專題03正比例函數和反比例函數(原卷版+解析)

專題03正比例函數和反比例函數一、單選題1．下列關系不是函數關系的是

（

）A．長方形的寬一定時，它的長與面積．B．正方形的周長與面積．C．等腰三角形的底邊長與面積．D．等腰三角形頂角的度數與底角的度數．2．若反比例函數（）的圖象經過點，則該反比例函數的表達式為（）A． B． C． D．3．下列函數中，屬于正比例函數的有（

）①；②；③④；⑤；⑥A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．若y與x-2成反比例，且當x=3時，y=5，則y與x之間的關系式是（

）A．y= B．y= C．y=-2 D．y=+25．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關于x的正比例函數，則該函數圖象經過的象限是（）A．第一、三象限 B．第一、四象限C．第二、三象限 D．第二、四象限6．對于函數，下列說法不正確的是（

）A．y是x的反比例函數B．在圖象的每一個象限內，y隨x的增大而增大C．時，y隨x的增大而增大D．時，y隨x的增大而減小7．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中點（）與其它三個點不在同一正比例函數的圖象上．A．A B．B C．C D．D8．在反比例函數為常數）上有三點，，，，，，若，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．9．某校七年級數學興趣小組利用同一塊長為1米的光滑木板，測量小車從不同高度沿的木板從頂部滑到底部所用的時間，支撐物的高度h（cm）與小車下滑時間t（s）之間的關系如下圖所示：支撐物高度h（cm）10203040506070小車下滑時間t（s）4.233.002.452.131.891.711.59根據表格所提供的信息，下列說法中錯誤的是（

）A．支撐物的高度為50cm，小車下滑的時間為1.89sB．支撐物的高度h越大，小車下滑時間t越小C．若支撐物值高度每增加10cm，則對應的小車下滑時間的變化情況都相同D．若小車下滑的時間為2.5s，則支撐物的高度在20cm至30cm之間10．如圖，點A的坐標是（－4，0），C為OB的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉后得到△．若反比例函數的圖象恰好經過的中點D，則點B的坐標是（

）A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12）二、填空題11．已知函數，那么________．12．函數的定義域是________．13．如果正比例函數y＝（k﹣2）x的圖象經過第二、四象限，那么k的取值范圍是_____．14．如圖，在平面直角坐標系中，點A是函數圖象上的點，軸，垂足為B，則的面積為_____．15．若雙曲線上的兩點，滿足，，則的取值范圍___________．16．已知三點（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函數y＝（k＞0）的圖像上，若a＜0＜b＜c，則m、n和t的大小關系是___．（用“＜”連接）17．是反比例函數在第一象限內的圖像，且過點，與關于軸對稱，那么圖像的函數解析式為______．18．如圖，若點M是x軸正半軸上一點，過點M作軸，分別交函數和函數的圖像于兩點，連接，則的面積為___________。三、解答題19．已知反比例函數的圖象經過點A（-2，-3）．(1)求該反比例函數的表達式；(2)判斷點是否在該反比例函數的圖象上，并說明理由．20．已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝3時，，求y關于x的函數解析式．21．如圖，直線y＝ax（a＞0）與雙曲線交于A，B兩點，且點A的坐標為（4，2），點B的坐標為（n，﹣2）．(1)求a，n的值；(2)若雙曲線的上點C的縱坐標為8，求△AOC的面積．22．已知反比例函數y＝（k為常數，k≠0）的圖象經過點A（2，3）(1)求k的值；(2)此函數圖象在象限，在每個象限內，y隨x的增大而；（填“增大”或“減小”）(3)判斷點B（﹣1，6）是否在這個函數的圖象上，并說明理由；(4)當﹣3＜x＜﹣1時，則y的取值范圍為．23．太陽能進入了千家萬戶，一個容量為180升的太陽能熱水器，能連續(xù)的工作時間是y分鐘，每分鐘的排水量為x升．(1)寫出y與x的函數關系式；(2)若熱水器連續(xù)工作最長時間是1小時，求自變量的取值范圍；24．甲乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地，轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時，如圖，線段OA表示貨車離甲地的距離y（千米）與時間x（小時）之間的關系；折線BCD表示轎車離甲地的距離y（千米）與時間x（時）之間的關系，請根據圖象解答下列問題：(1)請直接寫出點B所對應的數；(2)轎車到達乙地時，求貨車與甲地的距離；(3)轎車出發(fā)多長時間追上貨車？25．如圖，點P的坐標是，過點P作x軸的平行線交y軸于點A，交雙曲線于點N，作交雙曲線于點M，連接AM．已知PN=4．(1)求k的值；(2)求的面積．26．九年級某數學興趣小組在學習了反比例函數的圖象與性質后，進一步研究了函數的圖象與性質，其探究過程如下：(1)繪制函數圖象，如圖．列表：下表是x與y的幾組對應值，其中m＝________；x…1234…y…31m…描點：根據表中各組對應值（x，y），在平面直角坐標系中描出了各點；連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象．請你把圖象補充完整；(2)觀察圖象并分析表格，回答下列問題；①當x＜0時，y隨x增大而________；（填“增大”或“減小”）②函數的圖象是由函數的圖象向________平移________個單位長度而得到；③函數的圖象關于點________成中心對稱；（填點的坐標）(3)設、是函數的圖象上的兩點，且，試求的值專題03正比例函數和反比例函數一、單選題1．下列關系不是函數關系的是

