中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)觀

第一篇中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)觀的基本理論

第一章基本理論的結(jié)構(gòu)框架

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的結(jié)構(gòu)觀既不等同于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)觀，也不同于課堂教學(xué)的結(jié)構(gòu)觀。

它與知識的結(jié)構(gòu)、課堂的結(jié)構(gòu)都有著緊密的聯(lián)系。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識的結(jié)構(gòu)化，系統(tǒng)

化無疑是教學(xué)論中一條極其重要的原則。無論從知識的發(fā)生、發(fā)展、變化、演繹的過程來看，

還是從知識在運用中從單一到綜合，從簡單到復(fù)雜的辯證關(guān)系看，都始終存在著一種相對的

知識系統(tǒng)的關(guān)系，都必須以依附于一定的規(guī)律為前提，那么作為對知識講授的課堂教學(xué)，如

何將知識與方法的教學(xué)與課堂的結(jié)構(gòu)緊密的的結(jié)合在一起，使得我們的教學(xué)達(dá)到最優(yōu)化，這

是我們不得不考慮的問題。數(shù)學(xué)教師，對教學(xué)改革的重要之點，就是應(yīng)在實踐過程中，努力

去研究和探討這種知識與教學(xué)之間系統(tǒng)關(guān)系及規(guī)律性，以使我們在教學(xué)中，無論是從宏觀上

還是在每一個具體問題上，都能立于一種較高的觀點和較新的思想之下。

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下面，我們用集合論與系統(tǒng)論的觀點，對“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)”給予如下的描述：

設(shè)全集1=知識結(jié)構(gòu)，把I中的元素a（知識點）按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，劃分成不同系統(tǒng)，

記為Ai（i=l,2,3,…，且允許Ai存在子系統(tǒng)）.顯然Ayl，I=Ai|j2U…。我們有

（1）系統(tǒng)Ai具有把I中某些元素吸附到本系統(tǒng)之中的性質(zhì)，我們稱為系統(tǒng)的“可

凝聚性”。

（2）I中的元素具有依附到某些特定系統(tǒng)之中的性質(zhì)，我們稱為元素的“可從屬

性”。

（3）由于系統(tǒng)的可凝聚性及元素的可從屬性，顯然I中系統(tǒng)Ai并非孤立的，它們

可望通過元素出在不同系統(tǒng)中出現(xiàn)而形成特定的有機(jī)結(jié)合，我們稱為系統(tǒng)的

“可結(jié)合性:為了刻劃各系統(tǒng)結(jié)合的程度，我們用P=（AipAj）（n）表示

它們結(jié)合的度數(shù)，即兩系統(tǒng)間的共同知識越多（元素越多），則P值越大，

此時Ai與Aj結(jié)合的程度越高。

通過以上的描述，我們將要研究知識結(jié)構(gòu)及各類系統(tǒng)的功能作用這個重要問題。

無疑，知識點在相關(guān)的系統(tǒng)中都具有其特定的功能（例如一元二次方程根的判別式在代

數(shù)方程系統(tǒng)中，具有判定一元二次方程有無實根的功能）。顯然，知識點功能的大小取決于

它在各系統(tǒng)中出現(xiàn)的頻率，即其可從屬性越大，那么功能也越大，反之亦真。但我們卻不能

簡單地認(rèn)為Ai的功能是其元素看的功能和。因為它功能的大小還取決于它與別系統(tǒng)的結(jié)合

度數(shù)。加之我們對問題探討的不斷深入和認(rèn)識的不斷提高，系統(tǒng)的功能與元素的功能也會不

斷的變化和加強(qiáng)。

為此，如何把知識歸類和系統(tǒng)化，以正確體現(xiàn)和深刻揭示系統(tǒng)的功能就成為教學(xué)中應(yīng)該

著意思考的問題之一。

1.加強(qiáng)對知識發(fā)生、演變、深化過程的教學(xué)，使新的知識點迅速地納入原有的知識網(wǎng)

絡(luò)以形成新的系統(tǒng)，這不僅是復(fù)習(xí)課應(yīng)考慮的問題，也是任何其它類型的課應(yīng)遵循的原則。

例如關(guān)于不等式性質(zhì)的教學(xué)，其理論是實數(shù)的性質(zhì)和實數(shù)的運算性質(zhì)："a—b>Ooa>b。"

這里，a-b是實數(shù)運算，a—b>0是實數(shù)的性質(zhì)，a>b是實數(shù)的大小比較，它們之間的銜

接是實數(shù)的運算性質(zhì)。在不等式的教學(xué)中，立足于實數(shù)運算性質(zhì)和實數(shù)的性質(zhì)，就可較為成

功地引出相關(guān)的不等式性質(zhì)。學(xué)生既不會感到突然和不易理解，同時知識的結(jié)構(gòu)化，系統(tǒng)化

也明顯地得以加強(qiáng)和擴(kuò)展。教學(xué)表明，用這樣的思想方法處理教材，是突破難點的有效手段。

當(dāng)然，對教師就有一個如何設(shè)計課堂結(jié)構(gòu)，如何抓住基礎(chǔ)的問題。

我們還需指出的是，任何知識點除具有可從屬性之外，也必然存在反映其本質(zhì)的特定性,

這也是不同的知識點（甚至同一系統(tǒng)中）相互有別的標(biāo)志.一個科學(xué)的完整的知識系統(tǒng)的建

立與此息息相關(guān)。例如反三角函數(shù)，它作為一種從屬于三角函數(shù)的系統(tǒng)，但又以其特定的“區(qū)

間性”區(qū)別于其它的角（這是反三角函數(shù)存在的條件）。這就是它的本質(zhì)特征。在教學(xué)中，

如果不從它的從屬性和特定性兩個方面充分地展示知識點的形成過程，那么又如何能夠有效

發(fā)揮它的功能呢？

2.加強(qiáng)對知識可從屬性的教學(xué)

在教學(xué)中如何體現(xiàn)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)會知識的可從屬性,不僅是教師能力強(qiáng)弱的重要

標(biāo)志，也是教師把握知識結(jié)構(gòu)能力高低的重要標(biāo)志，同時還會直接影響學(xué)生接受知識和運用

知識的深刻性，如一元二次方程根的判別式及其根與系數(shù)的關(guān)系，在方程系統(tǒng)中的解決方程

的根的性質(zhì)為其功能。隨著教學(xué)的不斷深入，知識的不斷積累，其可從屬性也逐漸加強(qiáng)。在

代數(shù)中，函數(shù)的圖象，值域的有關(guān)問題，不等式的證明，解析幾何中曲線的位置關(guān)系，交點

的個數(shù)，弦長，參數(shù)方程等均出現(xiàn)其滲透的例證。因而，教學(xué)的過程既是一個知識如何獲得

的過程，也是將知識不斷進(jìn)行分類、整理、歸并和發(fā)展的過程，這就對教師如何引導(dǎo)學(xué)生類

比、聯(lián)想、分析、綜合提出了較高的要求。因為知識的可從屬性從根本上看，正是知識的內(nèi)

涵和外延深刻反映的表象。

3.加強(qiáng)知識系統(tǒng)間可結(jié)合性的教學(xué)

知識系統(tǒng)的可結(jié)合性正是系統(tǒng)中元素可從屬性的反映，它的結(jié)合度數(shù)的高低，實質(zhì)是其

元素橫向滲透能力的表現(xiàn)，一些看來孤立的知識點，由于不斷出現(xiàn)新的從屬關(guān)系而產(chǎn)生新的

功能，這些新的功能正是系統(tǒng)可結(jié)合性的反映，這些知識點由于它的多重屬性，作為連接知

識系統(tǒng)的橋梁，分別作用于其從屬系統(tǒng)，一方面使各知識系統(tǒng)不斷更新和發(fā)展，另一方面促

進(jìn)知識結(jié)構(gòu)向更高層次進(jìn)化。例如復(fù)數(shù)一章的教學(xué)，由于復(fù)數(shù)可用復(fù)平面上的點、有向線段

及三角形式、代數(shù)形式表示，因而就使得復(fù)數(shù)的相關(guān)知識緊密地從屬于平面幾何，解析幾何、

三角和代數(shù)的特定系統(tǒng)之中，反之，又產(chǎn)生復(fù)數(shù)在平幾、解幾、三角和代數(shù)等問題中應(yīng)用的

現(xiàn)象，這正是知識的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化鮮明而生動的例證。

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前面我們已經(jīng)論述到知識結(jié)構(gòu)及知識系統(tǒng)的形成和功能。作為對問題的進(jìn)一步探討，應(yīng)

該研究的是結(jié)構(gòu)中的知識點是通過什么樣的途徑和方式形成并產(chǎn)生從屬作用的？又是如何

相互發(fā)生關(guān)系而形成知識網(wǎng)絡(luò)的呢？它們在解決問題的過程中是如何產(chǎn)生特定的功能作用

的呢?這里，不能不涉及到三個重要的問題：即學(xué)科思想、數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)方法。

