新教材2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)項(xiàng)分層特訓(xùn)卷三微專(zhuān)題提升練微專(zhuān)題6以數(shù)列為載體的情景問(wèn)題

微專(zhuān)題6以數(shù)列為載體的情景問(wèn)題一、單項(xiàng)選擇題1．小方安排從4月1日起先存儲(chǔ)零錢(qián)，4月1日到4月4日每天都存儲(chǔ)1元，從4月5日起先，每天存儲(chǔ)的零錢(qián)比昨天多1元，則小方存錢(qián)203天(4月1日為第1天)的儲(chǔ)蓄總額為()A．19903元B．19913元C．20103元D．20113元2．《張丘建算經(jīng)》曾有類(lèi)似記載：“今有女子善織布，逐日織布同數(shù)遞增(即每天增加的數(shù)量相同).”若該女子其次天織布一尺五寸，前十五日共織布六十尺，按此速度，該女子其次十日織布()A．七尺五寸B．八尺C．八尺五寸D．九尺3．現(xiàn)有17匹擅長(zhǎng)奔馳的馬，它們從同一個(gè)起點(diǎn)動(dòng)身，測(cè)試它們一日可行的路程．已知第i(i＝1，2，…，16)匹馬的日行路程是第i＋1匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為(取1.0517＝2.292)()A．7750里B．7752里C．7754里D．7756里4．[2024·全國(guó)乙卷]嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，接著進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星．為探討嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1＋eq\f(1,α1)，b2＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2))，b3＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2＋\f(1,α3)))，…，依此類(lèi)推，其中αk∈N*(k＝1，2，…).則()A．b1<b5B．b3<b8C．b6<b2D．b4<b75.[2024·新高考Ⅱ卷]圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉．圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為eq\f(DD1,OD1)＝0.5，eq\f(CC1,DC1)＝k1，eq\f(BB1,CB1)＝k2，eq\f(AA1,BA1)＝k3.已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3＝()A．0.75B．0.8C．0.85D．0.96．[2024·河北秦皇島模擬]中國(guó)古代很多聞名數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感愛(ài)好，創(chuàng)建并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，呈現(xiàn)了聰慧才智．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，所探討的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是后項(xiàng)減前項(xiàng)之差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)“堆垛”，共50層，第一層2個(gè)小球，其次層5個(gè)小球，第三層10個(gè)小球，第四層17個(gè)小球，…，按此規(guī)律，則第50層小球的個(gè)數(shù)為()A．2400B．2401C．2500D．25017.[2024·安徽馬鞍山模擬]風(fēng)箏由中國(guó)古代勞動(dòng)人民獨(dú)創(chuàng)于東周春秋時(shí)期，距今已2000多年．龍被視為中華古老文明的象征，大型龍類(lèi)風(fēng)箏放飛場(chǎng)面壯麗，氣概磅礴，因而廣受寵愛(ài)．某團(tuán)隊(duì)耗時(shí)4個(gè)多月做出一長(zhǎng)達(dá)200米、重約25公斤，“龍身”共有180節(jié)“鱗片”的巨龍風(fēng)箏．制作過(guò)程中，風(fēng)箏骨架可采納竹子制作，但竹子易斷，還有一種耐用的碳桿材質(zhì)也可做骨架，但它比竹質(zhì)的成本高．最終團(tuán)隊(duì)確定骨架材質(zhì)按圖中規(guī)律排列(即相鄰兩碳質(zhì)骨架之間的竹質(zhì)骨架個(gè)數(shù)成等差數(shù)列)，則該“龍身”中竹質(zhì)骨架個(gè)數(shù)為()A．161B．162C．163D．1648．[2024·湖北武漢模擬]為平衡城市旅游發(fā)展和生態(tài)環(huán)境愛(ài)護(hù)，某市安排通過(guò)五年時(shí)間治理城市環(huán)境污染，預(yù)料第一年投入資金81萬(wàn)元，以后每年投入資金是上一年的eq\f(4,3)倍；第一年的旅游收入為20萬(wàn)元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬(wàn)元，則這五年的投入資金總額與旅游總收入差額為()A．