考點(diǎn)六：線線垂直的證明例6．(2023學(xué)年重慶市三峽名校聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,平面,,,(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn).求與平面所成角的正弦值.考點(diǎn)七：線面垂直的證明例7．(2023學(xué)年重慶市二0三中學(xué)校高一下學(xué)期第二次月考)如圖,在正三棱柱中,各棱長(zhǎng)均為4,M,N分別是BC,的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：考點(diǎn)八：面面垂直的證明例8．(2023學(xué)年浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),已知,PA=6,BC=8,DF=5求證：(1)直線PA//平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.考點(diǎn)九：線面位置關(guān)系中的探索性問(wèn)題例9.如圖,ABCD為矩形,點(diǎn)A、E、B、F共面,和均為等腰直角三角形,且若平面⊥平面(1)證明:平面平面ADF(2)問(wèn)在線段EC上是否存在一點(diǎn)G,使得BG∥平面若存在,求出此時(shí)三棱錐與三棱錐的體積之比,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【真題演練】1.(2023新高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點(diǎn),M,N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是()A. B.C. D.2．(2023年高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)、為兩個(gè)平面,則的充要條件是 ()A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．,平行于同一條直線 D．,垂直于同一平面3．(2023新高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積．4.(2023新高考全國(guó)卷Ⅱ)在四棱錐中,底面是正方形,若．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．,建如圖所示的空間坐標(biāo)系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.5.(2023新高考山東卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明：l⊥平面PDC；6．(2023全國(guó)卷Ⅰ)如圖,為圓錐的頂點(diǎn),是圓錐底面的圓心,為底面直徑,．是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點(diǎn),．(1)證明：平面；【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2023學(xué)年河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則2.(2023學(xué)年安徽省池州市第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)下列選項(xiàng)中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)不共面的是(

)A． B． C． D．3.(2023屆廣東省廣州市天河區(qū)高三綜合測(cè)試)一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示,其中四邊形為正方形,分別為的中點(diǎn),在此幾何體中,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．直線與直線異面B．直線與直線異面C．直線平面D．直線平面4．(2023屆福建省廈門(mén)集美中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試)在正方體中,棱長(zhǎng)為3,E為棱上靠近的三等分點(diǎn),則平面截正方體的截面面積為(

)A． B． C． D．5.(多選)(2023屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三上學(xué)期階段測(cè)試)如圖所示,在四棱錐中中,為正方形,,E為線段的中點(diǎn),F為與的交點(diǎn),．則下列結(jié)論正確的是(