1.它們互相間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系

學(xué)科思想，指的是對知識系統(tǒng)構(gòu)成的基本方式，和解決問題時的一般方式、原則的一種

指導(dǎo)思想。作為思想，它滲透到學(xué)科知識的每一個環(huán)節(jié)之中。例如，解析幾何就是用代數(shù)方

法去研究平面幾何圖形的大小、位置關(guān)系及性質(zhì)的一門學(xué)科，這就是對解析幾何準(zhǔn)確理解和

把握的指導(dǎo)思想。其系統(tǒng)連接的基本方式是用方程和數(shù)式的變形去處理各種幾何圖形的性

質(zhì)、變化和相互關(guān)系。

關(guān)于數(shù)學(xué)思維方法與數(shù)學(xué)方法有人統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)方法。我們覺得這似乎不盡準(zhǔn)確，至少對

我們論述問題是不方便的。事實上，數(shù)學(xué)方法指的是解決數(shù)學(xué)問題的特定方法（如待定系數(shù)

法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法、圖象法等）。其實質(zhì)為一種手段。而數(shù)學(xué)思維方法則屬于思維學(xué)

科的范疇，它實質(zhì)是尋找數(shù)學(xué)方法之“方法”，（如特殊與一般，猜想與論證，解題方法的策

略與原則等），它不是手段，而是手段產(chǎn)生前的一種更高層次的心智活動。

為表明學(xué)科思想、知識結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)思維方法及數(shù)學(xué)方法之間的關(guān)系，我們給出的如下的

框圖展現(xiàn)它們間的網(wǎng)絡(luò)連接:

從圖可知，數(shù)學(xué)思維方法起到連接三者的樞紐作用，而學(xué)科思想則起到指導(dǎo)作用

2.學(xué)科思想和數(shù)學(xué)思維方法對知識結(jié)構(gòu)的作用

我們認(rèn)為不同知識結(jié)構(gòu)的形成和知識網(wǎng)絡(luò)的演變、發(fā)展并不都是同一條件下的模

式。它們完全取決于學(xué)科思想的確立及思維活動展開的程度。例如，在解析幾何中，平面上

的點可以用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示，那么作為平面上點的特定集合一一直線，能否用數(shù)對

（x,y）的定量關(guān)系來描述呢？正是由于學(xué)科思想的指導(dǎo)性，萌動了我們?nèi)パ芯恐本€方程的

動機(jī)，而在直線方程的尋求過程中，通過了類比思維方式，即點在直線上，它必然滿足（存

在）某種特定的關(guān)系（反映在代數(shù)上，是點的坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系）。從而逐步完成了對直線

方程的研究，形成新的知識點，并從屬于已有的解析幾何知識系統(tǒng)，使系統(tǒng)得以擴(kuò)展和豐富。

而對二次曲線的研究也完全運用同一思想。這充分說明一個準(zhǔn)確的學(xué)科思想對知識結(jié)構(gòu)形成

的作用。而這個指導(dǎo)作用則是通過思維方法來實現(xiàn)的。

3.學(xué)科思想和數(shù)學(xué)思維方法對數(shù)學(xué)方法的作用

數(shù)學(xué)思維方法，在教學(xué)中，體現(xiàn)在對思維規(guī)律的充分揭示上。學(xué)科思想和思維方法不僅

僅對知識點的形成，知識網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展起到指導(dǎo)和橋梁作用，同時，還在解決數(shù)學(xué)問題時，顯

示其無比活力和選擇最佳數(shù)學(xué)方法的決策功能。例如，在數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)中，處理平面圖

形的有關(guān)問題是一個難點。如，有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不

相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成茁一n+2個部分。

為突破難點，我們首先應(yīng)該聯(lián)想平幾的有關(guān)知識。平幾的基本元素是點和線。正是由于

點和線的位置、數(shù)量的變化，構(gòu)成了豐富多彩的幾何圖形，并引起幾何圖形性質(zhì)的變化，這

是平面幾何學(xué)科思想的體現(xiàn)，為此，當(dāng)圓的個數(shù)從k個增加到k+1個時，必然影響到平面

上點（交點）的數(shù)量變化，而交點的數(shù)量變化有引起所截得的弧的變化，進(jìn)而引起平面塊數(shù)

的變化。因而，考慮“增加一個圓后，交點個數(shù)的改變量和截得弧的條數(shù)的改變量就成為突

破難點的關(guān)鍵所在。為更直觀，更簡便起見，不妨先看k=2（甚至是k=l）時，這樣情況

就十分明顯了。學(xué)生在引導(dǎo)下，通過觀察（情況簡單，易于觀察），馬上發(fā)現(xiàn)增加的交點數(shù)

與增加的平面塊數(shù)完全一樣。由此抽象到k+1個時，問題也會迎刃而解。顯見，學(xué)科思想

和數(shù)學(xué)思維方法對問題的解決產(chǎn)生了決策性的作用。

需要一提的是，各類參考書都幾乎一致認(rèn)為，一題多解是溝通各種知識間的關(guān)系，使學(xué)

生掌握各種數(shù)學(xué)方法，訓(xùn)練思維靈活性的好途徑，誠然，我們不否認(rèn)它的作用，但僅僅是為

了尋找盡可能多的解法嗎？既然找到了解決問題的途徑，是什么原因促使你再去尋找別的解

法呢？這新的解法又是如何找到呢？看來,很有必要提及數(shù)學(xué)思維方法對數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生和對

最佳數(shù)學(xué)方法選擇的決策作用。也就是說，各種解法的介紹必須植根于數(shù)學(xué)思維方法的土壤

上。否則，寧可不講，也毋濫講，以免使學(xué)生發(fā)出數(shù)學(xué)高深莫測的感嘆。

例如，求直線x+2y-2=0被圓x2+y2=2所截得的弦長。

由于弦長實質(zhì)上是兩點間的距離，當(dāng)我們把命題寫出時，學(xué)生幾乎脫口而出：求交點，

再求弦長。無疑，這不失為一種解題方法。然而，通過解方程組求交點比較麻煩，且易出錯,

從解題的美學(xué)原則分析，不符合“簡潔美”的要求，能否找到一種簡單的方法呢？以前解決

過的問題有否相似的類型呢？（這是等值思維）學(xué)生不難回憶起《解析幾何》教材中有關(guān)的

例子時，曾經(jīng)用韋達(dá)定理解決過拋物線的弦長問題，于是用類比方法找到了新的解法。我們

再提示，解幾是用代數(shù)的方法研究幾何問題，它離不開幾何圖形特有的性質(zhì)這個前提，因而

對幾何圖形性質(zhì)研究的深刻程度往往決定著命題的解決思路及繁簡（這事實上是學(xué)科思想的

作用）。于是學(xué)生就不難找到通過弦心距求弦長這一簡潔的方法。以上的分析表明，這道題

處理不僅是解決圓弦長的幾種求法，更應(yīng)該揭示這兒種解法的出現(xiàn)是以等值思維、美學(xué)原則、

學(xué)科思想為前提的。如果更進(jìn)一步把命題改為已知弦長，求直線方程或圓的方程，這對鍛煉

學(xué)生的逆向思維就更有幫助了.

從前面的論述使我們清楚地看到，學(xué)科思想與數(shù)學(xué)思維方法是教與學(xué)中最活躍的因素，

知識結(jié)構(gòu)的功能在其連接下充滿活力；數(shù)學(xué)方法在其指導(dǎo)上而更合理；課堂教學(xué)在其運用下

而倍顯生機(jī)勃勃。可以認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)課堂改革的一個重要之點就是對學(xué)科思想的深刻領(lǐng)會

與數(shù)學(xué)思維方法的充分展示0

第二章對數(shù)學(xué)思想的界定及功能的認(rèn)識

第1節(jié)數(shù)學(xué)思想的哲學(xué)意義

在第一章中，我們提到了學(xué)科思想，而所謂的學(xué)科思想從本質(zhì)上來說，其實就是數(shù)學(xué)

思想.近年來，對數(shù)學(xué)思想的研究，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)中一個熱門的話題。如前所述，作為一

種觀念，它要求滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)之中；作為對學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考察，又貫穿串于高考命題的

整個過程；作為數(shù)學(xué)解題中思維規(guī)律的提示和方法的選擇，它起著調(diào)控和決策的作用；作為

知識結(jié)構(gòu)中各個知識點的連接，它又有著橋梁和樞紐功能。因而，研究數(shù)學(xué)思想在中學(xué)教育

中的作用及意義，已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的內(nèi)容,受到人們的廣泛注意和高度重視。

