新人教版高二暑期數(shù)學(xué)銜接第10講直線的傾斜角與斜率講義(學(xué)生版+解析)

第10講直線的傾斜角與斜率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式3.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直【基礎(chǔ)知識(shí)】一、直線的傾斜角1.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向

與直線l向上的方向之間所成的角α

叫做直線l的傾斜角.2.規(guī)定:當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),直線l的傾斜角為0°

.因此,直線的傾斜角α的取值

范圍為0°≤α<180°

二、直線的方向向量1.直線P1P2上的向量?以及與它平行的向量都是直線的方向向量

.2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直線P1P2上的兩點(diǎn),則直線P1P2的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為三、直線的斜率1.一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=

tanα

(α≠90°).2.所有的直線都有傾斜角,但不是所有的直線都有斜率,傾斜角是90°的直線沒有斜率.3.過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式是k=.4.直線的方向向量與斜率的關(guān)系(1)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線,其方向向量為=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)?,因此,當(dāng)直線的斜率k存在時(shí),直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(1,k)

.(2)當(dāng)直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x,y)(x≠0)時(shí),直線的斜率k=.四、兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在圖示??對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1=k2

兩直線斜率都不存在?l1∥l2

五、兩條直線垂直的判定類型斜率都存在有直線斜率不存在圖示??對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2?k1k2=-1

斜率不存在，斜率為0?l1⊥l2

【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求直線的傾斜角例1．若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為______．考點(diǎn)二：求直線傾斜角的范圍例2．已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是(

)．A． B．C． D．考點(diǎn)三：求直線的斜率例3．經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的斜率為(

)A． B． C． D．考點(diǎn)四：求直線斜率的范圍例4．已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是(

)A． B．或 C． D．考點(diǎn)五：兩直線平行問題例5．若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.考點(diǎn)六：兩直線垂直問題例6．已知直線經(jīng)過，，直線經(jīng)過點(diǎn)，．如果，求的值．【真題演練】1.(2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市第八中學(xué)高二下學(xué)期開學(xué)考試)直線，若的傾斜角為30°，則的斜率為(

)A． B． C． D．2.(2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末)若傾斜角為的直線過，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(

)A． B． C． D．3.(2023學(xué)年江西省南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二12月月考)經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)的直線的傾斜角為(

)A．90o B．120o C．135o D．150o4.(多選)(2023學(xué)年湖南省懷化市第五中學(xué)高二上學(xué)期期中)在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有()A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是[0，π]C．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為45度D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα5.(多選)(2023學(xué)年黑龍江省七臺(tái)河市勃利縣高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)(

)．A． B． C． D．6.(2023學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)設(shè)，若直線l經(jīng)過點(diǎn)?，則直線l的斜率是___________.7.(2023學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)高二上學(xué)期10月月考)若三點(diǎn)，，在同一條直線上，則實(shí)數(shù)___________.8.(2023學(xué)年河北省石家莊十二中高二上學(xué)期期中)已知兩點(diǎn)，求：(1)直線的斜率k；(2)已知實(shí)數(shù)，求直線的傾斜角的范圍.【過關(guān)檢測(cè)】1.(河北省保定市2022學(xué)年高二上學(xué)期期末)若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為(

)A． B． C． D．2.以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是(

)．A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形3．(2023學(xué)年湖北省荊州市八縣市高二上學(xué)期期末)直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直4．(2023學(xué)年河北省唐山市灤南縣第一中學(xué)高二上學(xué)期10月月考)過點(diǎn)的直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則的斜率為(

)A． B． C． D．5.(2023-2021學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市第四中學(xué)高二上學(xué)期月考)設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是()A．或 B．C． D．以上都不對(duì)6．(多選)下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有(

)A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為7.(多選)如果直線l過原點(diǎn)(0，0)且不經(jīng)過第三象限，那么l的傾斜角可能是(

)A．0° B．120°C．90° D．60°8.(2023學(xué)年湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體高二上學(xué)期11月期中)如圖所示，直線的頻斜角，直線，則直線的斜率為________．9．在△ABC中，已知A(3，﹣2)，B(1，﹣3)，C(1，1).(1)求直線AB，AC，BC的斜率；(2)判斷直線AC的傾斜角是銳角還是鈍角或直角.10.已知一平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，求該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)．第10講直線的傾斜角與斜率【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式3.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直【基礎(chǔ)知識(shí)】一、直線的傾斜角1.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向

與直線l向上的方向之間所成的角α

叫做直線l的傾斜角.2.規(guī)定:當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí),直線l的傾斜角為0°

.因此,直線的傾斜角α的取值

范圍為0°≤α<180°

二、直線的方向向量1.直線P1P2上的向量?以及與它平行的向量都是直線的方向向量

.2.若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直線P1P2上的兩點(diǎn),則直線P1P2的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為三、直線的斜率1.一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示,即k=

tanα

(α≠90°).2.所有的直線都有傾斜角,但不是所有的直線都有斜率,傾斜角是90°的直線沒有斜率.3.過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式是k=.4.直線的方向向量與斜率的關(guān)系(1)經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線,其方向向量為=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)?,因此,當(dāng)直線的斜率k存在時(shí),直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(1,k)

