湖南省湘潭市名校2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．在一個(gè)有10萬(wàn)人的小鎮(zhèn)，隨機(jī)調(diào)查了1000人，其中有120人周六早上觀看中央電視臺(tái)的“朝聞天下”節(jié)目，那么在該鎮(zhèn)隨便問(wèn)一個(gè)人，他在周六早上觀看中央電視臺(tái)的“朝聞天下”節(jié)目的概率大約是（）A． B． C． D．2．如圖，以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)，交直角邊AC于點(diǎn)E，B、E是半圓弧的三等分點(diǎn)，弧BE的長(zhǎng)為π，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，則BC＝（）A．15 B．6 C．9 D．84．下列圖形是我國(guó)國(guó)產(chǎn)品牌汽車的標(biāo)識(shí)，在這些汽車標(biāo)識(shí)中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．5．如圖，電線桿的高度為，兩根拉線與相互垂直，，則拉線的長(zhǎng)度為（、、在同一條直線上）（）A． B． C． D．6．如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝110°，則∠α＝()A．70° B．110° C．120° D．140°7．《孫子算經(jīng)》中有一道題:“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”譯文大致是:“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余尺，問(wèn)木條長(zhǎng)多少尺？”如果設(shè)木條長(zhǎng)尺，繩子長(zhǎng)尺，可列方程組為（）A． B． C． D．8．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則這個(gè)函數(shù)的圖象一定還經(jīng)過(guò)點(diǎn)（）A． B． C． D．9．在x2□2xy□y2的空格□中,分別填上“+”或“-”,在所得的代數(shù)式中,能構(gòu)成完全平方式的概率是()A．1 B． C． D．10．方程5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．5、6、﹣8B．5，﹣6，﹣8C．5，﹣6，8D．6，5，﹣8二、填空題(每小題3分,共24分)11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“圓中方形”問(wèn)題：“今有圓田一段，中間有個(gè)方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無(wú)疑，內(nèi)方圓徑若能知，堪作算中第一．”其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn)．如果你能求出正方形的邊長(zhǎng)是x步，則列出的方程是_______________．12．某地區(qū)2017年投入教育經(jīng)費(fèi)2500萬(wàn)元，2019年計(jì)劃投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬(wàn)元，則2017年至2019年，該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為_(kāi)____．13．如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物AB、標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處，在G處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上；從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處，在H處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上，則建筑物的高是__________米．14．反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，3），則k的值為_(kāi)____．15．如圖，在正方體的展開(kāi)圖形中，要將﹣1，﹣2，﹣3填入剩下的三個(gè)空白處（彼此不同），則正方體三組相對(duì)的兩個(gè)面中數(shù)字互為相反數(shù)的概率是______．16．在一個(gè)暗箱里放有m個(gè)除顏色外其他完全相同的小球，這m個(gè)小球中紅球只有4個(gè)，每次將球攪勻后，任意摸出一個(gè)球記下顏色再放回暗箱．通過(guò)大量重復(fù)摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，那么可以推算m大約是_____．17．如圖，在△ABC中，∠BAC＝33°，將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)50°，對(duì)應(yīng)得到△AB′C′，則∠B′AC的度數(shù)為_(kāi)___．18．計(jì)算sin60°tan60°－cos45°cos60°的結(jié)果為_(kāi)_____．三、解答題(共66分)19．（10分）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)時(shí)．(1)求證：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為，對(duì)角線AE，DF相交于點(diǎn)O，連接OC，求OC的長(zhǎng)度．20．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A（2，m）.（1）求m和k的值；（2）點(diǎn)P（xP，yP）是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線，交直線y=x于點(diǎn)B.①當(dāng)yP=4時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；②當(dāng)BP3時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)yP的取值范圍．21．（6分）某商店準(zhǔn)備進(jìn)一批季節(jié)性小家電，單價(jià)40元．經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售定價(jià)為52元時(shí)，可售出180個(gè)；定價(jià)每增加1元，銷售量將減少10個(gè)．商店若準(zhǔn)備獲利2000元，則售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？22．（8分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC．上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合)，且連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接DE，DF，GE，GF(1)求證:四邊形EDFG是正方形;(2)直接寫出當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最小?最小值是多少?23．（8分）如圖，某科技物展覽大廳有A、B兩個(gè)入口，C、D、E三個(gè)出口.