新高考數(shù)學一輪復習專題九計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計微專題二概率與數(shù)列綜合問題練習含答案

微專題二概率與數(shù)列綜合問題1.(2024廣東湛江一模,17)甲進行摸球跳格游戲.圖上標有第1格,第2格,……,第25格,棋子開始在第1格,盒中有5個大小相同的小球,其中3個紅球,2個白球(5個球除顏色外都相同).每次甲在盒中隨機摸出兩球,記下顏色后放回盒中,若兩球顏色相同,棋子向前跳1格;若兩球顏色不同,棋子向前跳2格,直到棋子跳到第24格或第25格時,游戲結(jié)束.記棋子跳到第n格的概率為Pn(n=1,2,3,…,25).(1)甲在一次摸球中摸出紅球的個數(shù)記為X,求X的分布列和期望;(2)證明:數(shù)列{Pn-Pn-1}(n=2,3,…,24)為等比數(shù)列.解析(1)根據(jù)題意可知,X的所有可能取值為0,1,2,P(X=0)=C22C52=110,P(X=1)=C21C31C52=610=X012P133所以E(X)=0×110+1×35+2×310(2)證明:由(1)知兩球顏色相同的概率為25,顏色不同的概率為3棋子在第1格為必然事件,則P1=1,棋子跳到第2格的概率為P2=25,所以P2-P1=-3當3≤n≤24時,Pn=25Pn-1+35Pn所以5(Pn-Pn-1)=-3(Pn-1-Pn-2),所以Pn?P所以數(shù)列{Pn-Pn-1}是以-35為首項,-352.(2024甘肅二診,18)民間諺語“楊柳兒活,抽陀螺;楊柳兒青,放空鐘;楊柳兒死,踢毽子”,體現(xiàn)隨著季節(jié)變化,可以進行不同的健身活動,其中踢毽子在我國流傳很廣,有著悠久的歷史.據(jù)考證,踢毽子起源于中國漢代,盛行于六朝、隋、唐.某市高中學校為弘揚傳統(tǒng)文化,增強學生身體素質(zhì),在高一年級開展了“人人參與”“團隊競賽”的踢毽子活動.在“人人參與”的環(huán)節(jié)中記錄高一年級700名學生每人每分鐘踢毽子的次數(shù),從中抽取100名學生的成績進行統(tǒng)計,如圖所示,得到樣本的頻率分布直方圖.將踢毽子每分鐘次數(shù)樣本數(shù)據(jù)第60百分位數(shù)(精確到1),記為“達標”的指標界值.(1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù),求高一年級學生踢毽子“達標”的指標界值;(2)“團體競賽”規(guī)則為,每班選出由3名選手組成的代表隊參賽,上場的甲、乙、丙3人,由甲將毽子等可能地踢給另外兩人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外兩人中的1人,如此不停地傳下去,直到有選手沒有接到毽子則比賽結(jié)束,記錄此時的傳踢個數(shù)作為團隊成績.記第i(i∈N*)次傳踢之前毽子在甲的概率為ai,易知a1=1,a2=0.求第6次傳踢前,毽子傳到甲的概率a6,并討論第i次傳踢前(i∈N*,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三人中哪一人的概率最大.解析(1)設(shè)高一年級學生踢毽子“達標”的指標界值為x,分析得x∈[45,50),依題意有(x-45)×0.06=0.6-(0.01+0.024+0.036+0.040)×5,即x=45+0.050.06≈46(2)設(shè)第i次傳踢之前毽子在乙、丙的概率為bi,ci,由傳遞的對稱性知bi=ci,又ai+bi+ci=1,則有bi=ci=1?ai2,ai+1=12×1?ai2所以ai+1=-ai2+12,即有ai+1-13=-12所以ai?13為等比數(shù)列,其中首項為a1-13=23,公比為-12,即所以ai=13+23?12i?1(i∈Ni為偶數(shù)時,ai<13,bi=ci>13,i為奇數(shù)時,ai>13,bi=ci<13,3.(2024安徽皖南八校聯(lián)考,18)現(xiàn)有甲、乙兩個不透明盒子,都裝有1個紅球和1個白球,這些球的大小、形狀、質(zhì)地完全相同.