2024高考數(shù)學(xué)解題技巧-教師用書

2024高考數(shù)學(xué)解題技巧一教師用書

目錄

1.函數(shù)與方程思想..............................................................1

2.數(shù)形結(jié)合思想...............................................................9

3.分類與整合思想............................................................18

4.轉(zhuǎn)化與化歸思想............................................................27

5.選擇題的解題方法..........................................................39

6.填空題的解題方法..........................................................53

1.函數(shù)與方程思想

「思想方法解讀」函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)

題和解決問(wèn)題.如求數(shù)列中的項(xiàng)或最值、求不等式中的參量、求解析幾何中距離

或面積的最值等相關(guān)的非函數(shù)問(wèn)題，往往都可利用函數(shù)思想，構(gòu)建函數(shù)將其轉(zhuǎn)化

為函數(shù)問(wèn)題.

方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為

方程或方程組去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.如變量的取值范圍、直線與圓錐曲線的位

置關(guān)系、數(shù)列中的基本量、二項(xiàng)式中的系數(shù)等問(wèn)題.

熱點(diǎn)題型探究

熱點(diǎn)1函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用

ln3+1

例1(1)(202。湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)高三第四次適應(yīng)性考試)若04<1,則二一

x2+1x+1

e、2，的大小關(guān)系是()

x2+1In3+1x+1

A，-2>-3~.

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f+1x+1In3+1

B-

In3+1x+1x2+1

C--3―〉e-〉e*2

In3+1x2+1x+1

D,-3->er'2>

答案B

x+1-x

解析設(shè)於)=h，貝廳(x)=F，令/Q)>030,令/(x)<0=>x>0,

則段)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減.若0。<1，則0<x2a<i<in

_x2+1x+1In3+1

3,因此人/)?”)》1113),即?故選B.

⑵已知於)=10g2X,龍€[2,16],對(duì)于函數(shù)式X)值域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)〃"使f+

,nr+4>2/"+4x恒成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()

A.(-8,-2]

B.[2,+8)

C.(-8,-2]U[2,+8)

D.(-8,-2)U(2,+8)

答案D

解析因?yàn)閤€[2,16],所以%)=log2x€[l,4],即加€[1,4].不等式f+〃優(yōu)

+4>2/n+4x恒成立,即為m(x-2)+(x-2)2>0恒成立.構(gòu)造函數(shù)g(ni)=(x-

2)m+(x-2)2,則此函數(shù)在區(qū)間[1,4]上恒大于0,

所以fg(4)>0,即ba-2)+(X-2)2>0,

解得x<一2或x>2.

方法指導(dǎo)

函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，借助函數(shù)的圖象

和性質(zhì)可解決相關(guān)的問(wèn)題.常涉及不等式恒成立問(wèn)題、比較大小問(wèn)題.一般利用

函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，從而研究函數(shù)性質(zhì)破解問(wèn)題.

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1.若2'+5)W2、+5-x,則有()

A.x+y20B.x+yWO

C.x-yWOD.x-y^O

答案B

解析把不等式變形為2，-5-，￡27-5，，構(gòu)造函數(shù)")=2，-57其為R

上的增函數(shù)，所以有xW-y,即x+yWO.故選B.

2.(2020.山東省第一次仿真聯(lián)考)已知/'Q)是函數(shù)/U)的導(dǎo)數(shù)，且式-x)=

3

.Kx),當(dāng)x?0時(shí)，/(尤)>3》，則不等式式》)-次》-1)<3》-]的解集是()

A.昌，0)B.(-8,苗

C.&+8)D.(-8,

答案D

3

解析設(shè)g(x)=/(x)-則g'(X)=/'(X)-3x.因?yàn)楫?dāng)時(shí),/(x)>3x,

所以當(dāng)xNO時(shí)，g'W>0,即g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)?*-x)=*x),

33

所以於)為偶函數(shù)，則g(x)也是偶函數(shù)，因?yàn)殪?-於-1)<3%-子所以兀r)-]

X2勺(X-l)-|(x-I)2,即g(x)<g(x-1),則國(guó)<以-1|,解得x<^.

熱點(diǎn)2函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例2等差數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和為S〃，已知Sio=O,515=25,則數(shù)列｛如｝的

公差4=,〃的的最小值為.

2

答案f-49

2

解析由題意知10m+45d=0,150+1054=25,解得d=?ai=-3,

Pn(n-1)]_io/

所以nSn=/ana\+—d-，

A3-lOx21

設(shè)_Ax)=(x>0),則/'(x)=gx(3x-20),

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令/（x）=0,解得x=y（x=o舍去）,

當(dāng)x€（0,用時(shí)，/）單調(diào)遞減，當(dāng)X6理，+8）時(shí)，?。﹩握{(diào)遞增.所以

20

當(dāng)時(shí)，段）取得極小值.取〃=6,得犬6）=-48,取〃=7,得犬7）=-49,

故〃S”的最小值為-49.

