回歸教材重難點(diǎn)07圓中的角度與長度計算(原卷版+解析)

回歸教材重難點(diǎn)07圓中的角度與長度計算本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度較大，在全國各地市的中考試卷中均有考查。(2023年青海省中考數(shù)學(xué)試卷第17題）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．分析：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，根據(jù)垂徑定理的推論得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解答】解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，∵C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD過圓心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑長為m．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理的推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的兩條弧圓中的計算主要考察的九年級《圓的基本性質(zhì)》里面的內(nèi)容，其中，有關(guān)角度計算用到的知識點(diǎn)有：圓心角定理、圓周角定理以及相關(guān)推論；有關(guān)長度的計算用到的考點(diǎn)主要有垂徑定理及其推論。在不同問題中還需要熟練掌握圓的基本性質(zhì)中的考點(diǎn)，做到融會貫通。本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等或中等偏上，個別難度較大，在全國各地市的中考試卷中均有考查。技法01：圓中的角度計算①圓中角度計算口訣——圓中求角度，同弧或等?。睆剿鶎A周角是90度圓心角定理、圓周角定理以及其推論為圓中角的計算提供了等量關(guān)系，圓中的等角也是解決角度問題中常見的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所以特別要注意同弧或等弧所對的圓周角相等，以及直徑所對圓周角=90°的固定關(guān)系②圓中模型“知1得4”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5個結(jié)論，知道其中任意1個，剩余的4個都可以作為結(jié)論使用。③圓中求角度常用的其他規(guī)律：圓內(nèi)接四邊形的一個外角=其內(nèi)對角折疊弧過圓心→必有30°角以等腰三角形的腰長為直徑的圓→必過底邊中點(diǎn)圓中出現(xiàn)互相垂直的弦，常作兩弦心距→必有矩形（當(dāng)弦相等，則得正方形）技法02：圓中的長度計算（1）圓中線段計算口訣——“圓中求長度，垂徑加勾股”弦長、半徑、直徑是圓中的主要線段，相關(guān)計算主要利用垂徑定理及其推論，構(gòu)造“以半徑、弦心距、弦長一半為三邊的直角三角形”，通過勾股定理列方程求解；（2）圓中模型“知2得3”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過圓心O；④；⑤；以上5個結(jié)論，知道其中任意2個，剩余的3個都可以作為結(jié)論使用。（3）常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角=90°（4）弧長與扇形面積：不規(guī)則圖形面積想割補(bǔ)法常用公式：【中考真題練】1．(2023?無錫）底面半徑為10cm，高為10cm的圓錐的側(cè)面展開圖的面積為（）A．200πcm2 B．100πcm2 C．200πcm2 D．100πcm22．(2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．140° D．160°3．(2023?巴中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（）A． B． C．1 D．24．(2023?資陽）如圖．將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．5．(2023?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長為（）A．6π B．2π C．π D．π6．(2023?鄂爾多斯）實(shí)驗學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2．已知實(shí)線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米7．(2023?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°8．(2023?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°9．(2023?營口）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，則BC的長為（）A．4 B．8 C．4 D．410．(2023?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°11．(2023?南京）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1：2：4，則∠D＝°．12．(2023?廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長是．（結(jié)果保留π）13．(2023?沈陽）如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則的長是（結(jié)果保留π）．14．(2023?南京）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E在BC上，BD＝CE．過A，D，E三點(diǎn)作⊙O，連接AO并延長，交BC于點(diǎn)F．（1）求證AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半徑長．15．(2023?徐州）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，∠ABC＝60°，直線AD∥BC，AB＝AD，點(diǎn)O在BD上．