325萬(wàn)元B．581萬(wàn)元C．721萬(wàn)元D．980萬(wàn)元二、多項(xiàng)選擇題9．[2024·山西大同模擬]《莊子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，其大意為：一根一尺長(zhǎng)的木棰每天截取一半，恒久都取不完，設(shè)第一天這根木棰截取一半后剩下a1尺，其次天截取剩下的一半后剩下a2尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下a5尺，則下列說(shuō)法正確的是()A.eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,4)B．a(chǎn)3＝eq\f(1,8)C．a(chǎn)3－a4＝eq\f(1,16)D．a(chǎn)1＋a2＋a3＋a4＋a5＝eq\f(31,32)10．某企業(yè)2024年年初有資金5千萬(wàn)元，由于引進(jìn)了先進(jìn)生產(chǎn)設(shè)備，資金年平均增長(zhǎng)率可達(dá)到50%.每年年底扣除下一年的消費(fèi)基金1.5千萬(wàn)元后，剩余資金投入再生產(chǎn)．設(shè)從2024年的年底起，每年年底企業(yè)扣除消費(fèi)基金后的剩余資金依次為a1，a2，a3，…，則下列說(shuō)法正確的是(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)()A．a(chǎn)1＝6千萬(wàn)元B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－3))是等比數(shù)列C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－3))是等差數(shù)列D．至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會(huì)超過(guò)21千萬(wàn)元[答題區(qū)]題號(hào)12345678910答案三、填空題11．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)十部古算經(jīng)之一，其中記載有：陰陽(yáng)之?dāng)?shù)，日月之法，十九歲為一章，四章為一蔀，二十蔀為一遂……若32個(gè)人的年齡(都為整數(shù))依次成等差數(shù)列，他們的年齡之和恰好為“一遂”，其中年齡最小者不超過(guò)30歲，則年齡最大者為_(kāi)_______歲．12.三潭印月被譽(yù)為“西湖第一勝境”，所謂三潭，事實(shí)上是3個(gè)石塔和其四周水域，石塔建于宋代元四年(公元1089年)，每個(gè)高2米，分別聳立在水光瀲滟的湖面上，形成一個(gè)等邊三角形，記為△A1B1C1，設(shè)△A1B1C1的邊長(zhǎng)為a1，取△A1B1C1每邊的中點(diǎn)構(gòu)成△A2B2C2，設(shè)其邊長(zhǎng)為a2，依此類(lèi)推，由這些三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}，若{an}的前6項(xiàng)和為eq\f(1953,16)，則△A1B1C1的邊長(zhǎng)a1＝________．13．[2024·山東煙臺(tái)模擬]歐拉是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，在很多數(shù)學(xué)的分支中常?？梢砸?jiàn)到以他的名字命名的重要函數(shù)、公式和定理．如聞名的歐拉函數(shù)φ(n)：對(duì)于正整數(shù)n，φ(n)表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，如φ(5)＝4，φ(9)＝6.那么，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(nφ（5n）))的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______．14．[2024·新高考Ⅰ卷]某校學(xué)生在探討民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)覺(jué)剪紙時(shí)常常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱(chēng)軸把紙對(duì)折，規(guī)格為20dm×12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2.以此類(lèi)推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)_______；假如對(duì)折n次，那么.微專(zhuān)題6以數(shù)列為載體的情景問(wèn)題1．解析：設(shè)小方第n天存錢(qián)an元，則數(shù)列{an}從第4項(xiàng)起成等差數(shù)列，且該等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為1，所以小方存錢(qián)203天的儲(chǔ)蓄總額為1＋1＋1＋200×1＋eq\f(200×199,2)×1＝203＋19900＝20103元．故選C.答案：C2．