新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)真題分類4-1三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換練習(xí)含答案

專題四三角函數(shù)與解三角形4.1三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換考點(diǎn)1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1.(2022全國甲理,8,5分)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如圖,AB是以O(shè)為圓心,OA為半徑的圓弧,C是AB的中點(diǎn),D在AB上,CD⊥AB.“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計(jì)算公式:s=AB+CD2OA.當(dāng)OA=2,∠AOB=60°時(shí),s=(A.11?3答案B連接OC,如圖.∵C是AB的中點(diǎn),OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三點(diǎn)共線.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=3,CD=2-3,∴s=2+(2?3)222.(2019北京文,8,5分)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn),P為圓周上的動點(diǎn),∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為()A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ答案B本題主要考查扇形面積、三角形面積公式及應(yīng)用;主要考查學(xué)生的推理論證能力和運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.由圓的性質(zhì)易知,當(dāng)|PA|=|PB|時(shí),陰影部分的面積最大,其面積為△PAB的面積與弓形的面積之和.作PD⊥AB于D點(diǎn),由∠APB=β,知∠DOB=β(O為圓心).所以|OD|=2cosβ,|PD|=2+2cosβ,|AB|=4sinβ.所以S△PAB=12·|AB|·|PD|=4sinβ(1+cosβ).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=12·2β·22-12·4sinβ·2cosβ=4β-4sincosβ.故陰影部分的面積為S△PAB+S弓形=4sinβ+4sinβcosβ+4β-4sinβcosβ=4β+4sinβ.故選B.思路分析本題陰影部分由一個(gè)三角形與一個(gè)弓形構(gòu)成,當(dāng)β確定時(shí),弓形面積是確定的,故三角形面積最大時(shí),陰影部分面積最大.3.(2014課標(biāo)Ⅰ文,2,5分)若tanα>0,則()A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0答案C由tanα>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,則A,B錯(cuò);由sin2α=2sinαcosα知sin2α>0,C正確;α取π3時(shí),cos2α=2cos2α-1=2×122-1=-12<0,D評析本題考查三角函數(shù)值的符號,判定時(shí)可運(yùn)用基本知識、恒等變形及特殊值等多種方法,具有一定的靈活性.4.(2014大綱全國文,2,5分)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(-4,3),則cosα=()A.45B.35C.-3答案D由三角函數(shù)的定義知cosα=?4(?4)5.(2015福建文,6,5分)若sinα=-513,且α為第四象限角,則tanα的值等于A.125B.-125C.5答案D∵sinα=-513,α為第四象限角∴cosα=1?sin2α=1213,∴tanα=6.(2014大綱全國理,3,5分)設(shè)a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,則()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.又∵c=tan35°=sin35°cos35°>sin35°=cos7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=102,則tanA.43B.34C.-3答案C(sinα+2cosα)2=52,展開得3cos2α+4sinαcosα=32,再由二倍角公式得32cos2α+2sin2α=0,故tan2α=sin2αcos2α=-評析本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角恒等變換,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力和運(yùn)算求解能力.三角函數(shù)求值問題關(guān)鍵在于觀察角與角之間的關(guān)系和三角函數(shù)名之間的關(guān)系.8.(2013大綱全國文,2,5分)已知α是第二象限角,sinα=513,則cosA.-1213B.-513C.5答案A∵α是第二象限角,∴cosα<0.∴cosα=-1?sin2α評析本題考查三角函數(shù)值在各象限的符號,同角三角函數(shù)關(guān)系,屬容易題.9.(2013廣東文,4,5分)已知sin5π2+α=15A.-25B.-15C.1答案C∵sin5π2+α=sinπ2+α=cos10.(2023北京,13,5分,易)已知命題p:若α,β為第一象限角,且α>β,則tanα>tanβ.能說明p為假命題的一組α,β的值為α=,β=.

答案13π6;π解析第一象限角的集合是θ2kπ<θ<π2+2kπ,k∈Z,函數(shù)y=tanx的單調(diào)遞增區(qū)間是kπ-π2,kπ+π2(k∈Z),取α=13π6,β=π3即可符合題意.11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸.若P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn),且sinθ=-255,則y=答案-8解析P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn),由三角函數(shù)的定義知sinθ=y16+y2,又sinθ=-255,∴y評析本題主要考查任意角三角函數(shù)的定義,考查運(yùn)算求解能力,由題意得y16+y212.(2023全國乙文，14）若，則________．【答案】【解析】因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，且，解得或（舍去），所以.13.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sinα=13,則sinβ=答案1解析本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sinα=13,∴sinβ=sin[(2k+1)π-α]=sinα=114.(2016四川文,11,5分)sin750°=.

