第06講 有理數(shù)的乘法-人教版新七年級(jí)《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（解析版）

第第頁第06講有理數(shù)的乘法（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4個(gè)考點(diǎn)+易錯(cuò)分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.了解有理數(shù)乘法的意義,掌握有理數(shù)的乘法法則及多個(gè)有理數(shù)相乘的符號(hào)法則,會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算.2.理解有理數(shù)的乘法運(yùn)算律,并會(huì)運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算3.理解有理數(shù)的倒數(shù)的意義,會(huì)求一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)4.能利用有理數(shù)的乘法解決實(shí)際問題知識(shí)點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法法則（重點(diǎn)）有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘．（2）任何數(shù)同零相乘，都得0．【例1】計(jì)算：(1)5×(－9);(2)(－5)×(－9)；(3)(－6)×(－9);(4)(－6)×0；(5)(－eq\f(1,3))×eq\f(1,4).解析：(1)(5)小題是異號(hào)兩數(shù)相乘，先確定積的符號(hào)為“－”，再把絕對(duì)值相乘；(2)(3)小題是同號(hào)兩數(shù)相乘，先確定積的符號(hào)為“＋”，再把絕對(duì)值相乘；(4)小題是任何數(shù)同0相乘，都得0.解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45；(2)(－5)×(－9)＝5×9＝45；(3)(－6)×(－9)＝6×9＝54；(4)(－6)×0＝0；(5)(－eq\f(1,3))×eq\f(1,4)＝－(eq\f(1,3)×eq\f(1,4))＝－eq\f(1,12).方法總結(jié)：兩數(shù)相乘，積的符號(hào)是由兩個(gè)乘數(shù)的符號(hào)決定：同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，任何數(shù)乘以0，結(jié)果為0.【變式1-1】計(jì)算：等于．【答案】【詳解】解：，故答案為：．【變式1-2】___________；【答案】【詳解】解：原式=﹣，【變式1-3】計(jì)算：_________．【答案】【詳解】知識(shí)點(diǎn)2.倒數(shù)的概念（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?1a=1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運(yùn)算與乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運(yùn)算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)時(shí)，只需在這個(gè)數(shù)前面加上“﹣”即可求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)求一個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個(gè)整數(shù)分之一求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．【例2】求下列各數(shù)的倒數(shù)．(1)－eq\f(3,4)；(2)2eq\f(2,3)；(3)－1.25；(4)5.解析：根據(jù)倒數(shù)的定義依次解答．解：(1)－eq\f(3,4)的倒數(shù)是－eq\f(4,3)；(2)2eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，故2eq\f(2,3)的倒數(shù)是eq\f(3,8)；(3)－1.25＝－eq\f(5,4)，故－1.25的倒數(shù)是－eq\f(4,5)；(4)5的倒數(shù)是eq\f(1,5).方法總結(jié)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，一般在求小數(shù)的倒數(shù)時(shí)，先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)再求解．當(dāng)一個(gè)算式中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時(shí)，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，要看哪一種計(jì)算簡便．【變式2-1】．（23-24七年級(jí)上·廣東江門·期中）若一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是，則這個(gè)數(shù)是（

