2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第5章平面向量復(fù)數(shù)第1節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算教師用書(shū)

第一節(jié)平面對(duì)量的概念與線性運(yùn)算考試要求：1．了解平面對(duì)量的實(shí)際背景，理解平面對(duì)量的意義和兩個(gè)向量相等的含義．2．理解平面對(duì)量的幾何表示和基本要素．3．駕馭平面對(duì)量加、減運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量向量由方向和長(zhǎng)度確定，與位置沒(méi)有關(guān)系零向量長(zhǎng)度為0的向量其方向是隨意的，記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量非零向量a的單位向量為±a平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行(或共線)相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0解決向量概念問(wèn)題要留意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否滿意條件，要特殊留意零向量的特殊性．2．平面對(duì)量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)平行四邊形法則減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法三角形法則數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘(1)|λa|＝|λ||a|．(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．4．常用結(jié)論(1)設(shè)P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP＝12(2)若G是△ABC的重心，D是BC邊的中點(diǎn)，則①GA+GB+②AG＝13③GD＝12(GB(3)在四邊形ABCD中，若E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，則AB+DC＝2(4)OA＝λOB＋μO(píng)C(λ，μ為實(shí)數(shù))，點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.(5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)．二、基本技能·思想·活動(dòng)閱歷1．推斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的畫(huà)“√”，錯(cuò)的畫(huà)“×”．(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小． (√)(2)若a∥b，b∥c，則a∥c. (×)(3)若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上．(×)(4)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反． (×)2．如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是()A．AP＝13AB B．AQC．BP＝－23AB DD解析：由數(shù)乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯(cuò)誤．3．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC＝3CD，則()A．AD＝－1B．AD＝1C．AD＝4D．AD＝4A解析：由題意得AD＝AC+CD＝AC+134．已知□ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且OA＝a，OB＝b，則DC＝________，BC＝___________．(用a，b表示)b－a－a－b解析：如圖，DC＝AB＝OB-OA＝b－a，BC＝OC-OB＝－OA-5．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝_________．12解析：因?yàn)橄蛄縜，b不平行，所以a＋2b≠0.又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則λ=μ，1=2μ，解得λ＝考點(diǎn)1向量的相關(guān)概念——基礎(chǔ)性1．下面說(shuō)法正確的是()A．平面內(nèi)的單位向量是唯一的B．全部單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓C．全部的單位向量都是共線的D．全部單位向量的模相等D解析：因?yàn)槠矫鎯?nèi)的單位向量有多數(shù)個(gè)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤．當(dāng)單位向量的起點(diǎn)不同時(shí)，其終點(diǎn)就不肯定在同一個(gè)圓上，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤．當(dāng)兩個(gè)單位向量的方向不相同也不相反時(shí)，這兩個(gè)向量就不共線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤．因?yàn)閱挝幌蛄康哪６嫉扔?，所以選項(xiàng)D正確．2．給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，肯定是共線向量；②λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中假命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3D解析：①假命題，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②假命題，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0.③錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)，a與b可以是隨意向量．故假命題有3個(gè)，故選D.3．(多選題)下列命題正確的是()A．若|a|＝|b|，則a＝bB．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則AB＝DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件C．若a＝b，b＝c，則a＝cD．兩向量a，b相等的充要條件是|a|＝|b|且a∥bBC解析：A不正確．兩個(gè)向量的模相等，但它們的方向不肯定相同，因此由|a|＝|b|推不出a＝b.B正確．若AB＝DC，則|AB|＝|DC|且AB∥DC.又因?yàn)锳，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD是平行四邊形．反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥DC且AB＝DC，又AB與DC方向相同，因此AB＝DC.C正確．因?yàn)閍＝b，所以a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同．因?yàn)閎＝c，所以b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同．所以a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，所以a＝c.D不正確．當(dāng)a∥b，但方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件．1．解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是精確理解向量的有關(guān)概念，否則易出錯(cuò)．如第2題第③項(xiàng)易忽視λ＝μ＝0時(shí)a，b為隨意向量而致錯(cuò)；第3題中的A選項(xiàng)易誤認(rèn)為“模相等，兩個(gè)向量就相等”而忽視方向．2．對(duì)平面對(duì)量概念理解的幾點(diǎn)留意(1)平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)；非零向量的平行具有傳遞性；相等向量肯定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有傳遞性．