求不定積分的幾種方法

求不定積分的幾種方法摘要:求不定積分的方法有很多種,針對不同類型的函數(shù)采用最適合的方法往往會(huì)起到事半功倍的效果,本文就不定積分的求解方法進(jìn)行了歸類,結(jié)合實(shí)例討論了這些方法在不定積分求解中的可行性,對快速正確求解不定積分有一定意義。關(guān)鍵詞:不定積分直接積分法分部積分法方程法Abstract:Therearemanykindsofmethodstosolvetheindefiniteintegral.Fordifferenttypesoffunctionusingthemostsuitablemethodoftencanplayamultipliereffect.Inthispaper,indefiniteintegralsolutionsaredividedintoseveraldifferenttypesandthefeasibilityofthemethodofindefiniteintegralisdiscussedbyintegratingthepracticalexamples,whichisofcertainsignificancetorapidly,correctlysolvingindefiniteintegral.Keywords:indefiniteintegral;directintegrationmethod;integrationbyparts;equationmethod不定積分是一元微積分中非常重要的內(nèi)容之一,是積分學(xué)中最基本的問題之一,又是求定積分的基礎(chǔ),牢固掌握不定積分的理論和運(yùn)算方法,不僅能使學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和微分概念,而且也將為學(xué)習(xí)定積分,微分方程和多元函數(shù)的積分學(xué)以及其他課程打好基礎(chǔ),因此切實(shí)掌握求不定積分的方法非常重要。求不定積分的方法有很多,可用基本方法,如直接積分法求解、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法；也可用特殊解法,如方程法、方程組法等方法求解。下面將介紹幾種常見的基本方法和特殊解法。一、基本方法1直接積分法直接積分法是求不定積分的基本方法,是基本途徑,也是其他積分方法的基礎(chǔ),這一方法是直接利用積分法則和公式得出結(jié)果,或?qū)⒈环e函數(shù)做恒等變形,使之符合基本法與公式,然后再利用積分法則與公式做出結(jié)果。求不定積分解:把該式分子相乘得到分項(xiàng)后得到-+dx-dx然后,利用基本公式求得結(jié)果為x-ln|x|+-2注：在分項(xiàng)積分后,每個(gè)不定積分的結(jié)果都含有任意常數(shù)。由于任意常數(shù)的代數(shù)和仍為任意常數(shù),故只需在最后一個(gè)積分符號消失的同時(shí),加上一個(gè)積分常數(shù)就可以了。求不定積分解:因?yàn)榇瞬欢ǚe分的被積函數(shù)是,由于分母是而=1,所以被積函數(shù)+sec2x+csc2x從而=+=tanxcotx+c注：此類題目的解題思路：盡量使分母簡單,為此分子或分母乘以某個(gè)因子,把分母化為sinkx（或coskx）的單項(xiàng)式,或?qū)⒎帜刚麄€(gè)看成一項(xiàng)。一般通用方法為將“1”化為某個(gè)特定的等式。求不定積分,解:在分子上加上cosx,再減去cosx得到再利用上例中的解法可得=2=2ln||ln|sinx|+C②在分子上減去1,再加上1得到==+=x+arctanx+c注:此類題目的解題技巧是將被積函數(shù)加（減）項(xiàng),把積分變成幾個(gè)比較簡單的積分進(jìn)行計(jì)算。從上面的幾個(gè)典型例子來看,直接積分法往往需要對被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?或化簡,或拆項(xiàng),使被積函數(shù)變成可積函數(shù)代數(shù)和形式,此種方法求不定積分比較常見。2第一換元積分法（湊微分法）求一個(gè)函數(shù)的不定積分是積分學(xué)的一個(gè)基本問題,解決這類問題的方法多種多樣,其中有一種方法就是第一換元法,換元法是求不定積分的基本方法。第一類換元積分法主要適用于復(fù)合函數(shù),將被積變量湊成復(fù)合函數(shù)的中間變量的形式,再利用直接積分法求出積分。第一類換元積分法:若且u=(x)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則有:(x)dx=第一類換元積分法的關(guān)鍵是:將被積表達(dá)式湊成兩部分,(x)dx,從而形成一部分是u=(x)的函數(shù),將另一部分(x)dx湊成微分du,這樣就可以從積分公式中求出積分,再回代,就完成了積分。