4.2 對數（九大題型）-蘇教版高一《數學》同步學與練（解析版）

第第頁4．2對數課程標準學習目標1、了解對數的概念．2、會進行對數式與指數式的互化．3、掌握對數的運算性質，并能理解推導這些法則的依據和過程．4、通過對數的運算性質的探素及推導過程，培養(yǎng)學生的“合情推理能力”、“等價轉化”和“演繹歸納”的數學思想方法，以及創(chuàng)新意識1、數學抽象：對數運算性質的符號表示2、邏輯推理：對數運算性質的推導、理解指數運算與對數運算之間的關系3、數學運算：對數運算性質的運用4、數學建模：能運用對數運算解決實際問題知識點01對數概念1、對數的概念如果，那么數b叫做以a為底N的對數，記作：．其中叫做對數的底數，叫做真數．知識點詮釋：對數式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對數（ 且）具有下列性質：（1）0和負數沒有對數，即；（2）1的對數為0，即；（3）底的對數等于1，即．3、兩種特殊的對數通常將以10為底的對數叫做常用對數，．以e（e是一個無理數，）為底的對數叫做自然對數，簡記為．4、對數式與指數式的關系由定義可知：對數就是指數變換而來的，因此對數式與指數式聯(lián)系密切，且可以互相轉化．它們的關系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．【即學即練1】（2023·高一?？颊n時練習）在b＝log3a－1(3－2a)中，實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意義，則，解得或.故選：B.知識點02對數的運算法則已知，（且，、）（1）正因數的積的對數等于同一底數各個因數的對數的和；推廣：（2）兩個正數的商的對數等于被除數的對數減去除數的對數；（3）正數的冪的對數等于冪的底數的對數乘以冪指數；知識點詮釋：（1）利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：，，．【即學即練2】＝（

）A．1 B．2C．－1 D．－5【答案】C【解析】原式.故選：C知識點03對數公式1、對數恒等式：2、換底公式同底對數才能運算，底數不同時可考慮進行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當然，細心一些的同學會發(fā)現（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個重要的結論：．【即學即練3】化簡求值：.【答案】/0.75【解析】.故答案為：題型一：對數的定義例1．（2023·全國·高一專題練習）有下列說法：①以10為底的對數叫作常用對數；②任何一個指數式都可以化成對數式；③以e為底的對數叫作自然對數；④零和負數沒有對數.其中正確的個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根據常用對數以及自然對數的概念可知①③正確，根據對數的性質可知④正確，只有當且時，指數式才可以化成對數式，②錯誤，故選：C例2．（2023·高一校考課時練習）若，則x的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】且故選：B例3．（2023·北京·高一東直門中學校考階段練習）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．,且【答案】D【解析】根據對數的定義得到不等式組解得.解得，即且.故選：變式1．（2023·高一課時練習）對數式中實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，根據對數函數的性質，可得對數式，滿足，解得，即實數a的取值范圍是.故選D.變式2．（2023·高一單元測試）使對數有意義的的取值范圍為A． B． C． D．【答案】B【解析】使對數有意義的需滿足,解得．故選B．變式3．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）在中，實數a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】由對數的定義知，解得或.故選C．【方法技巧與總結】對數式中各字母的取值范圍是：且，，．題型二：指數式與對數式互化及其應用例4．（2023·高一課時練習）將下列指數式與對數式進行互化．(1)(2)(3).【解析】（1）由可得.（2）由，可得.（3）由，可得.例5．（2023·高一課時練習）將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（2）（3）（4）例6．（2023·全國·高一專題練習）將下列指數式與對數式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）因為，所以有：.（2）因為，所以有：.（3）因為，所以有：.（4）因為，所以有：.（5）因為，所以有：.（6）因為，所以有：.變式4．（2023·高一課時練習）將下列對數形式化為指數形式或將指數形式化為對數形式：(1)2－7＝；(2)；(3)lg1000＝3；(4)【解析】（1）由2－7＝，可得log2＝－7.（2）由，可得＝32.