(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)數(shù)，可以比較大?。?3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．(4)非零向量a與aa的關(guān)系：aa是與考點(diǎn)2平面對(duì)量的線性運(yùn)算——綜合性考向1向量的線性運(yùn)算(1)設(shè)非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|A解析：方法一：因?yàn)閨a＋b|＝|a－b|，所以|a＋b|2＝|a－b|2.所以a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.所以a·b＝0.所以a⊥b.方法二：利用向量加法的平行四邊形法則．在□ABCD中，設(shè)AB＝a，AD＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.(2)在等腰梯形ABCD中，AB＝－2CD，M為BC的中點(diǎn)，則AM＝()A．12ABC．34ABB解析：因?yàn)锳B＝－2CD，所以AB＝2DC.又M是BC的中點(diǎn)，所以AM＝12(AB+AC)＝11．本例(2)條件不變，用AB，AD表示解：DM＝DC+CM＝12(AB+CB)＝12(2．本例(2)中，若CM＝2MB，其他條件不變，用AB，AC表示解：AM＝AB+BM＝AB+131．平面對(duì)量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的狀況：可干脆運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解．(2)含圖形的狀況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解．2．三種運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”，加法的平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”．(2)減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向被減向量．(3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過(guò)程可類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算．考向2利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)問(wèn)題在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)．若AO＝λAB＋μBC，其中λ，μ∈R，則λ＋μ等于()A．1 B．1C．13 D解析：由于AB＝2，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，所以BD＝1.由題意易得AD＝AB+BD＝AB+13BC，則2AO＝AB+13BC，即AO＝12AB+16BC.所以依據(jù)平面對(duì)量的線性運(yùn)算求參數(shù)問(wèn)題可以探討向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值或范圍．1．(2024·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB＝()A．3m－2n B．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3nB解析：如圖，CD＝CA+AD＝CA+12所以12CB＝32CD-CA，即CB＝3CD－22．(2024·聊城模擬)在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC＝3CD，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)．若AO＝xAB＋(1－x)AC，則x的取值范圍是()A．0，1C．-12D解析：設(shè)CO＝y(tǒng)BC，因?yàn)锽C＝3CD，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，所以y∈0，13，所以AO＝AC+CO＝AC＋yBC＝AC＋y(AC-AB)＝－yAB＋(1＋y)AC.因?yàn)锳O＝xAB＋(1－x)AC，所以x考點(diǎn)3共線向量定理及應(yīng)用——應(yīng)用性設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值．(1)證明：因?yàn)锳B＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，BC＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2AB，所以AB與BC共線，且有公共點(diǎn)B.所以A，B，C三點(diǎn)共線．(2)解：因?yàn)?a＋kb與ka＋2b共線．所以存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，所以(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因?yàn)閍與b不共線，所以8-λk=0，k-2λ=0?所以k＝2λ＝±4.即實(shí)數(shù)k的值為4或－4.1．證明向量共線的方法應(yīng)用向量共線定理．對(duì)于向量a，b(b≠0)，若存在實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb，則a與b共線．2．證明A，B，C三點(diǎn)共線的方法若存在實(shí)數(shù)λ，使得AB＝λAC，則A，B，C三點(diǎn)共線．3．解決含參數(shù)的共線問(wèn)題的方法常常用到平面幾何的性質(zhì)，構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組，解方程或方程組得到參數(shù)值．1．設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量，已知BA＝a＋2b，BC＝4a－4b，CD＝－a＋2b，則()A．A，B，D三點(diǎn)共線B．B，C，D三點(diǎn)共線C．A，B，C三點(diǎn)共線D．A，C，D三點(diǎn)共線D解析：因?yàn)镃A＝BA-BC＝－3a＋6b，所以CA＝3CD，所以CA與CD共線．又因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)C，所以A，C，2．(2024·日照月考)已知O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AO＝12(OB+OC)，AD＝tAC.若B，OA．14 C．12 B解析：如圖，以O(shè)B，OC為鄰邊作平行四邊形，其對(duì)角線相交于點(diǎn)E.因?yàn)锳O＝12(OB+OC因?yàn)锳D＝tAC，B，O，D三點(diǎn)共線，所以AO＝λAB＋(1－λ)AD＝λAB＋(1－λ)tAC.又AO＝12AE＝12×12(AB+3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB，AC所在直線交于不同的兩點(diǎn)M，N.若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋A．1 B．2C．3 D．4B解析：連接AO，如圖．因?yàn)镺為BC的中點(diǎn)，所以AO＝12(AB因?yàn)镸，O，N三點(diǎn)共線，所以m2+n2＝1，所以在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若AC＝a，BD＝b，則AF＝()A．14a＋12b B．23aC．12a＋14b D．13a[四字程序]讀想算思用基底表示AF1．三角形法則，平行四邊形法則．2．以誰(shuí)為基底選擇不同的三角形，利用三角形法則轉(zhuǎn)化與化歸O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E是OD的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于F1．AF＝AG+GF，如何表示2．＝AC+CF，如何表示3．＝AD+DF，如何表示4．利用方程組思想與向量相等解決1．在△AGF中表示．2．在△ACF中表示．3．在△ADF中表示．4．干脆設(shè)AF＝xAC＋yBD，利用向量相等求系數(shù)1．向量的線性運(yùn)算法則．2．向量相等的條件．3．平行線的性質(zhì)思路參考：利用AG，GF表示B解析：由題意可知△DEF∽△BEA，所以DEBE＝DFBA＝13.