專題18直角三角形(原卷版+解析)

專題18直角三角形廣東數(shù)學(xué)中考中，直角三角形相關(guān)知識是解決幾何題的重要工具，一般在較為綜合的試題中體現(xiàn)，考查難度有簡單，也有中等偏上難度的題，?？贾R有：直角三角形的相關(guān)性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°這些特殊角的直角三角形，更加是熱門出題方向。結(jié)合近些年的中考情況，在復(fù)習(xí)這一板塊的知識時，需要熟練掌握直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，同時學(xué)會構(gòu)造含特殊角的直角三角形解決問題。一．直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半判定有一個角是90°的三角形時直角三角形有兩個角互余的三角形是直角三角形1．如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則的大小為（

）A． B． C． D．2．在中，，，則（

）A． B． C． D．3．對于下列四個條件：①；②，③；④，能確定是直角三角形的條件有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．如圖，在中，，，，是邊上的動點(diǎn)，則的長不可能是（

）A．3 B．5 C．6 D．75．如圖，在中，，是斜邊上的中線，若，的長為（

）A．6 B．5 C．3 D．1.56．如圖，在中，是高，是角平分線，交于點(diǎn)F，，求的度數(shù)．7．滿足下列條件的，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．8．如圖，一架3m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，M為中點(diǎn)，當(dāng)梯子的上端沿墻壁下滑時，的長度將（

）A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小9．如圖，在中，，，，將其沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，則的長是（

）A．12 B．10 C．8 D．610．如圖，在中，，，是邊的中點(diǎn)，在邊上，若，則的長為______．11．如圖，在中，，是邊上的中線，．若，求的長．二．勾股定理及其逆定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，成為勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：3,4,5及其倍數(shù)；5,12,13及其倍數(shù)；7,24,25及其倍數(shù)；8,15,17及其倍數(shù)1．在中，已知其中兩直角邊長，，那么斜邊c的長為（）A．3 B．4 C． D．2．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是2、3、3、6，則最大正方形E的面積是（

）A．14 B．34 C．58 D．723．《九章算術(shù)》中有一個問題：今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），問戶高、廣各幾何？意思是：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？設(shè)門的寬為尺，則下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．4．如圖所示，將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度，則h的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．如圖，圖中所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面積分別為，，則正方形的面積是___________．6．有一塊空白地，如圖，，，，，，試求這塊空白地的面積．7．如圖，已知中，，是上一點(diǎn)，且，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．勾股定理是初中數(shù)學(xué)中求解長度非常重要的等量關(guān)系，故很多求長度的問題沒方向時，就往直角三角形勾股定理方向去想。8．下列各數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．1、2、 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、69．如圖所示，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面2米的處折斷，樹尖恰好碰到地面，經(jīng)測量米，折斷前樹高為______米．10．如圖，的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格上．于點(diǎn)D，則__________．11．小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是，，，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長度是______12．如圖，在中，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”．若，則圖中陰影部分的面積為___________．13．如圖，一塊四邊形的空地，，的長為，的長為，的長為，的長為．為了綠化環(huán)境，計劃在此空地上鋪植草坪，若每鋪植草坪需要花費(fèi)50元，則此塊空地全部鋪植草坪共需花費(fèi)多少元？14．如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，若將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到，(1)求點(diǎn)與之間的距離；(2)求的度數(shù)．考向三：勾股定理與弦圖、拼圖勾股定理與弦圖：牽涉到弦圖時，所用的直角三角形皆是全等直角三角形，證明時一般依據(jù)面積相等來列式得結(jié)論；勾股定理與拼圖：多考察七巧板的變形，注意各個七巧板組成間的等量線段，再結(jié)合勾股定理來計算即可。1．如圖①是美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個全等的直角三角形．已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c．如圖②，現(xiàn)將這四個全等的直角三角形緊密拼接，形成飛鏢狀，且外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，則該飛鏢狀圖案的面積（）A．6 B．12 C．16 D．242．七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)過歷代演變而成七巧板，如圖1所示．19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為8的正方形分割制作的七巧板拼擺成的“葉問蹬”圖．則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為12．3．七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板．小聰將一塊腰長為20cm的等腰直角三角形硬紙板（如圖①）切割成七塊，正好制成一副七巧板（如圖②），則圖中陰影部分的面積為（）A．5cm2 B．25cm2 C．50cm2 D．100cm24．習(xí)總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基．小張在數(shù)學(xué)活動課上用正方形紙片制作成圖1的“七巧板”，設(shè)計拼成了圖2的水杉樹樹冠．如果已知圖1中正方形紙片的邊長為2cm，則圖2中水杉樹樹冠的高（即點(diǎn)A到線段BC的距離）是cm．1．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時，與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定2．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．3．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為_________．4．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點(diǎn)D，延長至點(diǎn)E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．5．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．1．如圖，CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，則下列說法中正確的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的補(bǔ)角是∠DACC．∠α與∠ACF互補(bǔ) D．∠α與∠ACF互余2．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，則BC=()A．6 B．6 C．6 D．123．如圖，一個含有角的直角三角尺的兩個頂點(diǎn)放在直尺的對邊上．如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．4．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形．若，，，則的值為（