)A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長(zhǎng)度等于線段長(zhǎng)度6.(2023學(xué)年河南省濮陽(yáng)市第一高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期中)已知直線和平面,給出四個(gè)論斷：①；②；③；④,以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫(xiě)出你認(rèn)為正確的命題：___________.7.(2023-2021學(xué)年湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一下學(xué)期期末)已知正三棱柱中,,是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),當(dāng)與平面所成的角的正切值為時(shí),求三棱錐的體積．8.(2023學(xué)年河北省邢臺(tái)市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期第三次月考)如圖,已知在平面四邊形ABCP中,D為PA的中點(diǎn),PA⊥AB,,且PA＝CD＝2AB＝2．將此平面四邊形ABCP沿CD折起,使平面PCD⊥平面ABCD,連接PA、PB．(1)求證：平面PBC⊥平面PBD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PC的中點(diǎn),求直線PB與平面QBD所成角的余弦值．9.(2023學(xué)年河北省邢臺(tái)市卓越聯(lián)盟高一下學(xué)期月考)在如圖所示的幾何體中,底面四邊形ABEF為等腰梯形,,側(cè)面四邊形ABCD是矩形,且平面ABCD⊥平面ABEF,．BC＝BE＝2．(1)求證：AF⊥平面BCE；(2)求三棱錐A－CEF的體積．10.如圖所示,是所在平面外的一點(diǎn),、、分別是、、的重心.(1)求證：平面平面；(2)求與的面積之比.第03講空間直線、平面的平行與垂直【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助長(zhǎng)方體,在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn),直線,平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,抽象出空間點(diǎn),直線,平面的位置關(guān)系的定義,了解以下基本事實(shí)(公理)和定理2.從定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長(zhǎng)方體,通過(guò)直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的性質(zhì)定理,并加以證明定理1：一條直線與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線的平面與此平面相交,那么該直線與交線平行．定理2：兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行定理3：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行定理4：兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直3.從定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長(zhǎng)方體,通過(guò)直觀感知了解空間直線與直線,直線與平面,平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,歸納出以下的判定定理定理5：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行定理6：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行定理7：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直定理8：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直4.能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．【基礎(chǔ)知識(shí)】一、空間中直線與平面之間的位置關(guān)系1.直線在平面內(nèi),則它們有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．2.直線與平面相交,則它們有1個(gè)公共點(diǎn)．3.直線與平面平行,則它們沒(méi)有公共點(diǎn)．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．二、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)l∥α,a?β,α∩β＝b?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)l∥α,l?β,α∩β＝b?l∥b三、平面與平面之間的位置關(guān)系1.兩個(gè)平面平行,則它們沒(méi)有公共點(diǎn)．2.兩個(gè)平面相交,則它們有一條公共直線,兩個(gè)平面垂直是相交的一種特殊情況．四、平面與平面平行的判定和性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)a?β,b?β,a∩b＝P,a∥α,b∥α?β∥?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b?a∥b五、證明平行時(shí)常用的其他性質(zhì)1.垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,即若a⊥α,a⊥β,則α∥β.2.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.3.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.六、判斷或證明線面平行的常用方法1.利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))．2.利用線面平行的判定定理(aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,b?α,a∥b?a∥α)．3.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β)．4.利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))α,aeq\s\up1(eq\o(,\s\do1(/)))β,a∥α?a∥β)．七、證明面面平行的方法1.面面平行的定義．2.面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行．3.利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．4.兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行．八、證明線面或面面平行時(shí)要轉(zhuǎn)化為證明線性平行,在幾何體中證明線性平行常要用到平面幾何知識(shí),如三角形的中位線與第3邊平行,若四邊形的一組對(duì)邊平行且相等,則另一組對(duì)邊平行等.九、線線垂直如果兩條直線所成的角是(無(wú)論它們是相交還是異面),那么這兩條直線互相垂直．十、直線與平面垂直1.如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α,直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．垂線上2.直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直,?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行?a∥b十一、平面和平面垂直的定義1.兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直?l⊥α十二、判斷(證明)線線垂直的方法(1)根據(jù)定義．(2)如果直線a∥b,a⊥c,則b⊥c.(3)如果直線a⊥面α,c?α,則a⊥c.(4)向量法：兩條直線的方向向量的數(shù)量積為零．十三、證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理：兩相交直線a,b?α,a⊥c,b⊥c?c⊥α.(2)a∥b,a⊥α?b⊥α.(3)利用面面平行的性質(zhì)：α∥β,a⊥α?a⊥β.(4)利用面面垂直的性質(zhì)：α⊥β,α∩β＝m,a?α,a⊥m?a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m?m⊥γ.十四、證明面面垂直的主要方法(1)利用判定定理：a⊥β,a?α?α⊥β.(2)用定義證明．只需判定兩平面所成二面角為直二面角．(3)如果一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則它也垂直于另一個(gè)平面：α∥β,α⊥γ?β⊥γ【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：線線位置關(guān)系的判斷例1．(2023學(xué)年河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則答案:D解析：A選項(xiàng),,,則可能平行,相交,異面,故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng),,,則可能,故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng),,,則可能,也可能,故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng),根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個(gè)平面,則另一條也垂直該平面,故D正確.故選D.考點(diǎn)二：線線平行的證明例2．(2023學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)如圖,在直三棱柱中,,M為棱上一點(diǎn).(1)記平面ACM與平面的交線為l,證明；(2)若M為的中點(diǎn),且二面角A－CM－B的正切值為3,求線段BC的長(zhǎng)度.解析：(1)證明：在直三棱柱中,∵平面ACM,平面ACM.平面ACM,∵平面,平面平面,∴；(2)解：取BC的中點(diǎn)E,連接AE,過(guò)E作于點(diǎn)F,連接AF.∵,∴,又∵M(jìn)B⊥平面ABC,平面ABC,∴.∵,∴AE⊥平面BCM,∴,又,平面AEF,所以MC⊥平面AEF,又平面AEF,所以,∴即為所求二面角的平面角,∵AE⊥平面BCM,平面BCM,∴,又∵,∴,記,由,,又,∴,解得,即,∴.考點(diǎn)三：線面平行的證明例3．(2023學(xué)年山西省高一下學(xué)期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,且,則角A的余弦值為(