答案1解析sin750°=sin(720°+30°)=sin30°=12解后反思利用誘導(dǎo)公式把大角化為小角.評析本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.15.(2013課標(biāo)Ⅱ理,15,5分)設(shè)θ為第二象限角,若tanθ+π4=12,則sinθ+cos答案-10解析tanθ=tanθ+π4?π∴sinθ=-13cosθ,將其代入sin2θ+cos2θ=1得109cos2θ=1,∴cos2θ=910,又易知cosθ<0,∴cosθ=-31010,∴sinθ=1010,故sin考點(diǎn)2三角恒等變換1.（2023課標(biāo)II，7）已知為銳角，，則（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)?，而為銳角，解得：．故選：D．2.（2023課標(biāo)I，8）已知，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，而，因此，則，所以.故選：B3.(2021全國乙文,6,5分)cos2π12?cos25π12A.1答案D解析解法一:cos2π12解法二:cos2π=cos=2=6=6+4.(2021全國甲理,9,5分)若α∈0,π2,tan2α=cosα2?sinα,則tanαA.15答案A解題指導(dǎo):先將切化弦,再將分式化為整式,利用兩角差的余弦公式及二倍角公式將異角化為同角,最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.解析∵tan2α=cosα2?sinα,且α∴sin2α∴2sin2α=cosαcos2α+sinαsin2α,即4sinαcosα=cos(2α-α)=cosα,又cosα≠0,∴4sinα=1,∴sinα=14,∴cosα=154,∴tanα=1515.疑難突破將tan2α轉(zhuǎn)化為sin2αcos25.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tanθ=-2,則sinθ(1+sin2θ)sinA.-6答案Csinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθ·6.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cosα+π4sinβ,A.tan(α-β)=1B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1D.tan(α+β)=-1答案C因?yàn)閟in(α+β)+cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ,22cosα+π4sinβ=(2cosα-2sinα)sinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,所以sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2cosαsinβ-2sinαsinβ,即sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0,進(jìn)而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)7.(2018課標(biāo)Ⅲ,理4,文4,5分)若sinα=13,則cosA.89B.C.-79D.-答案B本題考查三角恒等變換.由sinα=13,得cos2α=1-2sin2α=1-2×132=1-29=8.(2017課標(biāo)Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,則sinA.-79B.-29C.2答案A∵(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=432=169,∴sin解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的問題,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinα·cosα進(jìn)行轉(zhuǎn)換.9.(2017山東文,4,5分)已知cosx=34,則cosA.-14B.14C.-1答案D本題考查二倍角余弦公式.因?yàn)閏osx=34,所以cos2x=2cos2x-1=2×34210.(2016課標(biāo)Ⅲ理,5,5分)若tanα=34,則cos2α+2sinA.6425B.4825答案A當(dāng)tanα=34時(shí),原式=cos2α+4sinαcosα=cos2α+4sinαcosαsi解后反思將所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到關(guān)于tanα的式子,這是解決本題的關(guān)鍵.評析本題主要考查三角恒等變換,用sin2α+cos2α代替1是解題關(guān)鍵..11.(2016課標(biāo)Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,則cosA.-45B.-15C.1答案D解法一:cos2θ=cos2θ-sin2θ=co=1?tan2θ解法二:由tanθ=-13,可得sinθ=±1因而cos2θ=1-2sin2θ=45評析本題考查化歸與轉(zhuǎn)化的能力.屬中檔題.12.(2015課標(biāo)Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()A.-32B.32C.-1答案D原式=sin20°cos10°+cos20°@sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故選13.(2015重慶理,9,5分)若tanα=2tanπ5,則cosA.1B.2C.3D.4答案Ccosα?3π10sinα?π∵tanα=2tanπ5,∴cosα?3π14.(2015重慶文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,則tanA.17B.16C.5答案Atanβ=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)?tanα15.(2013課標(biāo)Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,則cos2αA.16B.13C.1答案Acos2α+π4=1+cos2α+π22=1?sin2α2,評析本題考查了三角函數(shù)的化簡求值,考查了降冪公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.16.(2016課標(biāo)Ⅱ,9,5分)若cosπ4?α=35,A.725B.15C.-1答案D∵cosπ4?α∴sin2α=cosπ2?=2cos2π4?α-1=2×352思路分析利用誘導(dǎo)公式化sin2α=cosπ2?2一題多解cosπ4?α=22(cosα+sinα)=35?cosα+sinα=32∴sin2α=-725.故選導(dǎo)師點(diǎn)睛求解三角函數(shù)的給值求值問題,關(guān)鍵是把待求三角函數(shù)值的角用已知角表示出來:(1)已知角有兩個(gè)時(shí),待求三角函數(shù)值的角一般表示為已知角的和或差;(2)已知角有一個(gè)時(shí),待求三角函數(shù)值的角一般與已知角成“倍數(shù)關(guān)系”或“互補(bǔ)、互余關(guān)系”.17.(2022浙江,13,6分)若3sinα-sinβ=10,α+β=π2,則sinα=,cos2β=答案3解析設(shè)a=sinα,b=sinβ=cosα,則3a?b=10,a2+b2=1,解得a=310cos2β=1-2sin2β=1-2b2=4518.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),則A=,b=.

答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2x+π19.(2018課標(biāo)Ⅱ文,15,5分)已知tanα?5π4=15,則答案3解析本題主要考查兩角差的正切公式.tanα?5π4=tanα解得tanα=3220.(2016課標(biāo)Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sinθ+π4=35,則tan答案-4解析解法一:∵sinθ+π4=22×(sinθ+cos∴sinθ+cosθ=32∴2sinθcosθ=-725∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1?2sinθ由①②得sinθ=-210,cosθ=7210,∴tan∴tanθ?π4=tan解法二:∵θ+π4+π∴sinθ+π4=cosπ又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∴cosθ+π4=45,∴sin∴tanπ4?θ=sin∴tanθ?π4=-tanπ評析本題主要考查了三角恒等變換,熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵.21.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=答案2解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ422.(2015江蘇