）A． B． C． D．15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，AB=2，則CD=________．6．如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別在，上，將沿直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在上，連接，若，則的長為_________．7．如圖，麗麗用邊長為4的正方形做成了一套七巧板，小組合作將這套七巧板拼成了“人”的形狀，則這個“人”的兩只腳所占的面積為2．8．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，作于點(diǎn)E．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求的面積．9．如圖，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．專題18直角三角形廣東數(shù)學(xué)中考中，直角三角形相關(guān)知識是解決幾何題的重要工具，一般在較為綜合的試題中體現(xiàn)，考查難度有簡單，也有中等偏上難度的題，?？贾R有：直角三角形的相關(guān)性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理等，像含30°、45°這些特殊角的直角三角形，更加是熱門出題方向。結(jié)合近些年的中考情況，在復(fù)習(xí)這一板塊的知識時，需要熟練掌握直角三角形的各種性質(zhì)與判定方法，同時學(xué)會構(gòu)造含特殊角的直角三角形解決問題。一．直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)直角三角形的兩個銳角互余直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊長的一半判定有一個角是90°的三角形時直角三角形有兩個角互余的三角形是直角三角形1．如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則的大小為（

）A． B． C． D．答案:A分析：如圖所示，根據(jù)直角三角板的特點(diǎn)，可知，，，在中，根據(jù)兩銳角互余即可求解．【詳解】解：一副三角尺，如圖所示，∴，，，∴，在中，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中兩個銳角的互余的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．在中，，，則（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余解答即可．【詳解】解：在中，，，，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．對于下列四個條件：①；②，③；④，能確定是直角三角形的條件有（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④答案:A分析：①，推出，得到是直角三角形；②根據(jù)勾股定理逆定理，即可推出是直角三角形；③，推出，得到是直角三角形；④，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，求出三個角的度數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①∵，，∴，∴，∴是直角三角形；故①正確；②∵，設(shè)，∴，∴是直角三角形；故②正確；③∵，∴，∴，∴是直角三角形；故③正確；④∵，，∴，∴，∴，∴不是直角三角形；故④錯誤；綜上：能確定是直角三角形的條件有①②③；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的判定．熟練掌握直角三角形的定義，以及勾股定理逆定理，是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在中，，，，是邊上的動點(diǎn)，則的長不可能是（

）A．3 B．5 C．6 D．7答案:D分析：利用垂線段最短分析可知：的最小值為3，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，接下來可知的最大值為，由此可得到答案．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，可知的最小值為3，∵在中，，，，∴，∴的最大值為，∴長不可能是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂線段最短，含角的直角三角形的性質(zhì)．掌握含角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，是斜邊上的中線，若，的長為（

）A．6 B．5 C．3 D．1.5答案:A分析：由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到答案．【詳解】解：，，又是的中點(diǎn)，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的性質(zhì)．6．如圖，在中，是高，是角平分線，交于點(diǎn)F，，求的度數(shù)．答案:分析：根據(jù)是高，，可得，再由是角平分線，可得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解．【詳解】解：∵是高線，∴，∵，∴，∵是角平分線，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．7．滿足下列條件的，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，故A不符合題意；B、∵，∴設(shè)，,∴，，∴a2+c2=b2，∴是直角三角形，故B不符合題意；C、∵，∠A+∠B+∠C=180°，∴，∴△ABC是銳角三角形，不是直角三角形，故C符合題意；D、∵，∴，∴是直角三角形，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．8．如圖，一架3m長的梯子斜靠在一豎直的墻上，M為中點(diǎn)，當(dāng)梯子的上端沿墻壁下滑時，的長度將（