（3）由lg1000＝3，可得103＝1000.（4）由，可得e2＝x.變式5．（2023·高一課時練習）將下列對數式為指數式或指數式化為對數式：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）因為，所以．（2）因為，所以．（3）因為，所以．（4）因為，所以．變式6．（2023·全國·高一專題練習）利用指數式、對數式的互化求下列各式中x的值．（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由，得，∴；（2）由，得，且；（3）由，得，∴，.∵，∴或．變式7．（2023·高一課時練習）將下列指數式與對數式互化:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x>0，且x≠1，y>0).【解析】(1)(2)(3)(4)(5)(x>0，且x≠1，y>0)【方法技巧與總結】對數的定義是對數形式和指數形式互化的依據，而對數形式和指數形式的互化又是解決問題的重要手段.題型三：利用對數恒等式化簡求值例7．（2023·江西贛州·高一校考期中）的值.【答案】12【解析】由對數恒等式得，故答案為：12.例8．（2023·浙江杭州·高一統(tǒng)考期末）計算：，.【答案】【解析】根據指對數關系化簡求值.因為，所以故答案為：例9．（2023·上海楊浦·高一上海市控江中學?？计谥校┮阎?，，則．【答案】72【解析】由，所以.故答案為：72變式8．（2023·江蘇·高一校聯(lián)考期中）計算．【答案】【解析】利用指數與對數運算性質即可得出．原式．故答案為:．變式9．（2023·浙江麗水·高一統(tǒng)考期末）若a＝log23，則＝．【答案】．【解析】由對數式可容易求得，代值即可解得.因為，故可得，則，故.故答案為：.變式10．（2023·全國·高一專題練習）設，則的值等于（

）A．10 B．13 C．100 D．【答案】B【解析】由對數的性質，得，所以，故選：B.變式11．（2023·高一課時練習）若，則的值是A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，故選項.【方法技巧與總結】對數恒等式中要注意格式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為真數.題型四：積、商、冪的對數例10．（2023·甘肅·高一統(tǒng)考期中）求值:(1);(2);【解析】（1）；（2）.例11．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┯嬎?1)(2)(3)【解析】（1）；（2）（3）.例12．（2023·福建廈門·高一廈門市海滄中學?？计谥校┯嬎阆铝懈魇降闹担?1)；(2).【解析】（1）；（2）.變式12．（2023·江蘇南京·高一校考期末）計算：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.變式13．（2023·高一課時練習）求下列各式中x，y的值：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則，；（7）若，則.【答案】9984或2951264【解析】（1）由，得，所以，所以；（2）由，得，所以；（3）由，得，所以或；（4）由，得，所以；（5）由，得，所以；（6）由，得，，所以，；（7）由，得，.得，所以故答案為：（1），（2）998，（3）4或，（4），（5）2，（6）9；512，（7）64.變式14．（2023·高一課時練習）計算：．【答案】5【解析】，故答案為：5變式15．（2023·全國·高一專題練習）．【答案】/【解析】,故答案為:.變式16．（2023·遼寧大連·高一階段練習）計算：．【答案】9【解析】原式.故答案為：9【方法技巧與總結】利用對數恒等式、對數性質及其運算性質進行化簡是化簡對數式的重要途徑，因此我們必須準確地把握它們．在運用對數的運算性質時，一要注意真數必須大于零；二要注意積、商、冪的對數運算對應著對數的和、差、積得運算．題型五：一類與對數有關方程的求解問題例13．（2023·高一課時練習）方程的實數解為.【答案】【解析】方程可得：，即，化簡得：，所以，由題意令（），則，所以，即.故答案為：.例14．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）設、是關于x的方程的兩個實數根,則．【答案】【解析】解:由題知的兩個實數根是、,根據韋達定理有,即,即,.故答案為:例15．（2023·高一課時練習）方程log2(5－x)＝2，則x＝．【答案】1【解析】5－x＝22＝4，∴x＝1．故答案為：1．變式17．（2023·高一單元測試）方程的解是.【答案】/4【解析】由題意知解得.故答案為：變式18．（2023·上海·高一專題練習）方程的解為.【答案】2.【解析】由對數的運算性質可轉化條件為，即可得解.方程等價于，所以，解得.故答案為：2.變式19．（2023·江蘇·高一專題練習）若是方程的兩個實根，則的值為．【答案】12【解析】原方程可化為，設，則原方程可化為．設方程的兩根為，，則，．由已知a，b是原方程的兩個根．可令，，則，，．故答案為：.變式20．