2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)10年高考真題分類題組11.1隨機(jī)事件古典概型與幾何概型

.1隨機(jī)事務(wù)、古典概型與幾何概型考點(diǎn)一隨機(jī)事務(wù)的概率1.(2024課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)設(shè)O為正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),則取到的3點(diǎn)共線的概率為()A.15B.25C.12答案A從O,A,B,C,D中任取3點(diǎn)的狀況有(O,A,B),(O,A,C),(O,A,D),(O,B,C),(O,B,D),(O,C,D),(A,B,C),(A,B,D),(B,C,D),(A,C,D),共有10種不同的狀況,由圖可知取到的3點(diǎn)共線的有(O,A,C)和(O,B,D)兩種狀況,所以所求概率為210=15.2.(2024課標(biāo)Ⅱ文,5,5分)從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參與社區(qū)服務(wù),則選中的2人都是女同學(xué)的概率為()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案D設(shè)兩名男生為A,B,三名女生為a,b,c,則從5人中任選2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),共10種.2人都是女同學(xué)的有(a,b),(a,c),(b,c),共3種,所以所求概率為310方法總結(jié)古典概型概率的求法:(1)應(yīng)用公式P(A)=mn求概率的關(guān)鍵是尋求基本領(lǐng)件的總數(shù)和待求事務(wù)包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù).(2)基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)的確定方法①列舉法:此法適用于基本領(lǐng)件較少的古典概型;②列表法:此法適用于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn),也可看成是坐標(biāo)法;③畫樹(shù)狀圖法:畫樹(shù)狀圖法是進(jìn)行列舉的一種常用方法,適用于有依次的問(wèn)題或較困難問(wèn)題中基本領(lǐng)件數(shù)的探求.3.(2017課標(biāo)Ⅱ文,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.110B.15C.310答案D本題考查古典概型.畫出樹(shù)狀圖如圖:可知全部的基本領(lǐng)件共有25個(gè),滿意題意的基本領(lǐng)件有10個(gè),故所求概率P=1025=25.思路分析由樹(shù)狀圖列出全部的基本領(lǐng)件,可知共有25個(gè),滿意題目要求的基本領(lǐng)件共有10個(gè).由古典概型概率公式可知所求概率P=1025=2易錯(cuò)警示本題易因忽視有放回的抽取而致錯(cuò).疑難突破當(dāng)利用古典概型求概率時(shí),應(yīng)區(qū)分有放回抽取與無(wú)放回抽取.有放回抽取一般采納畫樹(shù)狀圖法列出全部的基本領(lǐng)件,而無(wú)放回抽取一般采納窮舉法.4.(2017天津文,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別),顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,則取出的2支彩筆中含有紅色調(diào)筆的概率為()A.45B.35C.25答案C本題考查古典概型.從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆,有以下10種狀況:(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍(lán)),(黃,綠),(黃,紫),(藍(lán),綠),(藍(lán),紫),(綠,紫).其中含有紅色調(diào)筆的有4種狀況:(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),所以所求事務(wù)的概率P=410=25,5.(2016課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中,余下的2種花種在另一個(gè)花壇中,則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.13B.12C.23答案C從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種有以下選法:(紅黃)、(紅白)、(紅紫)、(黃白)、(黃紫)、(白紫),共6種,其中紅色和紫色的花不在同一花壇(亦即黃色和白色的花不在同一花壇)的選法有4種,所以所求事務(wù)的概率P=46=23,解后反思從4種顏色的花中任選2種共有6種狀況,不重不漏地列舉出全部狀況是解題關(guān)鍵.評(píng)析本題主要考查了古典概型、不重不漏地將全部狀況列舉出來(lái)是解題關(guān)鍵.6.(2016課標(biāo)Ⅲ文,5,5分)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí),遺忘了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個(gè)字母,其次位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠勝利開(kāi)機(jī)的概率是()A.815B.18C.115答案C小敏輸入密碼的全部可能狀況如下:(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種.而能開(kāi)機(jī)的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠勝利開(kāi)機(jī)的概率為1157.(2016北京文,6,5分)從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人,則甲被選中的概率為()A.15B.25C.825答案B設(shè)這5名學(xué)生為甲、乙、丙、丁、戊,從中任選2人的全部狀況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共4+3+2+1=10種.其中甲被選中的狀況有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4種,故甲被選中的概率為410=25.易錯(cuò)警示在列舉基本領(lǐng)件時(shí)要不重不漏,可畫樹(shù)狀圖:評(píng)析本題考查古典概型,屬中檔題.8.(2015課標(biāo)Ⅰ文,4,5分)假如3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng),則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù).從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.310B.15C.110答案C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)有10種取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能構(gòu)成一組勾股數(shù)的有1種:(3,4,5),故所求事務(wù)的概率P=110,故選9.(2015廣東文,7,5分)已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品.現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為()A.0.4B.0.6C.0.8D.1答案B記3件合格品分別為A1,A2,A3,2件次品分別為B1,B2,從5件產(chǎn)品中任取2件,有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10種可能.其中恰有一件次品有6種可能,由古典概型概率公式得所求事務(wù)概率為610=0.6.選10.(2014課標(biāo)Ⅰ理,5,5分)4位同學(xué)各自由周六、周日兩天中任選一天參與公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參與公益活動(dòng)的概率為()A.18B.38C.58答案D由題意知4位同學(xué)各自由周六、周日兩天中任選一天參與公益活動(dòng)有24種狀況,而4位同學(xué)都選周六有1種狀況,4位同學(xué)都選周日有1種狀況,故周六、周日都有同學(xué)參與公益活動(dòng)的概率為P=24-1-12411.(2014陜西文,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()A.15B.25C.35答案B設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別是A、B、C、D,中心為O,從這5個(gè)點(diǎn)中,任取兩個(gè)點(diǎn)的事務(wù)分別為AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10種,其中只有頂點(diǎn)到中心O的距離小于正方形的邊長(zhǎng),分別是AO、BO、CO、DO,共有4種.故滿意條件的概率P=410=25.評(píng)析本題考查古典概型學(xué)問(wèn),考查分析問(wèn)題及閱讀理解的實(shí)力.理解只有頂點(diǎn)到中心的距離小于邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.12.(2013課標(biāo)Ⅰ文,3,5分)從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),則取出的2個(gè)數(shù)之差的肯定值為2的概率是()A.12B.13C.14答案B從1,2,3,4中任取2個(gè)不同的數(shù),共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6種不同的結(jié)果,取出的2個(gè)數(shù)之差的肯定值為2的有(1,3),(2,4)2種結(jié)果,概率為13,故選13.(2012安徽文,10,5分)袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球,其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋中任取兩球,兩球顏色為一白一黑的概率等于()A.15B.25C.35答案B將同色小球編號(hào).從袋中任取兩球,全部基本領(lǐng)件為(紅,白1),(紅,白2),(紅,黑1),(紅,黑2),(紅,黑3),(白1,白2),(白1,黑1),(白1,黑2),(白1,黑3),(白2,黑1),(白2,黑2),(白2,黑3),(黑1,黑2),(黑1,黑3),(黑2,黑3),共有15個(gè)基本領(lǐng)件,而一白一黑的共有6個(gè),故所求概率P=615=25.評(píng)析本題主要考查古典概型概率的求解,同時(shí)考查了列舉法.14.(2011課標(biāo)文,6,5分)有3個(gè)愛(ài)好小組,甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)小組,每位同學(xué)參與各個(gè)小組的可能性相同,則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)愛(ài)好小組的概率為()A.13B.12C.23答案A甲、乙兩人都有3種選擇,共有3×3=9種狀況,甲、乙兩人參與同一愛(ài)好小組共有3種狀況.∴甲、乙兩人參與同一愛(ài)好小組的概率P=39=13,評(píng)析本題主要考查古典概型的概率運(yùn)算,屬簡(jiǎn)潔題.15.(2011浙江文,8,5分)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球,則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是()A.110B.310C.35答案D解法一(干脆法):所取3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的取法可分為互斥的兩類:兩紅一白有6種取法,一紅兩白有3種取法,而從5個(gè)球中任取3個(gè)球的取法共有10種,所以所求概率為910,故選解法二(間接法):至少有一個(gè)白球的對(duì)立事務(wù)為所取3個(gè)球中沒(méi)有白球,即只有3個(gè)紅球,共1種取法,故所求概率為1-110=910,16.(2024江蘇,6,5分)某愛(ài)好小組有2名男生和3名女生,現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參與活動(dòng),則恰好選中2名女生的概率為.

答案3解析本題考查古典概型.把男生編號(hào)為男1,男2,女生編號(hào)為女1,女2,女3,則從5名學(xué)生中任選2名學(xué)生有:男1男2,男1女1,男1女2,男1女3,男2女1,男2女2,男2女3,女1女2,女1女3,女2女3,共10種狀況,其中選中2名女生有3種狀況,則恰好選中2名女生的概率為310易錯(cuò)警示在運(yùn)用古典概型的概率公式時(shí),應(yīng)留意:(1)要推斷該概率模型是不是古典概型;(2)分清基本領(lǐng)件總數(shù)n與事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)m,常用列舉法把基本領(lǐng)件一一列舉出來(lái),再利用公式P(A)=mn求出事務(wù)A發(fā)生的概率,列舉時(shí)盡量按某一依次,做到不重復(fù)、不遺漏17.(2016四川文,13,5分)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是.