)A． B． C． D．答案:A解析：由得,或(舍).故選A．考點(diǎn)四：面面平行的證明例4．(2023學(xué)年廣東省廣州市仲元中學(xué)高一下學(xué)期期中)在正方體中,E、F分別是棱和棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)試問(wèn)平面截正方體所得的截面是什么圖形？并說(shuō)明理由．解析：(1)證明：如圖所示：因?yàn)镋,F為中點(diǎn),則,,所以四邊形是平行四邊形,則,又平面AEC,平面AEC,所以平面AEC,連接BD交AC于點(diǎn)O,連接OE,則,且平面AEC,平面AEC,所以平面AEC,又,所以平面平面；(2)由(1)知：平面平面,且平面,平面平面,所以,又,所以,又,則,所以四邊形是平行四邊形,又DF=DG,故平面截正方體所得的截面是菱形.考點(diǎn)五：利用平行關(guān)系作截面例5．(2023屆上海市靜安區(qū)高三下學(xué)期6月最后階段水平模擬)正方體的棱長(zhǎng)為1,、分別為、的中點(diǎn),則平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)___________．答案:解析：如圖,連接則,可得等腰梯形為平面截正方體所得的截面圖形,由正方體的棱長(zhǎng)為1,得,,,則到的距離為,∴故答案為：.考點(diǎn)六：線線垂直的證明例6．(2023學(xué)年重慶市三峽名校聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面平面,平面,,,(1)求證：；(2)若為的中點(diǎn).求與平面所成角的正弦值.解析：(1)過(guò)作,∵平面平面,平面平面,∴平面.又∵平面,∴.∵平面,平面,∴.又∵,∴平面.又∵平面,∴.(2)過(guò)作,交于點(diǎn),連接,過(guò)作,交于點(diǎn).由(1)知,平面,且平面,∴.又且,∴平面.又∵平面,∴,又且,∴平面,∴為在平面內(nèi)的射影,即為與平面所成的角,∴,,由,得,得.∵平面,且平面,∴,∴,由,得,得,.所以與平面所成角的正弦值為.考點(diǎn)七：線面垂直的證明例7．(2023學(xué)年重慶市二0三中學(xué)校高一下學(xué)期第二次月考)如圖,在正三棱柱中,各棱長(zhǎng)均為4,M,N分別是BC,的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：解析：(1)在正三棱柱中,各棱長(zhǎng)均為4,而M是正邊BC的中點(diǎn),則,而平面,平面,于是得,又,平面,所以平面.(2)正方形中,M,N分別是BC,的中點(diǎn),則,有,即,則,由(1)知,平面,平面,則有,而,平面,因此,平面,而平面,所以.考點(diǎn)八：面面垂直的證明例8．(2023學(xué)年浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟高一下學(xué)期5月聯(lián)考)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),已知,PA=6,BC=8,DF=5求證：(1)直線PA//平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.解析：(1)因?yàn)镈,E分別為棱PC,AC的中點(diǎn),所以,且DE平面DEF,PA平面DEF.所以直線PA//平面DEF(2)因?yàn)榍?所以.由中位線可知,則有,根據(jù)勾股定理逆定理知DE⊥EF,而,所以.且,AC平面ABC,BC平面ABC,所以DE⊥平面ABC..又DE平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC考點(diǎn)九：線面位置關(guān)系中的探索性問(wèn)題例9.如圖,ABCD為矩形,點(diǎn)A、E、B、F共面,和均為等腰直角三角形,且若平面⊥平面(1)證明:平面平面ADF(2)問(wèn)在線段EC上是否存在一點(diǎn)G,使得BG∥平面若存在,求出此時(shí)三棱錐與三棱錐的體積之比,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(1)矩形中,,又平面⊥平面,平面平面,平面,則平面,而平面,因此,,因,即,而,平面,則平面,又平面,所以平面平面.(2)因和均為等腰直角三角形,且,則,即有,并且有,延長(zhǎng)EB至H,使,連CH,如圖,由知,四邊形為平行四邊形,則有,且,于是得四邊形是平行四邊形,有,在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作交CE于G,因此,而平面,平面,從而得平面,顯然,則,即點(diǎn)G是線段CE的靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn),于是得點(diǎn)G到平面的距離h是點(diǎn)C到平面的距離BC的,即,而,,即,所以線段EC的靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)G,能使平面,三棱錐與三棱錐的體積之比為.【真題演練】1.(2023新高考全國(guó)卷Ⅱ)如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點(diǎn),M,N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是()A. B.C. D.答案:BC解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,對(duì)于A,如圖(1)所示,連接,則,故(或其補(bǔ)角)為異面直線所成的角,在直角三角形,,,故,故不成立,故A錯(cuò)誤.(或者易得在上底面的射影為,故不成立)對(duì)于B,如圖(2)所示,取的中點(diǎn)為,連接,,則,,由正方體可得平面,而平面,故,而,故平面,又平面,,而,所以平面,而平面,故,故B正確.對(duì)于C,如圖(3),連接,則,由B的判斷可得,故,故C正確.對(duì)于D,如圖(4),取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,則,因?yàn)?故,故,所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角,因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,故,,,,故不是直角,故不垂直,故D錯(cuò)誤.故選BC2．(2023年高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)、為兩個(gè)平面,則的充要條件是 ()A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行C．,平行于同一條直線 D．,垂直于同一平面答案:B解析：由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.3．(2023新高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積．解析：(1)證明：因?yàn)?為的中點(diǎn),所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以；(2)在平面ABD中,作于M,在平面BCD中,作于N,連接EN,由⑴得4.(2023新高考全國(guó)卷Ⅱ)在四棱錐中,底面是正方形,若．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的平面角的余弦值．,建如圖所示的空間坐標(biāo)系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.解析：(1)取的中點(diǎn)為,連接.因?yàn)?,則,而,故.在正方形中,因?yàn)?故,故,因?yàn)?故,故為直角三角形且,因?yàn)?故平面,因?yàn)槠矫?故平面平面.(2)過(guò)作于點(diǎn)由(1)可知：平面平面面在中,,,,即得：即,即二面角的平面角的余弦值為5.(2023新高考山東卷)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．(1)證明：l⊥平面PDC；解析：(1)證明：在正方形中,,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,又因?yàn)槠矫?平面平面,所以,因?yàn)樵谒睦忮F中,底面是正方形,所以且平面,所以因?yàn)樗云矫妫?．(2023全國(guó)卷Ⅰ)如圖,為圓錐的頂點(diǎn),是圓錐底面的圓心,為底面直徑,．是底面的內(nèi)接正三角形,為上一點(diǎn),．(1)證明：平面；解析：(1)由題設(shè),知為等邊三角形,設(shè),則,,所以,又為等邊三角形,則,所以,,則,所以,同理,又,所以平面；【過(guò)關(guān)檢測(cè)】1.(2023學(xué)年河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期五月月考)設(shè)m、n是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確的是(