方法指導(dǎo)

數(shù)列的通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和是自變量為整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)

列問(wèn)題.常涉及最值問(wèn)題或參數(shù)范圍問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性

來(lái)研究最值問(wèn)題.

■對(duì)點(diǎn)精練

已知數(shù)列｛。〃｝滿足m=33,an+\-an=2n,則詈的最小值為.

-21

答案y

解析根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式。，川-。"=2〃，可利用累加法求解其通項(xiàng)公

式,Cln=~Cln_\）+（Cln_1一。2）+***+（"2—Cl\）+tZl=2[1+2+…+（〃—1）]+33

can3333-33

=1?一〃+33.所以f工l=丁fl人+〃一1,設(shè)/U）=T+x人-l,令/（x）=—1>0,則

危）在（梅，+8）上是單調(diào)遞增的，在（0,四）上是單調(diào)遞減的，因?yàn)椤ā闚*,

所以當(dāng)〃=5或6時(shí)，管有最小值.又因?yàn)槲?掌f=y=y,所以答的最小值

且。621

為不=5

熱點(diǎn)3函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用

2

X

例3（2020.山東省青島市高三一模）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:了+

1（。泌>0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)Fi,尺又恰為拋物線。：方二叔的焦點(diǎn)，以

月產(chǎn)2為直徑的圓與橢圓C僅有兩個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線/與。相交于A,B兩點(diǎn),記點(diǎn)A,8到直線x=-1的距離分別

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為力，血|AB|=di+d2.直線/與C相交于E,/兩點(diǎn)，記△0A8,△0￡F的面

積分別為Si,S2.

①證明：△屏E的周長(zhǎng)為定值；

②求不的最大值.

解(1)因?yàn)锽為拋物線。：產(chǎn)=人的焦點(diǎn)，

故尸2(1,0),所以C=l,

又因?yàn)橐匀巳藶橹睆降膱A與橢圓。僅有兩個(gè)公共點(diǎn)知/=C，所以。=近，

/?=1,

x2

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為主+)2=1.

(2)①證明：由拋物線的定義知，\AB\=ds+d2=\AF2\+\BF2\.

又因?yàn)閨A8|WHF2|+|BF2|,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A,B,尸2三點(diǎn)共線時(shí)成立，所以

直線/過(guò)定點(diǎn)仍，

根據(jù)橢圓定義得，

IE/；］+|￡FI|+|FFI|=|EF2|+|EFi|+|FFi|+|FF2|=4a=4啦.

②若直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=L

因?yàn)閨AB|=4,\EF\=y［l,所以5==乎.

若直線/的斜率存在，則可設(shè)直線"y=4x-l)(ZW0),

設(shè)A(xi,yi),B(xz,yi).

y2=?,

由，得3x2-(2Z?+4)x+3=0,

y=k(x—1),

2/c+441c+4

所以xi+X2=-忌-,\AB\=x\+X2+2=-后~.

設(shè)￡1(孫>3),F(X4,/),

If+/=1,,,,

由，［得(1+2Ar)%2-4Z?x+21^-2=0,

y=k(x-1),

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4d2d-2

則X3+X4=1+2R爾4=]+2女2,

所以|EF|=71+M|X3-X4\

2啦(1+M)

=、1+(X3+必)2-4x3X4

1+2F

則濟(jì)盟=西餐邛X亡€(0,峪

a+

綜上知，年的最大值為坐

方法指導(dǎo)

解析幾何中的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，在圓錐曲線的綜合問(wèn)題中

經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住函數(shù)關(guān)系，將目標(biāo)量表示為一個(gè)(或者多

個(gè))變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)的性質(zhì)來(lái)使問(wèn)題得以解決.

■對(duì)點(diǎn)精練

已知焦點(diǎn)在〉軸上的拋物線。過(guò)點(diǎn)(2,1),橢圓C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi,

F2,其中尸2與。的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)B與C2的長(zhǎng)軸垂直的直線交C2于A,B兩

點(diǎn)，且|AB|=3,曲線C3是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，以|。尸2|為半徑的圓.

⑴求C2與C3的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若動(dòng)直線/與C3相切，且與C2交于M,N兩點(diǎn)，求△OMN的面積S的

取值范圍.

解(1)由已知，設(shè)拋物線G的方程為f=2外?！?),

則4=2p,解得〃=2,即G的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4y.