又由AB＝CD可得DF所以DFFC＝1如圖，作FG∥BD交AC于點(diǎn)G，所以FGDO＝CGCO＝CFCD所以GF＝23OD＝13BD因?yàn)锳G＝AO+OG＝AO+13OC＝1所以AF＝AG+GF＝23a＋思路參考：利用AC，CF表示B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點(diǎn)G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是CF＝23CD＝23×12(b－a)＝所以AF＝AC+CF＝23a＋思路參考：利用AD，DF表示B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點(diǎn)G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，于是DF＝13DC＝那么AF＝AD+DF＝12a+12思路參考：利用AC，BD表示B解析：如圖，作OG∥FE交DC于點(diǎn)G.由DE＝EO，得DF＝FG.又由AO＝OC，得FG＝GC，故AF＝AD+DF＝AD+設(shè)AF＝xAC＋yBD.因?yàn)锳C＝AD+AB，所以AF＝(x＋y)AD＋(x－y)AB，于是x+y=1，x-y=所以AF＝23AC+13BD＝1．本題考查利用已知向量作基底表示向量問(wèn)題，解法敏捷多變，基本解題策略是借助三角形法則或平行四邊形法則，逐步對(duì)向量進(jìn)行變形，直至用所給基底表達(dá)出來(lái)；或選用不同基底分別表示，再利用向量相等解決．2．本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性．同時(shí)，解題的過(guò)程須要學(xué)問(wèn)之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了綜合性．3．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般須要良好的讀圖識(shí)圖實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力、推理實(shí)力．本題的解答體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．如圖，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，則2A．1 B．2C．3 D．4C解析：解法一：由題圖可得AE＝AB+BE＝AB+23BC＝AB+23(BA+AD+DC)＝13AB+23AD+DC＝1解法二：因?yàn)锽E＝2EC，所以AE-AB＝2(AC-AE)，整理，得AE＝13解法三：如圖，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)P，則由DC＝14AB得DC∥AB，且AB＝4DC.又BE＝2EC，所以E為PB的中點(diǎn)，且AP＝43AD.于是，AE＝12解法四：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，依題意可設(shè)點(diǎn)B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.由AE＝rAB＋sAD，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以4m=4mr+3ms解得r=所以2r＋3s＝1＋2＝3.課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十六)A組全考點(diǎn)鞏固練1．設(shè)a，b是非零向量，則“a＝2b”是“aa＝bA．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件B解析：由a＝2b可知，a，b方向相同，aa，bb表示a，b方向上的單位向量，所以2．(2024·泰安模擬)已知向量a和b不共線，向量AB＝a＋mb，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則m＝()A．3 B．2C．1 D．－2A解析：由題意得BD＝BC+CD＝2a＋6b＝λAB＝λ(a＋mb)，解得3．(多選題)設(shè)a，b都是非零向量，則下列四個(gè)條件中，肯定能使aa+bA．a(chǎn)＝－2b B．a(chǎn)＝2bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝－bAD解析：∵aa+bb＝0，∴∴a與b的方向相反．故選AD.4．向量e1，e2，a，b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則a－b＝()A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2C．e1－3e2 D．3e1－e2C解析：結(jié)合圖形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.5．設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD＝－12AB+32AC.若BC＝λCD(A．－2 B．－3C．2 D．3C解析：因?yàn)锽C＝λCD(λ∈R)，所以AC-AB＝λAD－λAC，即AD＝－1λAB+λ+1λAC.又因?yàn)?．若AP＝12PB，AB＝(λ＋1)BP－52解析：因?yàn)锳P＝12PB，所以AP+PB＝AB＝32PB＝－32BP7．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且滿意BE＝EC，CD＝2CF，則|3解析：依據(jù)題意，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，則∠BAC＝60°，必有AC＝2，又由BE＝EC，CD＝2則E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，則AE＝AB+BE，則AE+AF＝AB+BE+AD+DF＝8．經(jīng)過(guò)△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)OP＝mOA，OQ＝nOB，m，n∈R，求解：設(shè)OA＝a，OB＝b，則OG＝13(a＋b)，PQ＝OQ-OP＝nb－ma，PG＝OG-OP＝13(a＋b)－ma＝由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)λ使得PQ＝λPG，即nb－ma＝λ13-ma＋13λb，則-m=λ139．已知a，b不共線，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，設(shè)t∈R，假如3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：由題設(shè)知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因?yàn)閍，b不共線，所以有t-3+3k=0，t-2k=0，解得故存在實(shí)數(shù)t＝65使C，D，EB組新高考培優(yōu)練10．如圖所示，已知AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，AB＝a，AC＝b，則AD＝()A．a(chǎn)－12b B．12aC．a(chǎn)＋12b D．12aD解析：連接CD(圖略)，由點(diǎn)C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，得CD∥AB且CD＝12AB＝12a，所以AD＝AC+CD＝11．(2024·北京東城期末)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上．若AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是()A．[0，1] B．[0，3]C．0，1C解析：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F.在Rt△BCF中，∠B＝30°，BC＝2，所以CF＝1，BF＝3.因?yàn)锳B＝23，所以AF＝3.由四邊形AFCD是平行四邊形，可得CD＝AF＝3＝12AB.因?yàn)锳E＝AD+DE＝AD＋μAB，所以DE＝μAB.因?yàn)镈E∥DC，DC＝112．(多選題)設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)平面對(duì)量，已知PQ＝a＋sinα·b，其中α∈(0，2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三點(diǎn)共線，則角α的值可以為()A．π6