對(duì)芝諾悖論的總結(jié)

對(duì)芝諾悖論的總結(jié)第1篇對(duì)芝諾悖論的總結(jié)第1篇悖論：物體在到達(dá)目的地之前必須先到達(dá)全程的一半，這個(gè)要求可以無(wú)限的進(jìn)行下去，所以，如果它起動(dòng)了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者，它根本起動(dòng)不了。

例如：一位旅行者步行前往一個(gè)特定的地點(diǎn)。他必須先走完一半的距離，然后走剩下距離的一半，然后再走剩下距離的一半，永遠(yuǎn)有剩下部分的一半要走。因而這位旅行者永遠(yuǎn)走不到目的地！

悖論：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠(yuǎn)趕不上慢跑者，因?yàn)樽汾s者必須首先跑到被追者的出發(fā)點(diǎn)，而當(dāng)他到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，慢跑者又向前了一段，又有新的出發(fā)點(diǎn)在等著它，有無(wú)限個(gè)這樣的出發(fā)點(diǎn)。

故事：在阿基里斯和烏龜之間展開一場(chǎng)比賽。烏龜在阿基里斯前頭1000米開始爬，但阿基里斯跑得比烏龜快10倍，比賽開始，當(dāng)阿基里斯跑了1000米時(shí)，烏龜仍然在他前頭100米。而當(dāng)阿基里斯又跑了100米到達(dá)烏龜前此到達(dá)的地方時(shí)，烏龜又向前爬了10米。芝諾爭(zhēng)辯說(shuō)，阿基里斯將會(huì)不斷地逼近烏龜，但他永遠(yuǎn)無(wú)法趕上它。

悖論：任何東西占據(jù)一個(gè)與自身相等的處所時(shí)是靜止的，飛著的箭在任何一個(gè)瞬間總是占據(jù)與自身相等的處所，所以也是靜止的。

解釋：箭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的任一瞬間時(shí)必在一個(gè)確定位置上，即是靜止的，而時(shí)間是由無(wú)限多個(gè)瞬時(shí)組成的，因此箭就動(dòng)不起來(lái)了。

悖論：兩列物體B、C相對(duì)于一列靜止物體A相向運(yùn)動(dòng)，B越過(guò)A的數(shù)目是越過(guò)C的一半，所以一半時(shí)間等于一倍時(shí)間。

對(duì)芝諾悖論的總結(jié)第2篇雖然我不是很清楚經(jīng)濟(jì)學(xué)引入芝諾是為了什么（積分？），但作為哲學(xué)思辯，還是很有意思的。

有待高人進(jìn)一步闡述和論證，也許從此開啟另一個(gè)世界！

“因此，芝諾的假設(shè)ii）不能成立”這個(gè)結(jié)論怎么得到的？

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對(duì)芝諾悖論的總結(jié)第3篇誠(chéng)如亞里士多德所說(shuō)，阿基里斯追龜說(shuō)其實(shí)可以歸結(jié)為二分說(shuō)。按照二分說(shuō)，阿基里斯在到達(dá)烏龜?shù)钠鹋茳c(diǎn)之前，必須先走過(guò)這段距離的1/2，為此，又必須先走過(guò)1/4，1/8，等等，即必須在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，因此按芝諾的理由，阿基里斯根本就動(dòng)彈不了。

芝諾悖論揭示的是事物內(nèi)部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無(wú)限可分和有限長(zhǎng)度之間的矛盾，亞里士多德沒(méi)有能覺察到這一點(diǎn)，當(dāng)然實(shí)際上沒(méi)有能駁倒芝諾。P·湯納利（Tannery）在1885年指出，芝諾悖論所反對(duì)的是那種認(rèn)為空間是點(diǎn)的總和、時(shí)間是瞬刻的總和的概念。換句話說(shuō)，芝諾并不否認(rèn)運(yùn)動(dòng)，但是他想證明在空間作為點(diǎn)的總和的概念下運(yùn)動(dòng)是不可能的。

芝諾的類似觀點(diǎn)還表現(xiàn)在他的兩個(gè)針對(duì)“多”的悖論中。其中一個(gè)見于失傳的芝諾原著的如下一段殘篇：

如果有許多事物，那就必須與實(shí)際存在的事物相符，既不多也不少。可是如果有象這樣多的事物，事物（在數(shù)目上）就是有限的了。如果有許多事物，存在物（在數(shù)目上）就是無(wú)窮的。因?yàn)樵诟鱾€(gè)事物之間永遠(yuǎn)有一些別的事物，而在這些事物之間又有別的事物。這樣一來(lái)，存在物就是無(wú)窮的了。