求不定積分解:將dx湊為dx=d(1+2x),則=（湊微分）==+C（令1+2x=u）=+C（還原u=1+2x）注:湊微分時(shí)經(jīng)常對被積表達(dá)式的系數(shù)進(jìn)行調(diào)整,但要注意它必須是等值變換。求不定積分解:設(shè)u=2x,du=2dx,dx=du,則==sinu+C=sin2x+C求不定積分解:因?yàn)楸环e函數(shù)可分解為和所以可見,湊微分法就是把被積式子中某一部分看成一個(gè)整體,而把被積式子湊成關(guān)于這個(gè)整體的積分公式[1]。3第二換元積分法第二類換元積分法是通過適當(dāng)選擇置換式,使代換后的積分易于積出,它主要用來解決幾種簡單的無理函數(shù)的積分問題。第二類換元積分法:設(shè)函數(shù)x=(t)單調(diào)可導(dǎo),且(t)0,如果其中t=是x=(t)的反函數(shù)。第二類換元積分法是恰當(dāng)選取積分變量x作為新積分變量t的一個(gè)函數(shù)：x=(t),并要(t)具有反函數(shù)。也就是使原積分變?yōu)榛痉e分表中已有的形式或便于求解的積分,從而求出結(jié)果。根據(jù)被積函數(shù)表達(dá)式的不同,第二類換元法又分為去根號法和倒代換法。3.1去根號法（1）簡單的根式變換,可令；例如:求,可令,（2）三角代換,令xasint或xacost；；令xasect或xacsct；；令xatant或xacott（3）雙曲代換xasht或xacht例如:,可設(shè)xasht；,可設(shè)xacht比用三角代換簡便（4）,一般采用萬能代換,設(shè)。當(dāng)然,對具體的問題也要采用靈活的方法處理。求不定積分解:分析:因被積函數(shù)分母中含有根式,常用第二類換元積分法,但因分子上含有變量x,因此也可用第一類換元積分法解法1應(yīng)用第一類換元積分法解法2第二類換元積分法令解法3用三角代換令解法4用根式代換令解法5用雙曲代換令注:在使用換元積分法時(shí),必須將結(jié)果中的新變量t換回原來的變量x,尤其在使用三角代換時(shí),可利用直角三角形三邊的關(guān)系換回原來的變量。3.2倒代換法對于某些被積函數(shù),若分母中含有因子時(shí),可作倒代法,即令:,從而可積出積分。求不定積分（）解:因?yàn)楸环e函數(shù)中分母含有,可設(shè),則,從而=,由于,故注:第二換元積分法的換元表達(dá)式中,新變量t處于自變量的地位,而在第一換元積分法的換元表達(dá)式中,新變量則處于因變量的地位[2]。此外,在使用第二換元積分法時(shí),為保證的反函數(shù)確實(shí)存在及原來的積分有意義,通常要求是單調(diào)函數(shù)、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且。4分部積分法分部積分法是乘積的微分公式的逆運(yùn)算,其運(yùn)算公式是這個(gè)公式說明,積分不易求,而積分較容易求出時(shí),可考慮此公式,使用分部積分時(shí),必須把被積表達(dá)式化為u與dv的乘積,u與dv的選擇顯然沒有一般的準(zhǔn)則可以遵循,但是在某些情況下,也可歸納出一些規(guī)律來,一般被積函數(shù)是兩種類型函數(shù)乘積的積分時(shí)可考慮分部積分法。下面將適用于分部積分法的積分進(jìn)行一些歸類:取u=,dv=取u=,dv=取u=,dv=取u=,dv=dx取u=arcsin(ax+b),dv=dx取u=arcos(ax+b),dv=dx取u=arctan(ax+b),dv=dx,u,v可任取；,u,v可任取；上式中為n多項(xiàng)式。k,a,b均為常數(shù)另外,如果被積函數(shù)中只有一個(gè)因子（例如lnx,arcsinx,arccos等）,而又不能用別的方法求出積分時(shí),不放用分部積分法,此時(shí)可設(shè)被積函數(shù)為u,dv=dx求不定積分;=2\*GB3②解:設(shè)u=lnx,dv=dx,有dv=dx,v=xdx=xlnx+C②設(shè)u=lnx,dv=,有du=dx,v=-=-+=-+C=-注:計(jì)算熟練以后,就可以省略“設(shè)”的步驟,把所設(shè)的式子當(dāng)作一個(gè)整體,在心里面想著它是一個(gè)變數(shù),就可以使書寫簡化。求不定積分分析:可以用兩種方法湊微分,但用哪一種行得通？要試試看。解；==2雖然還不能得到結(jié)果,但次數(shù)降低了,越變越簡單。再進(jìn)行一次分部積分得到：=2+=2+C求不定積分=1\*GB3①；=2\*GB3②解:①=-=-+==-ln()+C=2\*GB3②因?yàn)?