則F2(0,l),不妨設(shè)橢圓C2的方程為5+%=15利〉0),

-2_2

〃+/一1'得X=±/,所以IABI=§~=3,

由1

J=-1,

Xa2=/?2+1,所以a=2,b=y[3,

故。2的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+'=1.

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易知|0氏2|=1,所以C3的標(biāo)準(zhǔn)方程為r+y2=i.

⑵因?yàn)橹本€/與C3相切，所以圓心。到直線/的距離為1.

所以5小附2*］二等.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，其方程為工=±1,易知兩種情況所得到的△OMN

的面積相等.

由忖+9=1，得丫一嶇

中1可)__3?

x=1

不妨設(shè)半)，Mj,-可可，則|M7V|=￥^,

此時(shí)§=喏=攣

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為丁=丘+加，

則I1^1=1,即加2=3+1.

T+可=1，

由，、得(3F+4)x2+6kmx+3m2-12=0,

y=kx+m

所以正二36后/一4(3-+4)(3相2一12)=48(4+3廬-m2)=48(2d+3)>0恒成

立.

設(shè)M(XM,叫)，N(XN,yz),

-6km3療-12

貝+m=X^=~^T-

所以S=；N1+97（M+XN）2-4XMXN

1（一6k3M2-12

=3業(yè)+d

“8（2爐+3）

25+、?

3s+4

2小業(yè)+S、2心+3

3d+4

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cc"4

令3Zr+4=則F=—,

所以s普產(chǎn)口答千,

令]=〃?'，則rn'W（0,1,

易知），=--2一加'+2在區(qū)間（0,尤上單調(diào)遞減，所以|WS〈半.

綜上，△OMN的面積S的取值范圍為|,￥]

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2.數(shù)形結(jié)合思想

「思想方法解讀」數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與

形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與

形之間的溝通與轉(zhuǎn)化，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面.數(shù)形結(jié)合

的實(shí)質(zhì)是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，即將代數(shù)問(wèn)題幾何化、

幾何問(wèn)題代數(shù)化.

數(shù)形結(jié)合思想常用來(lái)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題、方程根與不等式問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)

題、立體幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題，以及解析幾何中的斜率、截距、距離等模型問(wèn)

題.

熱點(diǎn)題型探究

熱點(diǎn)1數(shù)形結(jié)合化解方程問(wèn)題

'2-x-1(x^0),

例1已知函數(shù)段)=，若方程fi,x)=x+a有且只有兩個(gè)不

gl)(x>0),

相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-8,0】B.[0,1)

C.(-8,1)D.[0,+8)

答案C

2-x-l(x<0),

解析函數(shù)段)=〃~八、的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=

Hx)的圖象與函數(shù)y=x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程_/(x)=x+a有且只有兩個(gè)

不相等的實(shí)數(shù)根.

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方法指導(dǎo)

用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程）的

解（或函數(shù)零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代

數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式（不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉

的函數(shù)），然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程

解（或函數(shù)零點(diǎn)）的個(gè)數(shù).

■對(duì)點(diǎn)精練

|log2（x-1）1,1<X<3,

（多選）已知函數(shù)|犬）=1229.若方程.於）=根有四個(gè)不同

2-V-6x+了，x>3,

的實(shí)根XI,X2,X3,X4滿足X1<X2<X3<X4,則下列結(jié)論正確的是（）

A.x\X2=1B.—4--=1

XIX2

C.X3+%4=12D.X3%4€（27,29）

答案BCD

解析作出函數(shù)y=/（x）與y="?的圖象如圖所示.由圖可知，|log2（xi-1）|=

|10g2（X2-l）|fi1<X1<2<X2<3,log2（Xl-1）+log2（X2-1）=0,即（XI-1）（X2-1）=1,

：.XIX2~X\-X2+1=1,，±+9=l,即A錯(cuò)誤，B正確；易知，X3,X4是方程:

x2-6x+^=m（0<m<1）,即方程/-12x+29-=0的兩根，.'.X3+X4=12,

XW4=29-2w€（27,29）,即C,D均正確.故選BCD.

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熱點(diǎn)2數(shù)形結(jié)合化解不等式問(wèn)題

例2(1)(2020?河北省衡水中學(xué)高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖，函數(shù)次幻的

圖象為折線ACB,則不等式_Ax)21og2(x+l)的解集是()

A.{尤B.{尤I-14W1}

C.{x|-14Wl}D.{R-l<xW2}

答案C

解析如圖所示，畫出g(X)=10g2(X+1)的函數(shù)圖象,從而可知交點(diǎn)。(1,1),

二不等式加02g(x)的解集為{R-14W1},故選C.