那么，什么是數(shù)學(xué)思想呢？所謂數(shù)學(xué)思想，系指人們在研究數(shù)學(xué)的過程中，對其內(nèi)容、

方法、結(jié)構(gòu)、思維方法及其意義的基本看法和本體的認(rèn)識，是人們認(rèn)識數(shù)學(xué)的觀念系統(tǒng)。它

既遵循一般意義上的認(rèn)識論的基本規(guī)律，同時又是一種更高層次上的方法論；它既有著形式

邏輯上的特點，更符合辨證思維的內(nèi)涵。它屬于辨證唯物主義哲學(xué)的范疇。因此，為著對數(shù)

學(xué)思想有更深層次的認(rèn)識，筆者力圖從哲學(xué)的角度，對其作一些理性的探討和考察。

我們知道；哲學(xué)是“關(guān)于普遍聯(lián)系的科學(xué)”（《自然辨證法》，第3頁）也就是說，一切

事物、現(xiàn)象之間都存在這互相聯(lián)系、互相補(bǔ)充?；ハ嘧饔谩；ハ嘀萍s的關(guān)系，世界上沒有任

何事物、現(xiàn)象與其他事物、現(xiàn)象是無聯(lián)系的。這種聯(lián)系呈現(xiàn)五光十色的多姿多彩，有本質(zhì)聯(lián)

系，非本質(zhì)聯(lián)系，有內(nèi)在聯(lián)系，外在聯(lián)系；有必然聯(lián)系，偶然聯(lián)系；有一般聯(lián)系，特殊聯(lián)系；

還有互相補(bǔ)充、互相結(jié)合的聯(lián)系等。所以，我們在數(shù)學(xué)思想中談到的函數(shù)思想，不過是這種

哲學(xué)觀念在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，對事物現(xiàn)象之間的數(shù)量關(guān)系的一種本質(zhì)的描述，反映出事物或現(xiàn)象

聯(lián)系的一種方式。如果我們對函數(shù)概念的歷史變遷作一番巡視，就不難看出，每次的修正或

補(bǔ)充都比原來的概念更嚴(yán)密、更準(zhǔn)確、更合理地刻畫出事物地內(nèi)在聯(lián)系，從而更符合“聯(lián)系

的科學(xué)”這一深刻的本意。然而函數(shù)思想只不過是“聯(lián)系”的觀點在數(shù)學(xué)中一種相互制約的

表現(xiàn)。當(dāng)我們的視野在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域上作更大范圍的俯視時，則不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科是一個不

可分割的整體，它的活力在于各部分之間的聯(lián)系。盡管數(shù)學(xué)知識千差萬別，但可看到作為整

體的數(shù)學(xué)中使用相同的邏輯推理，有著概念的親緣關(guān)系，有著定理上的類比性和方法上的同

構(gòu)性，在它們不同部分之間也有著大量地相似之處?？梢?，“聯(lián)系”的觀點貫串于數(shù)學(xué)知識

的發(fā)生、演變過程。例如，點和曲線既可以在直角坐標(biāo)系中加以研究，也可以在復(fù)平面上加

以審視，同時還可以在極坐標(biāo)系中加以考察。但是如果拋開非本質(zhì)的東西。則可以認(rèn)為極坐

標(biāo)中，點P的表示法與復(fù)平面上復(fù)數(shù)的三角形式時一樣的，（因為都是0P的長度與OP的

定向所確定）換言之，我們甚至可以把極坐標(biāo)系看作是去掉虛軸后的復(fù)平面。這種大膽的看

法不但揭示了這兩種平面形式上的聯(lián)系和一致性。也為我們在教學(xué)中極坐標(biāo)系的建立找到了

完美的理論注釋。

上面的分析給我們的啟示是，函數(shù)思想既然可以看作哲學(xué)中“聯(lián)系”的觀點在數(shù)學(xué)中

的一個體現(xiàn)，那么數(shù)學(xué)知識點之間種種形式的聯(lián)系，正是知識可以構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，方法形成系統(tǒng)、

形成結(jié)構(gòu)的理論依據(jù)。只要我們善于挖掘，捕捉這種聯(lián)系。那么我們的課堂教學(xué)就可以在更

廣闊的時空范圍上得以延伸、變化和發(fā)展，這時培養(yǎng)學(xué)生全面看問題，以形成思維的廣闊性

是有益的。

馬克思主義的哲學(xué)同時還承認(rèn)，矛盾和轉(zhuǎn)化是現(xiàn)實世界的普遍規(guī)律，事物內(nèi)部始終存

在著對立統(tǒng)一的現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，這種矛盾的現(xiàn)象得到更為形象，更為深刻，因而也更

為本質(zhì)的反映。例如，從認(rèn)知規(guī)律上看，有已知和未知，熟悉和陌生，簡單和繁雜的矛盾；

從知識結(jié)構(gòu)來看，有直線與曲線，相等與不等，有限與無限，常量與變量等矛盾；從表現(xiàn)形

態(tài)上來看，有數(shù)式與圖形，平面與空間，運動與靜止等矛盾。數(shù)學(xué)的發(fā)展正是在于人們不斷

地揭示這些矛盾，并力圖促進(jìn)這些矛盾的轉(zhuǎn)化而得以實現(xiàn)的。數(shù)學(xué)解題的過程就是去發(fā)現(xiàn)條

件和結(jié)論的矛盾，并尋找實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的方法，達(dá)到條件與結(jié)論和諧統(tǒng)一的過程。由此可見，我

們在數(shù)學(xué)中談到變換思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，只不過是上述觀點在數(shù)學(xué)領(lǐng)

域中的典型應(yīng)用。

這里，留給我們的思考有：

1.解題過程的任何轉(zhuǎn)化，都應(yīng)該有強(qiáng)烈的目的性：即尋找條件和結(jié)論的差異(差異

就是矛盾)，分析差異，解決差異，達(dá)到條件和結(jié)論的統(tǒng)一為目的。這樣我們的思維才能有

明確的指向性，避免陷入變換的盲目性。正如恩格斯在《自然辯證法》中所說：“由這種形

式變到另一種形式，不是無聊的游戲，而是數(shù)學(xué)的杠桿，如果沒有它就不能走很遠(yuǎn)?！?/p>

2.這種對立統(tǒng)一的現(xiàn)象既然大量地存在于數(shù)學(xué)的知識及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程之中，那

么矛盾轉(zhuǎn)化的思想就理所當(dāng)然地成為指導(dǎo)我們認(rèn)識和解決數(shù)學(xué)問題地基本觀點。善于在相同

的現(xiàn)象之中找它們不同之處，同時還要在不同的現(xiàn)象之間找到其相似之處，正是我們學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)時觀察能力高低的重要標(biāo)志，同時也是創(chuàng)造思維形成的先決條件。例如，求經(jīng)過點A(4,

-1)和直線2x—y=0相切于點M(l,2)的圓的方程。按照一般的解法，其計算量是頗大的。

可但是如果從辨證的眼光來看，把切點M看成是半徑為零的點圓；把直線2x—y=0看作是

半徑為無窮大的圓，將所求的圓與之納入共點圓系(x-I)2+(y-2)2+2(2x-j)=0之中，

則只須求出；I的值即可，此時將A(4,-l)的坐標(biāo)代入，求得；1=-2,故所求圓的方程為

(x—3y+(y-l)2=5.這里把點，直線，圓，完美地統(tǒng)一在同一個方程之中，找到問題簡

潔的解法，這與其說是數(shù)學(xué)方法的成功，倒不如說是辨證法的勝利。

3.上述的分析還表明，變換的思想、數(shù)形結(jié)合以及分類討論的思想，只是矛盾轉(zhuǎn)化

的派生形式，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)之中，由于各門分支，各個章節(jié)知識是千差萬別的，都有其自身

的特點，其轉(zhuǎn)化的方式也是不盡相同的，教師必須善于挖掘和抽象出該章節(jié)的轉(zhuǎn)化方式，提

煉為數(shù)學(xué)思想，是學(xué)生對該章的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、方法的深刻性、靈活性和批判性，這應(yīng)該是教

師更有意義，更富于研究性的工作。

通過上面粗淺的分析，固然每給我們思考的問題依然很多，但卻可以清晰的看到，數(shù)

學(xué)思想所以成為數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最具有活力、最具功能性的因素，其原因就

是根植于哲學(xué)這塊博大精深、源遠(yuǎn)流長的豐腴的土地上。只要我們認(rèn)真加以研究，悉心予以

培植，她就會開出燦爛的思維教育之花，結(jié)出豐碩的素質(zhì)教育之果。

第2節(jié)數(shù)學(xué)思想的“細(xì)分”及應(yīng)用

在上一節(jié)我們對數(shù)學(xué)思想給出了以下定義：所謂數(shù)學(xué)思想指的是人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程

之中，對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法、意義的本體的認(rèn)識，是屬于哲學(xué)的范疇。這是數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)