）A．變大 B．變小 C．不變 D．先變大后變小答案:C分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，M為的中點(diǎn)，，∴是的中線，，∵梯子的上端沿墻壁下滑時，梯子的長度不變，∴的長度也不變，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在中，，，，將其沿折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，則的長是（

）A．12 B．10 C．8 D．6答案:C分析：根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)列方程求解即可．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查含角的直角三角形的性質(zhì)及翻折的性質(zhì)，熟練運(yùn)用含角的直角三角形的性質(zhì)列方程是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，是邊的中點(diǎn)，在邊上，若，則的長為______．答案:5分析：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由是邊的中點(diǎn)，可得，再由，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵，∴，∴，∴，∴，∵是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，，是邊上的中線，．若，求的長．答案:分析：根據(jù)題意可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，，從而得到，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，又∵是邊上的中線，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，勾股定理是解題的關(guān)鍵．二．勾股定理及其逆定理勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理逆定理如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形勾股數(shù)能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，成為勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：3,4,5及其倍數(shù)；5,12,13及其倍數(shù)；7,24,25及其倍數(shù)；8,15,17及其倍數(shù)1．在中，已知其中兩直角邊長，，那么斜邊c的長為（）A．3 B．4 C． D．答案:D分析：根據(jù)勾股定理可以求得斜邊c的長．【詳解】解：∵是直角三角形，兩直角邊長，∴斜邊c為：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的知識求出斜邊的長．2．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是2、3、3、6，則最大正方形E的面積是（

）A．14 B．34 C．58 D．72答案:C分析：如圖，根據(jù)勾股定理分別求出M、N的面積，再根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖根據(jù)勾股定理可得：，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．3．《九章算術(shù)》中有一個問題：今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈（1丈=10尺，1尺=10寸），問戶高、廣各幾何？意思是：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？設(shè)門的寬為尺，則下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．答案:D分析：設(shè)門的寬為尺，則門的高為尺，門的對角線長尺，利用勾股定理即可得到關(guān)于x的方程．【詳解】解：設(shè)門的寬為尺，則門的高為尺，門的對角線長丈尺，由題意得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元二次方程、勾股定理，審清題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．4．如圖所示，將一根的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長度，則h的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案:D分析：當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時，筷子露在杯子外面的長度最短，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時，筷子露在外面的長度最長，然后分別利用已知條件根據(jù)勾股定理即可求出的取值范圍．【詳解】解：如圖，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時，筷子露在外面的長度最長，∴，當(dāng)筷子的底端在點(diǎn)時，筷子露在杯子外面的長度最短，在中，，，∴，此時，所以取值范圍是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題的關(guān)鍵．5．如圖，圖中所有四邊形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面積分別為，，則正方形的面積是___________．答案:分析：根據(jù)正方形的面積與邊長的關(guān)系，可知，則由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理的意義是解題的關(guān)鍵．6．有一塊空白地，如圖，，，，，，試求這塊空白地的面積．答案:分析：連接，運(yùn)用勾股定理求出，通過計算得到，進(jìn)而判斷為直角三角形，再利用三角形面積公式計算即可解答．【詳解】解：如圖，連接，在中，∵，，，，∴，∴，（取正值）．在中，∵，．∴，∴為直角三角形，．∴．答：這塊空白地的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及直角三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知中，，是上一點(diǎn)，且，．(1)求證：是直角三角形；(2)求的長．答案:(1)見解析(2)分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；（2）根據(jù)，，可得，由（1）可知，在中，由勾股定理可得，即可解出的長．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∴，∴是直角三角形．（2）解：∵，，∴，∵是直角三角形，∴，∵在中，，，∴，∴解得．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟練應(yīng)用勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．勾股定理是初中數(shù)學(xué)中求解長度非常重要的等量關(guān)系，故很多求長度的問題沒方向時，就往直角三角形勾股定理方向去想。8．下列各數(shù)是勾股數(shù)的是（