3

(2)已知關(guān)于x的不等式代>以+5的解集為{x|4<x<b},則必=.

答案2

33

解析設(shè).*x)=m，g(jf)=ax+2(x^0).因?yàn)?］的解集為{x|4vxv

b},所以兩函數(shù)圖象在4vxvb上有./U)>g(x),如圖所示.當(dāng)x=4,x=h時(shí),

r531

-+--

12=819

<解

得

可--

由於)=1382

gM,亞

-力+--36

<2

方法指導(dǎo)

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數(shù)形結(jié)合思想處理不等式問(wèn)題，要從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，著重分析其幾

何意義，從圖形上找出解題思路.因此，往往構(gòu)造熟知的函數(shù)，作出函數(shù)圖象，

利用圖象的交點(diǎn)和圖象的位置求解不等式.

■對(duì)點(diǎn)精練

1.若存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的x€[0,都有]以-03觥-0戶0恒成立,

則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為()

兀c兀

A.zB.

-3兀-5兀

c.彳D.y

答案C

解析在同一坐標(biāo)系中，作出丁=5加和y=cosx的圖象,

當(dāng)〃?=：時(shí)，要使不等式恒成立，只有a=乎，當(dāng)〃時(shí)，在x€[0,河上，

y[2

必須要求y=siwc和y=cosx的圖象不在丁二。=為"的同一側(cè).所以根的最大值

3兀

是不故選C.

2.(多選)設(shè)了'(x)是函數(shù)式x)的導(dǎo)函數(shù)，若/'(x)〉0,且DXI,X2€R⑶#X2),

人用)+??)<式一5二1則下列選項(xiàng)中一定正確的是()

A.式2)勺(e)勺㈤

B./(兀)守(eM⑵

C.fi^<f(2)-/(3)</(3)

D.f(3)<fi3)-fi2)<f(2)

答案ABD

解析因?yàn)?'a)>0,所以./U)在R上單調(diào)遞增，所以.*2)勺⑹勺⑺，故A

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-、，,____/XI+X2]J{X\）+J（X2）lx\+X2

正確；Vxi,無(wú)2CR（X1#X2）,怛有於i）+於2）＜2（-~J,E|r2黃一一）,

所以y=/U）的圖象是向上凸起的，如圖所示.因?yàn)?'（x）反映了函數(shù)/U）圖象上

各點(diǎn)處的切線的斜率，由圖象可知，隨著x的增大，.穴的的圖象越來(lái)越平緩，即

切線的斜率越來(lái)越小，所以/⑺守（e）勺''⑵，故B正確；因?yàn)槿?）-犬2）=

?一A2）

1表示點(diǎn)A（2/2））與8（3/3））連線的斜率，由圖可知，（3）＜以《＜/'（2）,

故D正確；C無(wú)法推出，故選ABD.

熱點(diǎn)3數(shù)形結(jié)合化解平面向量問(wèn)題

例3（1）已知明）是單位向量，ab=O,若向量c滿足|c-a-"=1,貝

的取值范圍是（）

[^2-1,^2+1][^2-1,&+2]

[1,V2+1][1,啦+2]

答案A

解析如圖，令OA=a,OB=b,OD=a+b,OC=c,

.a,8是單位向量，。仍=0,?,?四邊形AOB。是邊長(zhǎng)為1的正方形，|仍|

=&.又|c-??.點(diǎn)C在以點(diǎn)。為圓心、半徑為1的圓上.

易知點(diǎn)。與O,。共線時(shí)，吩石達(dá)到最值，最大值為6+1,最小值為6-

的取值范圍是[6-1,A/2+I].

⑵（2020?山東省濟(jì)寧市高三二模）如圖，在△A3C中，N3AC=1,AD=2DB,

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P為CD上一點(diǎn),且滿足屐=〃2流+戈瓦若△ABC的面積為2小，貝1]|舒|的最

小值為（）

工C

DB

A.6B.小

4

C.3D.

3

答案B

解析設(shè)I通=3a,\AC\=b,則△ABC的面積為權(quán)3。蚓嶗=2仍，解得必

=1,由#=唐屐?+少誦=機(jī)病+1后，且0,P,。三點(diǎn)共線，可知"2+（=1,

?3

即〃?=不故亦=近+聲.以A3所在直線為x軸，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A作

A3的垂線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),D(2?,0),B(3a,0),

=3（當(dāng)且僅當(dāng)a=獷即a=|,。=4時(shí)取“=”）

故I淳I的最小值為4.