.(2)當(dāng)直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x,y)(x≠0)時(shí),直線的斜率k=.四、兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在圖示??對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1=k2

兩直線斜率都不存在?l1∥l2

五、兩條直線垂直的判定類型斜率都存在有直線斜率不存在圖示??對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2?k1k2=-1

斜率不存在，斜率為0?l1⊥l2

【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：求直線的傾斜角例1．若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為______．答案:解析：設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€與直線垂直，直線的斜率為，則，因?yàn)椋虼耍?考點(diǎn)二：求直線傾斜角的范圍例2．已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是(

)．A． B．C． D．答案:B解析：由題意，直線的傾斜角為，則，因?yàn)椋?，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得．故選B．考點(diǎn)三：求直線的斜率例3．經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的斜率為(

)A． B． C． D．答案:B解析：經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的斜率為：；故選B.考點(diǎn)四：求直線斜率的范圍例4．已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是(

)A． B．或 C． D．答案:B解析：如下圖示，當(dāng)直線過A時(shí)，，當(dāng)直線過B時(shí)，，由圖知：或.故選B考點(diǎn)五：兩直線平行問題例5．若直線與直線平行，直線的斜率為，則直線的傾斜角為___________.答案:解析：因?yàn)橹本€與直線平行，直線的斜率為，所以直線的斜率與直線的斜率相等，即直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，即直線的傾斜角為考點(diǎn)六：兩直線垂直問題例6．已知直線經(jīng)過，，直線經(jīng)過點(diǎn)，．如果，求的值．答案:5或2解析：因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，，且，所以的斜率存在，設(shè)斜率為，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，，則，此時(shí)與垂直．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線斜率存在．由，得．解得．綜上，的值為或．【真題演練】1.(2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市第八中學(xué)高二下學(xué)期開學(xué)考試)直線，若的傾斜角為30°，則的斜率為(

)A． B． C． D．答案:B解析：，∴.故選B.2.(2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)高二上學(xué)期期末)若傾斜角為的直線過，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(

)A． B． C． D．答案:C解析：因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選C3.(2023學(xué)年江西省南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二12月月考)經(jīng)過點(diǎn)、兩點(diǎn)的直線的傾斜角為(

)A．90o B．120o C．135o D．150o答案:D解析：因直線過點(diǎn)、，則直線l的斜率，直線l的傾斜角為滿足，顯然，則有，解得，所以直線的傾斜角為.故選D4.(多選)(2023學(xué)年湖南省懷化市第五中學(xué)高二上學(xué)期期中)在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有()A．坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角的取值范圍是[0，π]C．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為45度D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα答案:ABD解析：對(duì)于A，傾斜角為的直線斜率不存在，所以A錯(cuò)誤對(duì)于B，直線的傾斜角的取值范圍為，所以B錯(cuò)誤對(duì)于C，因?yàn)榍?，所以，所以C正確對(duì)于D，傾斜角為的直線斜率不存在，所以D錯(cuò)誤，故選ABD5.(多選)(2023學(xué)年黑龍江省七臺(tái)河市勃利縣高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中)已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)(

)．A． B． C． D．答案:BC解析：當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線不存在斜率，此時(shí)滿足直線互相垂直；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，直線的斜率為，若兩直線垂直，則，解得，滿足題意.綜上所述：或.故選BC.6.(2023學(xué)年上海市控江中學(xué)高二下學(xué)期期中)設(shè)，若直線l經(jīng)過點(diǎn)?，則直線l的斜率是___________.答案:1解析：因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)?，所以直線l的斜率是7.(2023學(xué)年四川省綿陽市南山中學(xué)高二上學(xué)期10月月考)若三點(diǎn)，，在同一條直線上，則實(shí)數(shù)___________.答案:解析：由題意可知，，三點(diǎn)所在的直線的斜率存在，所以，即，解得8.(2023學(xué)年河北省石家莊十二中高二上學(xué)期期中)已知兩點(diǎn)，求：(1)直線的斜率k；(2)已知實(shí)數(shù)，求直線的傾斜角的范圍.解析：(1)當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，且，所以，且，所以或，即或，所以，綜上，直線的傾斜角【過關(guān)檢測(cè)】1.(河北省保定市2022學(xué)年高二上學(xué)期期末)若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為(

)A． B． C． D．答案:A解析：斜率，∴傾斜角．故選A．2.以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是(

)．A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形答案:B解析：由題意，同理，，，，三角形是直角三角形．故選B．3．(2023學(xué)年湖北省荊州市八縣市高二上學(xué)期期末)直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直答案:C解析：設(shè)方程的兩根為、，則．直線、的斜率，故與相交但不垂直．故選C．4．(2023學(xué)年河北省唐山市灤南縣第一中學(xué)高二上學(xué)期10月月考)過點(diǎn)的直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則的斜率為(

)A． B． C． D．答案:D解析：設(shè)，，則，解得：，，，.故選D.5.(2023-2021學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市第四中學(xué)高二上學(xué)期月考)設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是()A．或 B．C． D．以上都不對(duì)答案:A解析：如圖所示，直線PB，PA的斜率分別為，結(jié)合圖形可知或，故選A6．(多選)下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有(

)A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則