芝諾認(rèn)為存在若是“多”就會(huì)導(dǎo)致無(wú)窮的論證，也表達(dá)在另一個(gè)悖論里。它被辛普里西奧斯至少是部分地逐字逐句記述下來(lái)。這些記述不象阿基里斯追龜說(shuō)和飛箭靜止說(shuō)那樣經(jīng)后人或多或少地修改過(guò)，雖然表達(dá)得沒(méi)有那么清楚，但是卻更接近于芝諾的原話。辛普里西奧斯在他的引言里說(shuō)，芝諾首先論證既無(wú)“大小”又無(wú)厚度的東西是不能存在的?！耙?yàn)槿绻@樣，它加在某物之上不能使其變大，從某物減去也不能使其變小。但是，如果不能因增加它而使一物增大，也不能因減少它而使一物減小，這就明顯地看出，所增加或所減少的是零?！?/p>

因此，把任意數(shù)目的這些“無(wú)”元素加在任何東西上都不會(huì)使它增大，反之從任何東西里減去它們也不會(huì)使它變??；當(dāng)然，把這些“無(wú)”元素通通加起來(lái)，即使其數(shù)目有無(wú)限多個(gè)，其總和還是“無(wú)”。上述悖論和關(guān)于運(yùn)動(dòng)的前三個(gè)悖論的共同點(diǎn)，在于假定了空間、時(shí)間和物體的無(wú)限可分性，實(shí)際上還討論了無(wú)窮小和連續(xù)性。芝諾在這里其實(shí)還援引了如下兩個(gè)假設(shè)：

i)無(wú)限多個(gè)相等的任意小的正量的總和必然是無(wú)窮大；

ii)無(wú)限多個(gè)沒(méi)有大小的量的總和仍然是沒(méi)有大小的量。

其中假設(shè)ii)是芝諾反對(duì)把線段(時(shí)間、空間)看成是一個(gè)無(wú)限點(diǎn)集(無(wú)限多個(gè)沒(méi)有大小的量的總和)的主要依據(jù)。因此解決芝諾悖論的一個(gè)關(guān)鍵就是證明假設(shè)ii)不成立。A·格蘭巴姆(Grünbaum)于1952年詳盡地討論了這個(gè)問(wèn)題。他把只含有一個(gè)點(diǎn)的子區(qū)間定義為退化子區(qū)間，從而得出下列結(jié)論：

1)有限區(qū)間(a，b)是退化子區(qū)間的連續(xù)統(tǒng)的并集；

2)每個(gè)退化子區(qū)間的長(zhǎng)度是零；

3)區(qū)間(a，b)的長(zhǎng)度是b—a；

4)一個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度不是它的基數(shù)的函數(shù)。

因此，芝諾的假設(shè)ii)不能成立。事實(shí)上，將一個(gè)線段（或別的量）按二分法進(jìn)行無(wú)限分割，不可能有最后元素。因?yàn)榧仁菬o(wú)限分割，它就是一個(gè)沒(méi)有最后一項(xiàng)的永遠(yuǎn)不能完成的過(guò)程。在取極限的意義上，按結(jié)論1)，有限區(qū)間(a，b)成為不可數(shù)的無(wú)限個(gè)退化子區(qū)間的并集，這時(shí)雖然每個(gè)退化子區(qū)間(或每個(gè)點(diǎn))的長(zhǎng)度為0，但整個(gè)并集的長(zhǎng)度不是0，而是b—a(按結(jié)論3))。這樣，作為對(duì)芝諾和亞里士多德的回答，時(shí)間和距離都是作為無(wú)長(zhǎng)度元素(點(diǎn))的無(wú)窮集合的線性連續(xù)統(tǒng)。換言之，線段是點(diǎn)的無(wú)窮集合，而時(shí)間是無(wú)廣延的瞬刻的無(wú)窮集合，它們都是線性連續(xù)統(tǒng)。這樣，飛箭靜止說(shuō)這一悖論，原來(lái)指在任一給定的瞬刻是不動(dòng)的但在由無(wú)限多瞬刻組成的連續(xù)體上卻是