專題1.1 集合的概念與表示（七大題型）-蘇教版高一《數學》同步學與練（解析版）

第第頁專題1.1集合的概念與表示課程標準學習目標A．理解集合的概念；理解元素與集合的“屬于”與“不屬于”關系；熟記常用數集專用符號．B．深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性；能夠用其解決有關問題．C．會用集合的兩種表示方法表示一些簡單集合．感受集合語言的意義和作用．1、數學抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；2、邏輯推理：集合的互異性的辨析與應用；3、數學運算：集合相等時的參數計算，集合的描述法轉化為列舉法時的運算；4、直觀想象：集合的圖形表示；5、數學建模：用集合思想對實際生活中的對象進行判斷與歸類．知識點一：集合的有關概念1、一般地，研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合．知識點詮釋：（1）對于集合一定要從整體的角度來看待它．例如由“我們班的同學”組成的一個集合A，則它是一個整體，也就是一個班集體．（2）要注意組成集合的“對象”的廣泛性：一方面，任何一個確定的對象都可以組成一個集合，如人、動物、數、方程、不等式等都可以作為組成集合的對象；另一方面，就是集合本身也可以作為集合的對象，如上面所提到的集合A，可以作為以“我們高一年級各班”組成的集合的元素．2、關于集合的元素的特征（1）確定性：設A是一個給定的集合，x是某一個具體對象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立．（2）互異性：一個給定集合中的元素，指屬于這個集合的互不相同的個體（對象），因此，同一集合中不應重復出現同一元素．（3）無序性：集合中的元素的次序無先后之分．如：由1，2，3組成的集合，也可以寫成由1，3，2組成一個集合，它們都表示同一個集合．知識點詮釋：集合中的元素，必須具備確定性、互異性、無序性．反過來，一組對象若不具備這三性，則這組對象也就不能構成集合，集合中元素的這三大特性是我們判斷一組對象是否能構成集合的依據．解決與集合有關的問題時，要充分利用集合元素的“三性”來分析解決，也就是，一方面，我們要利用集合元素的“三性”找到解題的“突破口”；另一方面，問題被解決之時，應注意檢驗元素是否滿足它的“三性”．3、元素與集合的關系：（1）如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作aA（2）如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作4、常用數集及其表示非負整數集（或自然數集），記作N正整數集，記作N*或N+整數集，記作Z有理數集，記作Q實數集，記作R【即學即練1】下列各組對象的全體能構成集合的有（

）（1）正方形的全體；（2）高一數學書中所有的難題；（3）平方后等于負數的數；（4）某校高一年級學生身高在1.7米的學生；（5）平面內到線段AB兩端點距離相等的點的全體.A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】（1）（3）（4）（5）中的對象是確定的，可以組成集合，（2）中的對象是不確定的，不能組成集合.故選：C.知識點二：集合的表示方法1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…．2、描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號{}內．具體方法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．知識點詮釋：（1）用描述表示集合時應注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是數，還是有序實數對（點）還是其他形式？②元素具有怎樣的屬性？當題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（2）用描述法表示集合時，若需要多層次描述屬性時，可選用邏輯聯結詞“且”與“或”等連接；若描述部分出現元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍．【即學即練2】下列說法正確的是________________①與集合相等②方程的所有實數根組成的集合可記為③全體偶數組成的集合為④集合表示一條過原點的直線【答案】④【解析】解方程化簡集合，可判斷①錯；討論的取值，可判斷②錯；用集合表示偶數集，可判斷③錯；根據點集的集合表示，可判斷④正確.①由得或，因此與集合不相等；即①錯；②當時，方程的解為，方程的所有實數根組成的集合為，不能表示為；即②錯；③全體偶數組成的集合為；即③錯；④集合表示直線上的所有點，即集合表示一條過原點的直線；即④正確.故答案為：④.知識點三：集合的分類一般地，含有有限個元素的集合稱為有限集，含有無限個元素的集合稱為無限集．我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作．例如，集合就是空集．【即學即練3】已知A為方程的所有實數解構成的集合，其中a為實數.(1)若A是空集，求a的范圍；(2)若A是單元素集合，求a的范圍：(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.【解析】（1）若A是空集，則方程無解，當時，方程有解，不符合題意；當時，，得.綜上所述：.（2）若A是單元素集合，則方程有唯一實根，當時，方程有唯一解，符合題意；當時，，得.綜上所述：或.（3）若A中至多有一個元素，則方程至多有一個解，當方程無解時，由（1）知，；方程有唯一實根時，由（2）知，或.綜上所述：或.題型一：集合的含義例1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列各組對象不能構成集合的是（