）A． B．4 C． D．0.25【答案】A【分析】本題考查了倒數(shù)，掌握互為倒數(shù)兩個(gè)數(shù)乘積為1是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是，∴這個(gè)數(shù)是，故選：A．【變式2-2】2024春·廣東珠?！て吣昙?jí)開學(xué)考試）一個(gè)數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個(gè)數(shù)是（）A．0 B．0或1 C．1或 D．0或【答案】C【詳解】解：∵，∴1的倒數(shù)是1，∵，∴的倒數(shù)是，∵0沒有倒數(shù)，∴這個(gè)數(shù)是1或．【變式2-3】（23-24七年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是，則這個(gè)數(shù)的倒數(shù)是．【答案】10【分析】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵．先根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)）可得這個(gè)數(shù)為0.1，再根據(jù)倒數(shù)的定義（乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)）即可得．【詳解】解：∵一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是，∴這個(gè)數(shù)是0.1，∵，∴0.1的倒數(shù)是10，故答案為：10．知識(shí)點(diǎn)3.多個(gè)有理數(shù)相乘（難點(diǎn)）多個(gè)有理數(shù)相乘的法則：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0．（4）方法指引：①運(yùn)用乘法法則，先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相乘．②多個(gè)因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號(hào)當(dāng)先，這樣做使運(yùn)算既準(zhǔn)確又簡單．【例3】計(jì)算：(1)－2×3×(－4)；(2)－6×(－5)×(－7)；(3)0.1×(－0.001)×(－1)；(4)(－100)×(－1)×(－3)×(－0.5)；(5)(－17)×(－49)×0×(－13)×37.解析：先確定結(jié)果的符號(hào)，然后再將它們的絕對(duì)值相乘即可．解：(1)原式＝－6×(－4)＝24；(2)原式＝30×(－7)＝－210；(3)原式＝－0.0001×(－1)＝0.0001；(4)原式＝100×(－3)×(－0.5)＝－300×(－0.5)＝150；(5)原式＝0.方法總結(jié)：①幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正．②幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0.【變式3-1】（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·浙江金華·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；【分析】（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法計(jì)算法則求解即可；（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法計(jì)算法則求解即可；【詳解】（2）解：；（3）解：；知識(shí)點(diǎn)4.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律（難點(diǎn)）乘法結(jié)合律：(a×b)×c＝a×(b×c)；乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c.【例4】計(jì)算：(1)(－eq\f(5,6)＋eq\f(3,8))×(－24)；(2)(－7)×(－eq\f(4,3))×eq\f(5,14).解析：第(1)題，按運(yùn)算順序應(yīng)先算括號(hào)內(nèi)的再算括號(hào)外的，顯然括號(hào)內(nèi)兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，通分較麻煩，而括號(hào)外面的因數(shù)－24與括號(hào)內(nèi)每個(gè)分?jǐn)?shù)的分母均有公因數(shù)，若相乘可以約去分母，使運(yùn)算簡便．因此，可利用乘法分配律進(jìn)行簡便運(yùn)算．第(2)題，仔細(xì)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)第1個(gè)因數(shù)－7與第3個(gè)因數(shù)eq\f(5,14)的分母可以約分，因此可利用乘法的交換律把它們先結(jié)合運(yùn)算．解：(1)(－eq\f(5,6)＋eq\f(3,8))×(－24)＝(－eq\f(5,6))×(－24)＋eq\f(3,8)×(－24)＝20＋(－9)＝11；(2)(－7)×(－eq\f(4,3))×eq\f(5,14)＝(－7)×eq\f(5,14)×(－eq\f(4,3))＝(－eq\f(5,2))×(－eq\f(4,3))＝eq\f(10,3).方法總結(jié)：當(dāng)一道題按照常規(guī)運(yùn)算順序去運(yùn)算較復(fù)雜，而利用運(yùn)算律改變運(yùn)算順序卻能使運(yùn)算變得簡單些，這時(shí)可用運(yùn)算律進(jìn)行簡化運(yùn)算．【變式4-1】（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算，運(yùn)用哪種運(yùn)算律可避免通分（

）A．加法交換律和加法結(jié)合律 B．乘法結(jié)合律 C．乘法交換律 D．分配律【答案】D【分析】根據(jù)乘法分配律解答即可.【詳解】因?yàn)?，所以?jì)算時(shí)，運(yùn)用乘法分配律可避免通分，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算律，正確理解題意、熟知乘法分配律是解題的關(guān)鍵.【變式4-2】計(jì)算：．【答案】8【分析】利用有理數(shù)的乘法分配律計(jì)算，即可求解．【詳解】解：故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算律，熟練掌握有理數(shù)的乘法分配律是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】計(jì)算：【答案】2【分析】根據(jù)乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，熟練掌握分配律是解題的關(guān)鍵．