屬性，即是數(shù)學(xué)思想這一概念的內(nèi)含。由此可見，在考試大綱中所給出的函數(shù)與方程、分類

與討論、數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與變換的思想均屬于數(shù)學(xué)思想的外延。然而，我們不難看出，既然

數(shù)學(xué)思想是屬于哲學(xué)的范疇，在哲學(xué)的概念中，轉(zhuǎn)化思想一一無疑是在研究事物的過程中最

重要的、最核心的思想。根據(jù)這一觀點，不管是函數(shù)與方程，分類與討論及數(shù)形結(jié)合，其實

都是轉(zhuǎn)化的思想在具體形式上的應(yīng)用。亦即在認(rèn)識和解決具體的數(shù)學(xué)問題上使我們對問題的

本質(zhì)看得更清楚。但是，在教學(xué)實踐中我們卻深切地感到，僅僅將數(shù)學(xué)思想分解為幾個這樣

的外延，還不足以使我們(包括教師和學(xué)生)更深刻的詮釋和認(rèn)識數(shù)學(xué)，由此，在教學(xué)的過

程當(dāng)中往往出現(xiàn)貼標(biāo)簽的情況，并不能夠使學(xué)生心悅誠服，遇到類似的問題，同樣無法找到

解決的途徑。由此，我們認(rèn)為有必要將數(shù)學(xué)思想進(jìn)行“細(xì)分”。

將數(shù)學(xué)思想進(jìn)行細(xì)分，就是結(jié)合每一章或每一單元的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)思想的運用途徑與內(nèi)

容緊密地聯(lián)系起來，使數(shù)學(xué)思想具有一種鮮活與清晰可辯的形式，學(xué)生容易理解和掌握，這

對提高學(xué)生的能力將是一件有意義的工作。

例如，在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)一章時，我們結(jié)合該章的內(nèi)容，將這一章的基本思想概括為：一、實數(shù)

化的思想。因為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的本質(zhì)就是通過有序的實數(shù)對來描述復(fù)數(shù)，這樣

就使得把復(fù)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的問題來處理成為可能，實現(xiàn)實數(shù)化的途徑就是復(fù)數(shù)的三角

形式和代數(shù)形式，例如復(fù)數(shù)的相等，用復(fù)數(shù)求軌跡的問題；另一方面，實數(shù)化的思想還體現(xiàn)

在復(fù)數(shù)集中解決問題的方法與步驟和實數(shù)集中解決有關(guān)問題的方法與步驟的同構(gòu)性。第二、

數(shù)形結(jié)合的思想。由于復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點和向量的對應(yīng)關(guān)系，這就使得復(fù)數(shù)得概念、運算、

性質(zhì)有著明顯的幾何意義，使得復(fù)數(shù)得問題有著直觀的幾何解釋，從而可以借助幾何圖形去

分析和解決問題。第三、整體的思想。它主要體現(xiàn)在模與共輛復(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。上述的三個

基本思想，是我們解決復(fù)數(shù)問題的基本出發(fā)點，也是理解教材的基本思想。我們可以通過以

下的問題來闡述以上基本思想的應(yīng)用。

例：

從本例中，我們的確可以看到，正是在三個基本思想的啟迪下，得出三種不同的解法，

從理論上來說，每個復(fù)數(shù)的問題應(yīng)該可以通過這幾條途徑得出相應(yīng)的解法，然而，從實際上

來說，有時由于變換的復(fù)雜性，或者由于條件與結(jié)論之間的關(guān)系在某條途徑上的隱蔽性，卻

又并不是每一條思路都能順利解決問題的，即便可以解決問題，卻又有繁簡之分，這就需要

我們有一定的思維評價和預(yù)測能力，從實際問題的背景出發(fā)，選擇恰當(dāng)?shù)男问?，找到處理?/p>

題的正確思路和最優(yōu)解法，這正是靈活應(yīng)用基本思想的體現(xiàn)。

在“不等式的解法”中，由于涉及到整式不等式、分式不等式、絕對值不等式、無理不

等式、指數(shù)、對數(shù)不等式，等等。眾多形式不等式的解法，使學(xué)生疲于記憶。那么，如何使

學(xué)生免去記憶的痛苦，又能夠在更高的層次上把握住不等式的解法哪？事實上，高中階段不

等式的學(xué)習(xí)是在初中階段學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元二次不等式的基礎(chǔ)上，再進(jìn)行對其它

不等式的學(xué)習(xí)，而一次函數(shù)與二次函數(shù)又正是解這兩種不等式的理論基礎(chǔ)。因此，我們把解

不等式的基本思想確定為：一、轉(zhuǎn)化為一次、二次或其它的整式不等式；二、轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)

系，利用函數(shù)的性質(zhì)或數(shù)形結(jié)合來解決問題。其實，我們只要留心一下，就不難發(fā)現(xiàn)，在高

中階段學(xué)習(xí)的所有不等式，都是通過這兩個基本思想找到解決問題的方法，不管是高次不等

式中的“以乘作除”“數(shù)軸標(biāo)根法”，或者絕對值不等式中的“平方法”與“零點討論法”，

又或者無理不等式中的“換元法”、“平方法”、“圖象法”等等，無一例外。以上的方法只不

過是實現(xiàn)這兩種轉(zhuǎn)化的具體途徑。學(xué)生在深刻理解以上的基本思想之后，不僅能達(dá)到從“自

由到必然”的認(rèn)識，而且還能從創(chuàng)新的角度對許多不等式提出一些充滿“詩意”的解法。例

如

上面的分析使我們看到，對數(shù)學(xué)思想的“細(xì)分”的確有助于教學(xué)，有助于解題思路的尋求,

有助于在更高的層次上深刻的理解數(shù)學(xué)。我們有理由認(rèn)為，對數(shù)學(xué)思想的“細(xì)分”是每一個

數(shù)學(xué)教師應(yīng)該做的一件工作。然而，應(yīng)該看到，如何“細(xì)分”卻不是一件輕而易舉的事情，

它必須植根于對教材刻骨銘心的認(rèn)識，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)有著高屋建瓶的獨到的見解，還應(yīng)有

著于細(xì)微處探幽的抽象能力，這樣，才能使我們的教學(xué)擺脫形式主義、人云亦云的糾纏，達(dá)

到一種理性的、充滿活力的境界。

第三章對設(shè)計思維過程的理解及認(rèn)識

第1節(jié)設(shè)計思維過程的若干原則

前面我們對數(shù)學(xué)思想這一概念的內(nèi)涵、外延、應(yīng)用及有關(guān)細(xì)分的問題作了比較詳盡的論

述,下面我們將要談到的是思維方法的問題。什么是思維方法？許多文獻(xiàn)都有了相應(yīng)的介紹，

這里就不作過多的解釋。我們知道能力培養(yǎng)的核心是思維能力。如何通過課堂教學(xué)，使學(xué)

生在接受數(shù)學(xué)知識的同時，形成較強(qiáng)的思維能力，應(yīng)該是我們課堂教學(xué)中亟待解決的問題。

由于這一基本觀點的確立，近年來，人們在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，已不滿足于一個定理，一

個公式介紹給學(xué)生，并使學(xué)生掌握為目的，而是力圖把定理及其公式發(fā)現(xiàn)的思維過程作出

合理模擬，以求在思維過程的合理模擬中，使學(xué)生成為發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的

參與者，并在參與的實踐中認(rèn)識自身的智力價值和促進(jìn)良好思維品質(zhì)的形成，這種思維過

程的合理模擬就是我們所說的設(shè)計思維過程。那么如何進(jìn)行思維過程的設(shè)計，才能達(dá)到所

期待的目的呢?我們認(rèn)為，應(yīng)該遵循如下的若干原則。

1、必要性原則

這里所說的必要性，我們指的是，提出或研究某個問題的必要性,愛因斯坦曾經(jīng)說過:“提

出一個問題往往比解決一個問題更為重要?！币驗橐粋€新問題的提出，不僅僅集中著人們的

觀察力、想象力、概括抽象能力和預(yù)見性，同時又由于問題的提出，它預(yù)兆著一種新的可能

性的產(chǎn)生，往往標(biāo)志著科學(xué)每次取得進(jìn)步的開端。因此，從某種角度來說，能否善于提出有

價值的問題應(yīng)該是比解決問題更為重要的。因此，我們應(yīng)該在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，對一些重

要定理、公式提出的必要性作出精心的設(shè)計。

例如，在反三角函數(shù)的內(nèi)容中，利用數(shù)形結(jié)合研究反函數(shù)的性質(zhì)后，得到了反余弦函數(shù)

既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，即arccos6x)=±arcco院不成立。課本隨后給出了：“下面我

們來證明：對于任意xe[-1,1],有arccos(-x)=4-arccofix”