方法指導(dǎo)

建坐標(biāo)系可以實(shí)現(xiàn)平面向量問(wèn)題的全面運(yùn)算，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,

第14頁(yè)共62頁(yè)

把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，化繁

為簡(jiǎn)，輕松破解.

4對(duì)點(diǎn)精練

2兀

給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量/和為，它們的夾角為3.如圖所示，點(diǎn)C

在以。為圓心的圓弧AB上運(yùn)動(dòng).若龍=疝在），為，其中尤，y€R,貝+y的

最大值為,此時(shí)/AOC=.

答案21

解析由圖示和題意可知，A（1,O）,B\

設(shè)/AOC=a(a€0,牛則C(cosa,sina).

由花=%醇+），昉，得

1

COS。=X一鏟

5解得3

Tina,

sina=冬,

所以x+y=cosa+小sina=2sin（a+

一2兀一

又a"o,yj,所以當(dāng)a=W時(shí)，x+y取得最大值2.

熱點(diǎn)4數(shù)形結(jié)合化解圓錐曲線問(wèn)題

例4（2020.山東省臨沂市高三一模）點(diǎn)M為拋物線y=$上任意一點(diǎn)，點(diǎn)

第15頁(yè)共62頁(yè)

3

N為圓/+產(chǎn)一2丁+1=0上任意一點(diǎn)，若函數(shù)於)=loga(x+2)+2m>1)的圖象恒

過(guò)定點(diǎn)P,則l"P|+|MN|的最小值為()

5旦

A-B

24

答案A

解析如圖所示，函數(shù)/)=log〃(x+2)+2(a>l)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(-1,2),故

P(—l,2).

y=^x2,即f=4y,焦點(diǎn)為尸(0,1),準(zhǔn)線為y=-l,x1+y2-2y+^=0,即

x2+(y-I)2=^.\MP\+\MN\^\MP\+\MF]-^\PD\-1=3-1=|,當(dāng)P,M,O共

線時(shí)等號(hào)成立.故選A.

方法指導(dǎo)

與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題，通常是利用函數(shù)的觀點(diǎn)，建立函數(shù)表達(dá)式求

解.但一味的強(qiáng)調(diào)函數(shù)觀點(diǎn)，有時(shí)會(huì)使思維陷入僵局，此時(shí)若能合理利用圓錐曲

線的定義，以形助數(shù)，會(huì)使問(wèn)題變得特別簡(jiǎn)單.

■對(duì)點(diǎn)精練

22

橢圓方+；=1的左焦點(diǎn)為￡直線X=機(jī)與橢圓相交于點(diǎn)M,N,當(dāng)AFMN

的周長(zhǎng)最大時(shí)，△尸MN的面積是()

A或R座

A,55

J5u-5

答案C

第16頁(yè)共62頁(yè)

解析如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,連接M尸，NF.因?yàn)閨MF|+|M+

\MF'|+|^r\^\MF\+\NF]+\MN\,所以當(dāng)直線x=〃？過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，△

五出的周長(zhǎng)最大.止匕時(shí)|加=等=乎，又，=</一〃=在工=i,所以此時(shí)

△尸MN的面積S=：X2X^=半故選C.

第17頁(yè)共62頁(yè)

3.分類與整合思想

「思想方法解讀」分類與整合思想就是將一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若

干個(gè)簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)問(wèn)題的解答，解決原問(wèn)題的思維策略.實(shí)質(zhì)上

就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的策略，使用分類與整合思想應(yīng)明白

這樣幾點(diǎn)：一是引起分類整合的原因；二是分類中整合的原則，不重不漏，分類

標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一；三是明確分類整合的步驟；四是將各類情況總結(jié)歸納.

常見(jiàn)的分類整合問(wèn)題有以下幾種：①由概念引起的分類整合；②由性質(zhì)、定

理、公式的限制條件引起的分類整合；③由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類整合；④由圖形

的不確定性引起的分類整合；⑤由參數(shù)的變化引起的分類整合.

熱點(diǎn)題型探究

熱點(diǎn)1公式、定理的分類整合法

例1（1）（2020.全國(guó)卷I）（x+±）a+y）5的展開式中的系數(shù)為（）

A.5B.10

C.15D.20

答案C

解析（x+y）5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+LCSf-y&CN且W5）,所以

6

Q3與（龍+y）5展開式的乘積可表示為xTr+x=xC^-y=c§x-y或=下

\AyAA

CSV-yuC"4-y+2.在工4+［二csf-y中，令3,可得尤A=CSx3/=lOx3}?3,

該項(xiàng)中”的系數(shù)為10,在"7；+i=C"4-y+2中，令r=1,可得p2=CN>3=

5於咒該項(xiàng)中xY的系數(shù)為5,所以；tY的系數(shù)為10+5=15.故選C.