（1）判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【中考模擬練】1．（2023?越秀區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都是⊙O上的點(diǎn)，若∠CAB＝30°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．65° B．55° C．60° D．70°2．（2023?蘇州模擬）已知一個圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，其底面圓半徑為1，則該圓錐母線長為（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023?荊門一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝30°，⊙O的半徑為3，點(diǎn)P是⊙O上的一點(diǎn)，且PB＝AB，則PA的長為（）A． B． C． D．4．（2023?衢州一模）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且OE＝2cm，DE＝7cm，則AB的長為（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm5．（2023?寧德模擬）“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時廣泛使用的一種圖形．如圖，以等邊三角形ABC的三個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”．若等邊三角形ABC的邊長為2，則該“萊洛三角形”的周長等于（）A．2π B． C． D．6．（2023?南沙區(qū)一模）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)且∠ACB＝120°，弦AB＝12，則⊙O的直徑長是（）A． B． C．24 D．127．（2023?鎮(zhèn)平縣二模）如圖，扇形紙片AOB，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，已知，則圖中陰影部分的周長為．8．（2023?紅旗區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠BCA＝30°，以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑作弧，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為．9．（2023?北侖區(qū)二模）如圖，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半徑為2的⊙O在射線AC上運(yùn)動，當(dāng)⊙O與△ABC的一邊相切時，線段CO的長度為．10．（2023?高郵市一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)P在AC的延長線上，PQ⊥AB于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)E，CD是⊙O的切線，交PQ于點(diǎn)D．（1）判斷△DCE的形狀，并說明理由；（2）若CD＝AC＝2，求OQ的長度．回歸教材重難點(diǎn)07圓中的角度與長度計算本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度較大，在全國各地市的中考試卷中均有考查。(2023年青海省中考數(shù)學(xué)試卷第17題）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長為m．分析：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，根據(jù)垂徑定理的推論得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解答】解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為rm，∵C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD過圓心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半徑長為m．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查了垂徑定理的推論：平分弦（非直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的兩條弧圓中的計算主要考察的九年級《圓的基本性質(zhì)》里面的內(nèi)容，其中，有關(guān)角度計算用到的知識點(diǎn)有：圓心角定理、圓周角定理以及相關(guān)推論；有關(guān)長度的計算用到的考點(diǎn)主要有垂徑定理及其推論。在不同問題中還需要熟練掌握圓的基本性質(zhì)中的考點(diǎn)，做到融會貫通。本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，難度中等或中等偏上，個別難度較大，在全國各地市的中考試卷中均有考查。技法01：圓中的角度計算①圓中角度計算口訣——圓中求角度，同弧或等?。睆剿鶎A周角是90度圓心角定理、圓周角定理以及其推論為圓中角的計算提供了等量關(guān)系，圓中的等角也是解決角度問題中常見的轉(zhuǎn)化關(guān)系，所以特別要注意同弧或等弧所對的圓周角相等，以及直徑所對圓周角=90°的固定關(guān)系②圓中模型“知1得4”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤；以上5個結(jié)論，知道其中任意1個，剩余的4個都可以作為結(jié)論使用。③圓中求角度常用的其他規(guī)律：圓內(nèi)接四邊形的一個外角=其內(nèi)對角折疊弧過圓心→必有30°角以等腰三角形的腰長為直徑的圓→必過底邊中點(diǎn)圓中出現(xiàn)互相垂直的弦，常作兩弦心距→必有矩形（當(dāng)弦相等，則得正方形）技法02：圓中的長度計算（1）圓中線段計算口訣——“圓中求長度，垂徑加勾股”弦長、半徑、直徑是圓中的主要線段，相關(guān)計算主要利用垂徑定理及其推論，構(gòu)造“以半徑、弦心距、弦長一半為三邊的直角三角形”，通過勾股定理列方程求解；（2）圓中模型“知2得3”由圖可得以下5點(diǎn)：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過圓心O；④；⑤；以上5個結(jié)論，知道其中任意2個，剩余的3個都可以作為結(jié)論使用。