鍵是掌握有理數(shù)的運(yùn)算律和相關(guān)運(yùn)算法則．【例5】計(jì)算：－32×eq\f(2,3)＋(－11)×(－eq\f(2,3))－(－21)×eq\f(2,3).解析：根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算可先把－eq\f(2,3)提出，可得－eq\f(2,3)×(32－11－21)，再計(jì)算括號(hào)里面的減法，后計(jì)算乘法即可．解：原式＝－eq\f(2,3)×(32－11－21)＝0.方法總結(jié)：如果按照先算乘法，再算加減，則運(yùn)算比較繁瑣，且符號(hào)容易出現(xiàn)問題，但如果逆用乘法的分配律，則可以使運(yùn)算簡便．【變式5-1】（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行簡便的計(jì)算：【詳解】．【變式5-2】簡便運(yùn)算【詳解】解：；【變式5-3】（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）簡便計(jì)算【詳解】；易錯(cuò)點(diǎn)利用分配律時(shí)出錯(cuò)【例6】．（23-24七年級(jí)上·河南南陽·階段練習(xí)）閱讀下面題目的運(yùn)算過程，并解決下列問題．解：原式①②③④⑤(1)上述計(jì)算過程，在第步出現(xiàn)錯(cuò)誤，本題運(yùn)算的正確結(jié)果是．(2)結(jié)合上述解法給你的啟發(fā)，計(jì)算：．【答案】(1)⑤，(2)【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)乘法運(yùn)算的結(jié)合律進(jìn)行判定即可；（2）結(jié)合材料提示，運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解．【詳解】（1）解：第⑤的計(jì)算是，∴在第⑤步出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確結(jié)果是，故答案為：⑤，．（2）解：．【變式6-1】．（22-23七年級(jí)上·廣西南寧·期中）運(yùn)算律是解決許多數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)，在運(yùn)算中有重要的作用，充分運(yùn)用運(yùn)算律能使計(jì)算簡便高效．例如：．解：．(1)計(jì)算：，A同學(xué)的計(jì)算過程如下：原式．請你判斷A同學(xué)的計(jì)算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計(jì)算過程．(2)請你參考例題，用運(yùn)算律簡便計(jì)算（請寫出具體的解題過程）：．【答案】(1)A同學(xué)的計(jì)算是錯(cuò)誤的，過程見解析(2)0【分析】（1）先說明A同學(xué)的錯(cuò)誤，再把除法變?yōu)槌朔?，最后運(yùn)用運(yùn)算律去括號(hào)計(jì)算即可；（2）先根據(jù)積不變規(guī)律變形，再根據(jù)乘法運(yùn)算律可以解答本題．【詳解】（1）解：∵A同學(xué)運(yùn)用乘法分配律時(shí)第二個(gè)數(shù)的符號(hào)處理錯(cuò)誤，∴A同學(xué)的計(jì)算是錯(cuò)誤的，原式=．（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法分配律，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)的乘法分配律的計(jì)算方法．【變式6-2】（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法后，老師給同學(xué)們一道這樣的題目：計(jì)算，看誰算的又快又對(duì)．小瑞很快給出了他的解法：原式=．小晨經(jīng)過思考后也給出了他的解法：原式==（

）==．(1)請補(bǔ)全小晨的解題過程，并在括號(hào)里寫出他用了什么運(yùn)算原理?(2)你還有不同于小瑞、小晨的解法嗎?(3)用你認(rèn)為最合適的方法計(jì)算：【答案】(1)見解析(2)有，具體見解析(3)【分析】（1）根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可補(bǔ)全；（2）將改為，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算即可；（3）根據(jù)（2）的計(jì)算方法同理計(jì)算即可．【詳解】（1）原式==（乘法分配律）==．故答案為：，乘法分配律，，；（2）有，如下：原式==（乘法分配律）==；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘法．掌握乘法分配律是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)1：相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的綜合應(yīng)用1.已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對(duì)值為6，求eq\f(a＋b,m)－cd＋|m|的值．解析：根據(jù)相反數(shù)的概念和倒數(shù)概念，可得a、b；c、d的等量關(guān)系，再由m的絕對(duì)值為6，可求m的值，把所得的等量關(guān)系整體代入可求出代數(shù)式的值．解：由題意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，m＝±6；∴①當(dāng)m＝6時(shí)，原式＝eq\f(0,6)－1＋6＝5；②當(dāng)m＝－6時(shí)，原式＝eq\f(0,－6)－1＋6＝5.故eq\f(a＋b,m)－cd＋|m|的值為5.方法總結(jié)：解答此題的關(guān)鍵是先根據(jù)題意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算．2．