學(xué)生不禁要問，這個關(guān)系式是怎樣提出的?又是如何找到的？為了回答這一問題，在課堂教

學(xué)的設(shè)計上，我們做了如下的處理：當(dāng)我們得出了y=arccosr既不是奇函數(shù)也不是

偶函數(shù)的結(jié)論之后，緊接著就分析：由于反正弦函數(shù)的奇偶性非常明確，即有

arcsin(-x)=-arcsinx出于對事物和諧性及統(tǒng)一性的追求，我們極想

了解arccosGx)與arccosx究竟有什么關(guān)系呢？從圖象可知，y=arcco&r的

-rr

圖象雖不關(guān)于原點中心對稱，也不關(guān)于y軸成軸對稱，但它關(guān)于點。(0,5)成中心對稱，

這一圖象性質(zhì)抽象成函數(shù)性質(zhì)即是公式arccos(-x)=^-arccosx，雖然寥寥數(shù)語，但卻

為這一公式出現(xiàn)的必要性提出了合乎邏輯的鋪墊(即問題)。

從對上面例子的分析，我們可以看到，一個問題的提出絕非是偶然的，有時是出于對統(tǒng)

一性的理解，有時是對完美性的追求，當(dāng)然，還有些是聯(lián)想的結(jié)果，歸納類比的產(chǎn)物，甚至

是直覺的猜想等等，但不管如何，學(xué)生只要能一個個地提出問題，才能一步步地探索真理，

進(jìn)而才能逐步地培養(yǎng)自己地創(chuàng)造能力。

2.合理性原則

設(shè)計思維過程的核心問題就是要回答解決問題的方法是怎樣找到的。具體地說，如回答

為什么要添加輔助線?為什么要用韋達(dá)定理?為什么要用換元法?……o使用這些數(shù)學(xué)方法的

原因是什么?或者說是把選擇運用數(shù)學(xué)方法之前的心智活動揭示出來，這就是我們所說的設(shè)

計思維過程。

由于數(shù)學(xué)家的思維活動是通過書本隱蔽地提供的，我們無法，事實上也沒有必要對當(dāng)

時數(shù)學(xué)家地這種思維活動作尋根問底的探究，但至少我們可以根據(jù)問題的條件和結(jié)論，對

解決問題的思維軌跡作一合乎邏輯的描述，這就是設(shè)計思維過程的合理性原則。合理性原則

有三個標(biāo)準(zhǔn)。一是解決問題的思維過程應(yīng)符合馬克思主義認(rèn)識論的基本原理，二是符合形式

邏輯和辯證邏輯的一般規(guī)律，三是符合學(xué)生的心理傾向。

TT

例如，在反三角函數(shù)的最后部分出現(xiàn)了一個公式arctanx+arccotx=—,

2

它對解決反三角函數(shù)的有關(guān)問題起到了一定的作用，我們是這樣來分析的：

我們首先提出，前面曾孤立地研究了四種反三角函數(shù)，并且得出了它們相應(yīng)的性質(zhì)。然

而，任何事物都不是孤立的，那么這些函數(shù)之間是否也具有我們感興趣的那?緊接著又啟發(fā)

學(xué)生，前面四種函數(shù)性質(zhì)的研究，我們是充分地利用了函數(shù)的圖象，從數(shù)形結(jié)合的觀點去考

察它的各自的性質(zhì)，從而，對這一問題的研究是否也采取類似的方式呢?學(xué)生很快意識到應(yīng)

在同以坐標(biāo)系下作出y=arctanx和y=arccotx的圖象，通過對圖象的直觀考察，發(fā)現(xiàn)

它們具有一種優(yōu)美的對稱性一一即關(guān)于直線y=t對稱，再聯(lián)系到若點￡（當(dāng)，%）與點

￡區(qū)，乃）關(guān)于直線y對稱，則有必+必=2。的結(jié)論，學(xué)生們很快地得到了

7T

arctanx+arccotx=—的結(jié)論。再經(jīng)過幾個特殊值的驗證，結(jié)論也是成立的。但是，任

2

何直觀的考察和特殊值驗證都不能代替嚴(yán)格的形式邏輯的證明，那么如何去證明我們所發(fā)

現(xiàn)的式子是正確的呢?為了解決“觀察出來''與"證明出來”的認(rèn)識矛盾，我們先讓學(xué)生考察

等式的本質(zhì)問題是角的相等，再聯(lián)想到三角函數(shù)中角相等的證明是采用“同值同區(qū)間”的方

法，不難得出書本上的證法一。我們再改變一下觀察的角度，聯(lián)系到反三角函數(shù)所特有的

區(qū)間性的性質(zhì)，可設(shè)a=arctanx,貝（Jtanc=x，且￡e（一鼻，9于是弓一a）e（0,兀）.

JI

又注意到x=tane=cot（----乃），

所以左邊=arctan（tanx）+arccot[cotg-a）]=a+]■從而得出證法二。

對這一問題的分析處理過程，顯然要比平鋪直敘地給出公式，而后照本宣科的證明要深

刻得多，同時在課堂教學(xué)中也精彩得多，活躍得多，這是因為:第一，學(xué)生沒有被動地接受

這一現(xiàn)成的結(jié)論，而是參與公式的提出與發(fā)現(xiàn)過程，體現(xiàn)了主體作用；第二，從直觀到抽象,

從特殊到一般是符合馬克思主義認(rèn)識論的；第三，公式的證明是運用了“功能性的思考''到

“特殊性的處理''這一形式邏輯的演繹推理規(guī)律；第四，哲學(xué)思考的最大價值在于教會人們從

不同的角度去觀察問題。證法二的產(chǎn)生正是這一觀點的體現(xiàn)，同時也是符合學(xué)生的心理傾向

的，因為這樣的思維過程設(shè)計，雖然不能說是最好的，但至少是合理的，它對啟迪學(xué)生的智

慧起著良好的促進(jìn)作用。

3.可接受性原則

可接受性原則是中學(xué)教學(xué)法中最基本的原則，思維過程的設(shè)計同樣要遵循這一原則。亦

即在思維設(shè)計的過程中，應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特征所決定的思維水平及其與學(xué)生當(dāng)時已掌握

的基礎(chǔ)知識、基本技能相適應(yīng)的，是力所能及的。這里我們想強(qiáng)調(diào)的是，傳統(tǒng)的觀點認(rèn)為，

對難的問題統(tǒng)統(tǒng)化難為易就是好的方法，因而人為地設(shè)置種種橋梁和鋪墊，使得整個解題

的思維過程直觀化，簡單化，似乎就是設(shè)計思維過程的可接受性原則。事實并非如此。因為

往往所謂的“難”，就是整個思維過程相當(dāng)隱蔽，或者對學(xué)生來說相當(dāng)陌生，然而正因為如

此，它所蘊涵的思想就更加深刻和豐富，其解決問題的思維過程就更為生動和精彩，因而準(zhǔn)

確而合理地把解決問題的思維過程揭示出來，學(xué)生的思維水平就能得到一個質(zhì)的飛躍，提到

一個更高的水準(zhǔn)之上。

例如，已知平面上有2n+3個點（其中無三點共線，無四點共圓）那么必有一個圓過其中

三點，而其余2n個點各有一半分別在圓內(nèi)和圓外。

這個問題顯然有一定的難度，那么如何設(shè)計思維過程才能符合可接受性原則呢？

［分析］:由題設(shè)可知，平面上2n+3個點可確定C1+3個圓，這些圓幾乎是“雜亂無章'’地

分布在平面上。那么哪一個圓具有題設(shè)地要求呢?我們知道，數(shù)學(xué)研究的對象都是尋找事物

變化中的某種不變的性質(zhì)，或者是在似乎無規(guī)律的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)有規(guī)律的現(xiàn)象。為此，無妨考

察過某一點A的圓系中，能否在這些圓中找到滿足條件的圓，很快發(fā)現(xiàn)，在這些有規(guī)則的

圓中，很難找到我們所需要的圓。無妨再增加一點，即過A,B兩點的圓系，從圖可知，

這些圓在線段AB的同旁問題豈不是解決了嗎?為此，關(guān)鍵是A,B這兩點的選擇能保證其

余各點在直線AB的同旁即可，而這兩個點顯然是存在的。（解法略）

這樣的思維設(shè)計顯然較難，但學(xué)生是可接受的，因為它符合上述的合理性原則。從我們

設(shè)計的主導(dǎo)思想來說，目的并不在于使學(xué)生占有解決本題的技巧和方法，而在于領(lǐng)悟解決這

個問題的思維活動，通過這一問題的解決，學(xué)生得到的是化無規(guī)律為有規(guī)律，化無序為有序，

化一般為特殊的思想。這對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，深刻性應(yīng)該是有幫助的。

4、“復(fù)雜化”原則

在課堂教學(xué)實踐中，有一個貌似“悖論”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則常常被人冷落，或者被視為奇