（3）常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角=90°（4）弧長與扇形面積：不規(guī)則圖形面積想割補(bǔ)法常用公式：【中考真題練】1．(2023?無錫）底面半徑為10cm，高為10cm的圓錐的側(cè)面展開圖的面積為（）A．200πcm2 B．100πcm2 C．200πcm2 D．100πcm2分析：先求出圓錐的母線，再根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的面積RL列式計算即可．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為10cm，高為10cm，∴圓錐的母線為＝20（cm），∴圓錐的側(cè)面展開圖的面積為×（2π×10）×20＝200π（cm2），故選：A．2．(2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．80° B．100° C．140° D．160°分析：先根據(jù)圓周角定理求得∠D的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠ABC的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC＝∠AOC＝80°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故選：B．3．(2023?巴中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，，∠CDB＝30°，AC＝2，則OE＝（）A． B． C．1 D．2分析：連接BC，根據(jù)垂徑定理的推論可得AB⊥CD，再由圓周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可得AE＝3，AB＝4，即可求解．【解答】解：如圖，連接BC，∵AB為⊙O的直徑，，∴AB⊥CD，∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，∴AE＝AC?cos∠BAC＝3，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故選：C．4．(2023?資陽）如圖．將扇形AOB翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，連接AC．若OA＝2，則圖中陰影部分的面積是（）A． B． C． D．分析：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，可以得到∠COD＝60°，即可求出扇形AOC的面積，再算出△AOC的面積，即可求出陰影部分面積．【解答】解：連接CO，直線l與AO交于點(diǎn)D，如圖所示，∵扇形AOB中，OA＝2，∴OC＝OA＝2，∵點(diǎn)A與圓心O重合，∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，∴OC＝AC，∴OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵CD⊥OA，∴CD＝＝＝，∴陰影部分的面積為：＝﹣，故選：B．5．(2023?丹東）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，OC，若AB＝6，∠A＝30°，則的長為（）A．6π B．2π C．π D．π分析：先根據(jù)圓周角定理求出∠BOC＝2∠A＝60°，求出半徑OB，再根據(jù)弧長公式求出答案即可．【解答】解：∵直徑AB＝6，∴半徑OB＝3，∵圓周角∠A＝30°，∴圓心角∠BOC＝2∠A＝60°，∴的長是＝π，故選：D．6．(2023?鄂爾多斯）實(shí)驗學(xué)校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2．已知實(shí)線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米分析：連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出優(yōu)弧所對的圓心角的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式求出即可．【解答】解：連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，∵等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1O2和△BO1O2是等邊三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴優(yōu)弧所對的圓心角的度數(shù)是360°﹣60°﹣60°＝240°，∴花壇的周長為2×＝8π（米），故選：C．7．(2023?西藏）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝OD，則∠ABD的度數(shù)為（）A．90° B．95° C．100° D．105°分析：連接OB，則OC＝OB，由OC⊥AB，則∠OBC＝30°，再由OD∥AB，即可求出答案．【解答】解：如圖：連接OB，則OB＝OD，∵OC＝OD，∴OC＝OB，∵OC⊥AB，∴∠OBC＝30°，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBC＝30°，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∠ABD＝30°+75°＝105°．故選：D．8．(2023?河池）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點(diǎn)P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°分析：由圓周角定理可求得∠AOP的度數(shù)，由切線的性質(zhì)可知∠PAO＝90°，則可求得∠P．【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故選：C．9．(2023?營口）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，則BC的長為（）A．4 B．8 C．4 D．