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·期末）已知的倒數(shù)是，的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，且，求的相反數(shù)．【答案】的相反數(shù)是【分析】本題主要考查了倒數(shù)、絕對(duì)值的意義、相反數(shù)，先根據(jù)倒數(shù)的定義和絕對(duì)值的意義得出，，再結(jié)合得出，從而求得的值，最后根據(jù)相反數(shù)的定義即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：的倒數(shù)是，的絕對(duì)值是最小的正整數(shù)，，，，，，的相反數(shù)是．3．（23-24七年級(jí)上·云南昆明·期中）若與互為相反數(shù)，與互為倒數(shù)，，求的值．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，相反數(shù)，倒數(shù)和絕對(duì)值的意義，根據(jù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，，求出，，，利用整體代入的思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵與互為相反數(shù)，與互為倒數(shù)，，∴，，，∴，，，．4．（23-24七年級(jí)上·新疆克孜勒蘇·階段練習(xí)）請根據(jù)圖示的對(duì)話解答下列問題．已知與互為相反數(shù)與互為倒數(shù)(1)______，______．(2)已知，求的值．【答案】(1)；；(2)【分析】本題主要考查相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的非負(fù)性；（1）根據(jù)相反數(shù)及倒數(shù)可直接進(jìn)行求解、的值，（2）根據(jù)（1）及絕對(duì)值的非負(fù)性可得、的值，然后代入求解即可．【詳解】（1）解：∵與互為相反數(shù)，與互為倒數(shù)，∴，故答案為；；（2）由題意，得，所以，所以．5．（23-24七年級(jí)上·廣東廣州·期末）（1）如果，互為相反數(shù)（，均不為0），，互為倒數(shù)，，則______，求的值；（2）若實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值．【答案】（1），或3；（2）的值是或【分析】本題考查代數(shù)式求值，倒數(shù)、相反數(shù)、絕對(duì)值的意義，熟練理解相關(guān)定義，能據(jù)此得出式子的值是解題關(guān)鍵．（1）利用相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義求出各式的值，代入原式計(jì)算即可求出值．（2））利用相絕對(duì)值的代數(shù)意義求出各數(shù)的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【詳解】解：（1）由題意得：，故答案為，，，，即，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；綜上所述，原式的值是或3．（2），，，，，．當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；綜上所述，的值是或．6．（23-24七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，的絕對(duì)值等于，是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)．(1)分別直接寫出，，，的值；(2)的值是多少？【答案】(1)，，，；(2)或【分析】（1）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值、數(shù)軸，，互為相反數(shù)，得到，根據(jù)，互為倒數(shù)，得到，根據(jù)的絕對(duì)值等于，所以，是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)，所以；（2）本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值、數(shù)軸，將、、、代入求解即可得到答案；【詳解】（1）解：∵，互為相反數(shù)，，，互為倒數(shù)，，的絕對(duì)值等于，，是數(shù)軸上原點(diǎn)表示的數(shù)，；（2）解：①當(dāng)時(shí)，∴，②當(dāng)時(shí)，∴，的值為或．考點(diǎn)2：有理數(shù)乘法的新定義問題7.若定義一種新的運(yùn)算“*”，規(guī)定a*b＝ab－3a.求3*(－4)的值．解析：解答此類新定義問題時(shí)要根據(jù)題設(shè)先確定運(yùn)算順序，再根據(jù)有理數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算．解：3*(－4)＝3×(－4)－3×3＝－21.方法總結(jié)：解題時(shí)要正確理解題設(shè)中新運(yùn)算的運(yùn)算方法．8．（22-23七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）已知為有理數(shù)，如果規(guī)定一種運(yùn)算“”，，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握新定義的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式利用題中的新定義先計(jì)算括號(hào)里面的，再計(jì)算括號(hào)外面的即可得到結(jié)果．【詳解】解：故選：D．9.若“！”是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)，并且，，則．【答案】100【分析】根據(jù)，，可得出，從而表示出，，代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，，，故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，理解題意，通過題意得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．