（

）A．長方形的寬一定時，它的長與面積．B．正方形的周長與面積．C．等腰三角形的底邊長與面積．D．等腰三角形頂角的度數與底角的度數．答案:C分析：根據函數的概念可直接進行排除選項．解析：長方形的面積=長×寬，當寬一定時，它的長與面積成函數關系故A正確；正方形面積=正方形的周長的平方的十六分之一，故B正確；等腰三角形的面積=底邊長×底邊上的高×0.5，當底邊上的高不確定時，等腰三角形的底邊長與面積不成函數關系，故C不正確；等腰三角形頂角的度數是180與底角的度數2倍的差，等腰三角形頂角的度數與底角的度數成函數關系，故D正確．故選C．【點睛】本題主要考查函數的概念，熟記掌握函數的概念是解題的關鍵．2．若反比例函數（）的圖象經過點，則該反比例函數的表達式為（）A． B． C． D．答案:D分析：把代入中求出k的值，從而得到反比例函數解析式．解析：解：∵反比例函數（）的圖象經過點，∴，∴反比例函數解析式為，故選：D．【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數的解析式：設出含有待定系數的反比例函數解析式（k為常數，）；把已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到待定系數的方程，解方程，求出待定系數是解題的關鍵．3．下列函數中，屬于正比例函數的有（

）①；②；③④；⑤；⑥A．2個 B．3個 C．4個 D．5個答案:B分析：根據正比例函數的定義判斷即可．解析：解：①不是正比例函數，不合題意；②是正比例函數，符合題意；③，不是正比例函數，不合題意④是正比例函數，符合題意；⑤不是正比例函數，不合題意；⑥是正比例函數，符合題意．故正比例函數有3個．故選：B．【點睛】本題主要考查了正比例函數的定義，正比例函數的定義是形如y=kx（k是常數，k≠0）的函數，其中k叫做比例系數．4．若y與x-2成反比例，且當x=3時，y=5，則y與x之間的關系式是（

）A．y= B．y= C．y=-2 D．y=+2答案:B分析：利用待定系數法求解即可．解析：解：∵y與x-2成反比例，∴（k≠0），∵當x=3時，y=5，∴，即：k=5，∴y=，故選：B．【點睛】本題主要考查求函數解析式，掌握反比例函數的定義以及待定系數法是關鍵．5．若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y關于x的正比例函數，則該函數圖象經過的象限是（）A．第一、三象限 B．第一、四象限C．第二、三象限 D．第二、四象限答案:D分析：根據正比例函數的定義知，且，由此可求得m的值，從而可知正比例函數圖象所經過的象限．解析：由題意知：且由得：由得：∴m=-1此時正比例函數解析式為y=－2x∵－2<0∴函數圖象經過第二、四象限故選：D．【點睛】本題考查了正比例函數的概念，把形如y=kx（k≠0）的函數稱為正比例函數，掌握正比例函數概念是解題關鍵．特別注意一次項系數不為零．6．對于函數，下列說法不正確的是（