（2023·高一課時練習）方程的解是.【答案】【解析】原方程可變?yōu)?，即，即，即，解?故答案為.變式21．（2023·上海虹口·高一上外附中?？茧A段練習）方程的解是.【答案】【解析】且，且，即解得（舍），即方程的解是3.變式22．（2023·高一課時練習）方程log3（1-2?3x）=2x+1的解x=．【答案】【解析】∵log3（1-2?3x）=2x+1，∴1-2?3x=32x+1，∴3?（3x）2+2?3x-1=0，∴（3?3x-1）（3x+1）=0，所以或解得x=-1所以方程的解為x=-1變式23．（2023·江西撫州·高一統(tǒng)考期末）已知，若，則.【答案】8【解析】由，且所以是方程的兩根，解得或，又，所以，即，又從而，且，則，．所以.故答案為：8.【方法技巧與總結】直接利用定義法或者換元法題型六：對數運算法則的應用例16．（2023·湖北十堰·高一?？茧A段練習）化簡與求值：(1)；(2)．【解析】（1）原式；（2）．例17．（2023·海南·高一海南華僑中學?？茧A段練習）求值：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例18．（2023·山東青島·高一?？计谥校┯嬎阆铝懈魇剑?1)；(2)【解析】（1）.（2）變式24．（2023·全國·高一專題練習）計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．變式25．（2023·高一課時練習）計算：（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1；（2）.【解析】；（1）(log33)2＋log0.25＋9log5－log1＝＋1＋9×－0＝＋1＋＝.（2）＝＝＝＝＝＝＝1.【方法技巧與總結】（1）利用對數的運算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數都存在時等式才能成立．（2）不能將和、差、積、商、冪的對數與對數的和、差、積、商、冪混淆起來.題型七：換底公式的運用例19．（2023·全國·高一專題練習）已知，且，則A的值是.【答案】或1【解析】由,得.當時,,滿足條件.當時,由,得,從而,即,得.故答案為：或1.例20．（2023·全國·高一專題練習）已知，則．【答案】【解析】由可得所以，，所以，故答案為：例21．（2023·高一課時練習）若，則．【答案】4【解析】由對數的運算性質，可得，所以，所以，解得.故答案為：4.變式26．（2023·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學校考階段練習）記，那么.【答案】1.【解析】.故答案為：1變式27．（2023·江蘇·高一階段練習）已知，且，則.【答案】【解析】由題意得，，又由，得，即，解得.故答案為：.【方法技巧與總結】（1）利用換底公式可以把題目中不同底的對數化成同底的對數，進一步應用對數運算的性質．（2）題目中有指數式和對數式時，要注意指數式與對數式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形式．（3）解決這類問題要注意隱含條件“”的靈活運用．題型八：由已知對數求解未知對數式例22．（2023·廣東汕尾·高一海豐縣海城仁榮中學?？茧A段練習）已知，則（結果用a，b表示）.【答案】【解析】因為，所以，則，故，故答案為：.例23．（2023·高一單元測試）已知，，用，表示為．【答案】【解析】依題意有，即，變形為，解得：，．所以，故答案為：.例24．（2023·湖北省直轄縣級單位·高一階段練習）已知，用表示，則．【答案】【解析】已知，則即答案為.變式28．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知，試用表示.【答案】【解析】因為，利用對數的換底公式可得：，，于是，,∴,故答案為：.變式29．（2023·江蘇·高一專題練習）已知,，用表示=.【答案】【解析】因為，所以故答案為：變式30．（2023·高一單元測試）已知，試用a，b分別表示下列各式：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）；（2）；（3）

.變式31．（2023·江蘇·高一階段練習）已知，，用、表示.【解析】，由對數的換底公式可得，所以，.變式32．（2023·江蘇·高一階段練習）（1）已知，用a，b表示；（2）已知，用a，b表示.【解析】（1）．（2），，又，．【方法技巧與總結】利用對數運算法則的應用進行轉換.題型九：證明常見的對數恒等式例25．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知(，且；，且)，試探究a與b的關系，并給出證明．【解析】或.證明如下：設，則，所以，因為，且，所以，即.當時，，所以；當時，，所以.所以或.例26．（2023·高一課時練習）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)舉出一個反例說明不成立；(2)證明：.【解析】（1）假設，則，，.因為，所以當時不成立.（反例不唯一，計算正確即可）（2）令，則，，所以.例27．