2024–2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（北師大版）第19講 探索三角形相似的條件（原卷版）

第19講探索三角形相似的條件模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．理解相似三角形的定義，掌握定義中的兩個(gè)條件；2．掌握相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3；3．能熟練運(yùn)用相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3。知識(shí)點(diǎn)一、相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點(diǎn)：(1)書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要注意對應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即∽，則說明點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是B′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個(gè)三角形相似，那么第一個(gè)三角形的一邊和第二個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個(gè)三角形和第二個(gè)三角形的相似比.當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等.知識(shí)點(diǎn)二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.2．判定定理（二）：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.要點(diǎn)：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個(gè)三角形相似，應(yīng)用時(shí)必須注意這個(gè)角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的.3．判定定理（三）：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.（簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似）要點(diǎn)：要判定兩個(gè)三角形是否相似，只需找到這兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似）考點(diǎn)一：兩角對應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似例1．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求證：△BDE∽△EFC．【變式1-1】如圖，在中，，E是邊AC上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)A作BE的垂線，交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC于點(diǎn)D，ED延長后交AB的延長線于點(diǎn)F，求證：△AEF∽△ABC．【變式1-3】如圖，在中，，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接交于，交邊于點(diǎn)，求證：．考點(diǎn)二：兩邊成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似例2.如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．【變式2-1】如圖所示，點(diǎn)D是△ABC的AB邊上一點(diǎn)，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．【變式2-2】如圖，F(xiàn)E∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．【變式2-3】如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)三：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似例3.如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．【變式3-1】根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．【變式3-2】如圖，在和中，、分別是、上一點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求證：．【變式3-3】如圖，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1．點(diǎn)、、和、、都在正方形的頂點(diǎn)上．求證：．考點(diǎn)四：添一個(gè)條件使兩個(gè)三角形相似例4.如圖，在中，，點(diǎn)在上（點(diǎn)與，不重合），若再增加一個(gè)條件就能使，則這個(gè)條件是________（寫出一個(gè)條件即可）．【變式4-1】如圖，在中，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件_________，使．【變式4-2】如圖，已知相交于點(diǎn)O，若補(bǔ)充一個(gè)條件后，便可得到，則要補(bǔ)充的條件可以是________．【變式4-3】如圖所示，在四邊形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么還要補(bǔ)充的一個(gè)條件是________．（只要求寫出一個(gè)條件即可）考點(diǎn)五：判斷三角形相似例5.（23-24九年級上·四川眉山·期末）根據(jù)下列各組條件，不能判斷和相似的是（

）A．，，B．，，，C．，，；，，D．，，；，，【變式5-1】（23-24九年級上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知在和中，，則不能使兩直角三角形相似的條件為（）A． B． C． D．【變式5-2】（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．

B．

C．

D．

【變式5-3】（23-24九年級下·湖南湘潭·階段練習(xí)）如圖，，添加一個(gè)條件：①；②；③；④．其中能判定的是（

）．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④考點(diǎn)六：三角形相似有關(guān)比例變形式例6.（23-24九年級上·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）如圖，在中，，、是斜邊上兩點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（

）①；②；③平分；④．

A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式6-1】如圖，在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，，垂足為F，連接，分析下列四個(gè)結(jié)論，①，②；③；④．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式6-2】（23-24九年級上·上海青浦·期中）如圖，在正方形中，為中點(diǎn)，，連接，那么下列結(jié)論中：與相似；與相似；與相似：與相似；；其中錯(cuò)誤的有（

）個(gè)．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【變式6-3】（23-24九年級上·安徽·期中）如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，與相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．5 B．4 C．3 D．2考點(diǎn)七：三角形相似的證明綜合題例7.（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，矩形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．將沿著折疊后得，延長交于，連接．(1)求證：平分．(2)求證：．【變式7-1】（23-24九年級上·安徽·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，且．

(1)求證：；(2)與相似嗎？為什么？【變式7-2】（23-24九年級上·上海崇明·期中）如圖，在中，，平分，作交于點(diǎn)E，垂足為F．作，垂足為G．

(1)求證：．(2)求證：．【變式7-3】（2024·上海金山·二模）如圖，已知：D是的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在外部，且，，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)如果，求證：．一、單選題1．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）依據(jù)下列條件不能判定與相似的是（

）A．，，，，，B．，，，，C．，，D．，，，，，2．（2024·云南昆明·二模）如圖，已知，添加下列條件后，能判斷的是（）A． B．C． D．3．（23-24九年級上·山東聊城·期末）如圖，在中，點(diǎn)在上，下列四個(gè)條件：①；②；③；④，其中當(dāng)和相似時(shí)滿足的條件有（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)4．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，E、F分別為、的中點(diǎn)，連接，H為的中點(diǎn)，過點(diǎn)H作，交于點(diǎn)D，連接，則與相似(不含)的三角形個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．4 C．8 D．25．（2024·天津和平·一模）如圖，已知，，，．將沿圖中的DE剪開，剪下的陰影三角形與不相似的是（

）A．B．C．D．二、填空題6．（23-24九年級上·甘肅張掖·期末）如圖，已知，則圖中相似三角形是．

7．（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形中，平分，且，．當(dāng)時(shí)，．8．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)，則圖中所形成的三角形中，與相似的三角形是．9．（23-24九年級上·四川成都·期末）某工件橫截面如圖1所示，已知，，．現(xiàn)將一根寬為2cm的直尺分別按圖2及圖3的方式擺放（圖3中，直尺恰好卡在AD之間），測得，，則該工件的內(nèi)徑長為．10．（22-23九年級下·河北衡水·期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，，與相交于點(diǎn)O，與相交于點(diǎn)F．

（1）若平分，則與是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）圖中與相似的三角形有（寫出兩個(gè)即可）三、解答題11．（2024·福建福州·一模）如圖，中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，，連接．從下列條件中，選擇一個(gè)作為附加條件①；②；③，求證：．12．（23-24九年級上·陜西咸陽·階段練習(xí)）在方格紙中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的圖形叫做格點(diǎn)圖形．如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，試判斷格點(diǎn)圖形與是否相似，并說明理由．13．（23-24九年級上·貴州銅仁·階段練習(xí)）如圖，在中，，，垂足為，為上一點(diǎn)，連接，作交于．求證：．

14．（23-24九年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說明理由．(1)，，，，，；(2)，，，．15．（23-24九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期末）圖1、圖2均是