）A．y是x的反比例函數B．在圖象的每一個象限內，y隨x的增大而增大C．時，y隨x的增大而增大D．時，y隨x的增大而減小答案:D分析：利用反比例函數的性質解答即可．解析：解：A、根據函數的定義可知對于函數，是一個y關于x的反比例函數，正確；B、∵，∴根據反比例函數的性質在函數圖象的每一個象限內，y隨x的增大而增大，正確；C、時，圖象在第四象限，y隨x的增大而增大，正確；D、應為時，圖象在第二象限y隨x的增大而增大，錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查當時的反比例函數的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．7．已知A（﹣3，4），B（3，﹣4），C（2，﹣5），D（﹣5，），其中點（）與其它三個點不在同一正比例函數的圖象上．A．A B．B C．C D．D答案:C分析：根據正比例函數的定義知，函數值與自變量的比值為定值，所以求得四個點的縱坐標與橫坐標的比，即可知結果．解析：由于點A、B、D三個點的縱坐標與橫坐標的比相等，即，但點C的縱坐標與橫坐標的比即點C與其它三個點不在同一正比例函數的圖象上．故選：C．【點睛】本題考查了正比例函數的定義及正比例函數的圖象，掌握正比例函數的定義與圖象是關鍵．8．在反比例函數為常數）上有三點，，，，，，若，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．答案:C分析：根據偶次方的非負性，得，再根據反比例函數的圖象的特點解決此題．解析：解：，．反比例函數為常數）的函數圖象在第一、第三象限；在第一象限內，隨著的增大而減??；在第三象限內，隨著的增大而減?。?，，，即．故選：C．【點睛】本題主要考查反比例函數圖象的特點，熟練掌握反比例函數的圖象的特點是解決本題的關鍵．9．某校七年級數學興趣小組利用同一塊長為1米的光滑木板，測量小車從不同高度沿的木板從頂部滑到底部所用的時間，支撐物的高度h（cm）與小車下滑時間t（s）之間的關系如下圖所示：支撐物高度h（cm）10203040506070小車下滑時間t（s）4.233.002.452.131.891.711.59根據表格所提供的信息，下列說法中錯誤的是（

）A．支撐物的高度為50cm，小車下滑的時間為1.89sB．支撐物的高度h越大，小車下滑時間t越小C．若支撐物值高度每增加10cm，則對應的小車下滑時間的變化情況都相同D．若小車下滑的時間為2.5s，則支撐物的高度在20cm至30cm之間答案:C分析：運用表格的數據，對選項進行逐一判斷和推測，運用排除法得到正確選項．解析：解：A、由表格可知，當h=50cm時，t=1.89s，故本選項正確，不符合題意；B．通過觀察表格可得，支撐物的高度h越大，小車下滑時間t越小，故本選項正確，不符合題意；C．通過觀察表格，當支撐物的高度每增加10cm，對應小車下滑時間的變化情況不相同，故本選項錯誤，符合題意；D．若小車下滑時間為2.5s，通過表格容易判斷出支撐物的高度在20cm~30cm之間，故本選項正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了變量與函數之間的問題，關鍵在于能夠通過表格分析各個選項，得出正確答案．10．如圖，點A的坐標是（－4，0），C為OB的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉后得到△．若反比例函數的圖象恰好經過的中點D，則點B的坐標是（