解析：由題意知：該女子每天織布的尺寸成等差數(shù)列，記為{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，則a2＝1.5，S15＝60，∵S15＝eq\f(15（a1＋a15）,2)＝15a8＝60，∴a8＝4，∴數(shù)列{an}的公差d＝eq\f(a8－a2,6)＝eq\f(4－1.5,6)＝eq\f(5,12)，∴a20＝a8＋12d＝4＋12×eq\f(5,12)＝9，即該女子其次十日織布九尺．故選D.答案：D3．解析：eq\f(315,1.05)＝300，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬……第1匹馬的日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為300，公比為1.05，故這17匹馬的日行路程之和為eq\f(300×（1－1.0517）,1－1.05)＝6000×(1.0517－1)＝6000×(2.292－1)＝7752(里).故選B.答案：B4．解析：方法一因?yàn)棣羕∈N*(k＝1，2，…)，所以0<eq\f(1,αk)≤1，所以α1<α1＋eq\f(1,α2＋\f(1,α3＋\f(1,α4＋\f(1,α5))))，所以b1>b5，所以A錯(cuò)誤．同理α3<α3＋eq\f(1,α4＋\f(1,α5＋\f(1,α6＋\f(1,α7＋\f(1,α8))))).設(shè)eq\f(1,α4＋\f(1,α5＋\f(1,α6＋\f(1,α7＋\f(1,α8)))))＝t1，所以α2＋eq\f(1,α3)>α2＋eq\f(1,α3＋t1)，則α1＋eq\f(1,α2＋\f(1,α3))<α1＋eq\f(1,α2＋\f(1,α3＋t1))，所以b3>b8，所以B錯(cuò)誤．同理α2<α2＋eq\f(1,α3＋\f(1,α4＋\f(1,α5＋\f(1,α6)))).設(shè)eq\f(1,α3＋\f(1,α4＋\f(1,α5＋\f(1,α6))))＝t2，所以α1＋eq\f(1,α2)>α1＋eq\f(1,α2＋t2)，所以b2<b6，所以C錯(cuò)誤．同理α4<α4＋eq\f(1,α5＋\f(1,α6＋\f(1,α7))).設(shè)eq\f(1,α5＋\f(1,α6＋\f(1,α7)))＝t3，所以α3＋eq\f(1,α4)>α3＋eq\f(1,α4＋t3)，則α2＋eq\f(1,α3＋\f(1,α4))<α2＋eq\f(1,α3＋\f(1,α4＋t3))，所以α1＋eq\f(1,α2＋\f(1,α3＋\f(1,α4)))>α1＋eq\f(1,α2＋\f(1,α3＋\f(1,α4＋t3)))，所以b4<b7，所以D正確．故選D.方法二此題可賦特別值驗(yàn)證一般規(guī)律，不必以一般形式做太多證明，以節(jié)約時(shí)間．由αk∈N*，可令αk＝1，則b1＝2，b2＝eq\f(3,2)，b3＝eq\f(5,3)，b4＝eq\f(8,5).分子、分母分別構(gòu)成斐波納契數(shù)列，可得b5＝eq\f(13,8)，b6＝eq\f(21,13)，b7＝eq\f(34,21)，b8＝eq\f(55,34).對(duì)比四個(gè)選項(xiàng)，可知選D.答案：D5．解析：設(shè)OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，則CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依題意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，且eq\f(DD1＋CC1＋BB1＋AA1,OD1＋DC1＋CB1＋BA1)＝0.725，所以eq\f(0.5＋3k3－0.3,4)＝0.725，故k3＝0.9，故選D.答案：D6．解析：不妨設(shè)第n層小球個(gè)數(shù)為an，由題意，a2－a1＝3,a3－a2＝5，…，即各層小球之差是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．所以an－an－1＝3＋2(n－2)＝2n－1(n≥2，n∈N*).故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a50－a49＝99,a49－a48＝97,\a\vs4\al\co1(…,a2－a1＝3))))，累加可得：a50－a1＝49×(3＋99)÷2＝2499，故a50＝2499＋2＝2501.故選D.答案：D7．解析：設(shè)有n個(gè)碳質(zhì)骨架，n∈N*，由已知可得n＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n≥180，假如只有n－1個(gè)碳質(zhì)骨架，則骨架總數(shù)少于180，所以(n－1)＋1＋2＋3＋…＋(n－1)<180，所以n2＋3n≥360，且n2＋n<362，又n∈N*解得n＝18，所以共有碳質(zhì)骨架18個(gè)，故竹質(zhì)骨架有162個(gè)．故選B.答案：B8．解析：依據(jù)題意可知，這五年投入的金額構(gòu)成首項(xiàng)為81，公比為eq\f(4,3)的等比數(shù)列，所以這五年投入的資金總額是eq\f(81×[1－（\f(4,3)）5],1－\f(4,3))＝781(萬(wàn)元)；由題意可知，這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20，公差為10的等差數(shù)列，所以這五年的旅游總收入是20×5＋eq\f(5×4,2)×10＝200(萬(wàn)元)，所以這五年的投入資金總額與旅游總收入差額為781－200＝581(萬(wàn)元).