）A．上課遲到的學生B．2022年高考數學難題C．所有有理數D．小于x的正整數【答案】B【解析】對于B中難題沒有一個確定的標準，對同一題有人覺得難，但有人覺得不難，故2022年高考數學難題不能構成集合，組成它的元素是不確定的.其它選項的對象都可以構成集合.故選：B例2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列四組對象能構成集合的是（

）A．高一年級跑步很快的同學 B．曉天中學足球隊的同學C．曉天鎮(zhèn)的大河 D．著名的數學家【答案】B【解析】集合元素具有確定性，高一年級跑步很快的同學、曉天鎮(zhèn)的大河、著名的數學家，這三組對象不確定，不能構成集合.“曉天中學足球隊的同學”滿足集合元素的：確定性、互異性、無序性，所以“曉天中學足球隊的同學”能夠構成集合.故選：B例3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列各選項中能構成集合的是（

）A．學生中的跑步能手 B．中國科技創(chuàng)新人才C．地球周圍的行星 D．唐宋散文八大家【答案】D【解析】對于A，學生中的跑步能手不具有確定性，所以不能構成集合，所以A錯誤，對于B，中國科技創(chuàng)新人才不具有確定性，所以不能構成集合，所以B錯誤，對于C，地球周圍的行星不具有確定性，所以不能構成集合，所以C錯誤，對于D，唐宋散文八大家分別為唐代柳宗元、韓愈和宋代歐陽修、蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏八位，研究的對象是確定的，可能構成集合，所以D正確，故選：D【方法技巧與總結】判斷一組對象能否組成集合，關鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合．同時還要注意集合中元素的互異性、無序性．題型二：元素與集合的關系例4．（2023·福建龍巖·高一福建省永定第一中學校考開學考試）給出下列6個關系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個數為（

