第08講 函數(shù)的概念及其表示（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數(shù)學(xué)銜接（新人教版）

第08講函數(shù)的概念及其表示【學(xué)習(xí)目標】1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域．2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法，列表法，解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．【基礎(chǔ)知識】一、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空實數(shù)集，如果對于集合A中的任何一個x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一的y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作.2.函數(shù)的定義域與值域函數(shù)y＝f(x)中，x叫做自變量，x的取值集合A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集。3.對應(yīng)關(guān)系f：除解析式、圖象表格外，還有其他表示對應(yīng)關(guān)系的方法，引進符號統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系．【解讀】當A，B為非空數(shù)集時，符號“f：A→B”表示A到B的一個函數(shù)．集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性．符號“f”它表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣．二、區(qū)間概念(a，b為實數(shù)，且a<b)【解讀】應(yīng)用區(qū)間時的3個注意點1.區(qū)間是數(shù)集，區(qū)間的左端點小于右端點．2.在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆．3.用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心圈表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點．三、判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件1.A、B必須是非空數(shù)集．2.A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng)．四、根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法1.任取一條垂直于x軸的直線l.2.在定義域內(nèi)平行移動直線l.3.若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)．五、求函數(shù)定義域的幾種類型1.若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是R.2.若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．3.若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零．4.若f(x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集．5.若f(x)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義．6.已知f(x)的定義域，求f[g(x)]的定義域：若f(x)的定義域為[a，b]，則f[g(x)]中a≤g(x)≤b，從中解得x的取值集合即為f[g(x)]的定義域．7.已知f[g(x)]的定義域，求f(x)的定義域：若f[g(x)]的定義域為[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為f(x)的定義域．六、函數(shù)的三要素1.由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域2.相同函數(shù)值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，我們就稱這兩個函數(shù)是同一函數(shù)．兩個函數(shù)如果僅對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，則它們不是相同的函數(shù)．3.判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的方法判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，要先求定義域，若定義域不同，則不是同一函數(shù)；若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，看對應(yīng)關(guān)系是否相同．七、函數(shù)求值的方法1.已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值．2.求f[g(a)]的值應(yīng)遵循由里往外的原則．3.求函數(shù)值域常用的4種方法①觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到；②配方法：當所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時，可利用配方法求其值域；③分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；④換元法：即運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋eq\r(cx＋d)(其中a，b，c，d為常數(shù)，且a≠0)型的函數(shù)常用換元法．八、理解函數(shù)的表示法的3個關(guān)注點1.列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念．2.判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿足函數(shù)的定義．3.函數(shù)的三種表示法互相兼容或補充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主．九、求函數(shù)解析式的3種常用方法1.待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式．如典例3(1)．2.換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數(shù)f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，從而求出f(x)．3.解方程組法：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．十、分段函數(shù)1.分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．2.分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集【解讀】1.分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)．2.分段函數(shù)的“段”可以是等長的，也可以是不等長的．如y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，－2≤x≤0，,x，0<x≤3，))其“段”是不等長的．3.分段函數(shù)的圖象要分段來畫．4.分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求解．對于含有多層“f”的問題，要按照“由內(nèi)到外”的順序，逐層處理．5.已知函數(shù)值，求自變量的值時，要先將“f”脫掉，轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的方程求解．【考點剖析】考點一：函數(shù)關(guān)系的判斷例1．(2022學(xué)年安徽省六安中學(xué)高一上學(xué)期期中)設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4個圖形中，不能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的序號有______.【答案】①③④【解析】對①，由圖知：，不符合函數(shù)的定義域，故①錯誤；對②，由圖知：，，圖象符合函數(shù)的定義，故②正確.對③，由圖知：，不符合函數(shù)的值域，故③錯誤；對④，不符合函數(shù)定義，不是函數(shù)圖象，故④錯誤.故答案為①③④考點二：用區(qū)間表示數(shù)集例2．下列集合不能用區(qū)間的形式表示的個數(shù)為(

)①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】區(qū)間形式可以表示連續(xù)數(shù)集，是無限集①②是自然數(shù)集的子集，③是空集為有限集，都不能用區(qū)間形式表示，④是圖形的集合，不是數(shù)集，等邊三角形組成的集合．⑥Q是有理數(shù)，數(shù)軸上大于1的有理數(shù)不是連續(xù)的，故只有⑤可以，區(qū)間形式為，故答案為D.考點三：求函數(shù)定義域例3．(2022學(xué)年新疆喀什地區(qū)疏附縣高一上學(xué)期期末)函數(shù)中，自變量x的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．【答案】B【解析】由題意知，，解得，即函數(shù)的定義域為.故選B考點四：同一函數(shù)的判斷例4．(多選)(2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一上學(xué)期段考)下列選項中能表示同一個函數(shù)的是(