）A．（0，6） B．（0，8） C．（0，10） D．（0，12）答案:B分析：作軸于H．證明（AAS），推出OA=BH，，設再表示出點D坐標，再利用D在的圖象上列方程，再解方程即可解決問題．解析：解：作軸于H．結合題意可得：，∴，∠ABO+∠BAO=90°，∴，∵，∴（AAS），∴OA=BH，OB=，設而為的中點，則∵點A的坐標是，為的中點，∵反比例函數的圖象經過點D，∴解得：或，則故選：B．【點睛】本題考查反比例函數圖形上的點的坐標特征，坐標與圖形的變化-旋轉等知識，一元二次方程的解法，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、填空題11．已知函數，那么________．答案:分析：根據函數的解析式，根據已知自變量的值求函數值即可，然后分母有理化．解析：解：∵∴故答案為：【點睛】本題考查了函數的定義，根據自變量的值，求函數值，分母有理化，理解函數的表示方法是解題的關鍵．12．函數的定義域是________．答案:0≤x＜5分析：根據二次根式的被開方數是非負數、分母不為0列出不等式，就不等式得到答案．解析：解：由題意得：x≥0且5-x＞0，解得：0≤x＜5，故答案為：0≤x＜5．【點睛】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數是非負數、分母不為0是解題的關鍵．13．如果正比例函數y＝（k﹣2）x的圖象經過第二、四象限，那么k的取值范圍是_____．答案:分析：根據正比例函數的性質列不等式求解即可．解析：解：∵正比例函數y＝（k﹣2）x的的圖象經過第二、四象限，∴k﹣2＜0，解得，k＜2．故填：k＜2．【點睛】本題主要考查了正比例函數的性質、正比例函數的圖象等知識點，根據正比例函數圖象所在的象限列出不等式是解答本題的關鍵．14．如圖，在平面直角坐標系中，點A是函數圖象上的點，軸，垂足為B，則的面積為_____．答案:6分析：根據軸，垂足為B，即可利用反比例函數k的幾何意義得到．解析：解：∵軸，∴，故答案為：6．【點睛】本題主要考查了反比例函數的幾何意義，準確計算是解題的關鍵．15．若雙曲線上的兩點，滿足，，則的取值范圍___________．答案:分析：根據反比例函數的性質結合題意，即可判斷反比例函數圖象分布在第二、四象限，于是得到，然后解不等式即可．解析：解：∵，，∴反比例函數圖象分布在第二、四象限，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查反比例函數的圖象和性質．掌握反比例函數，當時，圖象位于第一、三象限，且y隨x的增大而減??；當時，圖象位于第二、四象限，且y隨x的增大而增大是解題關鍵．16．已知三點（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函數y＝（k＞0）的圖像上，若a＜0＜b＜c，則m、n和t的大小關系是___．（用“＜”連接）答案:分析：先畫出反比例函數y＝（k＞0）的圖象，在函數圖象上描出點（a，m）、（b，n）和（c，t），再利用函數圖象可得答案.解析：解：如圖，反比例函數y＝（k＞0）的圖像在第一，三象限，而點（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函數y＝（k＞0）的圖像上，a＜0＜b＜c，即故答案為：【點睛】本題考查的是反比例函數的圖象與性質，掌握“利用數形結合比較反比例函數值的大小”是解本題的關鍵.17．是反比例函數在第一象限內的圖像，且過點，與關于軸對稱，那么圖像的函數解析式為______．答案:分析：把A（2,5）代入求出k值，即得到反比例函數的解析式．進一步根據與關于軸對稱的性質得到的函數解析式．解析：解：把A（2,5）代入，得k=10，∴反比例函數的解析式是，∵與關于軸對稱，∴l(xiāng)2的解析式應為．故答案為．【點睛】本題考查反比例函數及軸對稱的知識，用待定系數法求反比例函數的解析式．難度不大．18．如圖，若點M是x軸正半軸上一點，過點M作軸，分別交函數和函數的圖像于兩點，連接，則的面積為___________。答案:2.5分析：由軸可知，拆分即可得出結論．解析：解：∵軸，∴軸，軸，∴，又∵，∴．故答案為：2.5【點睛】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，解題的關鍵是通過拆分三角形求出的面積．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，由反比例函數系數k的幾何意義得出和，再根據三角形之間的關系得出結論．三、解答題19．已知反比例函數的圖象經過點A（-2，-3）．(1)求該反比例函數的表達式；(2)判斷點是否在該反比例函數的圖象上，并說明理由．答案:(1)(2)不在該反比例函數的圖象上，理由見解析分析：（1）利用待定系數法求解即可；（2）根據（1）所求解析式求出當x=2時的函數值即可得到答案．（1）解：設反比例函數解析式為，由題意得：，∴，∴反比例函數解析式為；（2）解：點不在該反比例函數的圖象上，理由如下：當時，，∴點（2，3）在反比例函數圖象上，點不在該反比例函數的圖象上．