（2）（2020.山西省大同市高三模擬）若等差數(shù)列伍”}的前n項(xiàng)和為S”，已知m

=9,a2€Z,且SKS5（〃€N*）,則|ai|+|閡+…+1?！▅=.

第18頁(yè)共62頁(yè)

1071-n2,〃W5,

絞案<

口[n2-lOn+50,n>5

解析?.?等差數(shù)列｛3｝的前n項(xiàng)和為S〃,

6Z1=9,(22€Z,且SZ<55,

。5=9+4d20,。6=9+5J<0,

,「。2€Z,.\d=-2,

n(n-1)、

/.Sn=9/2+—2—X(-2)=10〃一/，

2

...當(dāng)時(shí)，\a\\+|閡+…+\an\=10n-ft;

2

當(dāng)n>5時(shí)，\a\\+\a2\+…+\an\=2(a\+。2+〃3+。4+as)-(10/2-n)=2(10X5

-52)+層-10〃

=?2-10z?+50,

lOn-n2,

「.lail+㈤+…+I。，=j

n910/1+50,n>5.

方法指導(dǎo)解決由概念、法則、公式引起的分類整合問(wèn)題的步驟

第一步：確定需分類的目標(biāo)與對(duì)象，即確定需要分類的目標(biāo)，一般把需要用

到公式、定理解決問(wèn)題的對(duì)象作為分類目標(biāo).

第二步：根據(jù)公式、定理確定分類標(biāo)準(zhǔn).運(yùn)用公式、定理對(duì)分類對(duì)象進(jìn)行區(qū)

分.

第三步：分類解決“分目標(biāo)”問(wèn)題.對(duì)分類出來(lái)的“分目標(biāo)”分別進(jìn)行處

理.

第四步：匯總“分目標(biāo)”.將“分目標(biāo)”問(wèn)題進(jìn)行匯總，并作進(jìn)一步處理.

■對(duì)點(diǎn)精練

1.已知數(shù)列｛分｝的前〃項(xiàng)和S"滿足S"=2a”+i(〃WN*),且m=l廁數(shù)列3｝

的通項(xiàng)公式是________.

1,?=1,

答案“'[Ml卜

第19頁(yè)共62頁(yè)

解析①當(dāng)〃=1時(shí)，由已知可得。1=2及，

11

艮nn[]di—2。1=2。

②當(dāng)〃22時(shí)，由已知S"=2a”+i(〃CN*),可得=2&(〃22,〃WN*),兩

an+\3

式相減得的=2跖小-2a”=2念+1=3以，即丁Cln=寧L，所以數(shù)列｛斯｝從第二項(xiàng)開始

構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為“2=g,公比為|的等比數(shù)列，故當(dāng)心2,〃WN*時(shí)有扇=騙>

1,〃=1,

0.所以a“=<]

2\2/'1"A.

2.已知銳角的三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,若。是

1,2的等比中項(xiàng)，c是1,5的等差中項(xiàng)，則。的取值范圍是_______.

答案(26，迎)

解析因?yàn)椤Ｊ?,2的等比中項(xiàng)，所以。=、y；x2=i.

1+5

因?yàn)閏是1,5的等差中項(xiàng)，所以c=-y-=3.

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，

(12+32-472>0,

①當(dāng)。為最大邊時(shí)，有

[1+3>a,

解得3Wa〈E；

p2+?2-32>0,

②當(dāng)。為最大邊時(shí)，有卜+1>3,

解得2/vaW3.

由①②得2啦<a<四,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2啦，V10).

熱點(diǎn)2位置關(guān)系的分類整合法

第20頁(yè)共62頁(yè)

例2(1)設(shè)A,8是橢圓C：H+.=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M

滿足/AMB=120。，則相的取值范圍是()

A.(0,1]U[9,+8)B.(0,V3]U[9,+°°)

C.(0,1]U[4,+8)D.(0,小]U[4,+8)

答案A

解析如圖，設(shè)。E是橢圓的短軸，利用動(dòng)態(tài)分析，或過(guò)A,D,B作圓R

根據(jù)圓周角定理，易知NAMBW/AOB.若C上存在點(diǎn)M滿足120。，

則NADB2120。，所以周=121!/。。82121160。=仍.當(dāng)焦點(diǎn)在工軸上時(shí)，|。8|=

小，|0。|=赤，庠2小，解得0<mWl；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，\OB\=^t,\OD\

=小，坐》S，解得〃.故機(jī)的取值范圍是(0,1]U[9,+8),選人?

x3,x20,

(2)(2020?天津高考)已知函數(shù)段)二八若函數(shù)g(x)二段)一|依2一

-x,x<0.