小昀任選一個(gè)入口進(jìn)入展覽大廳，參觀結(jié)束后任選一個(gè)出口離開(kāi).(1)若小昀已進(jìn)入展覽大廳，求他選擇從出口C離開(kāi)的概率.(2)求小昀選擇從入口A進(jìn)入，從出口E離開(kāi)的概率.(請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖求解)24．（8分）已知是一張直角三角形紙片，其中，，小亮將它繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，交直線于點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，所在直線與線段有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）如圖2，當(dāng)，求為等腰三角形時(shí)的度數(shù).25．（10分）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的外部，AD∥BC，點(diǎn)E在邊AB上，AB?AD＝BC?AE．(1)求證：∠BAC＝∠AED；(2)在邊AC取一點(diǎn)F，如果∠AFE＝∠D，求證：．26．（10分）如圖①，拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．已知△ABC的面積為1．（1）求這條拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖②，M是拋物線上一點(diǎn)，N是射線CA上的一點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，A、N是位于直線BM同側(cè)的不同兩點(diǎn)．若點(diǎn)M到x軸的距離為d，△MNB的面積為2d，且∠MAN＝∠ANB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解析】試題解析：由題意知：1000人中有120人看中央電視臺(tái)的早間新聞，∴在該鎮(zhèn)隨便問(wèn)一人，他看早間新聞的概率大約是．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式和用樣本估計(jì)總體，概率計(jì)算一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．2、D【分析】首先根據(jù)圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數(shù)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出BC，AC的長(zhǎng)，利用S△ABC﹣S扇形BOE＝圖中陰影部分的面積求出即可【詳解】解：連接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圓弧的三等分點(diǎn)，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAC＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵弧BE的長(zhǎng)為π，∴＝π，解得：R＝2，∴AB＝ADcos30°＝2，∴BC＝AB＝，∴AC＝＝3，∴S△ABC＝×BC×AC＝××3＝，∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面積相等，∴圖中陰影部分的面積為：S△ABC﹣S扇形BOE＝﹣＝﹣．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了扇形的面積計(jì)算以及三角形面積求法等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BOE和△ABE面積相等是解題關(guān)鍵．3、D【分析】首先根據(jù)正弦函數(shù)的定義求得AC的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求得BC的長(zhǎng)．【詳解】解：∴直角△ABC中，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角形的正弦函數(shù)，理解熟記正弦三角函數(shù)定義是解決本題的關(guān)鍵．4、B【解析】由中心對(duì)稱圖形的定義：“把一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，能夠與自身完全重合，這樣的圖形叫做中心對(duì)稱圖形”分析可知，上述圖形中，A、C、D都不是中心對(duì)稱圖形，只有B是中心對(duì)稱圖形.故選B.5、B【分析】先通過(guò)等量代換得出，然后利用余弦的定義即可得出結(jié)論．【詳解】故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．6、D【分析】作所對(duì)的圓周角∠ADB，如圖，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ADB＝70°，然后根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：作所對(duì)的圓周角∠ADB，如圖，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOB＝2∠ADB＝140°．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半7、D【分析】根據(jù)“一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺”可知：繩子－木條=4.5，再根據(jù)“將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺”可知：木條－繩子=1，據(jù)此列出方程組即可．【詳解】由題意可得，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的二元一次方程組．8、A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義，得，分別判斷各點(diǎn)的乘積是否等于，即可得到答案.【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴；∵，故A符合題意；∵，，，故B、C、D不符合題意；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟記定義，熟練掌握.9、C【解析】能夠湊成完全平方公式，則2xy前可是“－”，也可以是“＋”，但y2前面的符號(hào)一定是：“＋”，此題總共有(－，－)、(＋，＋)、(＋，－)、(－，＋)四種情況，能構(gòu)成完全平方公式的有2種，所以概率為：.故答案為C點(diǎn)睛：讓填上“＋”或“－”后成為完全平方公式的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.此題考查完全平方公式與概率的綜合應(yīng)用，注意完全平方公式的形式.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.10、C【解析】根據(jù)一元二次方程的一般形式進(jìn)行解答即可.【詳解】5x2=6x﹣8化成一元二次方程一般形式是5x2﹣6x+8=0，它的二次項(xiàng)系數(shù)是5，一次項(xiàng)系數(shù)是﹣6，常數(shù)項(xiàng)是8，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)圓的面積-正方形的面積=可耕地的面積即可解答.