）A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【解析】為無理數，有理數和無理數統(tǒng)稱為實數，所以，所以①正確；是無理數，所以，所以②錯誤；不是正整數，所以，所以③正確；，所以④正確；是無理數，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯誤.故選:A.例5．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列元素與集合的關系中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】N表示自然數集，-1不是自然數，故A錯；表示正整數集，0不是正整數，故B正確；Q表示有理數集，不是有理數，故C錯；R表示實數集，是實數，故D錯.故選：B.例6．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合，，則（）A． B．或 C． D．【答案】D【解析】∵，∴或．若，解得或．當時，，不滿足集合中元素的互異性，故舍去；當時，集合，滿足題意，故成立．若，解得，由上述討論可知，不滿足題意，故舍去．綜上所述，．故選：D．【方法技巧與總結】判斷元素與集合關系的兩種方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現即可。（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征。題型三：集合中元素的特性及應用例7．（2023·全國·高一專題練習）集合中的三個元素分別表示某一個三角形的三邊長度，那么這個三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】根據集合中元素的互異性得，故三角形一定不是等腰三角形.故選：A.例8．（2023·黑龍江佳木斯·高一富錦市第一中學?？茧A段練習）由實數，，，，所組成的集合，最多含元素個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】∵，，∴當時，集合元素最多有1個；當時，，所以集合元素最多有2個；當時，，所以集合元素最多有2個；故選：A例9．（2023·高一課時練習）由，，3組成的一個集合A，若A中元素個數不是2，則實數a的取值可以是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由題意由，，3組成的一個集合A，A中元素個數不是2，因為無解，故由，，3組成的集合A的元素個數為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯誤，D正確，故選：D【方法技巧與總結】題型四：用列舉法表示集合例10．（2023·全國·高一專題練習）已知集合，用列舉法表示M＝______．【答案】【解析】根據題意，應該為6的因數，故可能取值為1，2，3，6，其對應的值分別為：4，3，2，.又，所以的值分別為：4，3，2.故集合.故答案為：例11．（2023·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）用列舉法表示______．【答案】【解析】因為且，所以或或或，解得或或或，所以對應的分別為、、、，即；故答案為：例12．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用列舉法表示下列集合.（1）不大于10的非負偶數組成的集合；（2）方程x3＝x的所有實數解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合.【解析】（1）因為不大于10是指小于或等于10，非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負偶數集是{0，2，4，6，8，10}.（2）方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝－1，所以方程的解組成的集合為{0，1，－1}.（3）將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0，1)，故兩直線的交點組成的集合是{(0，1)}.變式1．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用列舉法表示下列給定的集合：（1）大于1且小于6的整數組成的集合A.（2）方程x2－9＝0的實數根組成的集合B.（3）一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的圖象的交點組成的集合D.【解析】（1）因為大于1且小于6的整數包括2，3，4，5，所以A＝{2，3，4，5}.（2）方程x2－9＝0的實數根為－3，3，所以B＝{－3，3}.（3）由,得所以一次函數y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點為(1，4)，所以D＝{(1，4)}.變式2．（2023·上海浦東新·高一?？茧A段練習）若集合中只含有一個元素，則用列舉法表示_________.【答案】或【解析】當時，由方程解得，；當時，由解得，方程為，解得，.故答案為：或【方法技巧與總結】用列舉法表示集合的三個步驟（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次；（3）用花括號括起來。題型五：用描述法表示集合例13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用描述法表示下列集合：（1）函數y＝－2x2＋x圖象上的所有點組成的集合；（2）不等式2x－3<5的解組成的集合；（3）如圖中陰影部分的點(含邊界)的集合；（4）3和4的所有正的公倍數構成的集合．【解析】（1）函數y＝－2x2＋x的圖象上的所有點組成的集合可表示為{(x，y)|y＝－2x2＋x}．（2）不等式2x－3<5的解組成的集合可表示為{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．（3）圖中陰影部分的點(含邊界)的集合可表示為.（4）3和4的最小公倍數是12，因此3和4的所有正的公倍數構成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．例14．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用描述法表示下列集合：（1）被3除余1的正整數的集合．（2）坐標平面內第一象限內的點的集合．（3）大于4的所有偶數．【解析】（1）因為集合中的元素除以3余數為1，所以集合表示為：；（2）第一象限內的點，其橫坐標、縱坐標均大于0，所以集合表示為：；（3）大于4的所有偶數都是正整數，所以集合表示為：．例15．（2023·高一課時練習）集合表示的是__________.【答案】第三象限內點的集合【解析】由，解得，則集合表示的是第三象限內點的集合.故答案為：第三象限內點的集合變式3．（2023·高一課時練習）用描述法表示被3除余2的所有自然數組成的集合_______.【答案】【解析】根據被3除余2的自然數為，結合集合的表示方法，即可求解.由題意，設備3除的商為，余數為2，這個數可表示為，所以設被3除余2的自然數組成的集合為.故答案為：.【方法技巧與總結】描述法表示集合的2個步驟題型六：集合表示法的綜合應用例16．（2023·高一課時練習）已知為非零實數，代數式的值所組成的集合是，則_____.【答案】【解析】當都為正數時，可得；當都為負數時，可得；當兩正一負時，可得；當一正兩負時，可得，所以集合.故答案為：.例17．（2023·內蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）已知集合A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，則B中所含元素的個數為____．【答案】1【解析】因為A＝{1，2}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，所以，所以集合B中只有一個元素，故答案是1.例18．（2023·全國·高一專題練習）給出下列說法：①平面直角坐標系中，第一象限內的點組成的集合為；②方程的解集為；③集合與是不相等的．其中正確的是______（填序號）．【答案】①③【解析】對于①中，在平面直角坐標系中，第一象限內的點的橫、縱坐標均大于0，且集合中的代表元素為點，所以①正確；對于②中，方程的解為，解集為或，所以②不正確；對于③中，集合，集合，這兩個集合不相等，所以③正確．【方法技巧與總結】集合表示法中元素與集合的關系（1）若已知集合是用描述法表示的，理解集合的代表元素和集合屬性是關鍵；（2）若已知集合是用列舉法表示的，把握元素的共同特征是關鍵；題型七：集合的創(chuàng)新定義例19．（2023·高一課時練習）設是整數集的一個非空子集，對于，如果，，那么稱是的一個“孤立元”.給定，由的個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有______個.【答案】【解析】由題意可知，不含“孤立元”的個元素的集合中，集合中的個元素一定是連續(xù)的個自然數，列舉出符合條件的集合，即可得出結果.由題意可知，由的個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”時，這三個元素一定是連續(xù)的三個自然數，故這樣的集合有：、、、、、，共個.故答案為：.例20．（2023·陜西咸陽·高一武功縣普集高級中學校考階段練習）已知集合，，用符號表示非空集合A中元素的個數，定義，若，則實數a的所有可能取值構成集合P，則______．（請用列舉法表示）【答案】【解析】∵，，∴或，當時，或.當時，有3個解，所以只有一個解不為1和，則，解得，當時，，則此時，不符合題意；當時，，則此時，符合題意；所以，，故.故答案為：．例21．（2023·河北衡水·高一衡水市第二中學校考階段練習）定義兩種新運算“”與“”，滿足如下運算法則：對任意的，有.若且，則用列舉法表示的___________.【答案】【解析】當時，；當時，；當，時，，所以.故答案為：變式4．（2023·廣東中山·高一統(tǒng)考階段練習）以下是面點師制作蘭州拉面的一個數學模型：如圖所示，在數軸上截取與閉區(qū)間對應的線段，該線段長度為個單位．將該線段對折后（坐標對應的點與原點重合），線段數目翻倍，再將每根線段都均勻地拉成長度為個單位的線段，這一過程稱為一次操作（例如在第一次操作完成后，原來的坐標和對應的點被拉到坐標，原來的坐標對應的點被拉到坐標，等等）．接下來的每次操作都在上一次操作的基礎上進行同樣的流程．在第次操作完成后，原閉區(qū)間上恰好被拉到坐標的點有若干個，這若干個點在第一次操作之前所對應的坐標形成一個集合，記為，例如．則集合可以用列舉法表示為______．【答案】【解析】第一次操作后，每一部分的中點在操作之后對應的坐標都是2，與對應點的坐標為2，只有一個，因此；第二次操作后，與4對應的點應取0和2的中點1，2和4的中點3，共2個，因此；第三次操作后，與4對應的點應取0和1的中點，1和2的中點，2和3的中點，3和4的中點，故答案為：【方法技巧與總結】一看代表元素，是數集還是點集，二看元素滿足什么條件即有什么公共特性。一、單選題1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）下列說法：①集合用列舉法可表示為{－1，0，1}；②實數集可以表示為{x|x為所有實數}或；③一次函數y＝x＋2和y＝－2x＋8的圖像象交點組的集合為{x＝2，y＝4}，正確的個數為（）A．3 B．2C．1 D．0【答案】D【解析】由，得，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因為，故集合{x∈N|x3＝x}用列舉法可表示為{0，1}，故①不正確．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全體”等含義，而“”表示所有的實數組成的集合，故實數集正確表示應為{x|x為實數}或，故②不正確．聯立，解得，∴一次函數與y＝－2x＋8的圖像交點為（2，4），∴所求集合為且，故③不正確．故選：D.2．（2023·廣西河池·高一校聯考階段練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合，因為，所以．故選：B．3．（2023·高一課時練習）下列語句中，正確的個數是（

