2024–2025學年九年級數(shù)學暑假提升講義（北師大版）第19講 探索三角形相似的條件（原卷版）

第19講探索三角形相似的條件模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解相似三角形的定義，掌握定義中的兩個條件；2．掌握相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3；3．能熟練運用相似三角形的判定定理1、判定定理2、判定定理3。知識點一、相似三角形在和中，如果我們就說與相似，記作∽.k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.要點：(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應點的位置要一致，即∽，則說明點A的對應點是A′，點B的對應點是B′，點C的對應點是C′；(2)對于相似比，要注意順序和對應的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當相似比為1時，兩個三角形全等.知識點二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.2．判定定理（二）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.要點：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.3．判定定理（三）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.（簡述為：三邊對應成比例，兩個三角形相似）要點：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。（簡述為：斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似）考點一：兩角對應相等，兩個三角形相似例1．如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求證：△BDE∽△EFC．【變式1-1】如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．【變式1-2】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，點E為AC的中點，AD⊥BC于點D，ED延長后交AB的延長線于點F，求證：△AEF∽△ABC．【變式1-3】如圖，在中，，于點．（1）求證：；（2）若點是邊上一點，連接交于，交邊于點，求證：．考點二：兩邊成比例且夾角相等，兩個三角形相似例2.如圖，AB?AF＝AE?AC，且∠1＝∠2，求證：△ABC∽△AEF．【變式2-1】如圖所示，點D是△ABC的AB邊上一點，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求證：△ACD∽△ABC．【變式2-2】如圖，F(xiàn)E∥CD，AF=3，AD=5，AE=4．(1)求AC的長；(2)若，求證：△ADE∽△ABC．【變式2-3】如圖，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上．（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并證明你的結論．考點三：三邊對應成比例，兩個三角形相似例3.如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，△ABC和△DEF的頂點都在方格紙的格點上，判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由．【變式3-1】根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說明理由：(1)，，，，，；(2)，，，，，．【變式3-2】如圖，在和中，、分別是、上一點，，當時，求證：．【變式3-3】如圖，設網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1．點、、和、、都在正方形的頂點上．求證：．考點四：添一個條件使兩個三角形相似例4.如圖，在中，，點在上（點與，不重合），若再增加一個條件就能使，則這個條件是________（寫出一個條件即可）．【變式4-1】如圖，在中，點在邊上，點在邊上，請?zhí)砑右粋€條件_________，使．【變式4-2】如圖，已知相交于點O，若補充一個條件后，便可得到，則要補充的條件可以是________．【變式4-3】如圖所示，在四邊形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么還要補充的一個條件是________．（只要求寫出一個條件即可）考點五：判斷三角形相似例5.（23-24九年級上·四川眉山·期末）根據(jù)下列各組條件，不能判斷和相似的是（

）A．，，B．，，，C．，，；，，D．，，；，，【變式5-1】（23-24九年級上·廣西桂林·階段練習）已知在和中，，則不能使兩直角三角形相似的條件為（）A． B． C． D．【變式5-2】（2024九年級下·浙江·專題練習）如圖，在紙片中，，將該紙片沿虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A．

B．

C．

D．

【變式5-3】（23-24九年級下·湖南湘潭·階段練習）如圖，，添加一個條件：①；②；③；④．其中能判定的是（

）．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④考點六：三角形相似有關比例變形式例6.（23-24九年級上·浙江臺州·階段練習）如圖，在中，，、是斜邊上兩點，且，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到，連接．下列結論中正確的個數(shù)有（

）①；②；③平分；④．

A．個 B．個 C．個 D．個【變式6-1】如圖，在矩形中，E是邊的中點，，垂足為F，連接，分析下列四個結論，①，②；③；④．其中正確的結論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式6-2】（23-24九年級上·上海青浦·期中）如圖，在正方形中，為中點，，連接，那么下列結論中：與相似；與相似；與相似：與相似；；其中錯誤的有（

）個．A．個 B．個 C．個 D．個【變式6-3】（23-24九年級上·安徽·期中）如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點E，F(xiàn)，連接，與相交于點H，給出下列結論：①；②；③；④；⑤；其中正確結論的個數(shù)是（）

A．5 B．4 C．3 D．2考點七：三角形相似的證明綜合題例7.（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，矩形中，，點是的中點，連接．將沿著折疊后得，延長交于，連接．(1)求證：平分．(2)求證：．【變式7-1】（23-24九年級上·安徽·階段練習）如圖，在正方形中，E是的中點，點F在上，且．

(1)求證：；(2)與相似嗎？為什么？【變式7-2】（23-24九年級上·上海崇明·期中）如圖，在中，，平分，作交于點E，垂足為F．作，垂足為G．

(1)求證：．(2)求證：．【變式7-3】（2024·上海金山·二模）如圖，已知：D是的邊上一點，點E在外部，且，，交于點F．(1)求證：；(2)如果，求證：．一、單選題1．（23-24九年級上·安徽安慶·期末）依據(jù)下列條件不能判定與相似的是（

）A．，，，，，B．，，，，C．，，D．，，，，，2．（2024·云南昆明·二模）如圖，已知，添加下列條件后，能判斷的是（）A． B．C． D．3．（23-24九年級上·山東聊城·期末）如圖，在中，點在上，下列四個條件：①；②；③；④，其中當和相似時滿足的條件有（

）A．個 B．個 C．個 D．個4．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在中，，E、F分別為、的中點，連接，H為的中點，過點H作，交于點D，連接，則與相似(不含)的三角形個數(shù)為（

）A．1 B．4 C．8 D．25．（2024·天津和平·一模）如圖，已知，，，．將沿圖中的DE剪開，剪下的陰影三角形與不相似的是（

）A．B．C．D．二、填空題6．（23-24九年級上·甘肅張掖·期末）如圖，已知，則圖中相似三角形是．

7．（2024·云南昆明·三模）如圖，在四邊形中，平分，且，．當時，．8．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點都是小正方形的頂點，則圖中所形成的三角形中，與相似的三角形是．9．（23-24九年級上·四川成都·期末）某工件橫截面如圖1所示，已知，，．現(xiàn)將一根寬為2cm的直尺分別按圖2及圖3的方式擺放（圖3中，直尺恰好卡在AD之間），測得，，則該工件的內(nèi)徑長為．10．（22-23九年級下·河北衡水·期中）如圖，在矩形中，點E在上，，與相交于點O，與相交于點F．

（1）若平分，則與是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）圖中與相似的三角形有（寫出兩個即可）三、解答題11．（2024·福建福州·一模）如圖，中，點D是邊上一點，，連接．從下列條件中，選擇一個作為附加條件①；②；③，求證：．12．（23-24九年級上·陜西咸陽·階段練習）在方格紙中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點連線為邊的圖形叫做格點圖形．如圖，方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，試判斷格點圖形與是否相似，并說明理由．13．（23-24九年級上·貴州銅仁·階段練習）如圖，在中，，，垂足為，為上一點，連接，作交于．求證：．

14．（23-24九年級上·河北石家莊·階段練習）根據(jù)下列條件，判斷與是否相似，并說明理由．(1)，，，，，；(2)，，，．15．（23-24九年級上·江西景德鎮(zhèn)·期末）圖1、圖2均是