）A．1、2、 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、6答案:C分析：根據(jù)勾股數(shù)的定義，可以構(gòu)成一個直角三角形三邊的一組正整數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．不是正整數(shù)，不符合題意；B．，不符合題意；C．，符合題意；D．，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股數(shù)．熟練掌握勾股數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．9．如圖所示，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面2米的處折斷，樹尖恰好碰到地面，經(jīng)測量米，折斷前樹高為______米．答案:##分析：樹高等于，在直角中，用勾股定理求出即可．【詳解】由勾股定理得，，所以A．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是在實際問題的圖形中得到直角三角形．10．如圖，的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格上．于點(diǎn)D，則__________．答案:3分析：正方形邊長為1，則,，為3，等面積法,即可求得．【詳解】如圖所示，過A作，因為的頂點(diǎn)都在邊長為1的正方形網(wǎng)格上，所以，，,因為，所以，即，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出的長，以及運(yùn)用等面積法列式．11．小強(qiáng)家因裝修準(zhǔn)備用電梯搬運(yùn)一些木條上樓，如圖，已知電梯的長、寬、高分別是，，，那么電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長度是______答案:####分析：由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可．【詳解】如圖所示：由勾股定理知：，，即電梯內(nèi)能放入這些木條的最大長度是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．12．如圖，在中，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”．若，則圖中陰影部分的面積為___________．答案:6【詳解】由圖形可得，陰影部分的面積為兩小半圓與直角三角形的面積和減去大半圓的面積，即可求解．解：在中，，∴則陰影部分的面積故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖，一塊四邊形的空地，，的長為，的長為，的長為，的長為．為了綠化環(huán)境，計劃在此空地上鋪植草坪，若每鋪植草坪需要花費(fèi)50元，則此塊空地全部鋪植草坪共需花費(fèi)多少元？答案:5700元分析：利用勾股定理求出，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理證明，即可解決問題．【詳解】解：連接，在中，，，，，在中，，，，為直角三角形，，，（元）．答：此塊空地全部鋪植草坪共需花費(fèi)5700元．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及勾股定理逆定理的應(yīng)用，四邊形的面積等知識，正確作出輔助線，把四邊形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．14．如圖，是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，若將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到，(1)求點(diǎn)與之間的距離；(2)求的度數(shù)．答案:(1)(2)分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而得出為等邊三角形，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理得出為直角三角形，繼而得出，即可求解．【詳解】（1）解：由題意可知，，，而，．故為等邊三角形，；（2），，，所以為直角三角形，且又為等邊三角形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考向三：勾股定理與弦圖、拼圖勾股定理與弦圖：牽涉到弦圖時，所用的直角三角形皆是全等直角三角形，證明時一般依據(jù)面積相等來列式得結(jié)論；勾股定理與拼圖：多考察七巧板的變形，注意各個七巧板組成間的等量線段，再結(jié)合勾股定理來計算即可。1．如圖①是美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個全等的直角三角形．已知每個直角三角形較長的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長為c．如圖②，現(xiàn)將這四個全等的直角三角形緊密拼接，形成飛鏢狀，且外圍輪廓（實線）的周長為24，OC＝3，則該飛鏢狀圖案的面積（）A．6 B．12 C．16 D．24分析：根據(jù)飛鏢狀圖案的周長求出AB+AC的長，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AC的長，進(jìn)而確定出OA的長，求出三角形AOB面積，即可確定出所求．【解答】解：根據(jù)題意得：OB＝OC＝3，4（AB+AC）＝24，即AB+AC＝6，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即（6﹣AC）2＝32+（3+AC）2，解得：AC＝1，∴OA＝3+1＝4，∴S△AOB∴該飛鏢狀圖案的面積＝4S△AOB＝24，故選：D．2．七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)過歷代演變而成七巧板，如圖1所示．19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為8的正方形分割制作的七巧板拼擺成的“葉問蹬”圖．則圖中抬起的“腿”（即陰影部分）的面積為12．分析：根據(jù)七巧板中各部分面積的關(guān)系可得答案．【解答】解：如圖，∵圖2是由邊長為8的正方形分割制作的七巧板拼擺成的，∴大正方形面積＝64，由圖形可知，陰影部分面積為116故答案為：12．3．七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板．小聰將一塊腰長為20cm的等腰直角三角形硬紙板（如圖①）切割成七塊，正好制成一副七巧板（如圖②），則圖中陰影部分的面積為（）A．5cm2 B．25cm2 C．50cm2 D．100cm2分析：畫出圖形，結(jié)合圖①和圖②可知BD＝20cm，再由正方形的性質(zhì)求出OB、OC的長，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求出EF和OF的長，即可求得正方形OFEG的面積，即陰影部分的面積．【解答】解：如圖②，結(jié)合圖①可知BD＝20cm，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝BD＝20cm，AC⊥BD，∴OB=12BD＝10cm，OC=12AC＝10∴OB＝OC，∴∠FBE＝∠GCE＝45°，∵四邊形OFEG是正方形，∴EF∥OC，∴∠BFE＝∠BOC＝90°，∴∠FBE＝∠FEB＝45°，∴BF＝EF＝OF=12OB＝5∴S正方形OFEG＝EF2＝52＝25（cm2），∴圖中陰影部分的面積為25cm2，故選：B．