）（1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6構成的集合含有5個元素；（4）數軸上由1到1.01間的線段的點集是有限集；（5）方程的解能構成集合.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】是自然數，故，（1）正確；是無理數，故，（2）錯誤；由3、4、5、5、6構成的集合為有4個元素，故（3）錯誤；數軸上由1到1.01間的線段的點集是無限集，（4）錯誤；方程的解為，可以構成集合，（5）正確；故選：A4．（2023·高一課時練習）已知關于x的方程的解集只有一個元素，則m的值為（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】C【解析】因為關于x的方程的解集只有一個元素，所以，解得.故選：C5．（2023·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）下列集合與區(qū)間表示的集合相等的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】區(qū)間表示的集合為，A.集合表示點集，只有一個元素，故A錯誤；B.，故B正確；C.，表示數集，其中只有2個元素，故C錯誤；D.，故D錯誤.故選：B6．（2023·云南怒江·高一?？计谀┮阎希瑒t集合中元素的個數是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】當取相同數時，；當取不同數時，的取值可能為1或2,故中共有3個元素.故選:B.7．（2023·四川成都·高一成都實外?？计谀┒x若則中元素個數為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【解析】因為且，當時，可能為，此時的取值為：；當時，可能為，此時的取值為：；當時，可能為，此時的取值為：；綜上可知：，所以集合中元素個數為5，故選：D.二、多選題8．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列說法錯誤的是A．在直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為B．方程的解集為C．集合與是同一個集合D．若，則【答案】BCD【解析】對于：因為等價于或，如果，則點在第一象限，如果，則點在第三象限，所以在直角坐標平面內，第一、三象限的點的集合為，故正確；對于：由于方程的解集等價于，解得，故解集為，故錯誤；對于C：集合表示的函數值的取值范圍，是數集，集合表示拋物線的圖象，是點集，所以兩個集合不相同，故C錯誤；對于：因為，則，故錯誤，故選：BCD．9．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）方程組的解集可表示為（）A． B．C．{1，2} D．【答案】ABD【解析】方程組的解為，方程組的解集中只有一個元素，且此元素是有序數對，∴、、均符合題意．故選：ABD．10．（2023·湖南長沙·高一長沙市明德中學?？计谀┮阎?，且，則實數的取值不可以為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因為集合，且，則或，解得.當時，集合中的元素不滿足互異性；當時，，集合中的元素不滿足互異性；當時，，合乎題意.綜上所述