答案1解析全部的基本領(lǐng)件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12個(gè).記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事務(wù)A,則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件有(2,8),(3,9),共2個(gè).∴P(A)=212=1易錯(cuò)警示對(duì)a,b取值時(shí)要留意依次.評(píng)析本題考查了古典概型.正確列舉出基本領(lǐng)件是解題的關(guān)鍵.18.(2014課標(biāo)Ⅰ文,13,5分)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語(yǔ)文書在書架上隨機(jī)排成一行,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為.

答案2解析設(shè)2本不同的數(shù)學(xué)書為a1、a2,1本語(yǔ)文書為b,在書架上的排法有a1a2b,a1ba2,a2a1b,a2ba1,ba1a2,ba2a1,共6種,其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有a1a2b,a2a1b,ba1a2,ba2a1,共4種,因此2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率P=46=219.(2014課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.

答案1解析甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)藍(lán)9種,其中顏色相同的有3種,所以所求概率為39=120.(2014江蘇,4,5分)從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是.

答案1解析從1,2,3,6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù),有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6種狀況.滿意條件的有(2,3),(1,6),共2種狀況.故P=26=121.(2014浙江文,14,4分)在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張,另1張無(wú)獎(jiǎng).甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎(jiǎng)的概率是.

答案1解析設(shè)A為一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,B為二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,C為無(wú)獎(jiǎng)獎(jiǎng)券,則甲、乙兩人抽取的全部可能結(jié)果為AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6種.而甲、乙兩人都中獎(jiǎng)的狀況有AB、BA,共2種.故所求概率為26=122.(2013課標(biāo)Ⅱ文,13,5分)從1,2,3,4,5中隨意取出兩個(gè)不同的數(shù),其和為5的概率是.

答案0.2解析任取兩個(gè)不同的數(shù)的狀況有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種,其中和為5的有2種,所以所求概率為21023.(2024天津文,15,13分)2024年,我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除方法,涉及子女教化、接著教化、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72,108,120人,現(xiàn)采納分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受狀況.(1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?(2)抽取的25人中,享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為A,B,C,D,E,F.享受狀況如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.(i)試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果;(ii)設(shè)M為事務(wù)“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”,求事務(wù)M發(fā)生的概率.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教化○○×○×○接著教化××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本學(xué)問(wèn).考查運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).滿分13分.(1)由已知,老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10,由于采納分層抽樣的方法從中抽取25位員工,因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人,9人,10人.(2)(i)從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15種.(ii)由表格知,符合題意的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11種.所以,事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)=1115思路分析(1)首先得出抽樣比,從而按比例抽取各層的人數(shù);(2)(i)利用列舉法列出滿意題意的基本領(lǐng)件;(ii)利用古典概型公式求概率.失分警示在列舉基本領(lǐng)件時(shí)應(yīng)找好標(biāo)準(zhǔn),做到不重不漏.24.(2024北京文,17,13分)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類其次類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指:一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部,求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;(2)隨機(jī)選取1部電影,估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率;(3)電影公司為增加投資回報(bào),擬變更投資策略,這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變更.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變更,那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率削減0.1,使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大?(只需寫出結(jié)論)解析(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50.故所求概率為502000(2)由題意知,樣本中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估計(jì)為1-3722000(3)增加第五類電影的好評(píng)率,削減其次類電影的好評(píng)率.25.(2024天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng).(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作.①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果;②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)”,求事務(wù)M發(fā)生的概率.解析本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本學(xué)問(wèn).考查運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力.(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2,由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人,2人,2人.(2)①?gòu)某槌龅?名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種.②由(1),不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來(lái)自甲年級(jí)的是A,B,C,來(lái)自乙年級(jí)的是D,E,來(lái)自丙年級(jí)的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一年級(jí)的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種.