談怪論而遭人漠視，那就是一一“將復(fù)雜問題簡單化和將簡單問題復(fù)雜化二其實，被人“歧

視”的倒不是“將復(fù)雜問題簡單化”而是“將簡單問題復(fù)雜化”，因為前者不過是循序漸進(jìn)、

化繁為簡的教學(xué)原則的換一種說法，早就被人們所認(rèn)同，并付諸于教學(xué)實踐之中。而后者往

往被人視為“異端”、不可理喻，甚至在某些場合被大加勒伐。筆者認(rèn)為，有必要為“將簡

單問題復(fù)雜化”正名，還其本來面目，并且充分重視它在數(shù)學(xué)教學(xué)上的應(yīng)用功能。

“最簡單的同時也是最重要的?！眰€哲人如是說。所謂“將簡單問題復(fù)雜化”就

是利用知識結(jié)構(gòu)的觀點，將一個貌似簡單的問題置于結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)中加以考慮，通過認(rèn)知結(jié)構(gòu)

的特點將其“最簡單的”一面，利用演繹、變換、推理等方法將其“最重要的”一一其實就

是最深層次、最本質(zhì)的一一特征揭示出來，使得在認(rèn)識“最簡單的”同時，認(rèn)識它“最重要

的”一面。從現(xiàn)代教育的觀點來看，它是以思維為主線去組織課堂教學(xué)，從而應(yīng)是更高層次

的一種教學(xué)方法。這不僅是提高課堂效益的需要，同時也是提高學(xué)生綜合素質(zhì)的要求。那么，

如何將簡單的問題復(fù)雜化呢？筆者認(rèn)為可以有以下的基本途徑。

（1）、簡單的問題置于特定的知識背景之下。

我們知道，任何一個知識點都不是孤立的，它與其它的知識有著或縱或橫、或直接或間

接的聯(lián)系，這種聯(lián)系既有邏輯的也有非邏輯的，既有抽象的也有具體的。那么，我們只要把

這種聯(lián)系揭示出來，在理解和認(rèn)識一個簡單的知識點的同時，使得整體的層面和較為復(fù)雜的

知識結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)在我們心智面前。

例如，求證：=sa=l+sma（見高中《代數(shù)》上冊，pl011例⑺

l-sinacosa

這是一個簡單的問題，筆者作了以下的處理：

首先，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得出課本上的三種證法。接著，帶領(lǐng)學(xué)生探索本題的背景,

即同角的平方關(guān)系sin2a+cos2a=1.既然此式可以構(gòu)造出上面的等式，那么，從這個等式我

們又可以得到什么命題呢？這樣一個如何構(gòu)造命題的問題就推到了同學(xué)的面前。有個學(xué)生

說：可以構(gòu)造1-sma=cosa.我立即追問一句:為什么？學(xué)生回答說利用了反比定理。

COS6Z1+sina

我順?biāo)浦壅f：比例還有其它性質(zhì)嗎？由這些性質(zhì)能否構(gòu)造出相應(yīng)的命題？同學(xué)們恍然大

悟，紛紛動手，利用合比、分比、合分比以及等比定理等構(gòu)造出：Jsina+c°sa=

cosa

1+sina+cosacos?-l-sin?1+cosa-sin1+sina+cosa

--------------=---------------,---------------=---------------……，再進(jìn)一

cosa1+sinacosa-l+sina1+sina-cosa

步，既然從平方關(guān)系的一個公式就可以構(gòu)造這許多新穎的命題，那么平方關(guān)系的另外兩個公

式呢？請同學(xué)們下課后再設(shè)法構(gòu)造出一些新的命題，并給出這些新命題的證明方法。其實，

本例是將原命題置于有關(guān)三角函數(shù)比例式的證明方法的知識背景之下，通過比例有關(guān)性質(zhì)的

橫向聯(lián)系，使得一個孤立的、簡單的問題變得豐富多彩，不僅使課堂的氣氛特別活躍，并延

續(xù)到課后。

一、將簡單問題的解法置于科學(xué)方法論的背景之下。

任何一個問題的解法都是思維的結(jié)果,任何一個推理過程都是一種邏輯或非邏輯推理的

產(chǎn)物。如果我們能將這種思維的過程換一個方式去理解，換一個角度去觀察，那么所得到的

和所看到的就不是簡單的思維結(jié)果了。所謂換一個方式去理解或者換一個方式角度去觀察，

事實上就是在科學(xué)方法論的背景下，將簡單的問題進(jìn)行聯(lián)想、抽象、推廣、變式，使得簡單

的問題以一種五彩繽紛的畫面出現(xiàn)在我們的視野之中。事實上，一題多解就是對這樣一種理

論的詮釋。有時我們找不到某個問題的解法，正是不善于換一個角度去觀察或換一種方法去

考慮所至。

例如，在講授組合數(shù)公式C：=---的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)時，筆者安排了這樣的教學(xué)過程：

教師首先提出，組合與排列一樣，都是解決完成某件事情的方法，以及對這種方法的計

算。既然排列的問題已有公式可解決，對組合的問題我們也理所當(dāng)然要找到相應(yīng)的計算公式,

那么，該如何尋找呢？這時，學(xué)生從排列數(shù)公式的發(fā)現(xiàn)過程，通過類比的方法自然就考慮利

用特殊到一般的思維方法進(jìn)行研究。然而，驗算了幾個特殊的數(shù)值，如c；=3,c；=3,c；=l,

c；=4,c：=6,…….，卻難以對上面數(shù)的規(guī)律進(jìn)行一般性的概括。這種學(xué)生熟悉的方法已無法

解決目前的問題，怎么辦呢？這時，老師啟發(fā)說：排列與組合都是計數(shù)的方法，不管是從概

念的提出抑或是概念的形成，排列與組合都是極其相似的，那么，它們之間有無內(nèi)在的聯(lián)系

呢？既然排列數(shù)的公式己經(jīng)得出，我們能否從聯(lián)系的觀點，重新審視排列的過程，并借助于

對這種過程的再認(rèn)識，找出組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系呢？這既是一種思維方法的啟迪，也

是哲學(xué)觀念的引導(dǎo)。這時學(xué)生再重新對排列事件的過程作分析，發(fā)現(xiàn)從n個元素取m個元

素進(jìn)行排列的過程可分兩步完成:即首先從n個元素取出m個元素進(jìn)行組合,其組合數(shù)有或

個；再將m個元素進(jìn)行全排列，有式；種排法，由乘法原理得p：=c：p'：,從而有

%=吧,因此得出了組合數(shù)公式，其證明就不難了。

Pm

（2）、簡單問題的條件或結(jié)論加以變換或引申。

我們知道，人類科學(xué)的進(jìn)步就是在不斷提出問題和解決問題的探索之中前進(jìn)的。一

個簡單的問題后面常常隱藏著變化的空間（越是簡單的越是如此），它借助于知識之間的聯(lián)

系，方法之間的借鑒，思維過程的類比（甚至是逆向類比），形式之間的相似，進(jìn)行由此及

彼的變換及引申，使問題以一種新的形式出現(xiàn)在我們面前。加以變換后的這種形式往往以復(fù)

雜的、陌生的面貌使我們對問題的解法處于新的探索之中。而這種探索的背后常常預(yù)示著一

種新的方法的出現(xiàn)，一種新的知識的產(chǎn)生，甚至于一個新的領(lǐng)域的誕生一一數(shù)學(xué)發(fā)展史常常

這樣告訴我們。因此，條件、結(jié)論的變換和引申就不是一種無聊的游戲（包括形式的變換）,

而是人類科學(xué)進(jìn)步的階梯。例如，在講授極坐標(biāo)系的時候，我們先復(fù)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式，

發(fā)現(xiàn)復(fù)平面上的點的表示方法，其實與y軸一點關(guān)系也沒有，它只與op的長度和op的方向

有關(guān)，數(shù)學(xué)本身的簡潔性無法容忍y軸的存在，我們干脆把y軸去掉，可這樣一來，它再也

不是直角坐標(biāo)系了，但同樣可以表示平面上的點，也就是說，發(fā)現(xiàn)了一個新的坐標(biāo)系，我們

把這個坐標(biāo)系稱為極坐標(biāo)系。換言之，極坐標(biāo)系事實上是去掉虛軸后的復(fù)平面。我們不知道

當(dāng)年極坐標(biāo)系是否這樣發(fā)現(xiàn)的，但至少有理由認(rèn)為，這種大膽的看法不但揭示了這兩種平面

形式上的一致性，也為我們在教學(xué)中極坐標(biāo)系的建立找到了完美的理論注解。

又如，在講復(fù)數(shù)向量形式的時候，我想作為教師至少要考慮這樣幾個問題：有了復(fù)數(shù)的

代數(shù)形式和點的形式，為什么還要講向量形式？這是其一；向量形式是怎樣被發(fā)現(xiàn)的？此其

-；第三，復(fù)數(shù)的向量形式有什么用？否則，學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)識完全處于一種被動和盲從之