【點睛】本題主要考查了待定系數法去反比例函數解析式，求反比例函數函數值，正確利用待定系數法求出反比例函數解析式是解題的關鍵．20．已知y＝y(tǒng)1+y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當x＝﹣1時，y＝﹣4；當x＝3時，，求y關于x的函數解析式．答案:．分析：設，從而可得，再將兩組的值代入可得一個關于的二元一次方程組，解方程組求出的值，由此即可得．解析：解：由題意可設，則，當時，；當時，，，解得，故關于的函數解析式為．【點睛】本題考查了反比例函數與正比例函數的綜合，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．21．如圖，直線y＝ax（a＞0）與雙曲線交于A，B兩點，且點A的坐標為（4，2），點B的坐標為（n，﹣2）．(1)求a，n的值；(2)若雙曲線的上點C的縱坐標為8，求△AOC的面積．答案:(1)，(2)15分析：（1）先將點代入直線的解析式可得的值，再根據求出反比例函數的解析式，然后將點代入反比例函數的解析式即可得的值；（2）先求出點的坐標，再過點作軸的垂線交直線于點，根據直線的解析式求出點的坐標，然后根據的面積等于與的面積之和即可得．（1）解：將點代入得：，解得，將點代入得：，則反比例函數的解析式為，將點代入得：；（2）解：對于函數，當時，，即，如圖，過點作軸的垂線交直線于點，則點的橫坐標為1，由（1）可知，直線的解析式為，當時，，即，，，的邊上的高為1，的邊上的高為，則的面積為．【點睛】本題考查了反比例函數與正比例函數的綜合，熟練掌握待定系數法是解題關鍵．22．已知反比例函數y＝（k為常數，k≠0）的圖象經過點A（2，3）(1)求k的值；(2)此函數圖象在象限，在每個象限內，y隨x的增大而；（填“增大”或“減小”）(3)判斷點B（﹣1，6）是否在這個函數的圖象上，并說明理由；(4)當﹣3＜x＜﹣1時，則y的取值范圍為．答案:(1)k=6；(2)一、三；減小(3)點B（﹣1，6）不在這個函數的圖象上，理由見解析(4)﹣6＜y＜﹣2分析：（1）利用待定系數法求出k的值即可；（2）利用反比例函數的性質進而得出答案；（3）利用函數圖象上點的坐標特點得出即可；（4）利用x的取值范圍，得出y得取值范圍即可．（1）解：∵點A（2，3）在反比例函數y=的圖象上，∴k=2×3=6；（2）解：∵k=6＞0，∴此函數圖象在一、三象限，在每個象限內，y隨x的增大而減小；故答案為：一、三；減?。唬?）解：∵k=6，∴反比例函數的解析式為y=，∵當x=-1時，y==-6，∴點B（-1，6）不在這個函數的圖象上；（4）解：當-3＜x＜-1時，x=-3時，y=-2；x=-1時，y=-6，則y的取值范圍為：-6＜y＜-2．故答案為：-6＜y＜-2．【點睛】此題主要考查了待定系數法求反比例函數解析式以及反比例函數的性質等知識，熟練應用相關性質是解題關鍵．23．太陽能進入了千家萬戶，一個容量為180升的太陽能熱水器，能連續(xù)的工作時間是y分鐘，每分鐘的排水量為x升．(1)寫出y與x的函數關系式；(2)若熱水器連續(xù)工作最長時間是1小時，求自變量的取值范圍；答案:(1)(2)分析：（1）根據工作時間乘以每分鐘的排水量等于總容量，可得出y與x的關系式．（2）根據反比例函數的性質可得在每一個象限內，y隨x的增大而減小，即可．（1）解：根據題意得：y與x的函數關系式為；（2）解：∵熱水器連續(xù)工作最長時間是1小時，∴，∵函數在每一個象限內，y隨x的增大而減小，∴當時，x最小，最小值為，解得：，∴自變量的取值范圍為．【點睛】此題主要考查反比例函數在實際生活中的應用，根據題意準確地列式是解題的關鍵．24．甲乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)向乙地，轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時，如圖，線段OA表示貨車離甲地的距離y（千米）與時間x（小時）之間的關系；折線BCD表示轎車離甲地的距離y（千米）與時間x（時）之間的關系，請根據圖象解答下列問題：(1)請直接寫出點B所對應的數；(2)轎車到達乙地時，求貨車與甲地的距離；(3)轎車出發(fā)多長時間追上貨車？答案:(1)1.5(2)轎車到達乙地時，貨車與甲地的距離是270千米(3)轎車出發(fā)2.4小時追上貨車分析：（1）點B所對應的數為轎車出發(fā)的時間，根據題意求出轎車出發(fā)的時間即可；（2）根據圖象先算出貨車的速度，用轎車到達乙地所用的時間乘以貨車的速度可算出貨車與甲地的距離；（3）由圖象可知兩車相遇在第2.5小時之后，算出轎車在CD段的速度，根據等量關系，轎車行駛路程＝貨車行駛路程，列出方程解決問題即可．（1）解：∵轎車比貨車晚出發(fā)1.5小時，貨車是第0小時除法，∴轎車第1.5小時出發(fā)，∴點B所對應的數是1.5；（2）解：根據圖象可知，貨車速度是（千米/小時），（千米），∴轎車到達乙地時，貨車與甲地的距離是270千米；（3）解：∵轎車在CD段的速度是：（千米/小時），設轎車出發(fā)x小時追上貨車，∴，解得，∴轎車出