故選B.答案：B9．解析：依據(jù)題意可得{an}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，則an＝(eq\f(1,2))n(n∈N*)，eq\f(a5,a2)＝q3＝eq\f(1,8)，故A錯(cuò)誤；a3＝eq\f(1,8)，故B正確；a3＝eq\f(1,8)，a4＝eq\f(1,16)，則a3－a4＝eq\f(1,16)，故C正確；a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝eq\f(\f(1,2)（1－\f(1,25)）,1－\f(1,2))＝eq\f(31,32)，故D正確．故選BCD.答案：BCD10．解析：對(duì)于A，由題意可知，a1＝5×1.5－1.5＝6(千萬(wàn)元)，A正確；對(duì)于B，因?yàn)橛深}意可得an＋1＝1.5an－1.5，所以an＋1－3＝1.5(an－3)，又因?yàn)閍1－3＝3，則an－3≠0，故eq\f(an＋1－3,an－3)＝1.5，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－3))是首項(xiàng)為3，公比為1.5的等比數(shù)列，B正確，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C的分析可得an－3＝3×1.5n－1，所以an＝3＋3×1.5n－1，令3＋3×1.5n－1>21，解得n－1>eq\f(lg6,lg1.5)＝eq\f(lg3＋lg2,lg3－lg2)≈4.42，所以n>5.42，所以至少到2026年的年底，企業(yè)的剩余資金會(huì)超過(guò)21千萬(wàn)元，D正確．故選ABD.答案：ABD11．解析：依據(jù)題意可知這32個(gè)人年齡之和為19×4×20＝1520，設(shè)年紀(jì)最小者年齡為n，年紀(jì)最大者年齡為m，則eq\f(n＋m,2)×32＝1520?n＋m＝95，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為n，公差為d，則n，m，d∈N*，則32n＋eq\f(32×31,2)d＝1520?2n＋31d＝95?2n＝95－31d，因?yàn)?≤n≤30?2≤2n≤60，則2≤95－31d≤60，解得eq\f(35,31)≤d≤3，d＝2時(shí)，n＝eq\f(33,2)不滿意題意，所以d＝3，2n＝95－31×3＝2?n＝1，則m＝95－1＝94.答案：9412．解析：依據(jù)題意，取△A1B1C1每邊的中點(diǎn)構(gòu)成△A2B2C2，則△A2B2C2的各邊均為△A1B1C1對(duì)應(yīng)的中位線，長(zhǎng)度減半，由此a2＝eq\f(1,2)a1，依次類(lèi)推可得an＝eq\f(1,2)an－1，所以{an}是首項(xiàng)為a1，公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故其前6項(xiàng)和S6＝eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝2a1eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－（\f(1,2)）6))＝eq\f(1953,16)，則a1＝62.答案：6213．解析：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，5n))中，與5n不互質(zhì)的數(shù)有5×1，5×2，5×3，…，5×5n－1，共有5n－1個(gè)，所以φ(5n)＝5n－5n－1＝4·5n－1，所以nφ(5n)＝(4n)·5n－1，設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(nφ（5n）))的前n項(xiàng)和為Sn，所以Sn＝4×50＋8×51＋12×52＋…＋4n×5n－1，5Sn＝4×51＋8×52＋12×53＋…＋4n×5n，兩式相減可得－4Sn＝4＋4×(51＋52＋…＋5n－1)－4n·5n，所以Sn＝－1－(51＋52＋…＋5n－1)＋n·5n＝－1－eq\f(5（1－5n－1）,1－5)＋n·5n，即Sn＝(n－eq\f(1,4))·5n＋eq\f(1,4).答案：(n－eq\f(1,4))·5n＋eq\f(1,4)14．解析：(1)由對(duì)折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)折三次的結(jié)果有：eq\f(5,2)×12，5×6，10×3，20×eq\f(3,2)，共4種不同規(guī)格(單位dm2)；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：eq\f(5,4)×12，eq\f(5,2)×6，5×3，10×eq\f(3,2)，20×eq\f(3,4)，共5種不同規(guī)格．(2)由于每次對(duì)折后的圖形的面積都減小為原來(lái)的一半，故各次對(duì)折后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(dm2))，第n次對(duì)折后的圖形面積為120×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，對(duì)于