中。為此，筆者安排了這樣的教學(xué)過程：

首先復(fù)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和點的形式以后，老師指出：數(shù)和點是兩種不同的事物，它

們之可以發(fā)生關(guān)系，其實它們都是數(shù)對（a,b）的一種外在的形式，換言之，數(shù)對才是本質(zhì)。

也就是說，一個事物如果有不同的表達(dá)形式，那么這些形式之間必然有某種聯(lián)系。既然如此,

那么數(shù)對還有什么表達(dá)形式呢？學(xué)生馬上就想到了向量。老師緊接著就追問，如果我們建立

了復(fù)數(shù)和向量的關(guān)系之后，有什么用呢？學(xué)生就可以回答，我們可以借助向量的理論和方法

來解決復(fù)數(shù)的問題。此時，老師可以作一個小結(jié)性的發(fā)言：數(shù)學(xué)問題的解決，常常將一個陌

生的問題轉(zhuǎn)化為一個熟悉的問題來解決，這正是我們數(shù)學(xué)解題中的熟悉化原則。

這寥寥數(shù)語的課題引入使我們清楚地回答了以上提出地三個問題，更重要的是，使

學(xué)生明白了事物之間的本質(zhì)聯(lián)系，強(qiáng)化了數(shù)學(xué)基本思想，使學(xué)生對知識的領(lǐng)悟提高到一個更

新的層面上。

（3）將簡單的問題向一般化問題轉(zhuǎn)化。

由于簡單的問題往往是事物某種特殊的狀態(tài)，常常處于一種孤立的、靜止的、表面的、

非本質(zhì)的形態(tài)之中，而一般化則是事物整體的、運動的、深刻的、本質(zhì)現(xiàn)象的反映。從''簡

單”向“一般”的轉(zhuǎn)化，既是人們認(rèn)識事物的需要，也是思維深刻程度的體現(xiàn)。這種轉(zhuǎn)化有

時還是雙向的。我們看一個最簡單的例子。

一個五年級的小學(xué)生曾經(jīng)問過筆者這樣一個問題：如圖的AABC中，M、N將AB三

等分，P將AC平分，試問△AMP的面積是AA6C面積的幾分之幾？

這個問題對中學(xué)生來說當(dāng)然是一個簡單的問題，但對小學(xué)生而言就不知道如何處理了。

這時我啟發(fā)他說,如果AC邊上沒有點P,那么△AMC的面積是△ABC面積的幾分之幾呢？

他很快回答是三分之一。于是再進(jìn)一步啟發(fā)他：那么將AC邊上點P將AC平分后，AAMP

是△AMC的幾分之幾呢？他馬上明白是二分之一，繼而他就回答出△AMP的面積是△ABC

面積的六分之一。我更進(jìn)一步，如果將AB邊m等分，再將AC邊n等分，那么以A為頂

點的最上面的小三角形又是原三角形面積的凡分之幾呢？這時，他已經(jīng)毫無困難地、高興地

回答是mn分之一。

這個問題雖然簡單，但對一個小學(xué)生來說他不但知道了這個問題的一般性結(jié)論，他還經(jīng)

歷了一次先退后進(jìn)，先簡單后復(fù)雜的思維過程，雖然不能說深刻，但誰又能說對他以后的學(xué)

習(xí)不無幫助呢？在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，這樣的例子俯拾皆是，只要我們處處留心，將'’簡單

問題復(fù)雜化”并不是一件困難的事情，但對活躍與豐富我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，提高學(xué)生的能

力將是一件有意義的事情。

第2節(jié)課堂教學(xué)中的再現(xiàn)性思維與創(chuàng)造性思維

如何在課堂教學(xué)中，把所授知識的發(fā)生、發(fā)展、演變的過程納入學(xué)生的思維活動之中，

充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，使學(xué)生在生動、活潑和積極地參與教學(xué)的過程中，形成

良好的思維品質(zhì)，這是我們課堂教學(xué)的目的之一。

在這里，我們認(rèn)為有兩種不同類型、但又密切相關(guān)的思維形式是值得我們在理論上和實

踐中認(rèn)真予以探究的。這就是教學(xué)活動中學(xué)生的再現(xiàn)性思維和創(chuàng)造性思維。

什么是再現(xiàn)性思維呢？蘇聯(lián)教育學(xué)博士3.U卡爾梅科娃認(rèn)為：“再現(xiàn)性思維的特征是思

維較少創(chuàng)造性，”“在這種思維活動的基礎(chǔ)上實現(xiàn)著對主體來說熟悉的結(jié)構(gòu)的課題的解決?！?/p>

而教學(xué)過程,即學(xué)生的認(rèn)知過程,實際上都必須遵循在已有知識的基礎(chǔ)上向未知引渡和發(fā)展，

所以，再現(xiàn)性思維是學(xué)生所以能接受老師講授知識的必要條件。它主要以學(xué)生回憶和運用已

有知識于學(xué)習(xí)新知或?qū)嶋H問題處理為目的，這種思維不但是教學(xué)中學(xué)生思維的重要形式，

而且也是運用最廣泛和最基本的形式，而創(chuàng)造性思維是一種特殊的思維活動。它的結(jié)果“會

產(chǎn)生對主體來說某種獨特的、原則上新的內(nèi)容，亦即新穎的程度是高的。"我們完全可以認(rèn)

為，它的出現(xiàn)意味著思維活動的轉(zhuǎn)折和高潮，它是再現(xiàn)性思維的一種從量到質(zhì)的變化和反映，

它區(qū)別于再現(xiàn)性思維的顯著之處就在于獲得知識的新穎性和處理方法上的奇異性。

數(shù)學(xué)教學(xué)過程，一般的總是從復(fù)習(xí)舊的知識，進(jìn)而引出新的知識，或運用已有知識解決

新的問題。從思維過程來看，它應(yīng)該遵循從再現(xiàn)性思維（低級）到創(chuàng)造性思維（高級）的程

序。甚至可以說，創(chuàng)造性思維是再現(xiàn)性思維發(fā)展到“極點”的狀況。對我們老師來說，必

須研究的是這兩者之間的相互關(guān)系以及誘發(fā)的因素。

無疑，在處理一個新的問題時，原有的知識與客觀所提出問題的“不協(xié)調(diào)性”及主體

所熟悉的知識和方法不足以保證他成功，就可以促使創(chuàng)造性思維活躍起來。這種思維能促進(jìn)

新知識、新方法的誕生，形成特定的結(jié)果。

1、氛圍與情境是創(chuàng)造性思維產(chǎn)生的土壤

一個善于啟發(fā)和誘導(dǎo)的教師，往往十分注重在教學(xué)中為學(xué)生的創(chuàng)造性活動設(shè)置最佳的情

境和最能調(diào)動積極因素的氛圍，以助學(xué)生實現(xiàn)由已知向新知過渡和跳躍，沖破固有習(xí)慣、經(jīng)

驗所筑成的屏障，在相對“獨立”的條件下，誘發(fā)創(chuàng)造的欲望，達(dá)到“發(fā)現(xiàn)”和掌握知識的

目的。

例如，在復(fù)數(shù)三角形式的概念教學(xué)中，我們可以設(shè)計如下的教學(xué)過程：

復(fù)數(shù)的三角形式是在復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，向量形式和復(fù)平面上的點的對應(yīng)關(guān)系及四則運算

之后出現(xiàn)的內(nèi)容。這些知識即是學(xué)習(xí)三角形式的已有基礎(chǔ)和起點。為了引出課題，可以讓學(xué)

I-、3

，進(jìn)而計算（顯然，第一個問題，學(xué)生根據(jù)代數(shù)形式及運算

生計算---Z1-

/

法則不難得出結(jié)果；第二個問題同樣可以計算，但已經(jīng)較繁了。而如果指數(shù)改得再大一些（如

100）,那么學(xué)生就有力不從心之感了。此時，學(xué)生自然會考慮有無準(zhǔn)確和簡捷的計算方法呢？

顯然，己有知識無法解決這個問題，因為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式造成了其運算上的局限性。那么能

否突破已有形式的局限，為運算上的合理和簡捷找到新的反映出其本質(zhì)特征的形式，就迅速

地推到學(xué)生的面前。這就是為學(xué)生思維上的創(chuàng)造性的誘發(fā)設(shè)置的情境，我們再引導(dǎo)學(xué)生考慮

到復(fù)平面上的點與復(fù)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系：在確定點時，除坐標(biāo)形式外，還可以采用什么其他