（23-24七年級(jí)上·河南周口·期中）若“※”是新規(guī)定的某種運(yùn)算符號(hào)，設(shè)，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，新定義，根據(jù)新定義得到，據(jù)此計(jì)算求解即可．【詳解】解：，故答案為：．11．（22-23七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）七年級(jí)小梅同學(xué)在學(xué)習(xí)完第二章《有理數(shù)》后，對(duì)運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣，她借助有理數(shù)的運(yùn)算，定義了一種新運(yùn)算“”，規(guī)則如下：．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)4(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，涉及新定義，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：；（2）．考點(diǎn)3:運(yùn)用有理數(shù)的乘法運(yùn)算解決實(shí)際問題12.我市旅游局發(fā)布統(tǒng)計(jì)報(bào)告：國慶期間，溱湖風(fēng)景區(qū)在7天假期中每天接待游客的人數(shù)變化如下表(正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負(fù)數(shù)表示比前一天少的人數(shù)).日期10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日人數(shù)變化單位：萬人＋1.2＋0.8＋0.2－0.2－0.6＋0.2－1若9月30日的游客人數(shù)為0.6萬人，10月1日～10月3日門票為每人150元，10月4日～10月5日門票為每人120元，10月6日～10月7日門票為每人100元，問國慶期間溱湖風(fēng)景區(qū)門票收入是多少元？解：10月1日的游客人數(shù)為0.6＋1.2＝1.8(萬人)；10月2日的游客人數(shù)為1.8＋0.8＝2.6(萬人)；10月3日的游客人數(shù)為2.6＋0.2＝2.8(萬人)；10月4日的游客人數(shù)為2.8－0.2＝2.6(萬人)；10月5日的游客人數(shù)為2.6－0.6＝2(萬人)；10月6日的游客人數(shù)為2＋0.2＝2.2(萬人)；10月7日的游客人數(shù)為2.1－1＝1.1(萬人)．則該風(fēng)景區(qū)國慶期間的門票收入為[150×(1.8＋2.6＋2.8)＋120×(2.6＋2)＋100×(2.2＋1.2)]×10000＝19720000(元)．13.某果農(nóng)把自家果園的草莓包裝后再進(jìn)行銷售，原計(jì)劃每天賣10箱，但由種種原因，實(shí)際每天的銷售量與計(jì)劃量相比有所增減，下表是某個(gè)星期的銷售情況（超額記為正，不足額記為負(fù)，單位：箱）星期一二三四五六日與計(jì)劃量的差值(1)根據(jù)表格可知，銷售量最多的一天比最少的一天多賣出__________箱；(2)本周實(shí)際銷售總量超過或不足計(jì)劃數(shù)量多少箱？請通過計(jì)算說明理由；(3)若每箱草莓的售價(jià)為65元，已知果園有3個(gè)工人，每人每天的開支為80元，賣出每箱草莓需支出包裝費(fèi)5元，那么該果農(nóng)本周共獲利多少元？【答案】(1)24；(2)超過13箱；理由見解析(3)1059元．【詳解】（1）解：（箱），即銷售量最多的一天比最少的一天多賣出24箱，故答案為：24；（2），答：本周實(shí)際銷售總量超過13箱；（3）（元），答：該果農(nóng)本周共獲利1059元．14．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）某自行車廠一周計(jì)劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負(fù)）：星期一二三四五六日增減(1)根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn)輛；(2)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；(3)該廠實(shí)行計(jì)件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎(jiǎng)15元，少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【答案】(1)412(2)26(3)42675【詳解】（1）解：（輛）；故答案為：；（2）解：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)（輛），故答案為：．（3）解：根據(jù)圖表信息，本周生產(chǎn)的車輛共計(jì)：．（元）．答：該廠工人這一周的工資總額是42675元．考點(diǎn)4：有理數(shù)乘法的規(guī)律探究15．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）【閱讀】我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法法則與有理數(shù)的乘法法則．在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時(shí)，掌握了法則，同時(shí)也學(xué)會(huì)了分類思考．【探索】（1）若，則的值為：①正數(shù)，②負(fù)數(shù)，③0．你認(rèn)為結(jié)果可能是；（填序號(hào)）（2）若，且a、b為整數(shù)，則的最大值為；【拓展】（3）數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)有理數(shù)a、b，若，試比較與0的大?。敬鸢浮浚?）①②（2）9（3），時(shí)，若，則，若，則，若，則；，時(shí)，若，則，若，則，若，則．