)A．與 B．與C．， D．，【答案】BCD【解析】對于A：的定義域為，的定義域為，A不正確；對于B、C：顯然定義域均為，雖然解析式書寫形式不一樣，但對應(yīng)關(guān)系相同，B、C正確；對于D：顯然定義域均為，，則，，D正確；故選BCD．考點五：求函數(shù)值與值域例5．已知函數(shù)，(1)點在的圖象上嗎？(2)當時，求的值；(3)當時，求x的值；(4)求的值.【解析】(1)將x=3代入解析式得，故點(3,4)不在函數(shù)圖像上；(2)將x=4代入函數(shù)解析式得；(3)若，則，解得x=14；(4)，.考點六：求函數(shù)解析式例6．設(shè)函數(shù)，則的表達式為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則且，所以，，因此，.故選B.考點七：函數(shù)圖象問題例7．(2022學(xué)年甘肅省甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)下列所給4個圖象中，與所給3件事吻合最好的順序為(

)(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；(2)我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.A．(1)(2)(4) B．(2)(3)(4)C．(1)(3)(4) D．(4)(1)(2)【答案】D【解析】(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；根據(jù)描述，離家的距離先增加，再減少到零，再增加，如此只有圖像(4)符合；(2)我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；根據(jù)描述，離家的距離應(yīng)該先沿直線上升，然后與x軸平行，最后繼續(xù)沿直線上升，符合的為圖像(1)；(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.圖像應(yīng)該先緩慢上升，后快速上升，符合的圖像為(2).故選D.考點八：分段函數(shù)問題例8．(2022學(xué)年四川省攀枝花市第七高級中學(xué)校高一上學(xué)期月考)已知函數(shù)則的值為________【答案】35【解析】由題意，．【真題演練】1．(2022學(xué)年新疆喀什市高一上學(xué)期期末)下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是(

)A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】由題意得：對于選項A：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：的定義域為，的定義域為，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：的定義域為，的定義域為，這兩函數(shù)的定義域相同，且對應(yīng)關(guān)系也相同，所以表示相同的函數(shù)，故C正確；對于選項D：的定義域為，的定義域為或，所以這兩個函數(shù)的定義域不同，不表示相同的函數(shù)，故D錯誤.故選C2.(2022學(xué)年四川省自貢市高一上學(xué)期期末)函數(shù)的定義域為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，解得且，故選D3.(2020-2021學(xué)年廣東省梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一上學(xué)期段考)已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動．設(shè)點P運動的路程為x，的面積為S，則函數(shù)的圖象是(

)．A． B．C． D．【答案】D【解析】依據(jù)題意，有則函數(shù)的圖象是由三段折線段構(gòu)成，故排除選項ABC.故選D4.(多選)(2022學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高一上學(xué)期期中)下列函數(shù)，值域為的是(

)A． B． C． D．【答案】AC【解析】當時，，故A滿足；當時，，故B不滿足；，故C滿足；，故D不滿足；故選AC5.(多選)(2022學(xué)年廣西河池市八校高一上學(xué)期第二次聯(lián)考)設(shè)函數(shù)若，則實數(shù)a的值可以是(

)A． B．2 C． D．【答案】BC【解析】當時，，由得，，則，當時，，由得，或(舍去)，則，所以實數(shù)a的值是或.6.(2020-2021學(xué)年四川省甘孜藏族自治州瀘定縣高一上學(xué)期期末)已知函數(shù)，那么的表達式是___________.【答案】【解析】，令，則，故，故，7.(2022學(xué)年福建省漳州市第一中學(xué)高一上學(xué)期期中)已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義城是________.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，只需，即，所以函數(shù)的定義城是.8.(2022學(xué)年江西省宜春市銅鼓中學(xué)高一上學(xué)期階段性測試)已知函數(shù)(1)求的值；(2)若，求的值；(3)請在給定的坐標系中畫出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象說出函數(shù)的值域【解析】(1)因為，所以(2)當時，，不合題意，應(yīng)舍去當時，解之得或(舍)當時，，則綜上，或(3)值域為【過關(guān)檢測】1.(2020-2021學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市第四中學(xué)高一上學(xué)期期中)函數(shù)的定義域為(

)A．［-1，+∞) B．［-1，2)∪(2，+∞)C．(-1，+∞) D．［2，+∞)【答案】B【解析】依題意且.所以函數(shù)的定義域為.故選B2.(2022學(xué)年四川省自貢市田家柄中學(xué)教育集團高一上學(xué)期期中)函數(shù)的值域是(

)A． B．C． D．【答案】C【解析】，從而可知函數(shù)的值域為.故選C3.(2022學(xué)年湖北省孝感市普通高中高一上學(xué)期期中)下列函數(shù)中與函數(shù)是同一函數(shù)的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為R.對于A：的定義域為，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故A錯誤；對于B：的定義域為，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故B錯誤；對于C：的定義域為R，但是，故與函數(shù)不是同一函數(shù).故C錯誤；對于D：的定義域為R，且，故與函數(shù)是同一函數(shù).故D正確.故選D.4.(2022學(xué)年河北省武強中學(xué)高一上學(xué)期期中)函數(shù)的圖象如圖，則的解集為(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖可知，的定義域的定義域為，且經(jīng)過點，而，解得，所以.所以，解得.所以，所以不等式，得，即，等價于，解得，綜上，所求不等式的解集為.故選D.5.(多選)(2022學(xué)年江蘇省淮安市楚中、新馬、淮海三校高一上學(xué)期期中