【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)是x步，圓的半徑為（）步∴列方程得：.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的面積計(jì)算公式，解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.12、10%【解析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后2019年的經(jīng)費(fèi)為2500(1+x)2；2019年投入教育經(jīng)費(fèi)3025萬(wàn)元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合題意舍去）.所以2017年到2019年該地區(qū)投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為10%.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用--求平均變化率的方法,能夠列出式子是解答本題的關(guān)鍵.13、54【解析】設(shè)建筑物的高為x米，根據(jù)題意易得△CDG∽△ABG，∴，∵CD＝DG＝2，∴BG＝AB＝x，再由△EFH∽△ABH可得，即，∴BH＝2x，即BD＋DF＋FH＝2x，亦即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54，即建筑物的高是54米．14、-1【解析】將點(diǎn)（?2，3）代入解析式可求出k的值．【詳解】把（?2，3）代入函數(shù)y＝中，得3＝，解得k＝?1．故答案為?1．【點(diǎn)睛】主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式．先設(shè)y＝，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出k值，即得到反比例函數(shù)的解析式．15、【解析】根據(jù)隨機(jī)事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．二者的比值就是其發(fā)生的概率的大?。驹斀狻拷猓簩?1、-2、-3分別填入三個(gè)空，共有3×2×1=6種情況，其中三組相對(duì)的兩個(gè)面中數(shù)字和均為零的情況只有一種，故其概率為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法與運(yùn)用．一般方法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率.16、1【分析】由于摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，由此可以確定摸到紅球的概率為25%，而m個(gè)小球中紅球只有4個(gè)，由此即可求出m．【詳解】∵摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，∴摸到紅球的概率為25%，而m個(gè)小球中紅球只有4個(gè)，∴推算m大約是4÷25%=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，其中解題時(shí)首先通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到事件的頻率，然后利用頻率估計(jì)概率即可解決問(wèn)題．17、17°【詳解】解：∵∠BAC=33°,將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)50°,對(duì)應(yīng)得到△AB′C′，∴∠B′AC′=33°,∠BAB′=50°，∴∠B′AC的度數(shù)=50°?33°=17°.故答案為17°.18、1【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入求出答案．【詳解】解：原式=1【點(diǎn)睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、(1)證明見(jiàn)解析；(1)【分析】（1）由題意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，則有∠DAB＝∠FAC，進(jìn)而可證AB＝AC，然后問(wèn)題可證；（1）由（1）可得△ABD≌△ACF，則有∠ABD＝∠ACF，進(jìn)而可得∠ACF＝135°，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可求解．【詳解】(1)證明：∵四邊形ADEF為正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠FAC，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABD≌△ACF(SAS)；(1)解：由(1)知△ABD≌△ACF，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝135°，由(1)知∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∵正方形ADEF邊長(zhǎng)為，∴DF＝4，∴OC＝DF＝×4＝1．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20、（1）m=2，k=4；（2）①BP=3；②yP≥4或0<yP≤1【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線y=x中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值；（2）①由題可知點(diǎn)P和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都為4，將縱坐標(biāo)分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式得相應(yīng)橫坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo),求出BP.②根據(jù)函數(shù)與不等式的關(guān)系，即可得到答案.【詳解】（1）解：將A（2，m）代入直線y=x，得m=2,所以A(2,2),將A（2,2）代入反比例函數(shù)，得：，則k=4綜上所述，m=2，k=4.（2）①解：作圖：當(dāng)yP=4時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)B的縱坐標(biāo)都為4當(dāng)將y=4，代入得x=1,即P點(diǎn)坐標(biāo)（1,4）當(dāng)將y=4，代入y=x得x=4,即B點(diǎn)坐標(biāo)（4,4）∴BP=3②由圖可知BP3時(shí)，縱坐標(biāo)yP的范圍：yP≥4或0<yP≤1【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)參數(shù)的求法，以及函數(shù)與不等式的關(guān)系，掌握解題方法是解答此題的關(guān)鍵.21、當(dāng)該商品每個(gè)單價(jià)定為50元時(shí)，進(jìn)貨200個(gè)；每個(gè)單價(jià)為60元時(shí)，進(jìn)貨100個(gè).【解析】試題分析：利用銷售利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，根據(jù)題中條件可以列出利潤(rùn)與的關(guān)系式，求出即可．