(1)若從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中,n(n∈N*)次這樣的操作后,記甲盒子中紅球的個數(shù)為Xn.求X1的分布列與數(shù)學期望;(2)現(xiàn)從甲中有放回地抽取n(n≥3)次,每次抽取1球,若在抽取次數(shù)不超過n次的情況下,抽取到2次紅球,則停止抽取,一直抽取不到2次紅球,第n次抽取完也停止抽取,令抽取停止時,抽取的次數(shù)為Y(Y=2,3,4,…,n),求Y的數(shù)學期望E(Y).并證明:E(Y)-k=2n?1解析(1)由題意可知X1的所有可能取值為0,1,2,且P(X1=0)=12×12=14,P(X1=1)=12×12+12×12=12,P(X1=2X1的分布列如下:X1012P111E(X1)=0×14+1×12+2×1(2)當Y<n時,P(Y=k)=Ck?1112×12k?2×12=k?12k(k=2,當Y=n時,P(Y=n)=1-122+2記Sn=122+22則12Sn=123+2兩式相減得12Sn=122+123+…+12n?1-n?2所以Sn=1-n2n?1,所以P(Y=n)=1-1+n所以E(Y)=k=2n?1kP(Y=k)+nP(Y=n)=k記an=E(Y)-k=2n?1k(k則an+1-an=(n+1)2當n≥3時,?(n?1)2+22n<0,所以an+1<an所以E(Y)-k=2n?1k4.(2024湖南部分學校大聯(lián)考(二),18)將保護區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域,用簡單隨機抽樣的方法抽取其中15個區(qū)域進行編號,統(tǒng)計抽取到每個區(qū)域的某種水源指標xi和區(qū)域內(nèi)該植物分布的數(shù)量yi(i=1,2,…,15),得到數(shù)組(xi,yi).已知i=115(xi?x)2=45,i=115(yi-y)2=8000,i=115(1)求樣本(xi,yi)(i=1,2,…,15)的相關(guān)系數(shù).(2)假設(shè)該植物的壽命為隨機變量X(X可取任意正整數(shù)).研究人員統(tǒng)計大量數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn):對于任意的k∈N*,壽命為k+1的樣本在壽命超過k的樣本里的數(shù)量占比與壽命為1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同,均等于0.1,這種現(xiàn)象被稱為“幾何分布的無記憶性”.(i)求P(X=k)(k∈N*)的表達式;(ii)推導該植物壽命的期望E(X).附:相關(guān)系數(shù)r=i=1解析(1)由i=115(xi?x)2=45,i=115(yi?y得相關(guān)系數(shù)r=i=115(xi?(2)(i)依題意,P(X=1)=P(X=k+1|X>k)=0.1,又P(X=k+1|X>k)=P(X=k+1)P(X>k),則P(X=k+1)當k≥2時,把k換成k-1,得P(X=k)=0.1P(X>k-1)②,①-②,得P(X=k)-P(X=k+1)=0.1P(X=k),即P(X=k+1)P(又P(X=2)=0.1P(X>1)=0.1×(1-P(X=1))=0.9P(X=1),于是P(X=k+1)P(X=從而{P(X=k)}是首項為0.1,公比為0.9的等比數(shù)列,所以P(X=k)=0.1×0.9k-1.(ii)由定義知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+…+kP(X=k)=0.1×0.90+0.2×0.91+…+0.1×(k-1)×0.9k-2+0.1×k×0.9k-1=0.1[0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1],令Tk=1×0.90+2×0.91+…+(k-1)×0.9k-2+k×0.9k-1,則0.9Tk=1×0.91+2×0.92+…+(k-1)×0.9k-1+k×0.9k,兩式相減得0.1T