4．習(xí)總書記提出的“綠水青山就是金山銀山”這一科學(xué)論斷，成為樹立生態(tài)文明觀、引領(lǐng)中國走向綠色發(fā)展之路的理論之基．小張在數(shù)學(xué)活動課上用正方形紙片制作成圖1的“七巧板”，設(shè)計拼成了圖2的水杉樹樹冠．如果已知圖1中正方形紙片的邊長為2cm，則圖2中水杉樹樹冠的高（即點(diǎn)A到線段BC的距離）是（2+1）cm分析：過A作AE⊥MN于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AE=12MN＝1（cm），HF＝BF=22BE【解答】解：如圖，過A作AE⊥MN于E，∵M(jìn)N＝BH＝2cm，∴AE=12MN＝1（cm），HF＝BF=22BE∴圖2中水杉樹樹冠的高＝AH+EF＝（2+1）cm故答案為：（2+1．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時，與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定答案:B分析：根據(jù)中，，，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出與的位置關(guān)系．【詳解】解：∵中，，，∴cosA=∵，∴AC=4∴BC=當(dāng)時，與的位置關(guān)系是：相切故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關(guān)系等知識，利用勾股定理解求出BC是解題的關(guān)鍵．2．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD．若，則AD的長為________．答案:2分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．【詳解】解：∵，∴∠A+∠ABC=，∵線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=，∴，∵，∴AD=BD=2CD=2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長度始終保持不變，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離的最小值為_________．答案:分析：根據(jù)當(dāng)、、三點(diǎn)共線，距離最小，求出BE和BD即可得出答案．【詳解】如圖當(dāng)、、三點(diǎn)共線，距離最小，∵，為的中點(diǎn)，∴，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，勾股定理，兩點(diǎn)間的距離線段最短，判斷出距離最短的情況是解題關(guān)鍵．4．(2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點(diǎn)D，延長至點(diǎn)E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．答案:（1）1；（2）分析：(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長；(2)設(shè)，，進(jìn)而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．【詳解】解：(1)如圖，連接，設(shè)垂直平分線交于點(diǎn)F，∵為垂直平分線，∴，∵，∴．(2)設(shè)，∴，又∵，∴，在中，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)距離相等是解決本題的關(guān)鍵．5．(2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且（1）尺規(guī)作圖：作的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若，且，證明：為等邊三角形．答案:（1）圖見解析；（2）證明見解析．分析：（1）根據(jù)基本作圖—角平分線作法，作出的平分線AF即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到并求出，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)得出，從而得到EF為中位線，進(jìn)而可證，，從而由有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，AF平分，（2）∵，且，∴，，∵，，∴，∴，∴，又∵AF平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴又∵∴為等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖和等腰三角形性質(zhì)以及與三角形中點(diǎn)有關(guān)的兩個定理，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一定理、直角三角形斜邊中線等于斜邊一半以及三角形中位線定理．1．如圖，CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，則下列說法中正確的是（）A．∠α的余角只有∠B B．∠α的補(bǔ)角是∠DACC．∠α與∠ACF互補(bǔ) D．∠α與∠ACF互余答案:C分析：根據(jù)題意CA⊥BE于點(diǎn)A，AD⊥BF于點(diǎn)D，結(jié)合圖形可得∠α的余角與補(bǔ)角，逐項分析判斷即可求解．【詳解】∵CA⊥BE于A，AD⊥BF于D，∴∠B+∠α=∠DAC+∠α=90°，所以A不正確；∴∠α+∠DAE=180°，所以B也不正確；∵∠DAC+∠ACD=∠DAC+∠α=90°，∴∠ACD=∠α，∵∠ACD+∠ACF=180°，∴∠ACF與α互補(bǔ)．故C正確，D不正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，直角三角形的兩銳角互余，掌握余角與補(bǔ)角的定義是解題的關(guān)鍵．2．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，則BC=()A．6 B．6 C．6 D．12答案:A分析：根據(jù)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．【詳解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=AB=6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．3．如圖，一個含有角的直角三角尺的兩個頂點(diǎn)放在直尺的對邊上．如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如下圖所示，∵，∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．本題關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系．4．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能夠組合得到如圖2所示的四邊形．若，，，則的值為（

）A． B． C． D．1答案:A分析：根據(jù)勾股定理和含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，，，，