試題解析：設(shè)每個(gè)商品的定價(jià)是元.由題意，得整理，得解得都符合題意.答：當(dāng)該商品每個(gè)單價(jià)定為50元時(shí)，進(jìn)貨200個(gè)；每個(gè)單價(jià)為60元時(shí)，進(jìn)貨100個(gè).22、（1）詳見(jiàn)解析；（2）當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4【解析】（1）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠A=∠DCF=45°、AD=CD，結(jié)合AE=CF可證出△ADE≌△CDF（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=∠CDF，通過(guò)角的計(jì)算可得出∠EDF=90°，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD，即可得出GD⊥EF，且GD=2OD=EF，由此即可證出四邊形EDFG是正方形；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE′⊥AC于E′，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE′的長(zhǎng)度，從而得出2≤DE＜2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值．【詳解】(1)證明:連接CD，如圖1所示.∵為等腰直角三角形，，D是AB的中點(diǎn)，∴在和中，∴，∴,∵，∴，∴為等腰直角三角形.∵O為EF的中點(diǎn)，，∴，且，∴四邊形EDFG是正方形;(2)解:過(guò)點(diǎn)D作于E′，如圖2所示.∵為等腰直角三角形，，∴，點(diǎn)E′為AC的中點(diǎn)，∴(點(diǎn)E與點(diǎn)E′重合時(shí)取等號(hào)).∴∴當(dāng)點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）找出GD⊥EF且GD=EF；（2）根據(jù)正方形的面積公式找出4≤S四邊形EDFG＜1．23、(1);(2)【分析】（1）用列舉法即可求得；（2）畫樹(shù)狀圖（見(jiàn)解析）得出所有可能的結(jié)果，再分析求解即可.【詳解】（1）小昀選擇出口離開(kāi)時(shí)的所有可能有3種：C、D、E，每一種可能出現(xiàn)的可能性都相等，因此他選擇從出口C離開(kāi)的概率為：；（2）根據(jù)題意畫樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種，即（AC）、（AD）、（AE）、（BC）、（BD）、（BE），這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等所以小昀選擇從入口A進(jìn)入，出口E離開(kāi)（即AE）的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了用列舉法求概率，列出事件所有可能的結(jié)果是解題關(guān)鍵.24、（1）BD與FM互相垂直，理由見(jiàn)解析；（2）β的度數(shù)為30°或75°或120°．【分析】（1）由題意設(shè)直線BD與FM相交于點(diǎn)N，即可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷直線BD與線段MF垂直；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MAD=β，分類討論：當(dāng)KA=KD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當(dāng)DK=DA時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DKA=∠DAK，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠DAK=75°，即β=75°；當(dāng)AK=AD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AKD=∠D=30°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠KAD=120°，即β=120°．【詳解】解：（1）BD與FM互相垂直，理由如下設(shè)此時(shí)直線BD與FM相交于點(diǎn)N∵∠DAB=90°，∠D=30°∴∠ABD=90°-∠D=60°，∴∠NBM=∠ABD=60°由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°-60°=90°∴BD與FM互相垂直（2）當(dāng)KA=KD時(shí)，則∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當(dāng)DK=DA時(shí)，則∠DKA=∠DAK，∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；當(dāng)AK=AD時(shí)，則∠AKD=∠D=30°，∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，綜上所述，β的度數(shù)為30°或75°或120°．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．應(yīng)用分類討論思想和等腰三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25、見(jiàn)解析【解析】（1）欲證明∠BAC＝∠AED，只要證明△CBA∽△DAE即可；（2）由△DAE∽△CBA，可得，再證明四邊形ADEF是平行四邊形，推出DE＝AF，即可解決問(wèn)題；【詳解】證明（1）∵AD∥BC，∴∠B＝∠DAE，∵AB·AD＝BC·AE，∴，∴△CBA∽△DAE，∴∠BAC＝∠AED．（2）由（1）得△DAE∽△CBA∴∠D＝∠C，，∵∠AFE＝∠D，∴∠AFE＝∠C，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD，∵∠BAC＝∠AED，∴DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴DE＝AF，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．26、（1）y＝x2+2x﹣3；（2）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，1）【分析】（1）分別令y＝0,x＝0,可表示出A、B、C的坐標(biāo)，從而表示△ABC的面積，求出a的值繼而即可得二次函數(shù)解析式；（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方拋物線上時(shí)，平移BC所在的直線過(guò)點(diǎn)O交x軸上方拋物線于點(diǎn)P，則有BC∥OP，此時(shí)∠POB＝∠CBO，聯(lián)立拋物線得解析式和OP所在直線的解析式解方程組即可求解；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，取BC的中點(diǎn)D，易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），連接OD并延長(zhǎng)交x軸下方的拋物線于點(diǎn)P，由直角三角形斜邊中線定理可知，OD＝BD，∠DOB＝∠CBO即∠POB＝∠CBO，聯(lián)立拋物線的解析式和O