4分析：連接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圓周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函數(shù)可求出BC的長．【解答】解：連接AB，如圖所示，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°．∵∠ADC＝30°，∴∠ABC＝∠ADC＝30°．∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，∴BC＝．∵AC＝4，∴BC＝＝4．故選：A．10．(2023?青島）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CME的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．45° D．60°分析：由正六邊形的性質(zhì)得出∠COE＝120°，由圓周角定理求出∠CME＝60°．【解答】解：連接OC，OD，OE，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，∴∠COE＝2∠COD＝120°，∴∠CME＝∠COE＝60°，故選：D．11．(2023?南京）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，它的3個外角∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1：2：4，則∠D＝72°．分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)以及外角的性質(zhì)可求出∠CDH，再根據(jù)平角的定義求出答案．【解答】解：如圖，延長ED到H，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝∠BAD+∠BCD＝180°，又∵∠EAB，∠FBC，∠GCD的度數(shù)之比為1：2：4，∴∠EAB，∠FBC，∠GCD，∠CDH的度數(shù)之比為1：2：4：3，∵∠EAB+∠FBC+∠GCD+∠CDH＝360°，∴∠CDH＝360°×＝108°，∴∠ADC＝180°﹣108°＝72°，故答案為：72．12．(2023?廣州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)O在邊AC上，以O(shè)為圓心，4為半徑的圓恰好過點(diǎn)C，且與邊AB相切于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，則劣弧的長是2π．（結(jié)果保留π）分析：連接OD，OE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠A＝∠COE，再根據(jù)切線的性質(zhì)和平角的定義可得∠DOE＝90°，然后利用弧長公式進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：如圖，連接OD，OE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC，∴∠A＝∠COE，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∵圓O與邊AB相切于點(diǎn)D，∴∠ADO＝90°，∴∠COE+∠AOD＝90°，∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°，∴劣弧的長是＝2π．故答案為：2π．13．(2023?沈陽）如圖，邊長為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則的長是（結(jié)果保留π）．分析：連接OA、OB，可證∠AOB＝90°，根據(jù)勾股定理求出AO，根據(jù)弧長公式求出即可．【解答】解：連接OA、OB．∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的長＝＝π，故答案為：π．14．(2023?南京）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E在BC上，BD＝CE．過A，D，E三點(diǎn)作⊙O，連接AO并延長，交BC于點(diǎn)F．（1）求證AF⊥BC；（2）若AB＝10，BC＝12，BD＝2，求⊙O的半徑長．分析：（1）連接AD，AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AE，根據(jù)垂徑定理得到，于是得到AF⊥BC；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BF＝CF＝BC＝6，根據(jù)勾股定理得到AF＝＝＝8，連接OD，設(shè)DO＝AO＝x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接AD，AE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∴，∴AF⊥BC；（2）解：∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝6，∴AF＝＝＝8，∵BD＝2，∴DF＝4，連接OD，設(shè)DO＝AO＝x，∴OF＝AF﹣x＝8﹣x，∵OD2＝OF2+DF2，∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴⊙O的半徑長為5．15．(2023?徐州）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，∠ABC＝60°，直線AD∥BC，AB＝AD，點(diǎn)O在BD上．（1）判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．分析：（1）由切線的判定定理，可證明；（2由弓形面積公式，可求解．【解答】解：（1）直線AD與圓O相切，連接OA，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABD＝30°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與圓O相切，（2）連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，∴BC＝2BH＝6，∴扇形OBC的面積為：＝＝12π，∵S△OBC＝BC?OH＝×6×3＝9，∴陰影部分的面積為：12π﹣9．【中考模擬練】1．（2023?