2x\(keR)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.1-8,一；)u(2啦，+8)

B.(-8,_；)u(0,2的

C.(-8,0)U(0,2^2)

D.(-8,0)0(272,+8)

答案D

解析注意到g(o)=o,所以要使g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程歐-2|=瑞

第21頁(yè)共62頁(yè)

恰有3個(gè)實(shí)根即可，令〃（x）=瑞，即y=|依-2|與//（x）=瑞的圖象有3個(gè)不同

〃x）仔，x>0,

交點(diǎn).因?yàn)樾模?田n當(dāng)左=0時(shí)，y=2,如圖1,y=2與〃（x）=

瑞有1個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)ZvO時(shí)，如圖2,y=|依一2|與力。）=胃恒有3

個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)攵>0時(shí)，如圖3,當(dāng)丁=依-2與y=f相切時(shí)，聯(lián)

立方程得x2-日+2=0,令/=0得3—8=0,解得女=26（負(fù)值舍去），所以女

>2P.綜上,Z的取值范圍為（-8,0）U（2y/2,+8）.故選D.

（1）二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化；（2）函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變化；（3）函數(shù)圖象形狀的

變化；（4）直線由斜率引起的位置變化；（5）圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由

離心率引起的形狀變化；（6）立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等.

岸對(duì)點(diǎn)精練

1.如圖，M,N是焦點(diǎn)為F的拋物線V=4x上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且線段MN

的中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,直線MN與x軸交于B點(diǎn)，則點(diǎn)8的橫坐標(biāo)的取值范

解析①若直線MN的斜率不存在，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,0）.

第22頁(yè)共62頁(yè)

②若直線MN的斜率存在，設(shè)A(3,f)?WO),M(xi,yi),N(x2,”)，

儕=4xi,yi-y

則|由J得比一貨=4(X1-X2),二；~-(2yi+yi)=4,

［歷=4x2,尤1一X2

2?

即kMN=~,直線MN的方程為y—=7(x-3),

2

_t2yr=7。-3),

，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)初=3-萬(wàn)，由j'消去x,

y2=4x

fl

得y2-2(y+2尸—12=0,由/>0得戶<12,又rWO,.,.加=3—萬(wàn)6(—3,3).

綜上，點(diǎn)8的橫坐標(biāo)的取值范圍為(-3,3］.

2.若函數(shù)段)=-Mx-。)在xW［-1,1］上的最大值為4,則a的值為.

答案5或-5

解析函數(shù)段)=-+g勺圖象的對(duì)稱軸為V，應(yīng)分六-1,-導(dǎo)

W1,1>1,即。<一2,—2MW2和a>2三種情形討論.

①當(dāng)。<一2時(shí)，由圖1可知./U)在上的最大值為?-1)=-\-a=-

(a+1),由一(a+1)=4,得。=一5,滿足題意.

②當(dāng)-2—W2時(shí)，由圖2可知段)在［-1,1］上的最大值為序號(hào)由小

4,得。=±4(舍去).

③當(dāng)。>2時(shí)，由圖3可知式x)在上的最大值為式1)=。-1,由。-1=

4,得。=5,滿足題意.

綜上可知，。=5或-5.

熱點(diǎn)3含參數(shù)問(wèn)題的分類整合法

第23頁(yè)共62頁(yè)

例3(2020?海南省高三三模)已知函數(shù)兀r)=ln(x+1)-x+$+aF,?€R.

(1)若a=0,證明：當(dāng)-l<x<0時(shí)，於)<0,當(dāng)%>0時(shí)，於)>0；

⑵若x=0是?x)的極大值點(diǎn)，求。的值.

解(1)證明：當(dāng)。=0時(shí)，.*x)=ln。+1)-》++,定義域?yàn)?一1,+8).

1x2

f(X)=-----1+%=----

J/X+1X+1

當(dāng)心>-1時(shí)，f(功>0,

所以7U)在(-1,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)槿?)=0,

所以當(dāng)-1<X<O時(shí),於)<0,當(dāng)心>0時(shí),危)乂).

(2)若由(1)知，當(dāng)x>0時(shí)，(x+1)-x+&2>o=#o).

這與x=0是/(x)的極大值點(diǎn)矛盾.

1c3ax3+(3a+

若a<0,f'(x)=7-1+x+3OX2=:

Jx+1x+1

3axV3a+1)

X>-L

3a+1

令/(x)=0,可得x=0或x=.

13a+1

①若?<-,貝U---v0.