形式呢？此時，學(xué)生的思維角度迅速在原有基礎(chǔ)上發(fā)生轉(zhuǎn)折，成為創(chuàng)造性（構(gòu)造新形式）的

定向活動，課堂空前活躍。他們在觀察和思考后發(fā)現(xiàn)：點P到原點O的距離與射線OP的

定向是另一確定點P的形式。我們不能否認(rèn)，學(xué)生的這一創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)正是前述的氛圍與

教師“畫龍點睛”作用下的特定產(chǎn)物。由此，通過復(fù)數(shù)三角形式的概念教學(xué)，使學(xué)生的思維

經(jīng)歷了一個由再現(xiàn)性到創(chuàng)造性的過程，對學(xué)生思維能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)起到了積極的促進(jìn)

作用。

從這里我們可以看出，教師在課堂教學(xué)中的引導(dǎo)和情境的設(shè)置的適當(dāng)與否，是教學(xué)活動

開展深入與否的標(biāo)志，也是學(xué)生創(chuàng)造性思維得以誘發(fā)的必要條件。

2、直覺與猜想是創(chuàng)造性思維活動的直接顯示

設(shè)置創(chuàng)造性思維活動的氛圍與情境，只是創(chuàng)造性思維產(chǎn)生的必要條件。對于學(xué)生來說，

他們的思維活動在新的情境下，往往是多變和突發(fā)的，特別是再現(xiàn)性思維發(fā)展到''極點”時,

更易誘發(fā)成“突變”的情況。這就要求教師隨時注意控制和調(diào)節(jié)課堂，注意誘導(dǎo)的方向性與

合理性。同時，必須注意學(xué)生在創(chuàng)造性思維活動中萌發(fā)的火花，而直覺與猜想往往是創(chuàng)造性

思維活動的直接顯示.

例如，在立體幾何“三垂線定理”一節(jié)的教學(xué)中，如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三垂線定理”，

直覺與猜想起到了關(guān)鍵的作用。因為三垂線定理實質(zhì)為平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的判

定定理。在講述了直線與平面垂直的知識之后，我們可以提出問題：平面a的斜線/能與面

e的任一直線垂直嗎？根據(jù)已有知識，學(xué)生會馬上否定。又問，在a內(nèi)存在與/垂直的直線

嗎？（教師可出示教具），學(xué)生憑直覺肯定：有。教師再問，這樣的直線有多少條？這些直

線有什么關(guān)系，有什么特點呢？（目的是從直覺的啟發(fā)及特定形態(tài)，引出直覺的判斷）。在

經(jīng)過有目的、有方向的引導(dǎo)后，學(xué)生的創(chuàng)造性思維達(dá)到高潮，不再受形象或教具的限制，迅

速上升到理性的猜想：這些直線均應(yīng)與/在a內(nèi)的射影垂直。這樣三垂線定理的核心也就完

整地展現(xiàn)于學(xué)生面前。隨著教學(xué)的不斷深入,學(xué)生亦為自己的猜想被證實而感到興奮和喜悅。

作為教師，要十分珍惜與重視學(xué)生在教學(xué)活動中經(jīng)過引導(dǎo)而出現(xiàn)的直覺與猜想.因為這

往往是再現(xiàn)性思維向創(chuàng)造性思維跳躍的直接反映。盡管有時他們的猜想還顯得很不成熟或是

幼稚，甚至是錯誤，也不應(yīng)一概排斥或否定。愛因斯坦曾經(jīng)說過：“我相信直覺思維和靈感”。

而凱德洛夫則用更鮮明的語言表示：直覺是“創(chuàng)造性思維的一個重要組成部分，”“沒有任何

一個創(chuàng)造性行為能離開直覺活動?！比绻覀冚^經(jīng)常地借助于課堂教學(xué)，使學(xué)生從小參與創(chuàng)

造性的思維活動，不是對培養(yǎng)三個面向的人才更有裨益嗎？

3、克服思維惰性是再現(xiàn)性思維過渡到創(chuàng)造性思維的橋梁

在前面我們已經(jīng)論及再現(xiàn)性思維對創(chuàng)造性思維的積極作用?但我們認(rèn)為有必要指出，再

現(xiàn)性思維又由于人們心理上的“功能固定性”和思維習(xí)慣性形成的一種思維上的惰性，會把

我們的理智局限于原有的范圍內(nèi)活動，這是再現(xiàn)性思維對創(chuàng)造性思維的消極的抑制性。客觀

地說，再現(xiàn)性思維在對創(chuàng)造性思維的作用上具有二重性。

例如：（3La,yLa,。cy=a。求證a_La。

設(shè)戶ca=A8,yca=BC?！?/p>

些學(xué)生在處理此題時，會明顯地產(chǎn)生

習(xí)慣性：證明a_LAB,arBC（由

線面垂直的判定定理產(chǎn)生的觸發(fā)）。而

這樣做正是失敗之所在。事實上，若

a±AB,'：aLp,=則必

有a，。。這樣，此題的本質(zhì)就被遮蓋

了.因為。是夕與/的交線。證題時必

然要同時涉及/?_La，yLa的條件。

而另一些學(xué)生由于既敢于運用已有知

識（線面垂直的判定），又不受習(xí)慣的

影響，在a內(nèi)另取一點P（如圖）過P

在a內(nèi)引兩條垂直于AB,CB的相交直線

PD,PE,則問題得解。

上例說明，如果把既有的知識結(jié)構(gòu)看作一張網(wǎng)絡(luò)，那么我們既可以在這張網(wǎng)絡(luò)上繼續(xù)識

結(jié)新的知識點，同時，這張網(wǎng)絡(luò)亦可以把我們的思維按照一定的框圖和模式束縛起來。因而,

擺脫習(xí)慣性思維的羈絆，克服思維惰性的影響，才能在情境和氛圍的作用下，擺渡到創(chuàng)造性

思維的彼岸。作為數(shù)學(xué)教師，一方面要利用已有的知識網(wǎng)絡(luò)去解決問題和發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)知識

時的正遷移作用，另一方面又要有意識地創(chuàng)設(shè)情境和氛圍，引導(dǎo)學(xué)生從迷惘之中走向清醒，

激發(fā)出創(chuàng)造性思想的火花,為最終由必然王國走向自由王國作出自己最大的努力一一這正是

我們所希望和期待的

第三節(jié)數(shù)學(xué)解題中的雅努斯思維

雅努斯相傳是古羅馬中的一尊門神，它有著截然相反的兩副面孔。在思維理論中，人們

把對兩種截然相反情況的同時考慮，稱為雅努斯思維或兩面神思維。

雅努斯思維是美國學(xué)者A羅森堡于1979年率先提出來的，他認(rèn)為所謂雅努斯思維，不

過是對直接對立、似乎是互相排斥的思想、形象或表象的同時認(rèn)識，并且這種對立，不僅能

被人們所認(rèn)識，而且還作為同樣真實、同樣起作用的對立現(xiàn)象，存在于人們的意識之中。思

維對立，乃是進(jìn)行科學(xué)思維最重要的手段之一。創(chuàng)造心理學(xué)家吉爾福特指出：創(chuàng)造性思維是

“相似思考”與“相異思考”相互作用的結(jié)果。數(shù)學(xué)最基本的概念，幾乎都是哲學(xué)的范疇，

對立的現(xiàn)象大量地存在于數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域之中。因而運用雅努斯思維對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析和

研究，不但是必要的，而且也是可能的。下面我們將通過具體例子，來闡述雅努斯思維在數(shù)

學(xué)解題中的應(yīng)用。

例1平面上給定2n個點，其中任何三點都不共線，如果紅、藍(lán)顏色的點各有n個，證明：

可將一紅一藍(lán)連成互不相交的線段。

分析不妨將一紅一藍(lán)連成互不相交的線段看作問題的正面，

問題的反面是連成相交的線段。把這兩種相反的情況同時加以

比較和考慮。為了把情況看得更清楚，我們先研究最簡單的情

況，假定n=2,即平面上有四個點，記A%,4At4(i=l,2)

為紅點,B,(i=l,2)為藍(lán)點。如圖,從與與相交,

4用與4員不相交，由三角形兩邊之和大于第三邊可知，+耳+4打。這意

味著，在所有將一紅一藍(lán)的有限連接之中，互不相交的應(yīng)是n條線段長度之和的最小者。事

實上，如果不管n條線段是否相交，就有有限種方法將2n個點一紅一藍(lán)連成n條線段，計

算出各種方法連接的線段之和為生,其中為為最小者。如果有MN和PQ相交，則該連MQ

和NP,就可以使MQ+NP〈用N+PQ,這樣所得到的q就小于小,這與劣的最小性矛

盾。

例2平面上有997個點，如果每兩點連一線段，并把中點涂成紅色，證明：平面上至少有

1991個紅點，請設(shè)計出恰好有1991個紅點的例子。

分析因為平面上有997個點，如果每兩點連成一條線段，則有C