越秀區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都是⊙O上的點(diǎn)，若∠CAB＝30°，則∠ADC的度數(shù)是（）A．65° B．55° C．60° D．70°分析：由AB為⊙O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可求得∠ACB＝90°，又由∠CAB＝30°，得出∠B的度數(shù)，根據(jù)同弧所對的圓周角相等繼而求得∠ADC的度數(shù)．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝60°，∴∠ADC＝∠ABC＝60°．故選：C．2．（2023?蘇州模擬）已知一個圓錐側(cè)面展開圖是一個半圓，其底面圓半徑為1，則該圓錐母線長為（）A．1 B．2 C．3 D．4分析：設(shè)該圓錐母線長為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到2π×1＝，然后解方程即可．【解答】解：設(shè)該圓錐母線長為l，根據(jù)題意得2π×1＝，解得l＝2，即該圓錐母線長為2．故選：B．3．（2023?荊門一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠C＝30°，⊙O的半徑為3，點(diǎn)P是⊙O上的一點(diǎn)，且PB＝AB，則PA的長為（）A． B． C． D．分析：連接OA，OB，OP，根據(jù)圓周角定理可得∠APB＝∠C＝30°，再由PB＝AB，可得∠ABP＝120°，再由PB＝AB，可得OB⊥AP，AD＝PD，可證得△AOB是等邊三角形，從而得到AB＝OA＝3，在Rt△PBD中，可得到PD的長，即可求解．【解答】解：連接OA，OB，OP，如圖，∵∠C＝30°，∴∠APB＝∠C＝30°，∵PB＝AB，∴∠PAB＝∠APB＝30°，∴∠ABP＝120°，∵PB＝AB，∴，∴OB⊥AP，AD＝PD，∴∠OBP＝∠OBA＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝3，在Rt△PBD中，，∴，故選：A．4．（2023?衢州一模）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點(diǎn)E，且OE＝2cm，DE＝7cm，則AB的長為（）A．4cm B．8cm C．cm D．2cm分析：連接OA，如圖，先計算出OD＝OA＝5，OE＝2，再根據(jù)垂徑定理得到AE＝BE，然后利用勾股定理計算出AE，從而得到AB的長．【解答】解：連接OA，如圖，∵OE＝2cm，DE＝7cm，∴OD＝5cm，∴OA＝5cm，∵AB⊥CD，∴AE＝BE，在Rt△AOE中，AE＝＝＝（cm），∴AB＝2AE＝2（cm）．故選：D．5．（2023?寧德模擬）“萊洛三角形”是工業(yè)生產(chǎn)中加工零件時廣泛使用的一種圖形．如圖，以等邊三角形ABC的三個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的圖形就是“萊洛三角形”．若等邊三角形ABC的邊長為2，則該“萊洛三角形”的周長等于（）A．2π B． C． D．分析：由弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為r），求出的長，即可解決問題．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝CA，∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，∴＝＝，∵的長＝＝π，∴“萊洛三角形”的周長等于的長×3＝×3＝2π．故選：A．6．（2023?南沙區(qū)一模）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)且∠ACB＝120°，弦AB＝12，則⊙O的直徑長是（）A． B． C．24 D．12分析：延長BO交圓于D，連接DA，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D+∠C＝180°，求出∠D的度數(shù)，應(yīng)用銳角的正弦即可求出圓的直徑長．【解答】解：延長BO交圓于D，連接DA，∵四邊形DACB是圓內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠C＝180°，∵∠C＝120°，∴∠D＝60°，∵BD是圓的直徑，∴∠DAB＝90°，∵sinD＝，∴BD＝＝＝8，∴⊙O的直徑長是8．故選：A．7．（2023?鎮(zhèn)平縣二模）如圖，扇形紙片AOB，沿AB折疊扇形紙片，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)C處，已知，則圖中陰影部分的周長為+4．分析：由折疊的性質(zhì)得到AC＝OA，OB＝BC，OC⊥AB，推出△AOC，△OCB是等邊三角形，得到∠AOB＝120°，由垂徑定理得到AH的長，由銳角的正弦求出OA長，由弧長公式求出的長，即可求出陰影的周長．【解答】解：連接OC，交AB于H，∵扇形紙片AOB沿AB折疊，點(diǎn)O落在上的點(diǎn)C處，∴AC＝OA，OB＝BC，OC⊥AB，∵OC＝OA，∴△OAC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，同理：∠BOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OC⊥AB，∴AH＝AB＝×2＝，∵sin∠AOC＝＝，∴AO＝2，∴AC＝BC＝OA＝2，∵的長＝＝．∴圖中陰影部分的周長＝的長+AC+BC＝+4．故答案為：+4．8．（2023?紅旗區(qū)校級二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，∠BCA＝30°，以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑作弧，分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，則圖中陰影部分的面積為．分析：連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，找出S陰影＝S扇形ABD﹣S△ABD+S△BDC﹣S扇形BDE即可求出答案．【解答】解：連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F，如圖所示，∵∠ABC＝90°，AB＝2，∠BCA＝30°，∴AC＝2AB＝4，，∠BAD＝60°，∵以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑作弧，∴BD