3a+1

當(dāng)-14<-F-時(shí)，f(x)>0,

3a+1

當(dāng)x>-f-時(shí)，f'

所以義x)在［-黑」，+8)上單調(diào)遞減，與x=0是./U)的極大值點(diǎn)矛盾.

13a+1

②若-鏟。<0,貝1J-一/—>0.

3?+1

當(dāng)時(shí)，/(“)20,

第24頁(yè)共62頁(yè)

3a+1

當(dāng)介-^-時(shí)，f(^)<0.

所以Kr)在1-1,-哭J上單調(diào)遞增，與x=0是/U)的極大值點(diǎn)矛盾.

13a+1

③若4=-1,則-3a=。

當(dāng)-l<x<0時(shí),f(x)>0,當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)<0.

所以7U)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減.

此時(shí)x=0是/U)的極大值點(diǎn).

綜上所述，若x=0是7U)的極大值點(diǎn)，則。=-；.

方法指導(dǎo)

(1)分類整合要標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”.

(2)分類整合時(shí)要先根據(jù)題設(shè)條件確定討論的級(jí)別，再確定每級(jí)討論的對(duì)象

與標(biāo)準(zhǔn)，每級(jí)討論中所分類別應(yīng)做到與前面所述不重不漏，最后將討論結(jié)果歸類

合并，其中級(jí)別與級(jí)別之間有嚴(yán)格的先后順序、類別和類別之間沒(méi)有先后；最后

整合時(shí)要注意是取交集、并集，還是既不取交集也不取并集只是分條列出.

「對(duì)點(diǎn)精練

已知函數(shù),g(x)=ax12+x+l(a>0).

⑴設(shè)F(x)=喂,討論函數(shù)尸(x)的單調(diào)性;

⑵若0<a,證明：/(x)>g(x)在(0，+8)上恒成立.

解⑴產(chǎn)出=鬻=加+x+1

(2a-1

2

-ax+(2a-l)x-叫x-a

F'(%)=

1-x2

①若/(x)=%rwo,

???F(x)在R上單調(diào)遞減.

第25頁(yè)共62頁(yè)

]2?！?2。一12。一1

②若。>5,則下~>0,當(dāng)x<0或x>FVC-—時(shí)，F(xiàn)'(x)<0,當(dāng)0<x「Vf一時(shí),

/a)>o,「.Fa)在(-8,0),(號(hào)」，+8)上單調(diào)遞減，

在10，若口上單調(diào)遞增.

12?！?2?！?2a—1

③若貝當(dāng)時(shí)，時(shí)，

0<a<乙5,Ctx<—0—4ogx>0F'(x)<0,^―V—€<x<0

F'(x)>0.

???F(X)在1-8,(0,+8)上單調(diào)遞減，在佟J,o)上單調(diào)遞增.

(2)證明：,「OvaW；,.,.加+X+1W++X+L

設(shè)〃(x)=e*-+-1,則/?'(幻二^一彳一1.

設(shè)p(x)=h'(JC)=ev-x-1,貝ljp'(x)=er-1,

在(0,+8)上,p'㈤〉。恒成立.

??㈤(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又〃'(0)=0,.?.x€(0,+8)時(shí)，川(功>0,

.?.以>)在(0,+8)上單調(diào)遞增，:7(x)>山0)=0,

e'--x-l>0,ev>^x2+x+1,

e*>52+*+1^ax2+x+1,

./x)>g(x)在(0,+8)上恒成立.

第26頁(yè)共62頁(yè)

4.轉(zhuǎn)化與化歸思想

「思想方法解讀」轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種

手段將問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以解決的一種思維策略，其核心是把復(fù)雜的問(wèn)題

化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將較難的問(wèn)題化歸為較容易求解的問(wèn)題，將未能解決的問(wèn)題

化歸為已經(jīng)解決的問(wèn)題.

常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用具體表現(xiàn)在：將抽象函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)

問(wèn)題，立體幾何和解析幾何中一般性點(diǎn)或圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊點(diǎn)或特殊圖形問(wèn)

題，以及“至少”或“是否存在”等正向思維受阻問(wèn)題轉(zhuǎn)化為逆向思維問(wèn)題，空

間與平面的轉(zhuǎn)化，相等問(wèn)題與不等問(wèn)題的轉(zhuǎn)化等.

熱點(diǎn)題型探究

熱點(diǎn)1特殊與一般的轉(zhuǎn)化

例1(1)(2020,全國(guó)卷II)數(shù)列｛&,｝中，=2,am+n=aman,若ak+\+ak+2+…

l：15

+m+io=2-2,則A=()

A.2B.3

C.4D.5

答案