所以,事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)=521易錯(cuò)警示解決古典概型問(wèn)題時(shí),需留意以下幾點(diǎn):(1)忽視基本領(lǐng)件的等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤;(2)列舉基本領(lǐng)件考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)誤;(3)在求基本領(lǐng)件總數(shù)和所求事務(wù)包含的基本領(lǐng)件數(shù)時(shí),一個(gè)按有序,一個(gè)按無(wú)序處理導(dǎo)致錯(cuò)誤.26.(2017山東文,16,12分)某旅游愛(ài)好者安排從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.解析(1)由題意知,從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家,其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個(gè).所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個(gè),則所求事務(wù)的概率P=315=1(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè),其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9個(gè).包括A1但不包括B1的事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè),則所求事務(wù)的概率P=29方法總結(jié)求古典概型概率的一般步驟:1.求出全部基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)n,常用的方法有列舉法、列表法、畫樹(shù)狀圖法;2.求出事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m;3.代入公式P(A)=mn求解27.(2016山東文,16,12分)某兒童樂(lè)園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng).參與活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次,每次轉(zhuǎn)動(dòng)后,待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù).設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x,y.嘉獎(jiǎng)規(guī)則如下:①若xy≤3,則嘉獎(jiǎng)玩具一個(gè);②若xy≥8,則嘉獎(jiǎng)水杯一個(gè);③其余狀況嘉獎(jiǎng)飲料一瓶.假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱,四個(gè)區(qū)域劃分勻稱.小亮打算參與此項(xiàng)活動(dòng).(1)求小亮獲得玩具的概率;(2)請(qǐng)比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說(shuō)明理由.解析用數(shù)對(duì)(x,y)表示兒童參與活動(dòng)先后記錄的數(shù),則基本領(lǐng)件空間Ω與點(diǎn)集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對(duì)應(yīng).因?yàn)镾中元素的個(gè)數(shù)是4×4=16,所以基本領(lǐng)件總數(shù)n=16.(1)記“xy≤3”為事務(wù)A,則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)共5個(gè),即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=516,即小亮獲得玩具的概率為5(2)記“xy≥8”為事務(wù)B,“3<xy<8”為事務(wù)C,則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件數(shù)共6個(gè),即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=616=3事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件數(shù)共5個(gè),即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=516.因?yàn)?8>所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率.易錯(cuò)警示本題出錯(cuò)的緣由有兩個(gè):(1)理解不清題意,不能將基本領(lǐng)件列舉出來(lái);(2)列舉基本領(lǐng)件有遺漏.評(píng)析本題主要考查了古典概型,理解題意,不重不漏地列舉出基本領(lǐng)件是解題關(guān)鍵.28.(2015天津文,15,13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9,18.現(xiàn)采納分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參與競(jìng)賽.(1)求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù);(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào),編號(hào)分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參與雙打競(jìng)賽.(i)用所給編號(hào)列出全部可能的結(jié)果;(ii)設(shè)A為事務(wù)“編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”,求事務(wù)A發(fā)生的概率.解析(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3,1,2.(2)(i)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參與雙打競(jìng)賽的全部可能結(jié)果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.(ii)編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的全部可能結(jié)果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種.因此,事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)=915=3評(píng)析本小題主要考查分層抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn).考查運(yùn)用概率、統(tǒng)計(jì)學(xué)問(wèn)解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力.29.(2015山東文,16,12分)某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參與書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的狀況,數(shù)據(jù)如下表:(單位:人)參與書法社團(tuán)未參與書法社團(tuán)參與演講社團(tuán)85未參與演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué),求該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率;(2)在既參與書法社團(tuán)又參與演講社團(tuán)的8名同學(xué)中,有5名男同學(xué)A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學(xué)B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.解析(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知,既未參與書法社團(tuán)又未參與演講社團(tuán)的有30人,故至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的共有45-30=15人,所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué),該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P=1545=1(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人,其一切可能的結(jié)果組成的基本領(lǐng)件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個(gè).依據(jù)題意,這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的.事務(wù)“A1被選中且B1未被選中”所包含的基本領(lǐng)件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個(gè).因此A1被選中且B1未被選中的概率為P=215評(píng)析本題考查隨機(jī)事務(wù)的概率及其計(jì)算,考查運(yùn)算求解實(shí)力及應(yīng)用意識(shí).30.(2015四川文,17,12分)一輛小客車上有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5.乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們依據(jù)座位號(hào)從小到大的依次先后上車.