【分析】本題考查了有理數(shù)加法和乘法法則及分類討論的應(yīng)用：（1）根據(jù)a、b同號(hào)，可能同為正數(shù)，也可能同為負(fù)數(shù)即可得到答案；（2）最大，需a、b同號(hào)，而知a、b均為負(fù)整數(shù)，分類討論即可得答案；（3）根據(jù)a、b異號(hào)，分類討論與0的大?。驹斀狻浚?）解：，a、b同號(hào)，a、b同為正數(shù)時(shí)，；a、b同為負(fù)數(shù)時(shí)，；故答案為：①②；（2）解：，最大，a、b同號(hào)，，a、b同為負(fù)數(shù)，a、b為整數(shù)，a、b分別為和，此時(shí)；或a、b分別為和，此時(shí)；或a、b分別為和，此時(shí)，故答案為：9；（3）解：，a、b異號(hào)，①設(shè)，則，若，則，若，則，若，則，②設(shè)，則，若，則，若，則，若，則，綜上所述，，時(shí)，若，則，若，則，若，則；，時(shí)，若，則，若，則，若，則．16．（23-24七年級(jí)上·湖南岳陽·期中）觀察下列各式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；……(1)根據(jù)上述規(guī)律寫出第5個(gè)等式：；(2)第n個(gè)等式：；（用含n的式子表示）(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，（1）根據(jù)題干，模仿寫出第5個(gè)等式，即可作答；（2）由（1）以及題干條件，即得第n個(gè)等式：；（3）由（2）的結(jié)論，先化簡再運(yùn)算，即可作答，掌握第n個(gè)等式：是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：依題意，第5個(gè)等式：；（2）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：；……故第n個(gè)等式：；（3）解：由（2）知第n個(gè)等式：；則一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·吉林松原·階段練習(xí)）下列運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)的是（

）A． B．C． D．．【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)選項(xiàng)所給式子，逐個(gè)求解得到結(jié)果判定即可得到答案，熟練掌握有理數(shù)的乘法運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，結(jié)果為正數(shù)，符合題意；B、，結(jié)果既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，不符合題意；C、，結(jié)果是負(fù)數(shù)，不符合題意；D、，結(jié)果是負(fù)數(shù)，不符合題意；故選：A．2．（23-24七年級(jí)上·安徽淮北·階段練習(xí)）下列計(jì)算結(jié)果最大的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查有理數(shù)的乘法運(yùn)算，比較有理數(shù)的大小．先根據(jù)乘法法則，判斷出積的符號(hào)，根據(jù)正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)乘法法則可知：A選項(xiàng)中的積為正數(shù)，B，C選項(xiàng)中的積為負(fù)數(shù)，D選項(xiàng)的積為0，∴計(jì)算結(jié)果最大的是選項(xiàng)A．故選A．3．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽·階段練習(xí)）下列算式中，積為負(fù)數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則分別計(jì)算，即可判斷求解，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、，該選項(xiàng)不符題意；、，該選項(xiàng)不符題意；、，該選項(xiàng)符合題意；、，該選項(xiàng)不符題意；故選：．二、填空題4．（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的乘法；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．5．（22-23七年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）絕對(duì)值小于3.5的整數(shù)的積為．【答案】【分析】本題主要考查絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是求出滿足條件的所有整數(shù)．可以先求出所以滿足條件的整數(shù)，再求和即可．【詳解】解：絕對(duì)值小于的所有整數(shù)為：，，，，，，，所以絕對(duì)值小于的所有整數(shù)的和是，故答案為．6．（23-24七年級(jí)上·廣東深圳·期中）對(duì)于任意有理數(shù)a，b，規(guī)定，如，則．【答案】15【分析】本題主要考查了有理數(shù)的四則混合計(jì)算，根據(jù)新定義可得，據(jù)此計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意得，，故答案為：15．7．（2023秋·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）用簡便方法計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)乘法分配律，可得答案．【詳解】解：原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，把式子轉(zhuǎn)化成乘法分配律的形式是解題關(guān)鍵．三、解答題8．（23-24七年級(jí)上·湖南常德·期中）用簡便方法計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)乘法運(yùn)算律，掌握運(yùn)算法則即可．