（2023·高一單元測試）閱讀以下材料：對數的創(chuàng)始人是蘇格蘭數學家納皮爾（J.Napier，1550年﹣1617年），納皮爾發(fā)明對數是在指數概念建立之前，直到18世紀瑞士數學家歐拉（Euler，1707年﹣1783年）才發(fā)現指數與對數之間的聯(lián)系.對數的定義：一般地，若，則叫做以為底的對數，記作.比如指數式可以轉化為，對數式可以轉化為..我們根據對數的定義可得到對數的一個性質：.理由如下：設，，所以，，所以，由對數的定義得:，又因為，所以解決以下問題：（1）將指數轉化為對數式：.（2）仿照上面的材料，試證明：.（3）拓展運用：計算.【解析】（1）將指數轉化為對數式：.故答案為：.（2）證明：設，，所以，，所以，由對數的定義得，又因，所以；（3）故答案為：2.變式33．（2023·高一課時練習）證明：（1）；（2）.【解析】證明：（1）.故.（2），變式34．（2023·高一課時練習）（1）證明對數換底公式：（其中且，且，）（2）已知，試用表示.【解析】（1）設，寫成指數式.兩邊取以為底的對數，得.因為，，，因此上式兩邊可除以，得.所以，.（2）.變式35．（2023·江蘇·高一專題練習）設a，b均為不等于1的正數，利用對數的換底公式，證明：（1）；（2）（，，）.【解析】證明：（1）因為a，b均為不等于1的正數，所以左邊右邊，所以，（2）因為a，b均為不等于1的正數，，，所以左邊右邊，所以（，，）變式36．（2023·高一課時練習）證明：.【解析】證明：由換底公式，當時有，故，證畢【方法技巧與總結】利用換底公式和作差法進行證明.一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據指數運算法則可知，，即A錯誤；再根據分數指數冪與根式化簡可得，即B錯誤；由對數運算法則可知，，而，故C錯誤，D正確.故選：D2．（2023·高一課時練習）已知均為正實數，若，則＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，則，所以，解得或，所以或，所以或，因為，所以或，所以或，所以或，故選：D3．（2023·云南保山·高一統(tǒng)考期末）新型冠狀病毒特指2019年底爆發(fā)，世界衛(wèi)生組織正式命名為2019新型冠狀病毒（2019novelcoronavirus，2019-nCoV），“新冠疫情防控常態(tài)化，核酸檢測應檢盡檢！”核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學物質的苂光信號，對在PCR擴增進程中成指數級增加的靶標DNA實時檢測，在PCR擴增的指數時期，熒光信號強度達到閾值時，DNA的數量與擴增次數滿足：，其中為擴增效率，為DNA的初始數量.已知某被測標本DNA擴增5次后，數量變?yōu)樵瓉淼?0倍，那么該標本的擴增效率約為（參考數據：）（

）A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631【答案】C【解析】已知，化簡為由題知，當時，,則即，所以，則故選：C.4．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級中學?？计谥校┮阎?，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，所以，故選：C5．（2023·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）17世紀，在研究天文學的過程中，為了簡化大數運算，蘇格蘭數學家納皮爾發(fā)明了對數，對數的思想方法即把乘方和乘法運算分別轉化成乘法和加法運算，數學家拉普拉斯稱贊為“對數的發(fā)明在實效上等于把天文學家的壽命延長了許多倍”.已知，，設，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，所以.故選：B.6．（2023·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知正實數m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，，當且僅當時，取等號，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時，取等號，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故D錯誤.故選：C.7．（2023·全國·高一專題練習）已知，則（

）A．11或 B．11或 C．12或 D．10或【答案】A【解析】由，兩邊取對數得，所以或.當時，8，所以；當時，，所以，綜上，或，故選：A.8．（2023·高一課時練習）已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設，則，∵，即，整理得，注意到，則，解得，即.故選：D.二、多選題9．（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校聯(lián)考期末）已知正實數滿足，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】已知正實數，則設，所以，，，對于A，