-+C所以=--]arctanxarctanxarctanxxC注:有些積分,用一次分部積分不行的話,可進(jìn)行兩次、三次或更多次的分部積分。直到能用基本公式求出或是能轉(zhuǎn)化成所求式子即可[3]。不過,在進(jìn)行這種涉及繁復(fù)的代數(shù)計(jì)算時(shí),一定要注意掌握一個(gè)原則,就是動(dòng)手之前仔細(xì)觀察,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷是否存在更為簡單的方法,只有在確實(shí)找不到簡單方法之后,再開始根據(jù)這種確定的計(jì)算程式來進(jìn)行計(jì)算。從以上解法可以看出求解積分時(shí),不論采用什么思路、選用什么積分方法,最終還是歸結(jié)應(yīng)用基本積分公式求出結(jié)果。因此在學(xué)習(xí)積分內(nèi)容時(shí),首先要熟悉基本積分公式和常見的積分法,更為重要的是要根據(jù)已給積分的被積函數(shù)形式,善于應(yīng)用相關(guān)變形方法轉(zhuǎn)化為基本積分公式類型處理。所以我們在今后的學(xué)習(xí)中,要靈活運(yùn)用上述方法。二、特殊解法不定積分的基本計(jì)算方法有直接積分發(fā)、換元積分法、分布積分法、部分積分法,只要能夠準(zhǔn)確合理的運(yùn)用以上方法,總可計(jì)算不定積分。但對部分不定積分的計(jì)算,使用基本方法計(jì)算量很大或很難計(jì)算出結(jié)果。如果利用方程或方程組,會(huì)使不定積分的計(jì)算簡潔清晰。下面分別介紹這兩種方法方程法在不定積分計(jì)算中,會(huì)遇到部分積分很難直接計(jì)算出結(jié)果,或者利用分部積分后還原為被積分項(xiàng)。如果得到系數(shù)不是1的所求積分項(xiàng),這時(shí)將等式看作關(guān)于所求積分的方程,通過解此方程可間接得到其結(jié)果,這種方法稱為方程法。下面舉例說明這種方法的作用[4]。求不定積分解法1:利用換元積分法,設(shè),則因?yàn)閯t有故又因則有故即解法2:利用方程法計(jì)算,由于,則由分部積分法,得即得到關(guān)于的方程解此方程,得:注：比較以上兩種方法,前者用基本計(jì)算方法,計(jì)算量大,計(jì)算過程復(fù)雜。而后者是得到關(guān)于所求積分的方程,解此方程就很容易得到所求積分。特別對被積函數(shù)中含有指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積時(shí),往往可以采用這樣方法進(jìn)行積分[5]。求不定積分解:利用分部積分法,得解關(guān)于的方程,得方程組法為了計(jì)算不定積分,可以先找到另一個(gè)不定積分以及實(shí)數(shù)使和的計(jì)算比較容易,這樣可先計(jì)算和,然后再用代數(shù)方法解關(guān)于和的二元一次方程組,從而得到,這種方法稱為方程組法。下面舉例說明這種方法在不定積分計(jì)算中的作用。求不定積分解法1:本題是形如的三角函數(shù)有理式的不定積分,可采用基本方法計(jì)算。令,則得到有理函數(shù)積分利用部分分式法,得則將代入,得到解法2：利用方程組法計(jì)算,先考慮容易計(jì)算的積分和,令則（1）（2）由（1）,（2）得到關(guān)于和的方程組解此方程組,得注：比較上述兩種方法,前者使用基本方法,雖然每一位初學(xué)者都容易想到此方法,但是該方法過程復(fù)雜,計(jì)算量很大。而后者只借助兩個(gè)非常簡單的積分和一個(gè)二元一次方程組就很容易得到結(jié)果[6]。計(jì)算不定積分分析:本題是有利函數(shù)積分,而且分母可以進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)分解,可利用部分分式法計(jì)算,這是一種基本計(jì)算方法,很容易想到,但是計(jì)算過程復(fù)雜。如果考慮到積分和就很容易計(jì)算了,可設(shè),得到關(guān)于和的方程組。解：令,則有得到方程組解此方程組,得總之,在求不定積分時(shí),以上幾種方法都可以用,但針對不同的被積函數(shù)要選擇適當(dāng)?shù)姆椒?有些不定積分需要綜合運(yùn)用換元積分法和分部積分法求解,有些不定積分則需要巧妙的應(yīng)用方程和方程組法才能更簡捷的求出結(jié)果。在我們遇到具體問題時(shí)要仔細(xì)分析,選擇一個(gè)合適而簡便的方法來解答,這就需要熟練地掌握這幾種方法,才能便于解決求不定的積分的問題[7]。參考文獻(xiàn)[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)