)A．若,,則 B．若,,則C．若,,則 D．若,,則答案:D解析：A選項(xiàng),,,則可能平行,相交,異面,故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng),,,則可能,故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng),,,則可能,也可能,故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng),根據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直一個(gè)平面,則另一條也垂直該平面,故D正確.故選D.2.(2023學(xué)年安徽省池州市第一中學(xué)高一下學(xué)期5月月考)下列選項(xiàng)中,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)不共面的是(

)A． B． C． D．答案:D解析：對(duì)于A選項(xiàng),,如圖所示,易證,所以P,Q,R,S四個(gè)點(diǎn)共面,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng),過(guò)P,Q,R,S可作一正六邊形,如圖示,所以P,Q,R,S四個(gè)點(diǎn)共面,故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng),分別連接,如圖示,易證,所以P,Q,R,S四個(gè)點(diǎn)共面,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng),連接,如圖示因?yàn)槠矫?平面,但平面,所以異面,所以P,Q,R,S四個(gè)點(diǎn)不共面,故D正確.故選D3.(2023屆廣東省廣州市天河區(qū)高三綜合測(cè)試)一幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示,其中四邊形為正方形,分別為的中點(diǎn),在此幾何體中,下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．直線與直線異面B．直線與直線異面C．直線平面D．直線平面答案:B解析：由題意知：該幾何體是底面為正方形的四棱錐,如圖所示,連接,易得,則,故共面,則共面,故B錯(cuò)誤；又面,面,不在直線上,則直線與直線異面,A正確；由,平面,平面,則直線平面,C正確；平面,平面,則直線平面,D正確.故選B.4．(2023屆福建省廈門(mén)集美中學(xué)高三下學(xué)期適應(yīng)性考試)在正方體中,棱長(zhǎng)為3,E為棱上靠近的三等分點(diǎn),則平面截正方體的截面面積為(

)A． B． C． D．答案:C解析：延長(zhǎng)交于點(diǎn),連接交于點(diǎn),如圖,在正方體中,面面,面面,面面,又四邊形是梯形,且為平面截正方體的截面.又,在等腰梯形中,過(guò)作,.故選C.5.(多選)(2023屆河北省滄州市滄縣中學(xué)高三上學(xué)期階段測(cè)試)如圖所示,在四棱錐中中,為正方形,,E為線段的中點(diǎn),F為與的交點(diǎn),．則下列結(jié)論正確的是(

)A．平面 B．平面C．平面平面 D．線段長(zhǎng)度等于線段長(zhǎng)度答案:ABC因?yàn)槭钦叫?所以．又因所以平面平面,,所以平面,因此A正確；而平面,所以平面平面,因此C正確；因?yàn)镕是的中點(diǎn),而E為線段的中點(diǎn),所以平