乘客P1因身體緣由沒(méi)有坐自己的1號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:假如自己的座位空著,就只能坐自己的座位;假如自己的座位已有乘客就座,就在這5個(gè)座位的剩余空位中隨意選擇座位.(1)若乘客P1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處);(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號(hào)座位的概率.乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3214532451解析(1)余下兩種坐法如下表所示:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)3241532541(2)若乘客P1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就座,則全部可能的坐法可用下表表示為:乘客P1P2P3P4P5座位號(hào)2134523145234152345123541243152435125341于是,全部可能的坐法共8種.設(shè)“乘客P5坐到5號(hào)座位”為事務(wù)A,則事務(wù)A中的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)為4.所以P(A)=48=1答:乘客P5坐到5號(hào)座位的概率是12評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事務(wù)的概率、古典概型等概念及相關(guān)計(jì)算,考查運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)與方法分析和解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力,考查推理論證實(shí)力、應(yīng)用意識(shí).31.(2014四川文,16,12分)一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”的概率;(2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率.解析(1)由題意知,(a,b,c)全部可能的結(jié)果為(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27種.設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”為事務(wù)A,則事務(wù)A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種.所以P(A)=327=1因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿意a+b=c”的概率為19(2)設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事務(wù)B,則事務(wù)B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種.所以P(B)=1-P(B)=1-327=8因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為89評(píng)析本題主要考查隨機(jī)事務(wù)的概率、古典概型等概念及相關(guān)計(jì)算,考查應(yīng)用意識(shí).32.(2014天津文,15,13分)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A,B,C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)狀況如下表:一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問(wèn)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).(1)用表中字母列舉出全部可能的結(jié)果;(2)設(shè)M為事務(wù)“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事務(wù)M發(fā)生的概率.解析(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參與學(xué)問(wèn)競(jìng)賽的全部可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15種.(2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6種.因此,事務(wù)M發(fā)生的概率為615=2評(píng)析本題主要考查用列舉法計(jì)算隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn).考查運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)解決簡(jiǎn)潔實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力.考點(diǎn)二古典概型考點(diǎn)三幾何概型1.(2016課標(biāo)Ⅱ文,8,5分)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈,則至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A.710B.58C.38答案B行人在紅燈亮起的25秒內(nèi)到達(dá)該路口,即滿意至少須要等待15秒才出現(xiàn)綠燈,依據(jù)幾何概型的概率公式知所求事務(wù)的概率P=2540=58,評(píng)析本題主要考查幾何概型,理清題意是解題的關(guān)鍵.2.(2015湖北理,2,5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧,有人送來(lái)米1534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為()A.134石B.169石C.338石D.1365石答案B∵28254×1534≈169,∴這批米內(nèi)夾谷約為169石3.(2015陜西理,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為()A.34+12πB.14-12πC.12-1答案B∵|z|≤1,∴(x-1)2+y2≤1,表示以M(1,0)為圓心,1為半徑的圓及其內(nèi)部,該圓的面積為π.易知直線y=x與圓(x-1)2+y2=1相交于O(0,0),A(1,1)兩點(diǎn),作圖如下:∵∠OMA=90°,∴S陰影=π4-12×1×1=π4故所求的概率P=S陰影S☉M=π44.(2015山東文,7,5分)在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事務(wù)“-1≤log12x+12≤A.34B.23C.13答案A由-1≤log12x+12≤1,得解得0≤x≤32,所以事務(wù)“-1≤log12x+12≤1”5.(2015福建文,8,5分)如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x<A.16B.14C.38答案B易知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-2,2),所以矩形ABCD的面積為6,陰影部分的面積為32,故所求概率為16.(2015湖北文,8,5分)在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,y,記p1為事務(wù)“x+y≤12”的概率,p2為事務(wù)“xy≤12”的概率,則(A.p1<p2<12B.p2<12<p1C.12<p2<p1D.p1<答案D(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為1的正方形及其內(nèi)部,其中滿意x+y≤12的區(qū)域如圖(1)中陰影部分所示,所以p1=12×12×121×1=18,滿意xy≤12的區(qū)域如圖(2)中陰影部分所示,所以p2=S1+S27.(2014湖南文,5,5分)在區(qū)間[-2,3]上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)X,則X≤1的概率為()A.45B.35C.25答案B區(qū)間[-2,3]的長(zhǎng)度為5,區(qū)間[-2,1]的長(zhǎng)度為3,因此P(X≤1)=35,選8.(2014遼寧文,6,5分)若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A.π2B.π4C.π6答案BP=S半圓S矩形=12×π×9.(2013陜西理,5,5分)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A,C兩點(diǎn)處各有一個(gè)通信基站,假設(shè)其信號(hào)的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地選一地點(diǎn),則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率是()A.1-π4B.π2-1C.2-π2答案A依題意知,有信號(hào)的區(qū)域面積為π4×2=π2,矩形面積為2,故無(wú)信號(hào)的概率P=2-10.(2013四川理,9,5分)節(jié)日前夕,小李在家門前的樹(shù)上掛了兩串彩燈.這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮.那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是()A.14B.12C.34答案C設(shè)通電x秒后第一串彩燈閃亮,y秒后其次串彩燈閃亮.依題意得0≤x≤4,0≤y≤4,∴S=4×4=16.又兩串彩燈閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒,即|x-y|≤2,如圖可知,符合要