【詳解】解：原式9．（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）．【答案】【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，利用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則即可求解，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．10．（23-24七年級(jí)上·重慶忠縣·階段練習(xí)）已知，，(1)若，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】本題主要考查絕對(duì)值的定義，有理數(shù)的乘法運(yùn)算的含義，有理數(shù)的加減運(yùn)算的含義，熟練掌握絕對(duì)值的定義，由已知條件確定，的值是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)絕對(duì)值的定義確定，可能的取值，再根據(jù)討論確定，的值再計(jì)算即可得到答案．（2）根據(jù)絕對(duì)值的定義確定，可能的取值，再根據(jù)討論確定，的值再計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，，，，或．（2）∵，，，，或，或．11．（22-23七年級(jí)上·河南許昌·階段練習(xí)）請你參考黑板中老師的講解用運(yùn)算律簡便計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)99900【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行計(jì)算；如果有括號(hào)，要先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算．進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，注意各個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用，使運(yùn)算過程得到簡化．（1）先變形為，再根據(jù)乘法分配律計(jì)算；（2）根據(jù)乘法分配律的逆用計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．12．（23-24七年級(jí)上·浙江紹興·階段練習(xí)）小明騎摩托車從咖啡店出發(fā)，在東西向的大道上送咖啡．如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中小明的五次行駛記錄如下（單位：km）：，+8，，+6，．(1)求第五次咖啡送完時(shí)小明在咖啡店的什么方向？距離多少千米？(2)若摩托車每千米耗油量為升，小明從出發(fā)送第一次咖啡到送完五次咖啡后返回咖啡店共耗油多少升？【答案】(1)西方，2km(2)升【分析】本題考查的是正負(fù)數(shù)的含義，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算的應(yīng)用，乘法的應(yīng)用，理解題意是關(guān)鍵；（1）把記錄的數(shù)據(jù)相加，根據(jù)結(jié)果的符號(hào)與絕對(duì)值可得答案；（2）由路程乘以單位耗油量即可得到答案．【詳解】（1）解：，∴第五次咖啡送完時(shí)小明在咖啡店的西方，距離出發(fā)點(diǎn)千米；（2）總路程為，耗油量：（升）13．（23-24七年級(jí)上·天津?qū)幒印て谥校┏鲎廛囁緳C(jī)小張某天下午的營運(yùn)都是在一條東西走向的大道上，如果規(guī)定向東為正，向西為負(fù)，那么這天下午小張的行車路程（單位：千米）如下：，，，，，，，，，(1)當(dāng)小張將最后一位乘客送到目的地時(shí)，他離出車地點(diǎn)多少千米？(2)若每千米的營運(yùn)額為5元，則小張這天下午的總營運(yùn)額為多少元？(3)在(2)的條件下，如果營運(yùn)成本為每千米1.5元，那么這天下午小張盈利元．【答案】(1)他離出發(fā)地點(diǎn)3千米(2)小張這天下午的總營運(yùn)額為575元(3)402.5【分析】本題考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．解題是讀懂題意，正確的列出算式．（1）將所有數(shù)據(jù)相加，根據(jù)和的情況進(jìn)行分析即可；（2）將所有數(shù)據(jù)的絕對(duì)值相加，再乘以每千米的營運(yùn)額即可；（3）用總路程乘以每千米的盈利計(jì)算即可．【詳解】（1）解：（千米），當(dāng)小張將最后一位乘客送到目的地時(shí)，他離出車地點(diǎn)3千米；（2）（千米），小張這天下午的總營運(yùn)額為：（元；（3）由（2）知，小張這天下午的總營運(yùn)路程為115千米，這天下午小張盈利為：（元．14．（23-24七年級(jí)上·廣東湛江·期中）如果，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，的絕對(duì)值是2，是數(shù)軸負(fù)半軸上到原點(diǎn)的距離為1的數(shù)，求代數(shù)式的值．【答案】；【分析】本題考查相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值，及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的計(jì)算問題，根據(jù)互為相反的兩個(gè)數(shù)和為0，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)積為1及絕對(duì)值的性質(zhì)，y軸負(fù)半軸上點(diǎn)是負(fù)數(shù)代入求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵，互為相反數(shù)，，互為倒數(shù)，∴，，∵的絕對(duì)值是2，∴，∵是數(shù)軸負(fù)半軸上到原點(diǎn)的距離為1的數(shù)，∴，∴原式．1