2024–2025學年九年級數(shù)學暑假提升講義（北師大版）第20講 相似三角形的性質（原卷版）

第20講相似三角形的性質模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．明確相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比與相似比的關系；2．理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方；3．掌握相似三角形的周長比、面積比在實際中的應用。一、相似三角形的性質1．相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.2.相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.3.相似三角形周長的比等于相似比.∽，則由比例性質可得：4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.∽，則分別作出與的高和，則要點：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的.考點一：利用相似三角形對應角相等求角例1．（2023九年級上·廣東茂名·競賽）若，，，則．【變式1-1】（23-24九年級上·貴州畢節(jié)·期末）兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個內(nèi)角是、，那么另一個三角形的最大內(nèi)角是度．【變式1-2】（23-24九年級上·陜西咸陽·期中）已知，相似比為，若△ABC中的最大角是，則中的最大角為°．【變式1-3】（2024·重慶大渡口·一模）如圖，，若，，則的大小為．考點二：利用相似三角形對應邊成比例求邊例2.（2023·甘肅天水·模擬預測）已知，，若，則．【變式2-1】（23-24九年級上·浙江金華·期中）如圖，，且，，則．【變式2-2】（23-24九年級上·江蘇連云港·期末）已知的三條邊分別為、、，若的最短邊為3，則最長邊為．【變式2-3】（23-24九年級上·四川達州·期中）已知中，，點D是線段的中點，點E在線段上且，則.考點三：利用相似三角形對應中線、高線、角平分線成比例例3.（2024九年級·全國·競賽）如果兩個相似三角形的相似比為，那么這兩個三角形對應中線的比為．【變式3-1】（23-24九年級下·全國·課后作業(yè)）已知，和是它們的對應高線．若，，則與的相似比是．【變式3-2】（23-24九年級上·山東菏澤·期中）已知兩個相似三角形對應角平分線的比為，那么這兩個三角形對應高的比是．【變式3-3】（23-24九年級上·吉林長春·期末）如圖，已知點分別是邊上的點，且，相似比為交于點，則．考點四：利用相似三角形對應周長的比成比例例4.（2024·江蘇鹽城·中考真題）兩個相似多邊形的相似比為，則它們的周長的比為．【變式4-1】（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，且與的相似比為，則與周長的比為．【變式4-2】（23-24九年級上·上海普陀·階段練習）已知兩個相似三角形的相似比是，如果較小的三角形的周長為9，那么較大的三角形的周長為．【變式4-3】（23-24九年級上·江蘇揚州·階段練習）兩個相似三角形對應高的比為，那么這兩個三角形的周長比為．考點五：利用相似三角形對應面積的比成比例例5.（2024九年級下·江蘇·專題練習）若兩個相似三角形的相似比為，則面積比為；若兩個相似多邊形的面積比為，則相似比為．【變式5-1】（23-24九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）若，與的面積比為，則與的周長比為．【變式5-2】（23-24九年級上·黑龍江綏化·期中）已知兩個相似三角形的相似比為，其中一個三角形的面積為20，那么另一個三角形的面積為．【變式5-3】（23-24九年級上·四川成都·階段練習）若，且與的面積比是，則與對應角平分線之比為．考點六：相似三角形的性質與判定綜合問題例6.（2024·福建福州·模擬預測）已知，它們的面積比為，是的角平分線，是的角平分線．(1)求證：；(2)求的值．【變式6-1】（23-24九年級上·浙江金華·期末）如圖，在中，為邊上一點，為邊上一點，且．

(1)求的值．(2)求與四邊形的面積比．【變式6-2】（23-24九年級下·北京·階段練習）如圖，將等邊三角形折疊，使點A落在邊上的點D處（不與B、C重合），折痕為．(1)求證：；(2)若，，直接寫出，的周長；(3)在（2）的條件下，求的長．【變式6-3】（23-24九年級下·江蘇連云港·期中）【實踐探究】（1）如圖1，矩形中，交于點E，則的值是______；【變式探究】（2）如圖2，中，為邊上一點，連接，交于點E，若，求的長；【靈活應用】（3）如圖3，在矩形中，，點E，F(xiàn)分別在上，以為折痕，將四邊形翻折，使得的對應邊恰好經(jīng)過點A，過點A作交于點N，若，設的面積為的面積為的面積為，若，則的值為_______．

一、單選題1．（23-24九年級下·北京豐臺·階段練習）如圖，在中，，，，則的長為（

）A． B．8 C．10 D．162．（2024·重慶·一模）如果兩個相似三角形的相似比為，那么這兩個三角形對應邊上的高之比為（

）A． B． C． D．3．（2024·云南玉溪·三模）如果，與的面積分別是25和16，其中的最短邊的長度是5，那么的最短邊的長度是（

）A．16 B．25 C．5 D．44．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖，已知中，為邊上一點，為邊上一點，，，，當?shù)拈L度為時，和相似(

)A．9 B．6 C．4或9 D．6或95．（2024九年級下·江蘇·專題練習）如圖，，和分別是和的高，若，，則和的面積的比為（）A． B． C． D．二、填空題6．（23-24九年級上·廣東清遠·期中）若，且面積之比為，則相似比為．7．（23-24九年級上·陜西咸陽·期中）如圖，點、分別在的邊、上，連接，，若，，那么的度數(shù)為．

8．（2024·安徽合肥·二模）如圖，在中，，平分，，垂足為點E，若，，則（1）是；（2）的周長是．9．（23-24九年級上·上?！るA段練習）已知在中，，如果與相似，且兩條邊的長分別為4和，那么第三條邊的長為．10．（23-24九年級上·四川達州·期末）已知三角形紙片（）中，，，將三角形紙片按照如圖所示的方式折疊，使點B落在直線上，記為點，折痕為．若以點，F(xiàn)，C為頂點的三角形與相似，則的長是．

三、解答題11．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，在中，，的平分線交于點D，，交于點E，(1)求證：；(2)若，求線段長．12．（23-24九年級上·廣東江門·期末）如圖，在和中，，．(1)求證：；(2)若，，求的長．13．（23-24九年級上·陜西榆林·階段練習）如圖，在中，點，分別在邊，上，且．(1)求證：；(2)若，且的周長為12，求的周長．14．（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習）已知：如圖，在中，于點是上一點，連結，已知．(1)求證：．(2)若的面積為15，求的面積．15．（22-23九年級上·陜西西安·期中）探究題：(1)問題提出：數(shù)學課本上有這樣一道題目：如圖①，一塊材料的形狀是銳角，邊，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